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(共48张PPT)
第5节　二次函数与一元二次方程、不等式
课标要求 考题分析 1.结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程的实根的存在性及实根个数. 2.了解一元二次不等式的现实意义.能借助一元二次函数求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集. 3借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. 年份 Ⅰ卷(一卷) Ⅱ卷(二卷)
2023年 T1
2024年
2025年 T4
主干梳理 基础落实
【知识梳理】
1.三个“二次”间的关系
项目 Δ>0 Δ=0 Δ<0
y=ax2+bx+c (a>0)的图象
项目 Δ>0 Δ=0 Δ<0
ax2+bx+c=0 (a>0)的根 有两个不相等的实数根x1,x2(x1ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 {x|xx2} R
ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 {x|x12.分式不等式的解法
(1)>0(<0) _____________;
(2)≥0(≤0) __________________________.
3.简单的绝对值不等式
|x|>a(a>0)的解集为_______________,
|x|0)的解集为______.
f(x)g(x)>0(<0)
( ∞, a)∪(a,+∞)
( a,a)
【常用结论】
1.已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为R,则一定满足
2.已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为 ,则一定满足
3.已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为R,则一定满足
4.已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为 ,则一定满足
【知能自测】
类型 回源教材 澄清盲点 结论应用
题号 3,4 1 2
1.(易错辨析)正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)若不等式ax2+bx+c>0的解集是( ∞,x1)∪(x2,+∞),则方程ax2+bx+c=0的
两个根分别是x1,x2.(　　)
(2)若不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2),则必有a>0.(　　)
(3)不等式x2≤a的解集为[ ,].(　　)
(4)若方程ax2+bx+c=0(a<0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0(a<0)的
解集为R.(　　)
√
√
×
×
2.不等式ax2 ax+a+1>0对 x∈R恒成立,则实数a的取值范围为(　　)
A.(0,+∞) B.[0,+∞)
C.( ∞, )∪(0,+∞) D.( ∞, )∪[0,+∞)
【解析】选B.①当a=0时,1>0成立;②当a≠0时,
只需,
解得a>0,综上可得a≥0,即实数a的取值范围为[0,+∞).
√
3.(必修第一册P55T5变式)已知集合A={x|x2 16<0},B={x|x2 4x+3>0},
则A∩B=________________.
【解析】由x2 16<0,得 4由x2 4x+3>0,得x<1或x>3,即集合B=( ∞,1)∪(3,+∞),
所以A∩B=( 4,1)∪(3,4).
( 4,1)∪(3,4)
4.(人教B版必修第一册习题2 2B·T7变式)不等式ax2+bx+2>0的
解集是( ,),则a+b的值是________.
【解析】由题意知 ,是ax2+bx+2=0的两根,则
解得
所以a+b= 14.
14
考点探究 核心突破
考点一　一元二次不等式的解法
角度1　不含参数的一元二次不等式
【例1】(多选题)下列选项中,正确的是(　　)
A.不等式x2+x 2>0的解集为{x|x< 2或x>1}
B.不等式≤1的解集为{x| 3≤x<2}
C.不等式|x 2|≥1的解集为{x|1≤x≤3}
D.设x∈R,则“|x 1|<1”是“<0”的充分不必要条件
√
√
√
【解析】选ABD.A选项,x2+x 2>0 (x 1)(x+2)>0 x< 2或x>1,A正确;
B选项,≤1 1≤0 ≤0 3≤x<2,B正确;
C选项,|x 2|≥1 x 2≥1或x 2≤ 1,即x≥3或x≤1,C错误;
D选项,|x 1|<1 0【方法总结】
解一元二次不等式的四个步骤
【对点训练】
(2025·全国二卷)不等式≥2的解集是(　　)　　　　　　
A.{x| 2≤x≤1} B.{x|x≤ 2}
C.{x| 2≤x<1} D.{x|x>1}
【解析】选C. 2≥0,≥0,
因为x≠1,所以 2≤x<1.
