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1.4　充分条件与必要条件
第1课时　充分条件与必要条件、充要条件
班级：　　姓名：　　学号：　　评价：
使用说明：本学案为课前预习 + 课堂探究 + 课后巩固一体化学案，建议课前 15 分钟完成「课前预习」，课堂 30 分钟完成「课堂探究」与「当堂检测」，课后 30 分钟完成「课后作业」。参考答案附在最后，教师可撕下后印发。
一、学习目标
层级 目标内容
基础 理解充分条件、必要条件的意义；知道判定定理给出的是充分条件，性质定理给出的是必要条件
提升 理解充要条件的意义；知道数学定义给出的往往是充要条件
拓展 会用定义法与集合法判断两个条件之间的关系，能正确处理"充分不必要""必要不充分""既不充分也不必要"三类情形
核心素养：逻辑推理（由推出关系确定条件性质）、数学抽象（把具体命题抽象为 p 与 q 的推出关系）、直观想象（用集合的包含关系刻画条件关系）。
二、重点与难点
重点：充分条件、必要条件、充要条件的意义及判断方法。
难点：区分"p 是 q 的充分条件"与"p 是 q 的必要条件"；含参数问题中条件关系的转化。
我的预习疑问（课前写）：__
三、课前预习
（一）知识回顾
命题"若 p，则 q"中，p 叫做命题的，q 叫做命题的。
"若 p，则 q"为真命题，是指由 p 通过推理可以__q。
在三角形中，"大角对大边"指的是：若 ∠A>∠B，则。
（二）教材导读
阅读教材 1.4 节（具体页码按任教班级教材填写），回答：
若"若 p，则 q"为真命题，就记作 p q，此时称 p 是 q 的条件，q 是 p 的条件。
若既有 p q，又有 q p，记作，此时 p 是 q 的条件。
数学中的每一条判定定理都给出了相应结论成立的一个条件；每一条性质定理都给出了相应结论成立的一个条件。
（三）预习自测
判断下列命题的真假（真打√，假打×）：
（1）若 x>2，则 x>1。（　）
（2）若 x =1，则 x=1。（　）
（3）若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等。（　）
填空："若 x>2，则 x>1"是真命题，可记作，此时 x>2 是 x>1 的条件，x>1 是 x>2 的条件。
四、课堂探究
探究点一　充分条件
问题1　观察下面三个命题，判断真假，并说说你的判断依据。
（1）若 x<1，则 x<2；
（2）若两个三角形三边对应成比例，则这两个三角形相似；
（3）若 ab>0，则 a>0，b>0。
我发现：命题（1）（2）为真，即由条件成立足以保证结论成立；命题（3）为假（如 a=-1，b=-1 时 ab=1>0，但 a，b 都小于 0）。
知识梳理（填空）
一般地，"若 p，则 q"为真命题，是指由 p 通过推理可以得出 q。这时我们就说由 p 可以推出 q，记作，并且说 p 是 q 的条件。
数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个条件。
微点助解
只有"若 p，则 q"为真命题时，才有 p q。
若 p q，则 p 是 q 的充分条件。所谓"充分"，就是条件充足、足够、足以保证，可概括为"有之必成立，无之未必不成立"。
"p 是 q 的充分条件"也可以说成"q 的充分条件是 p"。
还可以用集合判断：若 p 对应的对象组成集合 A，q 对应的对象组成集合 B，且 A 是 B 的子集，则 p 是 q 的充分条件（小范围推大范围）。
典例1　下列"若 p，则 q"形式的命题中，p 是 q 的充分条件的是（多选）（　　）
A. 若 x<1，则 x<2
B. 若两个三角形的三边对应成比例，则这两个三角形相似
C. 若 |x|≠1，则 x≠1
