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(共28张PPT)
第3节　等式与不等式的性质
课标要求 考题分析 1.梳理等式的性质,理解不等式的概念,掌握不等式的性质. 2.理解等式和不等式的共性与差异. 年份 Ⅰ卷(一卷) Ⅱ卷(二卷)
2023年 T10
2024年 T8
2025年
主干梳理 基础落实
【知识梳理】
1.比较两个实数大小的方法
关系 方法 作差法 作商法
a>b a b>0
a=b a b=0
a2.等式的性质
性质1　对称性:如果a=b,那么b=a;
性质2　传递性:如果a=b,b=c,那么a=c;
性质3　可加(减)性:如果a=b,那么_________;
性质4　可乘性:如果a=b,那么______;
性质5　可除性:如果a=b,c≠0,那么.
a±c=b±c
ac=bc
=
3.不等式的性质
性质 性质内容 注意
对称性 a>b _____; a传递性 a>b,b>c _____; a可加性 a>b a+c>b+c 可逆
可乘性 a>b,c>0 ______; a>b,c<0 ______ c的
符号
bb>a
a>c
aac>bc
ac性质 性质内容 注意
同向可加性 a>b,c>d _________ 同向
同向同正可乘性 a>b>0,c>d>0 _______ 同向同正
同正可乘方性 a>b>0,n∈N,n≥2 an>bn 同正
同正可开方性 同正
a+c>b+d
ac>bd
【常用结论】
1.倒数性质
(1)a>b,ab>0 <.
(2)a<0(3)a>b>0,0.
(4)02.有关分数的性质
若a>b>0,m>0,则:
(1)<,>(b m>0);
(2)>,<(b m>0).
【知能自测】
类型 回源教材 澄清盲点 结论应用
题号 3 1,2 4
1.(易错辨析)正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)两个实数a,b之间,有且只有a>b,a=b,a(2)同向不等式具有可加性和可乘性.(　　)
(3)如果a>b,那么<.(　　)
(4)如果c>a>b>0,那么>.(　　)
√
×
×
√
2.若a>b>c>d,则下列不等式恒成立的是(　　)
A.a+d>b+c B.a+c>b+d
C.ac>bd D.ad>bc
【解析】选B.对于A,令a=2,b=1,c= 1,d= 2,
满足a>b>c>d,但a+d=b+c,故A错误;
对于B,因为a>b>c>d,即a>b,c>d,
所以由不等式的同向可加性可得,a+c>b+d,故B正确;
对于C,令a=2,b=1,c= 1,d= 2,满足a>b>c>d,但ac=bd,故C错误;
对于D,令a=2,b=1,c= 1,d= 2,满足a>b>c>d,但ad√
3.(必修第一册P43·习题2.1T3变式)已知a1,a2∈(2,+∞),记M=a1a2,N=a1+a2,
则M与N的大小关系是(　　)
A.MN
C.M=N D.不确定
【解析】选B.由作差法得M N=a1a2 (a1+a2)=(a1 1)(a2 1) 1,因为a1,a2∈(2,+∞),所以a1 1>1,a2 1>1,所以(a1 1)(a2 1)>1,所以(a1 1)(a2 1) 1>0,所以M>N.
√
4.(多选题)已如实数a,b,c满足<<0A.< B.< C.a2c【解析】选AD.因为<<00>b>a,所以<,>,故A正确,B错误;
而a2>b2,则a2c>b2c,故C错误;
a+ (b+)=a b+=a b+=,因为a b<0,ab>0,
所以a+ (b+)=<0,即a+√
√
考点探究 核心突破
考点一　比较两个数(式)的大小
【例1】(1)设a,b,c的平均数为M,a与b的平均数为N,N与c的平均数为P.若a>b>c,则(　　)
A.N

C.N√
【解析】选B.根据题意得,M=,N=,P===.
对于A选项,N P==,因为a>b>c,所以a c>0,b c>0,
所以a+b 2c>0,
所以N P=>0,所以N>P;
对于B选项,M P==,因为a>b>c,所以a c>0,b c>0,
所以a+b 2c>0,
所以M P=>0,所以M>P;
对于C选项,M N==,因为a>b>c,
所以c a<0,c b<0,所以2c a b<0,
所以M N=<0,所以M对于D选项,因为M>P,N>P,所以M+N>2P.