√
角度2　含参数的一元二次不等式
【例2】(1)(2025·福州模拟)设a为实数,则关于x的不等式(ax 1)(x+2)>0的解集不可能是(　　)
A.( ∞, 2) B.( ∞,)∪( 2,+∞)
C.(, 2) D.( 2,)
√
【解析】选B.对于(ax 1)(x+2)>0,当a=0时,变为 (x+2)>0,
此时解得x∈( ∞, 2);当a∈(0,+∞)时,
解得x∈( ∞, 2)∪(,+∞);
当a∈( ,0)时,解得x∈(, 2);
当a= 时,此时解集为空集;
当a∈( ∞, )时,解得x∈( 2,);
综上所述,x∈( ∞,)∪( 2,+∞)并未在任何情况出现,
故x∈( ∞,)∪( 2,+∞)不可能是原不等式的解集,故B符合题意.
(2)已知关于x的不等式kx2 (3k2+1)x+3k<0(其中k∈R).
①若不等式的解集为{x|1②若k≤0,试求该不等式的解集.
【解析】①由条件知k>0且1,3是方程kx2 (3k2+1)x+3k=0的两个根,所以由根与系数的关系可得1+3=,1×3=,解得k=1或,当k=1或时,方程均化为x2 4x+3=0,此时Δ=( 4)2 4×3=4>0,符合条件,所以k=1或.
②将原不等式整理得(kx 1)(x 3k)<0,当k=0时,不等式为 x<0,解集为{x|x>0};
当k<0时,方程(kx 1)(x 3k)=0的根为,3k.作差比较3k ==,
若 ,
不等式的解集为{x|x<或x>3k};
若k= ,则y=(kx 1)(x 3k)开口向下,与x轴有唯一交点且3k=,
不等式的解集为{x|x≠ };
若k< ,则y=(kx 1)(x 3k)开口向下且3k<,
不等式的解集为{x|x<3k或x>}.
综上所述,k=0时,解集为{x|x>0};
3k};
k= 时,解集为{x|x≠ };
k< 时,解集为{x|x<3k或x>}.
【方法总结】
解含参数的一元二次不等式时分类讨论的方法
(1)当二次项系数中含有参数时,应讨论二次项系数是等于0、小于0,还是大于0,然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式.
(2)当不等式对应的一元二次方程的根的个数不确定时,讨论判别式Δ与0的关系.
(3)确定方程无根时,可直接写出解集;确定方程有两个不相等的实根时,要讨论两根的大小关系,从而确定解集形式.
【对点训练】
若关于x的不等式x2 (1+2a)x+2a<0的解集中恰有2个整数,则实数a的取值范围是(　　)
A.{a| 2≤a< 1或3B.{a| 2≤a≤ 1或3≤a≤4}
C. {a| 1≤a< 或D. {a| 1≤a≤ 或≤a≤2}
√
【解析】选C.由x2 (1+2a)x+2a<0可得(x 1)(x 2a)<0,当a=时,(x 1)(x 2a)=(x 1)2≥0,即原不等式无解,不满足题意;
当a>时,原不等式解得1当a<时,原不等式解得2a综上可得实数a的取值范围为{a| 1≤a< 或考点二　三个“二次”之间的关系
【例3】(2025·石家庄模拟)已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为( 1,5),其中a,b,c为常数,则不等式cx2+bx+a≤0的解集是(　　)
A.[ 1,] B.[ ,1]
C.( ∞, ]∪[1,+∞) D.( ∞, 1]∪[,+∞)
√
【解析】选A.因为关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为( 1,5),
所以a<0,且 1和5是一元二次方程ax2+bx+c=0的两根,
所以,解得,
所以不等式cx2+bx+a≤0可化为 5ax2 4ax+a≤0,即5x2+4x 1≤0,
解得 1≤x≤,则不等式cx2+bx+a≤0的解集是[ 1,].
【方法总结】
一元二次不等式与方程的关系的解题策略
(1)一元二次方程的根就是相应二次函数的零点,也是相应一元二次不等式解集的端点值.
(2)给出一元二次不等式的解集,相当于知道了相应二次函数图象的开口方向及与x轴的交点,可以代入根或利用根与系数的关系求解.
【对点训练】
(2026·沈阳模拟)关于x的不等式(ax b)(x 2)>0的解集为,则满
足条件的一组有序实数对(a,b)的值可以是________________________.
【解析】因为不等式(ax b)(x 2)>0的解集为,
所以方程(ax b)(x 2)=0的实数根为和2,且即a=2b<0,
则满足条件的一组有序实数对(a,b)的值可以是( 2, 1).
