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高一数学同步拔高 §1。2函数及其表示
基础知识清单
考点一 映射的概念
了解对应 大千世界的对应共分四类，分别是：一对一 多对一 一对多 多对多
映射：设A和B是两个非空集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都存在唯一的一个元素y与之对应，那么，就称对应f：A→B为集合A到集合B的一个映射(mapping). 映射是特殊的对应，简称“对一”的对应。包括：一对一 多对一
考点二 函数的概念
1．函数：设A和B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数y与之对应，那么，就称对应f：A→B为集合A到集合B的一个函数。记作y=f(x),xA.其中x叫自变量，x的取值范围A叫函数的定义域；与x的值相对应的y的值 函数值，函数值的集合叫做函数的值域。 函数是特殊的映射，是非空数集A到非空数集B的映射。
2．函数的三要素：定义域 、值域、对应关系。这是判断两个函数是否为同一函数的依据。
3．区间的概念：设a,bR ,且a①(a,b) = { x | a < x < b } ②[a,b] = { x | a ≤ x ≤ b } ③[a,b) = { x | a ≤ x < b } ④(a,b] = { x | a < x ≤ b }
⑤(a, +∞) = { x | x > a}⑥[a,+∞) = { x | x ≥ a}⑦(-∞,b) = { x | x < b}⑧(-∞,b] = { x | x ≤ b}⑨(-∞,+∞) = R
考点三 函数的表示方法
函数的三种表示方法 列表法 图象法 解析法
分段函数：定义域的不同部分，有不同的对应法则的函数。注意两点：①分段函数是一个函数，不要误认为是几个函数。②分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。
能力知识清单
考点一 求定义域的几种情况
①若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R；
②若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；
③若f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合；
④若f(x)是对数函数，真数应大于零。
⑤.因为零的零次幂没有意义，所以底数和指数不能同时为零。
⑥若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；
⑦若f(x)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题
考点二 映射个数公式
Card(A)=m,card(B)=n, m,n,则从A到B的映射个数为。简单说成“前指后底”。
方法技巧清单
方法一 函数定义域的求法
1．（2009江西卷文）函数的定义域为 （ ）
A．　　　B．　　　C．　　　　D．
解析 由得或,故选D.
2．（2009江西卷理）函数的定义域为 ( )
A．　　　B．　　　C．　　　　D．
解析 由.故选C
3.（2009福建卷文）下列函数中，与函数 有相同定义域的是 ( )
A . B. C. D.
解析 由可得定义域是的定义域；的定义域是≠0；的定义域是定义域是。故选A.
4.（2007年上海）函数的定义域是 ． 答案
5.求下列函数的定义域。①y=.②y=.③y=
6.已知函数f(x)的定义域为，求函数F(x)=f(3x-1)-f(3x+1)的定义域。
方法二 函数概念的考察
下列各组函数中表示同一函数的是（ ）A.y=和 B.y=ln和
C. D.
2（2010江西理数）9．给出下列三个命题：
①函数与是同一函数；②若函数与的图像关于直线对称，则函数与的图像也关于直线对称；
③若奇函数对定义域内任意x都有，则为周期函数。
其中真命题是A. ①② B. ①③ C.②③ D. ②
解析：考查相同函数、函数对称性的判断、周期性知识。考虑定义域不同，①错误；排除A、B，验证③, ,又通过奇函数得，所以f（x）是周期为2的周期函数，选C。

方法三 分段函数的考察
1.（2009天津卷文）设函数则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
答案 A解析 由已知，函数先增后减再增当，令
解得。当，故 ，解得
【考点定位】本试题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解。
2．（2009天津卷理）已知函数若则实数
的取值范围是 A B C D
【考点定位】本小题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解。
解析：由题知在上是增函数，由题得，解得，故选择C。
3．（2009北京文）已知函数若，则 .
.w 解析 5.u.c本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求的值. 属于基础知识、基本运算的考查.
由，无解，故应填.
4.（2009北京理）若函数 则不等式的解集为____________.
解析 本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法. 属于基础知识、基本运算的考查.
（1）由.（2）由.
∴不等式的解集为，∴应填.
5（2010天津文数）（10）设函数，则的值域是
（A） （B） （C）（D）
【解析】本题主要考查函数分类函数值域的基本求法，属于难题。
依题意知，
6（2010天津理数）（8）若函数f(x)=,若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是（A）（-1，0）∪（0，1） （B）（-∞，-1）∪（1,+∞）
（C）（-1，0）∪（1,+∞） （D）（-∞，-1）∪（0,1）
【答案】C【解析】本题主要考查函数的对数的单调性、对数的基本运算及分类讨论思想，属于中等题。
由分段函数的表达式知，需要对a的正负进行分类讨论。
【温馨提示】分类函数不等式一般通过分类讨论的方式求解，解对数不等式既要注意真数大于0，同事要注意底数在（0，1）上时，不等号的方向不要写错。
7．（2010湖北文数）3.已知函数，则
A.4 B. C.-4 D-
】【解析】根据分段函数可得，则，所以B正确.
方法四 求函数的解析式
求下列函数的解析式
已知
②
已知f(x)是二次函数，若f(0)=0,且f(x+1)=f(x)+x+1,求f(x).
已知f(x)满足求f(x).
方法五 函数图像的考察
1. (2009山东卷理)函数的图像大致为 ( ).
解析 函数有意义,需使,其定义域为,排除C,D,又因为,所以当时函数为减函数,故选A.
【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质.
2.（2009广东卷理）已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为（如图2所示）．那么对于图中给定的，下列判断中一定正确的是 （ ）
A. 在时刻，甲车在乙车前面 B. 时刻后，甲车在乙车后面
C. 在时刻，两车的位置相同 D. 时刻后，乙车在甲车前面
解析 由图像可知，曲线比在0～、0～与轴所围成图形面积大，
则在、时刻，甲车均在乙车前面，选A.
3.（2009江西卷文）如图所示，一质点在平面上沿曲线运动，
速度大小不 变，其在轴上的投影点的运动速度的图象
大致为 ( )
A B C D
解析 由图可知，当质点在两个封闭曲线上运动时，投影点的速度先由正到0、到负数，再到0，到正，故错误；质点在终点的速度是由大到小接近0，故错误；质点在开始时沿直线运动，故投影点的速度为常数，因此是错误的，故选.
4（2010山东理数）(11)函数y=2x -的图像大致是
【答案】A
【解析】因为当x=2或4时，2x -=0，所以排除B、C；当x=-2时，2x -=，故排除D，所以选A。
【命题意图】本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力。
5（2010安徽文数）设,二次函数的图像可能是
【解析】当时，、同号，（C）（D）两图中，故，选项（D）符合
【方法技巧】根据二次函数图像开口向上或向下，分或两种情况分类考虑.另外还要注意c值是抛物线与y轴交点的纵坐标，还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等.
（2010山东文数）（11）函数的图像大致是
答案：A
方法六 映射概念的考察
设:是集合A到集合B的映射，如果B=，则A∩B=（ ）
A. B. C. 或 D. 或
2集合M=，N=映射f:满足f(a)+(b)+f(c)=0,那么映射f: 的个数是（ ）
A.4 B.5 C. 6 D. 7
3集合M=到集合N=一共有 个不同的映射。
方法七函数值域和最值的求法
1（2010重庆文数）（4）函数的值域是
（A） （B）（C） （D）
解析：
2（2010山东文数）(3)函数的值域为
A. B. C. D.
答案：A

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