(2)若a>0,b>0,则p=(ab与q=ab·ba的大小关系是(　　)
A.p≥q B.p≤q C.p>q D.p【解析】选A.由题意知p>0,q>0,则===.
若a>b>0,则>1,a b>0,则>1;若01;
若a=b,则=1.综上,p≥q.
√
【方法总结】
比较大小的常用方法
1.作差法
(1)作差;(2)变形(常采用配方、因式分解、有理化法);(3)定号;(4)结论.
2.作商法
(1)作商;(2)变形;(3)判断商与1的大小;(4)结论.
【对点训练】
(2025·南昌模拟)若c>b>a>0,则(　　)
A.abbc>acbb B.2ln bC.a >b D.loga c>logb c
【解析】选A.对于A,由于=ab cbc b=>1,所以abbc>acbb成立,故A正确;
对于B,2ln b=ln b2,ln a+ln c=ln ac,因为b2与ac大小不能确定,故B错误;
对于C,因为c>b>a>0,所以a (b )=(a b)(1+)<0,所以a 对于D,令c=1,则logac=logbc=0,故D错误.
√
考点二　不等式性质的应用
角度1　由不等式的性质判断不等关系
【例2】(2025·广州模拟)下列命题为真命题的是(　　)
A.若a>b,则>
B.若a>b,c>d,则a d>b c
C.若aD.若a>b,则>
√
【解析】选B.对于A,可以取a=2,b=1,c= 1,此时<,所以A错误;
对于B,因为c>d,所以 d> c,因为a>b,所以a d>b c,故B正确;
对于C,取a= 2,b= 1,则a2=4,ab=2,b2=1,则a2>ab>b2,故C错误;
对于D,当a=1,b= 1时,=,=1,则<,故D错误.
【对点训练】
(多选题)(2026·永州模拟)已知a,b,c∈R,下列命题为真命题的是(　　)
A.若bB.若b>a>0>c,则<
C.若c>b>a>0,则>
D.若a>b>c>0,则>
√
√
【解析】选BD.对于A,ac2 bc2=c2(a b),因为b0,又c2≥0,
所以c2(a b)≥0,则bc2≤ac2,故A错误;对于B,=,因为b>a>0>c,
所以c(b a)<0,ab>0,所以=<0,即<,故B正确;对于C,
=,因为c>b>a>0,所以c a>0,c b>0,a b<0,所以<0,即
<,故C错误;对于D,==,因为a>b>c>0,
所以a b>0,b+c>0,所以>0,即>,故D正确.
角度2　利用不等式的性质求代数式的取值范围
【例3】已知1≤a≤4, 1≤b≤2,则3a b的取值范围是(　　)
A.[ 13,1] B.[ 1,8]
C.[ 1,13] D.[1,13]
【解析】选D.因为1≤a≤4, 1≤b≤2,所以 2≤ b≤1,3≤3a≤12,所以1≤3a b≤13.
√
【方法总结】
已知M1求g(a,b)的取值范围的步骤
(1)设g(a,b)=pf1(a,b)+qf2(a,b);
(2)根据恒等变形求得待定系数p,q;
(3)根据不等式的同向可加性求得g(a,b)的取值范围.