( 2, 1)(答案不唯一)
微进阶一元二次方程根的分布
解决由一个一元二次方程根的分布情况,确定方程中系数的取值范围问题,主要从以下三个方面建立关于系数的不等式(组)进行求解.
(1)判别式Δ的符号.
(2)对称轴x= 与所给区间的位置关系.
(3)区间端点处函数值的符号.
[典例](1)若关于x的一元二次方程x2 2ax+4=0有两个实根,且一个实根小于1,另一个实根大于2,则实数a的取值范围是(　　)
A.( ∞, 2) B.(2,+∞)
C.(,+∞) D.( ∞, 2)∪(2,+∞)
√
【解析】选C.设f(x)=x2 2ax+4,根据已知结合二次函数性质,作图如图,
则有,
解得a>.
(2)(2025·厦门模拟)若关于x的一元二次方程x2+(m 2)x 2m=0有两个不
相等的正实数根,则m的取值范围是(　　)
A.( ∞, 2)∪( 2,0) B.( ∞,2)
C.(0,2)∪(2,+∞) D.( 2,+∞)
【解析】选A.因为方程x2+(m 2)x 2m=0有两个不相等的正实数根,
所以,解得m<0且m≠ 2.
√
考点三　不等式恒(能)成立问题
角度1　在R上的恒成立问题
【例4】若不等式ax2+2ax 4<2x2+4x对任意实数x均成立,则实数a的取值范围是(　　)
A.( 2,2) 　　 B.( 2,2]
C.( ∞ 2)∪[2,+∞) D.( ∞, 2]
√
【解析】选B.将不等式ax2+2ax 4<2x2+4x整理可得(a 2)x2+(2a 4)x 4<0,即不等式(a 2)x2+(2a 4)x 4<0对任意实数x均成立,当a 2=0,即a=2时,不等式变为 4<0,满足题意;
当a 2≠0时,需满足,
解得 2【方法总结】
不等式ax2+bx+c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定.
(1)不等式ax2+bx+c>0对任意实数x恒成立 或
(2)不等式ax2+bx+c<0对任意实数x恒成立 或
【对点训练】
(2025·镇江模拟)若命题“ x∈R,x2+4x+t<0”是假命题,则实数t的最小值
为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选D.因为命题“ x∈R,x2+4x+t<0”是假命题,所以其否定“ x∈R,x2+4x+t≥0”是真命题,则Δ=16 4t≤0,解得t≥4,所以实数t的最小值为4.
√
角度2　在给定区间上的恒成立问题
【例5】易错对对碰
(1)(一题多法)若对于x∈[1,3],mx2 mx+m 6<0(m≠0)恒成立,则m的取值
范围是________________________.
{m|0【解析】由已知得,m(x )2+m 6<0(m≠0)在x∈[1,3]上恒成立.
法一:令g(x)=m(x )2+m 6(m≠0),x∈[1,3].当m>0时,g(x)在[1,3]上单调递增,所以g(x)max=g(3)=7m 6<0,所以m<,则0综上所述,m的取值范围是{m|0法二:因为x2 x+1=(x )2+>0,又因为m(x2 x+1) 6<0,所以m<.
因为函数y==在[1,3]上的最小值为,
所以只需m<即可.
因为m≠0,所以m的取值范围是{m|0(2)若mx2 mx 1<0对于m∈[1,2]恒成立,则实数x的取值范围为____________.
【解析】设g(m)=mx2 mx 1=(x2 x)m 1,其图象是直线,当m∈[1,2]时,
图象为一条线段,则即
解得(,)
【方法总结】
在给定区间上的恒成立问题的求解方法
(1)若f(x)>0在集合A中恒成立,即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集,可以先求解集,再由子集的含义求解参数的值(或范围).
(2)转化为函数值域问题,即已知函数f(x)的值域为[m,n],则f(x)≥a恒成立 f(x)min≥a,即m≥a;f(x)≤a恒成立 f(x)max≤a,即n≤a.
(3)对于以下两种题型,可以利用二次函数在端点m,n处的取值特点确定不等式求范围.
①ax2+bx+c<0(a>0)对x∈[m,n]恒成立;
②ax2+bx+c>0(a<0)对x∈[m,n]恒成立.
[提醒]一般地,知道谁的范围,就选谁当主元;求谁的范围,谁就是参数.如本例(1)中建立关于x的函数,m为参数,本例(2)中建立关于m的函数,x为参数.
