资源简介

(共30张PPT)
第1节　集合
课标要求 考题分析 1.了解集合的含义,理解元素与集合的属于关系. 2.针对具体问题,能在自然语言和图形语言的基础上,用符号语言刻画集合. 3.在具体情境中,了解全集与空集的含义. 4.理解集合间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集. 5.理解两个集合的并集与交集的含义,能求两个集合的并集与交集. 6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,能求给定子集的补集. 7.能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算,体会图形对理解抽象概念的作用. 年份 Ⅰ卷(一卷) Ⅱ卷(二卷)
2023年 T1 T2
2024年 T1
2025年 T2 T3
主干梳理 基础落实
【知识梳理】
1.集合的概念
(1)集合中元素的三个特征:________、________、________.
(2)元素与集合的关系有______、________两种,用符号____,___表示.
(3)集合的表示法:________、________、________.
(4)常见数集的记法:
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 __ _________ ___ ___ ___
确定性
互异性
无序性
属于
不属于
∈

列举法
描述法
图示法
N
N*(或N+)
Z
Q
R
2.集合间的基本关系
关系 文字语言 符号语言
子集 集合A中任意一个元素都是集合B中的元素 (即若x∈A,则x∈B) ____________
真子集 集合A是集合B的子集,且集合B中至少有一个 元素不在集合A中 ____________
相等 集合A,B中的元素相同或集合A,B互为子集 _____
空集 不含任何元素的集合.空集是任何集合的 子集,是任何非空集合的真子集
A B或B A
A B或B A
A=B
3.集合的基本运算
运算 运算表示法 集合语言 图形语言 记法
并集 ________________ A∪B ______
交集 ________________ ______
补集 _______________ _____
{x|x∈A,或x∈B}
A∪B
{x|x∈A,且x∈B}
A∩B
{x|x∈U,且x A}
UA
4.集合的运算性质
交集 A∩B=______,A∩B A,A∩B B,A∩A=A,A∩ =___,A B A∩B=___
并集 A∪B=______,A∪B A,A∪B B,A∪A=A,A∪ =___,A B A∪B=___
补集 U( UA)=___, U =___ , UU= ,A∩( UA)= ,A∪( UA)=___
B∩A

A
B∪A
A
B
A
U
U
【常用结论】
1.已知集合A中有n(n≥1)个元素,则它有2n个子集,它有2n 1个真子集,
它有2n 1个非空子集,它有2n 2个非空真子集.
2.A B A∩B=A A∪B=B.
3. U(A∩B)=( UA)∪( UB), U(A∪B)=( UA)∩( UB).
4.集合元素的个数:card(A∪B)=card(A)+card(B) card(A∩B)(常用在实际
问题中).
【知能自测】
类型 回源教材 澄清盲点 结论应用
题号 3,4 1 2
1.(多选题)下列结论正确的是(　　)
A.任何一个集合都至少有两个子集
B.{x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}
C.若{x2,1}={0,1},则x=0
D.对于任意两个集合A,B,(A∩B) (A∪B)恒成立
【解析】选CD.A错误,空集只有一个子集.B错误,{x|y=x2+1}=R,
{y|y=x2+1}=[1,+∞),{(x,y)|y=x2+1}是抛物线y=x2+1上的点集.C,D正确.
√
√
2.已知集合A={x∈N|x<3},则集合A的真子集个数为(　　)
A.1 B.2 C.4 D.7
【解析】选D.由已知可得A={0,1,2},其真子集个数为23 1=7.
√
3.(必修第一册P10例1变式)已知集合A={x|x2 2x<0},集合B={y|y=},
则A∪B=(　　)
A.(0,+∞) B.[0,2) C.( ∞,2] D.[0,+∞)
【解析】选D.因为A={x|x2 2x<0}={x|0所以A∪B=[0,+∞).
√
4.(人教A版必修第一册P9·T5变式)已知集合A={x|0若B A,则实数a的取值范围为________.
【解析】因为B A,所以利用数轴分析法(如图),可知a≥2.
[2,+∞)
考点探究 核心突破
考点一　集合的含义与表示
【例1】(1)(2023·上海卷)已知P={1,2},Q={2,3},若M={x|x∈P,x Q},
则M=(　　)
A.{1} B.{2} C.{3} D.{1,2,3}
【解析】选A.因为P={1,2},Q={2,3},M={x|x∈P,x Q},所以M={1}.