D. 若 ab>0，则 a>0，b>0
思路点拨：逐个判断"若 p，则 q"是否为真，为真的才是充分条件。D 中取 a=-1，b=-1 即可举出反例。
变式　下列命题中，p 是 q 的充分条件吗？请说明理由。
（1）若 a，b 为无理数，则 ab 为无理数；
（2）在 △ABC 中，若 ∠A>∠B，则 BC>AC；
（3）已知 a，b∈R，若 a +b =0，则 a=b=0。
即时练　写出一个使"x>a"是"x>1"的充分条件的 a 值：a=；说明理由：__。
探究点二　必要条件
问题2　在"若 x，y 都是偶数，则 x+y 是偶数"中，已知它是真命题，即 p q。此时除了"p 是 q 的充分条件"，还能怎么说？反过来，x+y 是偶数时，x，y 一定都是偶数吗？
知识梳理（填空）
一般地，"若 p，则 q"为真命题，即 p q，此时称 q 是 p 的条件。
数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个条件。
微点助解
对命题"若 p，则 q"，只看推出方向：箭尾是箭头的充分条件，箭头是箭尾的必要条件。
若 p q，则 q 是 p 的必要条件。所谓"必要"，就是必须有、必不可少、缺其不可，可概括为"有之未必成立，无之必不成立"。
"q 是 p 的必要条件"也可以说成"p 的必要条件是 q"。
用集合判断：若条件甲对应集合 A，条件乙对应集合 B，且 B 是 A 的子集，则甲是乙的必要条件。
典例2　下列"若 p，则 q"形式的命题中，p 是 q 的必要条件的是（多选）（　　）
A. 若 x，y 是偶数，则 x+y 是偶数
B. 若 a<2，则方程 x -2x+a=0 有实根
C. 若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形
D. 若 ab=0，则 a=0
思路点拨：p 是 q 的必要条件，即要判断 q p 是否为真。B 中有实根等价于判别式不小于 0，即 a 不大于 1，由它能推出 a<2。
变式　指出下列命题中 p 是不是 q 的充分条件，并说明理由。
（1）在 △ABC 中，p：∠B>∠C，q：AC>AB；
（2）已知 x，y∈R，p：x=1，q：(x-1)(x-2)=0；
（3）已知 x∈R，p：x>1，q：x>2。
我的发现：p 是 q 的充分条件与 q 是 p 的必要条件，说的是同一件事，只是不同。
探究点三　充要条件
知识梳理（填空）
如果"若 p，则 q"和它的逆命题"若 q，则 p"均是真命题，即既有，又有，就记作。此时 p 既是 q 的充分条件，也是 q 的必要条件，称 p 是 q 的充分必要条件，简称为条件。
如果 p 是 q 的充要条件，那么 q 也是 p 的充要条件；概括地说，若 p 与 q 等价，则 p 与 q 互为条件。
微点助解
（1）条件关系的传递性
① 若 p 推出 q，q 推出 s，则 p 推出 s，即 p 是 s 的充分条件；
② 若 q 推出 p，s 推出 q，则 s 推出 p，即 p 是 s 的必要条件；
③ 若 p 与 s 都分别与 q 等价，则 p 与 s 等价，即 p 是 s 的充要条件。
（2）条件关系判定的常用结论
条件 p 与结论 q 的关系 结论
p 推出 q，且 q 不能推出 p p 是 q 的充分不必要条件
q 推出 p，且 p 不能推出 q p 是 q 的必要不充分条件
p 推出 q，且 q 推出 p（即 p 与 q 等价） p 是 q 的充要条件
p 不能推出 q，且 q 不能推出 p p 是 q 的既不充分又不必要条件
典例3　（2023·北京高考）若 xy≠0，则"x+y=0"是"y/x + x/y = -2"的（　　）
A. 充分不必要条件　　B. 必要不充分条件　　C. 充要条件　　D. 既不充分也不必要条件