【对点训练】
(多选题)已知1≤a≤2,3≤b≤5,则(　　)
A.a+b的取值范围为[4,7]
B.b a的取值范围为[2,3]
C.ab的取值范围为[3,10]
D.的取值范围为[,]
√
√
【解析】选AC.因为1≤a≤2,3≤b≤5,
所以4≤a+b≤7, 2≤ a≤ 1,1≤b a≤4,
所以a+b的取值范围为[4,7],b a的取值范围为[1,4],故A正确,B错误;
因为1≤a≤2,3≤b≤5,
所以3≤ab≤10,≤≤,≤≤,
所以ab的取值范围为[3,10],的取值范围为[,],故C正确,D错误.第3节　等式与不等式的性质
课标要求 考题分析
1.梳理等式的性质,理解不等式的概念,掌握不等式的性质. 2.理解等式和不等式的共性与差异. 年份 Ⅰ卷(一卷) Ⅱ卷(二卷)
2023年 T10
2024年 T8
2025年
【主干梳理·基础落实】
【知识梳理】
1.比较两个实数大小的方法
关系 方法
作差法 作商法
a>b a b>0 >1(a,b>0)或<1(a,b<0)
a=b a b=0 =1(b≠0)
a0)或>1(a,b<0)
2.等式的性质
性质1　对称性:如果a=b,那么b=a;
性质2　传递性:如果a=b,b=c,那么a=c;
性质3　可加(减)性:如果a=b,那么a±c=b±c;
性质4　可乘性:如果a=b,那么ac=bc;
性质5　可除性:如果a=b,c≠0,那么=.
3.不等式的性质
性质 性质内容 注意
对称性 a>b ba 可逆
传递性 a>b,b>c a>c; a可加性 a>b a+c>b+c 可逆
可乘性 a>b,c>0 ac>bc; a>b,c<0 ac同向可加性 a>b,c>d a+c>b+d 同向
同向同正可乘性 a>b>0,c>d>0 ac>bd 同向同正
同正可乘方性 a>b>0,n∈N,n≥2 an>bn 同正
同正可开方性 a>b>0,n∈N,n≥2 > 同正
【常用结论】
1.倒数性质
(1)a>b,ab>0 <.
(2)a<0(3)a>b>0,0.
(4)02.有关分数的性质
若a>b>0,m>0,则:
(1)<,>(b m>0);
(2)>,<(b m>0).
【知能自测】
类型 回源教材 澄清盲点 结论应用
题号 3 1,2 4
1.(易错辨析)正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)两个实数a,b之间,有且只有a>b,a=b,a(2)同向不等式具有可加性和可乘性.(　　)
(3)如果a>b,那么<.(　　)
(4)如果c>a>b>0,那么>.(　　)
答案:(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
2.若a>b>c>d,则下列不等式恒成立的是(　　)
A.a+d>b+c B.a+c>b+d
C.ac>bd D.ad>bc
【解析】选B.对于A,令a=2,b=1,c= 1,d= 2,满足a>b>c>d,但a+d=b+c,故A错误;
对于B,因为a>b>c>d,即a>b,c>d,
所以由不等式的同向可加性可得,a+c>b+d,故B正确;
对于C,令a=2,b=1,c= 1,d= 2,满足a>b>c>d,但ac=bd,故C错误;
对于D,令a=2,b=1,c= 1,d= 2,满足a>b>c>d,但ad3.(必修第一册P43·习题2.1T3变式)已知a1,a2∈(2,+∞),记M=a1a2,N=a1+a2,则M与N的大小关系是(　　)
A.MN
C.M=N D.不确定
【解析】选B.由作差法得M N=a1a2 (a1+a2)=(a1 1)(a2 1) 1,因为a1,a2∈(2,+∞),所以a1 1>1,a2 1>1,所以(a1 1)(a2 1)>1,所以(a1 1)(a2 1) 1>0,所以M>N.
4.(多选题)已如实数a,b,c满足<<0A.< B.<
C.a2c【解析】选AD.因为<<00>b>a,所以<,>,故A正确,B错误;
而a2>b2,则a2c>b2c,故C错误;
a+ (b+)=a b+=a b+=,因为a b<0,ab>0,
所以a+ (b+)=<0,即a+【考点探究·核心突破】
考点一　比较两个数(式)的大小
【例1】(1)设a,b,c的平均数为M,a与b的平均数为N,N与c的平均数为P.若a>b>c,则(　　)
A.N

C.N【解析】选B.根据题意得,M=,N=,P===.