√
(2)(2025·南京模拟)已知集合A={1,2,4},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x y∈A},
则集合B的元素个数为______.
【解析】当x=1时,y=1,2,4,x y分别为0, 1, 3,均不能满足x y∈A;
当x=2时,y=1时可满足x y=1∈A,
当x=2时,y=2,x y=0,x=2时,y=4,x y= 2均不满足x y∈A;
当x=4时,y=2可满足x y=2∈A,当x=4时,y=1,x y=3,当x=4时,y=4,x y=0
均不满足x y∈A,所以B={(2,1),(4,2)},故集合B的元素有2个.
2
【方法总结】
解决与集合的基本概念有关问题的关键点
(1)用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明白集合的类型是数集、点集,还是其他类型的集合.
(2)对于含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合中的元素是否满足互异性.
【对点训练】
1.(2025·济南模拟)已知集合{x|(x a2)(x 1)=0}的元素之和为1,则实数a所有取值的集合为(　　)
A.{0} B.{1} C.{ 1,1} D.{0, 1,1}
【解析】选D.因为集合{x|(x a2)(x 1)=0}的元素之和为1,所以当一元二次方程(x a2)(x 1)=0有两个相等的实数根时,可得x=a2=1,即a=±1,当方程有两个不相等的实数根时,x=a2=0,即a=0,综上,实数a所有取值的集合为{0,1, 1}.
√
2.若{a2,0, 1}={a,b,0},则(ab)2 026的值是(　　)
A.0 B.1 C. 1 D.±1
【解析】选B.因为{a2,0, 1}={a,b,0},所以①或②,
由①得或,其中与元素互异性矛盾,舍去,
符合题意,由②得,符合题意,两种情况分别代入(ab)2 026=( 1)2 026=1,答案相同.
√
考点二　集合间的基本关系
【例2】(1)(2023·新课标Ⅱ卷)设集合A={0, a},B={1,a 2,2a 2},若A B,
则a=(　　)
A.2 B.1 C. D. 1
【解析】选B.若a 2=0,则a=2,此时A={0, 2},B={1,0,2},不满足题意;
若2a 2=0,则a=1,此时A={0, 1},B={1, 1,0},满足题意.
√
(2)已知集合A={x||x 1|≤2},B={ t,t},且B A,则实数t的取值范围是(　　)
A.[ 1,1] B.[ 3,3]
C.[ 1,0)∪(0,1] D.[ 3,0)∪(0,3]
【解析】选C.根据题意得到A={x| 1≤x≤3},
由B A,得,解得 1≤t≤1且t≠0.
故实数t的取值范围是[ 1,0)∪(0,1].
√
【方法总结】
根据两集合的关系求参数的方法
(1)若集合元素是一一列举的,依据集合间的关系,转化为解方程(组)求解,此时注意集合中元素的互异性.
(2)若集合表示的是不等式的解集,常依据数轴转化为不等式(组)求解,此时需注意端点值能否取到.
[提醒]若有条件B A,则应注意判断是否需要分B= 和B≠ 两种情况进行讨论.
【对点训练】
(2025·南昌模拟)已知集合M={x|ln x<0},N={x|ex a>0},若M N,
则实数a的取值范围为(　　)
A.( ∞,1] B.( ∞,1) C.( ∞,e] D.( ∞,e)
【解析】选A.由ln x<0得0所以a√
考点三　集合的基本运算
角度1　集合的运算
【例3】(1)(2024·全国甲卷)集合A={1,2,3,4,5,9},B={x|∈A},
则 A(A∩B)=(　　)
A.{1,4,9} B.{3,4,9} C.{1,2,3} D.{2,3,5}
【解析】选D.因为A={1,2,3,4,5,9},B={x|∈A}={1,4,9,16,25,81},
所以 A(A∩B)={2,3,5}.
√
(2)(2025·全国一卷)设全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={1,3,5},则 UA中
元素个数为(　　)
A.0 B.3 C. 5 D.8
【解析】选C.U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,3,5},所以 UA={2,4,6,7,8},共5个元素.