【对点训练】
已知对任意m∈[1,3],mx2 mx 1< m+5恒成立,则实数x的取值范围是(　　)
A.(,+∞)　
B.( ∞,)∪(,+∞)
C.( ∞,)
D.(,)
√
【解析】选D.对任意m∈[1,3],不等式mx2 mx 1< m+5恒成立,即对任意m∈[1,3],m(x2 x+1)<6恒成立,所以对任意m∈[1,3],x2 x+1<恒成立,
所以对任意m∈[1,3],x2 x+1<=2恒成立,
所以x2 x+1<2,解得故实数x的取值范围是(,).
角度3　不等式能成立(有解)问题
【例6】命题“ x∈[0,4]使得不等式x2 2x 3+a≥0成立”是真命题,则实数a的取值范围是(　　)
A.{a|a≤ 4} B.{a|a≥4}
C.{a|a≥ 5} D.{a|a≥3}
【解析】选C.由“ x∈[0,4]使得不等式x2 2x 3+a≥0成立”是真命题,即不等式a≥ x2+2x+3在x∈[0,4]上有解,因为y= x2+2x+3= (x 1)2+4,当x=4时,ymin= 5,所以a≥ 5,即实数a的取值范围为{a|a≥ 5}.
√
【方法总结】
一元二次不等式在给定区间上的有解问题解题策略
(1)分离参数法:把不等式化为a>f(x)或af(x)min或a(2)最值转化法:若f(x)>0在集合A中有解,则函数y=f(x)在集合A中的最大值大于0;若f(x)<0在集合A中有解,则函数y=f(x)在集合A中的最小值小于0.
(3)数形结合法:根据图象列出约束条件求解.
(4)最后一定要注意检验区间的开闭.
【对点训练】
若关于x的不等式x2 (m+1)x+9≤0在[1,4]上有解,则实数m的最小值为(　　)
A.9 B.5 C.6 D.
【解析】选B.因为x2 (m+1)x+9≤0在[1,4]上有解,
所以m+1≥x+在[1,4]上有解,所以m+1≥(x∈[1,4]),
又因为x+≥2=6,当且仅当x=,即x=3时取等号,即m+1≥6,
所以m≥5,则实数m的最小值为5.
√第5节　二次函数与一元二次方程、不等式
课标要求 考题分析
1.结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程的实根的存在性及实根个数. 2.了解一元二次不等式的现实意义.能借助一元二次函数求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集. 3借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. 年份 Ⅰ卷(一卷) Ⅱ卷(二卷)
2023年 T1
2024年
2025年 T4
【主干梳理·基础落实】
【知识梳理】
1.三个“二次”间的关系
项目 Δ>0 Δ=0 Δ<0
y=ax2+bx+c (a>0)的图象
ax2+bx+c=0 (a>0)的根 有两个不相等的实数根x1,x2(x1ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 {x|xx2} {x|x≠ } R
ax2+bx+ c<0(a>0)的解集 {x|x12.分式不等式的解法
(1)>0(<0) f(x)g(x)>0(<0);
(2)≥0(≤0) .
3.简单的绝对值不等式
|x|>a(a>0)的解集为( ∞, a)∪(a,+∞),
|x|0)的解集为( a,a).
【常用结论】
1.已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为R,则一定满足
2.已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为 ,则一定满足
3.已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为R,则一定满足
4.已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为 ,则一定满足
【知能自测】
类型 回源教材 澄清盲点 结论应用
题号 3,4 1 2
1.(易错辨析)正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)若不等式ax2+bx+c>0的解集是( ∞,x1)∪(x2,+∞),则方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1,x2.(　　)
(2)若不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2),则必有a>0.(　　)
(3)不等式x2≤a的解集为[ ,].(　　)
(4)若方程ax2+bx+c=0(a<0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0(a<0)的解集为R.(　　)
答案:(1)√　(2)√　(3)×　(4)×
2.不等式ax2 ax+a+1>0对 x∈R恒成立,则实数a的取值范围为(　　)
A.(0,+∞)
B.[0,+∞)
C.( ∞, )∪(0,+∞)
D.( ∞, )∪[0,+∞)
【解析】选B.①当a=0时,1>0成立;②当a≠0时,只需,解得a>0,综上可得a≥0,即实数a的取值范围为[0,+∞).