对于A选项,N P==,因为a>b>c,所以a c>0,b c>0,
所以a+b 2c>0,
所以N P=>0,所以N>P;
对于B选项,M P==,因为a>b>c,所以a c>0,b c>0,
所以a+b 2c>0,
所以M P=>0,所以M>P;
对于C选项,M N==,因为a>b>c,
所以c a<0,c b<0,所以2c a b<0,
所以M N=<0,所以M对于D选项,因为M>P,N>P,所以M+N>2P.
(2)若a>0,b>0,则p=(ab与q=ab·ba的大小关系是(　　)
A.p≥q B.p≤q C.p>q D.p【解析】选A.由题意知p>0,q>0,则===.若a>b>0,则>1,a b>0,则>1;若01;若a=b,则=1.综上,p≥q.
【方法总结】
比较大小的常用方法
1.作差法
(1)作差;(2)变形(常采用配方、因式分解、有理化法);(3)定号;(4)结论.
2.作商法
(1)作商;(2)变形;(3)判断商与1的大小;(4)结论.
【对点训练】
(2025·南昌模拟)若c>b>a>0,则(　　)
A.abbc>acbb B.2ln bC.a >b D.loga c>logb c
【解析】选A.对于A,由于=ab cbc b=>1,所以abbc>acbb成立,故A正确;
对于B,2ln b=ln b2,ln a+ln c=ln ac,因为b2与ac大小不能确定,故B错误;
对于C,因为c>b>a>0,所以a (b )=(a b)(1+)<0,所以a 对于D,令c=1,则logac=logbc=0,故D错误.
考点二　不等式性质的应用
角度1　由不等式的性质判断不等关系
【例2】(2025·广州模拟)下列命题为真命题的是(　　)
A.若a>b,则>
B.若a>b,c>d,则a d>b c
C.若aD.若a>b,则>
【解析】选B.对于A,可以取a=2,b=1,c= 1,此时<,所以A错误;
对于B,因为c>d,所以 d> c,因为a>b,所以a d>b c,故B正确;
对于C,取a= 2,b= 1,则a2=4,ab=2,b2=1,则a2>ab>b2,故C错误;
对于D,当a=1,b= 1时,=,=1,则<,故D错误.
【对点训练】
(多选题)(2026·永州模拟)已知a,b,c∈R,下列命题为真命题的是(　　)
A.若bB.若b>a>0>c,则<
C.若c>b>a>0,则>
D.若a>b>c>0,则>
【解析】选BD.对于A,ac2 bc2=c2(a b),因为b0,又c2≥0,所以c2(a b)≥0,则bc2≤ac2,故A错误;对于B,=,因为b>a>0>c,所以c(b a)<0,ab>0,所以=<0,即<,故B正确;对于C,=,因为c>b>a>0,所以c a>0,c b>0,a b<0,所以<0,即<,故C错误;对于D,==,因为a>b>c>0,所以a b>0,b+c>0,所以>0,即>,故D正确.
角度2　利用不等式的性质求代数式的取值范围
【例3】已知1≤a≤4, 1≤b≤2,则3a b的取值范围是(　　)
A.[ 13,1] B.[ 1,8]
C.[ 1,13] D.[1,13]
【解析】选D.因为1≤a≤4, 1≤b≤2,所以 2≤ b≤1,3≤3a≤12,所以1≤3a b≤13.
【方法总结】
已知M1求g(a,b)的取值范围的步骤
(1)设g(a,b)=pf1(a,b)+qf2(a,b);
(2)根据恒等变形求得待定系数p,q;
(3)根据不等式的同向可加性求得g(a,b)的取值范围.
【对点训练】
(多选题)已知1≤a≤2,3≤b≤5,则(　　)
A.a+b的取值范围为[4,7]
B.b a的取值范围为[2,3]
C.ab的取值范围为[3,10]
D.的取值范围为[,]
【解析】选AC.因为1≤a≤2,3≤b≤5,
所以4≤a+b≤7, 2≤ a≤ 1,1≤b a≤4,
所以a+b的取值范围为[4,7],b a的取值范围为[1,4],故A正确,B错误;
因为1≤a≤2,3≤b≤5,
所以3≤ab≤10,≤≤,≤≤,
所以ab的取值范围为[3,10],的取值范围为[,],故C正确,D错误.

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