√
【对点训练】
(2025·全国二卷)已知集合A={ 4,0,1,2,8},B={x|x3=x},则A∩B=(　　)
A.{0,1,2} B.{1,2,8}
C.{2,8} D.{0,1}
【解析】选D.因为B={x|x3=x},则x3 x=0,因式分解得:x(x+1)(x 1)=0,
即B={ 1,0,1},所以A∩B={0,1}.
√
角度2　由集合的基本运算求参数的值(范围)
【例4】(1)(多选题)(2025·南昌模拟)设集合A={x|3x2 2x 1=0},
B={x|ax 1=0},若A∪B=A,则a的值可以为(　　)
A.1 B.0 C. D. 3
【解析】选ABD.A={x|3x2 2x 1=0}={ ,1},因为A∪B=A,所以B A,当a=0时,B= A,当a≠0时,B={x|ax 1=0}={},则= 或=1,所以a= 3或1,
综上所述,a= 3或0或1.
√
√
√
(2)(2026·合肥模拟)已知集合A={x|x2≤4},B={x|a 1≤x≤a+1},若A∩B= ,
则实数a的取值范围是_________________.
【解析】由x2≤4,解得 2≤x≤2,所以A={x| 2≤x≤2}.因为A∩B= ,所以a+1< 2或a 1>2,解得a< 3或a>3,所以a的取值范围是( ∞, 3)∪(3,+∞).
( ∞, 3)∪(3,+∞)
【方法总结】
求集合中含参数问题的两种方法和一个注意点
(1)两种方法
①借助结论:A∩B=A A B,A∪B=B A B;
②利用集合的运算性质:化简集合之间的关系,有利于准确了解集合之间的联系.
(2)一个注意点
集合B A时,如果集合A是一个确定的集合,而集合B不确定,运算时,要考虑B= 的情形,切不可漏掉.
【对点训练】
1.已知集合A={x| 1≤x≤2 026},B={x|a≤x≤a+1}(a>0),若A∩B≠ ,则a的取值
范围是(　　)
A.(0,2 026) B.(0,2 026]
C.(0,2 025) D.(0,2 025]
【解析】选B.由题意知A∩B≠ ,再由a>0,得集合B中最小元素a应在集合A中,所以0√
2.已知集合A={x|x>a},B={x|1范围是(　　)
A.{a|a≤1} B.{a|a<1}
C.{a|a≥2} D.{a|a>2}
【解析】选A.因为B={x|12},
又A∪ R B=R,所以a≤1.
√第1节　集合
课标要求 考题分析
1.了解集合的含义,理解元素与集合的属于关系. 2.针对具体问题,能在自然语言和图形语言的基础上,用符号语言刻画集合. 3.在具体情境中,了解全集与空集的含义. 4.理解集合间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集. 5.理解两个集合的并集与交集的含义,能求两个集合的并集与交集. 6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,能求给定子集的补集. 7.能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算,体会图形对理解抽象概念的作用. 年份 Ⅰ卷(一卷) Ⅱ卷(二卷)
2023年 T1 T2
2024年 T1
2025年 T2 T3
【主干梳理·基础落实】
【知识梳理】
1.集合的概念
(1)集合中元素的三个特征:确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系有属于、不属于两种,用符号∈, 表示.
(3)集合的表示法:列举法、描述法、图示法.
(4)常见数集的记法:
集合 自然 数集 正整数集 整数 集 有理 数集 实数 集
符号 N N*(或N+) Z Q R
2.集合间的基本关系
关系 文字语言 符号语言
子 集 集合A中任意一个元素都是集合B中的元素(即若x∈A,则x∈B) A B或 B A
真子 集 集合A是集合B的子集,且集合B中至少有一个元素不在集合A中 A B或 B A
相 等 集合A,B中的元素相同或集合A,B互为子集 A=B
空 集 不含任何元素的集合.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集
3.集合的基本运算
运算 运算表示法
集合语言 图形语言 记法
并集 {x|x∈A,或x∈B} A∪B A∪B
交集 {x|x∈A,且x∈B} A∩B
补集 {x|x∈U,且x A} UA
4.集合的运算性质
交集 A∩B=B∩A,A∩B A,A∩B B,A∩A=A,A∩ = ,A B A∩B=A
并集 A∪B=B∪A,A∪B A,A∪B B,A∪A=A,A∪ =A,A B A∪B=B
补集 U( UA)=A, U =U, UU= ,A∩( UA)= ,A∪( UA)=U
【常用结论】
1.已知集合A中有n(n≥1)个元素,则它有2n个子集,它有2n 1个真子集,它有2n 1个非空子集,它有2n 2个非空真子集.