3.(必修第一册P55T5变式)已知集合A={x|x2 16<0},B={x|x2 4x+3>0},
则A∩B=________________.
【解析】由x2 16<0,得 40,得x<1或x>3,即集合B=( ∞,1)∪(3,+∞),
所以A∩B=( 4,1)∪(3,4).
答案:( 4,1)∪(3,4)
4.(人教B版必修第一册习题2 2B·T7变式)不等式ax2+bx+2>0的解集是( ,),则a+b的值是________.
【解析】由题意知 ,是ax2+bx+2=0的两根,则
解得
所以a+b= 14.
答案: 14
【考点探究·核心突破】
考点一　一元二次不等式的解法
角度1　不含参数的一元二次不等式
【例1】(多选题)下列选项中,正确的是(　　)
A.不等式x2+x 2>0的解集为{x|x< 2或x>1}
B.不等式≤1的解集为{x| 3≤x<2}
C.不等式|x 2|≥1的解集为{x|1≤x≤3}
D.设x∈R,则“|x 1|<1”是“<0”的充分不必要条件
【解析】选ABD.A选项,x2+x 2>0 (x 1)(x+2)>0 x< 2或x>1,A正确;
B选项,≤1 1≤0 ≤0 3≤x<2,B正确;
C选项,|x 2|≥1 x 2≥1或x 2≤ 1,即x≥3或x≤1,C错误;
D选项,|x 1|<1 0【方法总结】
解一元二次不等式的四个步骤
【对点训练】
(2025·全国二卷)不等式≥2的解集是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.{x| 2≤x≤1} B.{x|x≤ 2}
C.{x| 2≤x<1} D.{x|x>1}
【解析】选C. 2≥0,≥0,
因为x≠1,所以 2≤x<1.
角度2　含参数的一元二次不等式
【例2】(1)(2025·福州模拟)设a为实数,则关于x的不等式(ax 1)(x+2)>0的解集不可能是(　　)
A.( ∞, 2) B.( ∞,)∪( 2,+∞)
C.(, 2) D.( 2,)
【解析】选B.对于(ax 1)(x+2)>0,当a=0时,变为 (x+2)>0,此时解得x∈( ∞, 2);当a∈(0,+∞)时,
解得x∈( ∞, 2)∪(,+∞);
当a∈( ,0)时,解得x∈(, 2);
当a= 时,此时解集为空集;
当a∈( ∞, )时,解得x∈( 2,);
综上所述,x∈( ∞,)∪( 2,+∞)并未在任何情况出现,
故x∈( ∞,)∪( 2,+∞)不可能是原不等式的解集,故B符合题意.
(2)已知关于x的不等式kx2 (3k2+1)x+3k<0(其中k∈R).
①若不等式的解集为{x|1②若k≤0,试求该不等式的解集.
【解析】①由条件知k>0且1,3是方程kx2 (3k2+1)x+3k=0的两个根,所以由根与系数的关系可得1+3=,1×3=,解得k=1或,当k=1或时,方程均化为x2 4x+3=0,此时Δ=( 4)2 4×3=4>0,符合条件,所以k=1或.
②将原不等式整理得(kx 1)(x 3k)<0,当k=0时,不等式为 x<0,解集为{x|x>0};
当k<0时,方程(kx 1)(x 3k)=0的根为,3k.作差比较3k ==,
若 ,
不等式的解集为{x|x<或x>3k};
若k= ,则y=(kx 1)(x 3k)开口向下,与x轴有唯一交点且3k=,不等式的解集为{x|x≠ };
若k< ,则y=(kx 1)(x 3k)开口向下且3k<,不等式的解集为{x|x<3k或x>}.
综上所述,k=0时,解集为{x|x>0};
3k};
k= 时,解集为{x|x≠ };
k< 时,解集为{x|x<3k或x>}.
【方法总结】
解含参数的一元二次不等式时分类讨论的方法
(1)当二次项系数中含有参数时,应讨论二次项系数是等于0、小于0,还是大于0,然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式.
(2)当不等式对应的一元二次方程的根的个数不确定时,讨论判别式Δ与0的关系.
(3)确定方程无根时,可直接写出解集;确定方程有两个不相等的实根时,要讨论两根的大小关系,从而确定解集形式.