思路点拨：把后一个等式通分变形，看它与 x+y=0 是否等价。注意 xy≠0 保证了分母有意义。
典例4　（2023·天津高考）"a =b "是"a +b =2ab"的（　　）
A. 充分不必要条件　　B. 必要不充分条件　　C. 充分必要条件　　D. 既不充分又不必要条件
思路点拨：a +b =2ab 可移项配成一个完全平方式；a =b 则对应 a 与 b 相等或互为相反数。
变式　指出下列各题中 p 是 q 的什么条件（填"充分不必要条件""必要不充分条件""充要条件""既不充分也不必要条件"）。
（1）p：数 a 能被 6 整除，q：数 a 能被 3 整除；
（2）p：m<0，q：一元二次方程 x +(m-3)x+m=0 有一正根和一负根；
（3）p：△ABC 有两个角相等，q：△ABC 是正三角形；
（4）p：|ab|=ab，q：ab>0。
五、方法归纳（判定条件关系的通法）
定义法（四步法）
分清：认清谁是条件 p，谁是结论 q（注意"p 是 q 的……"与"q 的……条件是 p"的区别）。
正推：判断 p 能否推出 q，能则 p 是 q 的充分条件。
反推：判断 q 能否推出 p，能则 p 是 q 的必要条件。
下结论：两步结果对照"条件关系判定表"作答；举反例是说明"不能推出"的最简办法。
集合法
设条件 p 对应的对象组成集合 A，条件 q 对应的对象组成集合 B：
A 是 B 的子集 p 是 q 的充分条件；
B 是 A 的子集 p 是 q 的必要条件；
A 与 B 相等 p 是 q 的充要条件；
A、B 互不包含 p 是 q 的既不充分又不必要条件。
口诀：箭尾充分，箭头必要；小充分，大必要。
六、当堂检测（限时 8 分钟）
"x=2"是"x -4=0"的（　　）
　A. 充分不必要条件　　B. 必要不充分条件　　C. 充要条件　　D. 既不充分也不必要条件
已知 p 对应集合 A，q 对应集合 B，若 A 是 B 的真子集，则 p 是 q 的条件，q 是 p 的条件。
"a>b"是"a >b "的（　　）
　A. 充分不必要条件　　B. 必要不充分条件　　C. 充要条件　　D. 既不充分也不必要条件
"四边形的对角线互相平分"是"四边形是平行四边形"的（　　）
　A. 充分不必要条件　　B. 必要不充分条件　　C. 充要条件　　D. 既不充分也不必要条件
已知 p：-1≤x≤3，q：x≥-1，则 p 是 q 的__条件。
已知 p：x>3，q：x>a，若 p 是 q 的充分不必要条件，则实数 a 的取值范围是。
七、课后作业
A 组（基础，全体必做）
完成教材 1.4 节练习（按任教班级实际布置）。
指出下列各题中 p 是 q 的什么条件：
（1）p：x 是整数，q：x 是有理数；
（2）p：a=0，q：ab=0；
（3）p：两个三角形面积相等，q：两个三角形全等。
举出一个生活中"充分不必要条件"的例子，并用"若……则……"的形式写出来。
B 组（提高，建议必做）
已知 p：x -2x-3≤0，q：x -4x+3-m≤0（m>0），若 p 是 q 的充分不必要条件，求实数 m 的取值范围。
设 a，b，c 均为非零实数，判断"a，b，c 成等比数列"是"b =ac"的什么条件，并说明理由。
C 组（选做）
查阅资料，说明判定定理、性质定理、数学定义分别与充分条件、必要条件、充要条件的对应关系，各举一例，写成 200 字左右的说明。
八、课堂小结
知识结构
(
命题"若 p 则 q"为真 p 推出 q
│
┌─────────────────┼─────────────────┐
p 推出 q q 推出 p 双向都成立
│ │ │
p 是 q 的充分条件 p 是 q 的必要条件 p 是 q 的充要条件
（判定定理） （性质定理） （数学定义）