2.A B A∩B=A A∪B=B.
3. U(A∩B)=( UA)∪( UB), U(A∪B)=( UA)∩( UB).
4.集合元素的个数:card(A∪B)=card(A)+card(B) card(A∩B)(常用在实际问题中).
【知能自测】
类型 回源教材 澄清盲点 结论应用
题号 3,4 1 2
1.(多选题)下列结论正确的是(　　)
A.任何一个集合都至少有两个子集
B.{x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}
C.若{x2,1}={0,1},则x=0
D.对于任意两个集合A,B,(A∩B) (A∪B)恒成立
【解析】选CD.A错误,空集只有一个子集.
B错误,{x|y=x2+1}=R,{y|y=x2+1}=[1,+∞),{(x,y)|y=x2+1}是抛物线y=x2+1上的点集.C,D正确.
2.已知集合A={x∈N|x<3},则集合A的真子集个数为(　　)
A.1 B.2 C.4 D.7
【解析】选D.由已知可得A={0,1,2},其真子集个数为23 1=7.
3.(必修第一册P10例1变式)已知集合A={x|x2 2x<0},集合B={y|y=},
则A∪B=(　　)
A.(0,+∞) B.[0,2)
C.( ∞,2] D.[0,+∞)
【解析】选D.因为A={x|x2 2x<0}={x|0所以A∪B=[0,+∞).
4.(人教A版必修第一册P9·T5变式)已知集合A={x|0【解析】因为B A,所以利用数轴分析法(如图),可知a≥2.
答案:[2,+∞)
【考点探究·核心突破】
考点一　集合的含义与表示
【例1】(1)(2023·上海卷)已知P={1,2},Q={2,3},若M={x|x∈P,x Q},则M=(　　)
A.{1} B.{2} C.{3} D.{1,2,3}
【解析】选A.因为P={1,2},Q={2,3},M={x|x∈P,x Q},所以M={1}.
(2)(2025·南京模拟)已知集合A={1,2,4},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x y∈A},则集合B的元素个数为__________.
【解析】当x=1时,y=1,2,4,x y分别为0, 1, 3,均不能满足x y∈A;
当x=2时,y=1时可满足x y=1∈A,
当x=2时,y=2,x y=0,x=2时,y=4,x y= 2均不满足x y∈A;
当x=4时,y=2可满足x y=2∈A,当x=4时,y=1,x y=3,当x=4时,y=4,x y=0均不满足x y∈A,所以B={(2,1),(4,2)},故集合B的元素有2个.
答案:2
【方法总结】
解决与集合的基本概念有关问题的关键点
(1)用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明白集合的类型是数集、点集,还是其他类型的集合.
(2)对于含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合中的元素是否满足互异性.
【对点训练】
1.(2025·济南模拟)已知集合{x|(x a2)(x 1)=0}的元素之和为1,则实数a所有取值的集合为(　　)
A.{0} B.{1}
C.{ 1,1} D.{0, 1,1}
【解析】选D.因为集合{x|(x a2)(x 1)=0}的元素之和为1,所以当一元二次方程(x a2)(x 1)=0有两个相等的实数根时,可得x=a2=1,即a=±1,当方程有两个不相等的实数根时,x=a2=0,即a=0,综上,实数a所有取值的集合为{0,1, 1}.
2.若{a2,0, 1}={a,b,0},则(ab)2 026的值是(　　)
A.0 B.1 C. 1 D.±1
【解析】选B.因为{a2,0, 1}={a,b,0},所以①或②,
由①得或,其中与元素互异性矛盾,舍去,符合题意,由②得,符合题意,两种情况分别代入(ab)2 026=( 1)2 026=1,答案相同.
考点二　集合间的基本关系
【例2】(1)(2023·新课标Ⅱ卷)设集合A={0, a},B={1,a 2,2a 2},若A B,
则a=(　　)
A.2 B.1 C. D. 1
【解析】选B.若a 2=0,则a=2,此时A={0, 2},B={1,0,2},不满足题意;若2a 2=0,则a=1,此时A={0, 1},B={1, 1,0},满足题意.