【对点训练】
若关于x的不等式x2 (1+2a)x+2a<0的解集中恰有2个整数,则实数a的取值范围是(　　)
A.{a| 2≤a< 1或3B.{a| 2≤a≤ 1或3≤a≤4}
C. {a| 1≤a< 或D. {a| 1≤a≤ 或≤a≤2}
【解析】选C.由x2 (1+2a)x+2a<0可得(x 1)(x 2a)<0,当a=时,(x 1)(x 2a)=(x 1)2≥0,即原不等式无解,不满足题意;
当a>时,原不等式解得1当a<时,原不等式解得2a综上可得实数a的取值范围为{a| 1≤a< 或考点二　三个“二次”之间的关系
【例3】(2025·石家庄模拟)已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为( 1,5),其中a,b,c为常数,则不等式cx2+bx+a≤0的解集是(　　)
A.[ 1,] B.[ ,1]
C.( ∞, ]∪[1,+∞) D.( ∞, 1]∪[,+∞)
【解析】选A.因为关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为( 1,5),所以a<0,且 1和5是一元二次方程ax2+bx+c=0的两根,所以,解得,
所以不等式cx2+bx+a≤0可化为 5ax2 4ax+a≤0,即5x2+4x 1≤0,
解得 1≤x≤,则不等式cx2+bx+a≤0的解集是[ 1,].
【方法总结】
一元二次不等式与方程的关系的解题策略
(1)一元二次方程的根就是相应二次函数的零点,也是相应一元二次不等式解集的端点值.
(2)给出一元二次不等式的解集,相当于知道了相应二次函数图象的开口方向及与x轴的交点,可以代入根或利用根与系数的关系求解.
【对点训练】
(2026·沈阳模拟)关于x的不等式(ax b)(x 2)>0的解集为,则满足条件的一组有序实数对(a,b)的值可以是________.
【解析】因为不等式(ax b)(x 2)>0的解集为,所以方程(ax b)(x 2)=0的实数根为和2,且即a=2b<0,则满足条件的一组有序实数对(a,b)的值可以是( 2, 1).
答案:( 2, 1)(答案不唯一)
微进阶一元二次方程根的分布
解决由一个一元二次方程根的分布情况,确定方程中系数的取值范围问题,主要从以下三个方面建立关于系数的不等式(组)进行求解.
(1)判别式Δ的符号.
(2)对称轴x= 与所给区间的位置关系.
(3)区间端点处函数值的符号.
[典例](1)若关于x的一元二次方程x2 2ax+4=0有两个实根,且一个实根小于1,另一个实根大于2,则实数a的取值范围是(　　)
A.( ∞, 2) B.(2,+∞)
C.(,+∞) D.( ∞, 2)∪(2,+∞)
【解析】选C.设f(x)=x2 2ax+4,根据已知结合二次函数性质,作图如图,
则有,
解得a>.
(2)(2025·厦门模拟)若关于x的一元二次方程x2+(m 2)x 2m=0有两个不相等的正实数根,则m的取值范围是(　　)
A.( ∞, 2)∪( 2,0) B.( ∞,2)
C.(0,2)∪(2,+∞) D.( 2,+∞)
【解析】选A.因为方程x2+(m 2)x 2m=0有两个不相等的正实数根,
所以,解得m<0且m≠ 2.
考点三　不等式恒(能)成立问题
角度1　在R上的恒成立问题
【例4】若不等式ax2+2ax 4<2x2+4x对任意实数x均成立,则实数a的取值范围是(　　)
A.( 2,2) 　　 B.( 2,2]
C.( ∞ 2)∪[2,+∞) D.( ∞, 2]
【解析】选B.将不等式ax2+2ax 4<2x2+4x整理可得(a 2)x2+(2a 4)x 4<0,即不等式(a 2)x2+(2a 4)x 4<0对任意实数x均成立,当a 2=0,即a=2时,不等式变为 4<0,满足题意;
当a 2≠0时,需满足,
解得 2【方法总结】
不等式ax2+bx+c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定.
(1)不等式ax2+bx+c>0对任意实数x恒成立 或
(2)不等式ax2+bx+c<0对任意实数x恒成立 或
【对点训练】
(2025·镇江模拟)若命题“ x∈R,x2+4x+t<0”是假命题,则实数t的最小值为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选D.因为命题“ x∈R,x2+4x+t<0”是假命题,所以其否定“ x∈R,x2+4x+t≥0”是真命题,则Δ=16 4t≤0,解得t≥4,所以实数t的最小值为4.