)自我评价：本节三个概念中，我觉得最难的是，原因是。
我的新疑问：__
参考答案（教师可撕下）
课前预习
（一）1. 条件；结论　2. 得出（推出）　3. 边 BC 大于边 AC（∠A 的对边大于 ∠B 的对边）
（二）1. 充分；必要　2. p 与 q 等价（p 推出 q 且 q 推出 p）；充要　3. 充分；必要
（三）1. （1）√　（2）×　（3）√　2. x>2 推出 x>1；充分；必要
探究点一
知识梳理：p 推出 q；充分；充分
典例1：ABC。A、B、C 中命题均为真；D 中取 a=-1，b=-1，则 ab=1>0，但 a<0，b<0，故命题为假。
变式：（1）不是。取 a=√2，b=2√2，二者都是无理数，但 ab=4 是有理数。（2）是。三角形中大角对大边。（3）是。由 a 与 b 都非负，和为 0 只能两者都为 0。
即时练：答案不唯一，如 a=2（a 取不小于 1 的值均可，此时 x>a 能推出 x>1）。
探究点二
知识梳理：必要；必要
典例2：BCD。A 中 x+y 为偶数不能推出 x，y 都是偶数（如 1+3=4）；B 中有实根等价于 a≤1，由 a≤1 可推出 a<2；C 中菱形的对角线互相垂直；D 中 a=0 时必有 ab=0。
变式：（1）是。大角对大边，∠B>∠C 对应边 AC>AB。（2）是。x=1 时 (x-1)(x-2)=0 成立。（3）不是。取 x=1.5，满足 x>1 但不满足 x>2；也可设集合 A 为 x>1，集合 B 为 x>2，B 是 A 的子集而非反之。
我的发现：说法（或角度）。
探究点三
知识梳理：（1）p 推出 q；q 推出 p；p 与 q 等价；充要　（2）充要
典例3：C。由 y/x + x/y = -2 通分得 (x +y )/(xy) = -2，即 x +y = -2xy，即 (x+y) =0，故 x+y=0；反之 x+y=0 时原式成立，故为充要条件。
典例4：B。a +b =2ab 等价于 (a-b) =0，即 a=b；而 a =b 等价于 a=±b。由 a=±b 不能推出 a=b（如 a=1，b=-1），但 a=b 能推出 a =b ，故为必要不充分条件。
变式：（1）充分不必要条件（能被 6 整除必能被 3 整除，反之不成立，如 9）。（2）充要条件（一正根一负根等价于两根之积 m<0）。（3）必要不充分条件（正三角形必有两个角相等，反之不成立）。（4）必要不充分条件（|ab|=ab 等价于 ab≥0；ab>0 能推出它，反之 ab=0 时不能）。
当堂检测
A（x=2 能推出 x =4，反之 x=-2 也可以）。
充分不必要；必要不充分。
D（a=1，b=-2 时 a>b 但 a b 但 aC（二者互为判定与性质，等价）。
充分不必要条件（p 对应区间 [-1, 3]，q 对应 [-1, +∞)，前者是后者的真子集）。
a<3（p 对应集合是 q 对应集合的真子集，a=3 时两者相同，不满足"不必要"，故取 a<3）。
课后作业
A 组 2.（1）充分不必要条件（2）充分不必要条件（3）必要不充分条件。
B 组 4. 由 x -2x-3≤0 得 -1≤x≤3；由 x -4x+3-m≤0 得 2-√(1+m) ≤ x ≤ 2+√(1+m)。p 是 q 的充分不必要条件，故区间 [-1, 3] 应为后者的真子集，需 2-√(1+m) ≤ -1 且 2+√(1+m) ≥ 3，即 √(1+m) ≥ 3 且 √(1+m) ≥ 1，解得 m ≥ 8。故 m 的取值范围是 m≥8（此时后者为 [-1, 5]，确为真包含）。
B 组 5. 充要条件。a，b，c 成等比数列等价于 b/a = c/b，即 b =ac（a，b，c 均非零，变形等价）；反之由 b =ac 且 a，b 非零可得 b/a = c/b，故互为充要条件。