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新人教版·九年级上册
第二十六章 二次函数
26.1二次函数的概念
情境导入
视频中的喷泉有时会形成一条条曲线．这些曲线能否用函数关系式表示？
回顾旧知
什么是函数？
什么叫做一次函数？
什么叫做正比例函数？
函数有哪些表示方法？
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，我们就说x是自变量，y是x的函数.
形如y=kx+b (k、b为常数，k≠0)
形如y=kx(k≠0)
解析法
列表法
图象法
b=0
新课导入
你能列出下列变量之间的函数关系式吗？
问题2 n 支球队参加比赛，每两队之间进行 1 场比赛.比赛的场次数 m 与球队数 n 有什么关系？
问题3 某种产品现在的年产量是 20 t，计划今后两年增加产量. 如果每年都比上一年的产量增加 x 倍，那么两年后这种产品的产量 y (单位：t) 将由 x 的值确定，y 与 x 之间的关系怎样表示？
问题1 用长为 40 m 的细绳围成一个矩形区域，矩形区域的面积 y (单位：m ) 会随矩形一边长 x (单位：m) 的变化而变化，y 与 x 之间有什么关系？
探究新知
用长为 40 m 的细绳围成一个矩形区域，矩形区域的面积 y (单位：m ) 会随矩形一边长 x (单位：m) 的变化而变化，y 与 x 之间有什么关系？
问题1
分析：矩形的一边长 x 和面积 y 都是变量，而且对于的每一个确定的值， y 都有唯一确定的值与其对应，即 y 是 x 的函数，
则根据矩形面积公式，
它们之间的关系可以表示为 y = x(20 - x)，
即
y=－x2+20x
探究新知
问题2 n 支球队参加比赛，每两队之间进行 1 场比赛.比赛的场次数 m 与球队数 n 有什么关系？
问题2
分析：单循环问题
每支球队 n 要与其他 个球队各比赛 1 场，由于甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数为 ，
即 。
(n 1)
探究新知
问题3 某种产品现在的年产量是 20 t，计划今后两年增加产量. 如果每年都比上一年的产量增加 x 倍，那么两年后这种产品的产量 y (单位：t) 将由 x 的值确定，y 与 x 之间的关系怎样表示？
问题3
分析：这种产品的原产量是 20 t，一年后的产量是 t，
再经过一年后的产量是 t，
即两年后的产量 y =__________，
即 .
20(1 + x)
20(1 + x)(1 + x)
20(1 + x)2
y = 20x2 + 40x + 20
思考
y= -x2+20x
m= n2- n
y=20x2+40x+20
这三个函数有什么共同点
3.二次项系数不为0，即a≠0.
1.函数解析式是整式；
2.自变量的最高次数是2.
一般地，形如y=ax +bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫作二次函数.
二次函数解析式必须同时满足的三个条件：
思考
观察该二次函数的一般形式，它有什么特点？
二次项
一次项
常数项
二次项系数
一次项系数
注意：必须先化为二次函数的一般形式，才能找出各项系数
(其中a，b，c是常数,a≠0)
当b＝0时， y＝ax2＋c.（只含有二次项和常数项）
当c＝0时， y＝ax2＋bx.（只含有二次项和一次项）
当b＝0，c＝0时， y＝ax2.（只含有二次项）
二次函数的特殊形式:
不能为0
辨析
例1 下列函数中哪些是二次函数 为什么 (x 是自变量)
①y = (x + 3) x ； ② y = 3 2x ； ③ y = x2 + 3x；
④ ； ⑤ y = x + x + 25； ⑥ y = ax2 + bx + c.
不一定是，缺少 a ≠ 0 的条件.
不是，等式右边是分式.
不是，x 的最高次数是 3.
不是，y = 6x + 9
典例精析
例 (1) 一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积 S 关于半径 r 的函数解析式.
(2) 一种产品某年的销售量为 8 万件，由于其他新产品的出现，后两年的年销售量有所下降，年平均下降率是 x ，写出两年后产品的年销售量 y (单位：万件)关于 x 的函数解析式.
r
r
【分析】
圆柱表面积是其底面积与侧面积的和.
解：（1）由题意得 S=2πr2+2πr·r
∴ S=4πr2
【分析】一年后产品的年销售量为 8(1－x) 万件，两年后的年销售量为 8(1－x)(1－x) 万件。
（2）由题意得 y = 8(1－x)2
∴y = 8x2 － 16x+8
易 错 提 醒
（1）判定二次函数必须先化简，不能直接根据原式表面形式判断；
（2）二次函数的核心条件是a≠0，b、c可以为0，切勿混淆；
（3）实际问题中的二次函数，自变量取值范围必须符合实际意义，不能默认全体实数；
（4）分式形式、根式形式的关系式一定不是二次函数.
新知应用
【课本P31练习 第1题】
二次项系数:
一次项系数:
常数项:
二次项系数:
一次项系数:
常数项:
8
-16
8
1
0
0
二次项系数:
一次项系数:
常数项:
5
0
=2x2-4x-3
二次项系数:
一次项系数:
常数项:
2
-4
-3
新知应用
2.如图，矩形绿地的两边长各增加 x m，扩充后的绿地面积为y m2. 写出y关于x的函数解析式.
【课本P31练习 第2题】
解：由题意得 y = (30+x)(20+x)
即y= x2+50x+600.
课堂小结
二次函数
定义
右边是整式；
自变量的最高次数是2；
二次项系数a≠0.
一般形式
y=ax2+bx+c(a≠0，a,b,c是常数)
特殊形式
y=ax2；
y=ax2+bx；
y=ax2+c
(a≠0，a,b,c是常数).
课后练习
1. 某商场一月份的销售额为50万元，二、三月份每月销售额的平均增长率为x，写出三月份的销售额y（单位：万元）关于x的函数解析式.
解：由题意得 y =50(1+ x)2
即y =50x2 +100x +50
【课本P32练习题】
注意：直接应用连续两次平均增长率问题公式：
设平均增长率为x，增长后的量y=开始量a（1+ x ）
分析：二月份的销售额为50(1+x)万元，三月份的销售额为50(1+ x)(1+ x)万元
课后练习
【课本P32练习题】
2. 设人民币一年期定期储蓄的年利率是 x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年期定期储蓄转存. 如果本金是30000元，写出两年后的本息之和 y（单位：元）关于年利率x的函数解析式.
解：一年后的本息之和为30000(1+x)元，
两年后的本息之和为30000(1+x)(1+x)元，
所以 y=30000(1+ x)2 ，
即 y=30000x2+ 60000x+30000.
课后练习
【课本P32练习题】
3. 如图，一面圆形的镜子，其周边镶有宽为5cm的边框.已知镜面的价格是每平方米180元，边框的价格是每平方米100元，求这面镜子的价格y（单位：元）关于镜子半径x（单位：m）的函数解析式.
解：镜面的价格 =π(x – 5)2 ·180元，
边框的价格 = π［x2 –(x – 5)2 ］·100，
∴ y = π(x – 5)2 ·180 + π·［x2 –(x – 5)2 ］· 100，
化简得：y = 180πx2–800πx + 2000π.
下 课
Thanks!
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