(2)已知集合A={x||x 1|≤2},B={ t,t},且B A,则实数t的取值范围是(　　)
A.[ 1,1] B.[ 3,3]
C.[ 1,0)∪(0,1] D.[ 3,0)∪(0,3]
【解析】选C.根据题意得到A={x| 1≤x≤3},
由B A,得,解得 1≤t≤1且t≠0.故实数t的取值范围是[ 1,0)∪(0,1].
【方法总结】
根据两集合的关系求参数的方法
(1)若集合元素是一一列举的,依据集合间的关系,转化为解方程(组)求解,此时注意集合中元素的互异性.
(2)若集合表示的是不等式的解集,常依据数轴转化为不等式(组)求解,此时需注意端点值能否取到.
[提醒]若有条件B A,则应注意判断是否需要分B= 和B≠ 两种情况进行讨论.
【对点训练】
(2025·南昌模拟)已知集合M={x|ln x<0},N={x|ex a>0},若M N,则实数a的取值范围为(　　)
A.( ∞,1] B.( ∞,1)
C.( ∞,e] D.( ∞,e)
【解析】选A.由ln x<0得0考点三　集合的基本运算
角度1　集合的运算
【例3】(1)(2024·全国甲卷)集合A={1,2,3,4,5,9},B={x|∈A},则 A(A∩B)=(　　)
A.{1,4,9} B.{3,4,9}
C.{1,2,3} D.{2,3,5}
【解析】选D.因为A={1,2,3,4,5,9},B={x|∈A}={1,4,9,16,25,81},
所以 A(A∩B)={2,3,5}.
(2)(2025·全国一卷)设全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={1,3,5},则 UA中元素个数为(　　)
A.0 B.3 C. 5 D.8
【解析】选C.U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,3,5},所以 UA={2,4,6,7,8},共5个元素.
【对点训练】
(2025·全国二卷)已知集合A={ 4,0,1,2,8},B={x|x3=x},则A∩B=(　　)
A.{0,1,2} B.{1,2,8}
C.{2,8} D.{0,1}
【解析】选D.因为B={x|x3=x},则x3 x=0,因式分解得:x(x+1)(x 1)=0,
即B={ 1,0,1},所以A∩B={0,1}.
角度2　由集合的基本运算求参数的值(范围)
【例4】(1)(多选题)(2025·南昌模拟)设集合A={x|3x2 2x 1=0},B={x|ax 1=0},
若A∪B=A,则a的值可以为(　　)
A.1 B.0 C. D. 3
【解析】选ABD.A={x|3x2 2x 1=0}={ ,1},因为A∪B=A,所以B A,当a=0时,B= A,当a≠0时,B={x|ax 1=0}={},则= 或=1,所以a= 3或1,
综上所述,a= 3或0或1.
(2)(2026·合肥模拟)已知集合A={x|x2≤4},B={x|a 1≤x≤a+1},若A∩B= ,则实数a的取值范围是________.
【解析】由x2≤4,解得 2≤x≤2,所以A={x| 2≤x≤2}.因为A∩B= ,所以a+1< 2或a 1>2,解得a< 3或a>3,所以a的取值范围是( ∞, 3)∪(3,+∞).
答案:( ∞, 3)∪(3,+∞)
【方法总结】
求集合中含参数问题的两种方法和一个注意点
(1)两种方法
①借助结论:A∩B=A A B,A∪B=B A B;
②利用集合的运算性质:化简集合之间的关系,有利于准确了解集合之间的联系.
(2)一个注意点
集合B A时,如果集合A是一个确定的集合,而集合B不确定,运算时,要考虑B= 的情形,切不可漏掉.
【对点训练】
1.已知集合A={x| 1≤x≤2 026},B={x|a≤x≤a+1}(a>0),若A∩B≠ ,则a的取值范围是(　　)
A.(0,2 026) B.(0,2 026]
C.(0,2 025) D.(0,2 025]
【解析】选B.由题意知A∩B≠ ,再由a>0,得集合B中最小元素a应在集合A中,所以02.已知集合A={x|x>a},B={x|1A.{a|a≤1} B.{a|a<1}
C.{a|a≥2} D.{a|a>2}
【解析】选A.因为B={x|12},又A∪ R B=R,所以a≤1.

展开更多......

收起↑