角度2　在给定区间上的恒成立问题
【例5】易错对对碰
(1)(一题多法)若对于x∈[1,3],mx2 mx+m 6<0(m≠0)恒成立,则m的取值范围是____________.
【解析】由已知得,m(x )2+m 6<0(m≠0)在x∈[1,3]上恒成立.
法一:令g(x)=m(x )2+m 6(m≠0),x∈[1,3].当m>0时,g(x)在[1,3]上单调递增,所以g(x)max=g(3)=7m 6<0,所以m<,则0综上所述,m的取值范围是{m|0法二:因为x2 x+1=(x )2+>0,又因为m(x2 x+1) 6<0,所以m<.因为函数y==在[1,3]上的最小值为,
所以只需m<即可.
因为m≠0,所以m的取值范围是{m|0答案: {m|0(2)若mx2 mx 1<0对于m∈[1,2]恒成立,则实数x的取值范围为__________.
【解析】设g(m)=mx2 mx 1=(x2 x)m 1,其图象是直线,当m∈[1,2]时,图象为一条线段,则即解得答案:(,)
【方法总结】
在给定区间上的恒成立问题的求解方法
(1)若f(x)>0在集合A中恒成立,即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集,可以先求解集,再由子集的含义求解参数的值(或范围).
(2)转化为函数值域问题,即已知函数f(x)的值域为[m,n],则f(x)≥a恒成立 f(x)min≥a,即m≥a;f(x)≤a恒成立 f(x)max≤a,即n≤a.
(3)对于以下两种题型,可以利用二次函数在端点m,n处的取值特点确定不等式求范围.
①ax2+bx+c<0(a>0)对x∈[m,n]恒成立;
②ax2+bx+c>0(a<0)对x∈[m,n]恒成立.
[提醒]一般地,知道谁的范围,就选谁当主元;求谁的范围,谁就是参数.如本例(1)中建立关于x的函数,m为参数,本例(2)中建立关于m的函数,x为参数.
【对点训练】
已知对任意m∈[1,3],mx2 mx 1< m+5恒成立,则实数x的取值范围是(　　)
A.(,+∞)　
B.( ∞,)∪(,+∞)
C.( ∞,)
D.(,)
【解析】选D.对任意m∈[1,3],不等式mx2 mx 1< m+5恒成立,即对任意m∈[1,3],m(x2 x+1)<6恒成立,所以对任意m∈[1,3],x2 x+1<恒成立,
所以对任意m∈[1,3],x2 x+1<=2恒成立,
所以x2 x+1<2,解得故实数x的取值范围是(,).
角度3　不等式能成立(有解)问题
【例6】命题“ x∈[0,4]使得不等式x2 2x 3+a≥0成立”是真命题,则实数a的取值范围是(　　)
A.{a|a≤ 4} B.{a|a≥4}
C.{a|a≥ 5} D.{a|a≥3}
【解析】选C.由“ x∈[0,4]使得不等式x2 2x 3+a≥0成立”是真命题,即不等式a≥ x2+2x+3在x∈[0,4]上有解,因为y= x2+2x+3= (x 1)2+4,当x=4时,ymin= 5,所以a≥ 5,即实数a的取值范围为{a|a≥ 5}.
【方法总结】
一元二次不等式在给定区间上的有解问题解题策略
(1)分离参数法:把不等式化为a>f(x)或af(x)min或a(2)最值转化法:若f(x)>0在集合A中有解,则函数y=f(x)在集合A中的最大值大于0;若f(x)<0在集合A中有解,则函数y=f(x)在集合A中的最小值小于0.
(3)数形结合法:根据图象列出约束条件求解.
(4)最后一定要注意检验区间的开闭.
【对点训练】
若关于x的不等式x2 (m+1)x+9≤0在[1,4]上有解,则实数m的最小值为(　　)
A.9 B.5 C.6 D.
【解析】选B.因为x2 (m+1)x+9≤0在[1,4]上有解,所以m+1≥x+在[1,4]上有解,所以m+1≥(x∈[1,4]),
又因为x+≥2=6,当且仅当x=,即x=3时取等号,即m+1≥6,所以m≥5,则实数m的最小值为5.

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