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2025-2026学年江西省部分学校高一（下）训练数学试卷（6月份）
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.sin67°cos31°-cos67°sin31°=（　　）
A. sin36° B. -sin36° C. cos8° D. -cos8°
2.已知平面向量，满足，，则在上的投影数量为（　　）
A. B. C. D.
3.若，则3sin2α-cos2α=（　　）
A. B. C. D.
4.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,且，a=2，则bsinA=（　　）
A. 5 B. C. D.
5.若函数f（x）=tan（ωx+ω）（ω＞0）的最小正周期为6，则f（x）图象的对称中心为（　　）
A. （1+6k,0），k∈Z B. （1+3k,0），k∈Z
C. （-1+6k,0），k∈Z D. （-1+3k,0），k∈Z
6.已知复数z的共轭复数为，且，则|z|=（　　）
A. B. 5 C. D. 6
7.=（　　）
A. -2 B. 2 C. D.
8.某次航展中，地面雷达显示：三架无人机A，B，C（A，B，C均视为质点）在同一水平面上，且AC=50m,，A，B均以10m/s的速度沿正东方向匀速直线飞行，B在A的正北方向70m处，在直线AB的西侧的C保持20m/s的速度紧随其后.忽略其他因素，若要求A，B，C完成一字型编队（A，B，C三点共线），则所需的最短时间为（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.如图，每个小方格的边长均为1，复数z1，z2在复平面内的对应点分别为A，B，则（　　）
A. z1=4+4i
B. z2=2-3i
C. 3z1+4z2为纯虚数
D. 在复平面内的对应点位于第三象限
10.为了得到函数的图象，只需将余弦函数图象上各点（　　）
A. 横坐标伸长到原来的3倍，再向左平移个单位长度
B. 横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度
C. 向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的
D. 向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的
11.若函数f（x）=sinxsin3x-sin2xsin4x,则（　　）
A. f（x）的图象关于直线对称
B. f（x）的值域为[-1，1]
C.
D. f（x）≥0在[0，π]上的解集为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.复数-1+2i3的虚部为 .
13.若tan22α-8tan2αtanα+16tan2α=0，且，k∈Z，则tanα= .
14.如图，圆A的直径OB=4，点A在圆B上，P是圆A上的动点，Q是圆B上的动点，则的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,且，.
（1）求△ABC外接圆的面积；
（2）若ac=10，求△ABC的周长.
16.(本小题15分)
已知三个点A（-2，0），B（4，3），C（1，4）.
（1）求向量与的夹角；
（2）若四边形ABCD是等腰梯形，且，求点D的坐标.
17.(本小题15分)
已知函数.
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）已知，，且，，求sin（α+β）的值.
18.(本小题17分)
已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示.
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在上的值域；
（3）若函数g（x）=[f（x）]2-af（x）+1在上恰有7个零点，求a的取值范围.
19.(本小题17分)
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,且2c2-b2=2abcosC.
（1）证明：a2+2b2=3c2.
（2）求cosC的最小值.
（3）求的最小值.
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】D
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】ACD
10.【答案】BD
11.【答案】AC
12.【答案】-2
13.【答案】
14.【答案】[-1，24]
15.【答案】解：（1）设△ABC外接圆的半径为R．由正弦定理得，
△ABC外接圆的面积为．
（2）由余弦定理b2=a2+c2-2accosB，得a2+c2-ac=19，
得（a+c）2=19+3ac=49，得a+c=7，
故△ABC的周长为7+．．
16.【答案】解：（1）根据题意，点A（-2，0），B（4，3），C（1，4），
则，，
则有，
，
，
故，
而＜，＞∈[0，π]，则＜，＞=，
即向量与的夹角为；
（2）根据题意，设点D的坐标为（x,y），
则，．
若四边形ABCD是等腰梯形，
则，，，
则有，解得，
故点D的坐标为（-1，3）．
17.【答案】解：（1）函数=，
由，k∈Z，得，k∈Z，
所以f（x）的单调递增区间为，k∈Z．
（2）由，，
得，．
由，，得，，
所以，．
故
=
=．
18.【答案】解：（1）由图可知，图象经过点（0，1）和，这两点关于点中心对称，所以．
图中与是相邻两个零点，因此，从而．
在处，图象由正变负，所以，解得．
由，得．
又因为f（0）=1，所以，解得A=2．
故．
（2）令．当时，．
将该区间中的角同时加上2π，不改变余弦值，得到．
在上，余弦函数由减小到-1；在上，余弦函数由-1增大到．
所以，从而．
故f（x）在上的值域为．
（3）令．当时，．
在该区间内，函数h（t）=2cost的图象如下．
将区间依次分成．
在这四个区间上，h（t）依次单调递减、单调递增、单调递减、单调递增，端点函数值依次为1，-2，2，-2，-1．
因此，方程h（t）=m的根数为：
当-2＜m≤-1时，有4个不同的根；
当-1＜m≤1时，有3个不同的根；
当1＜m＜2时，有2个不同的根；
当m=-2时，有2个不同的根；当m=2时，有1个根．
函数g（x）的零点满足[f（x）]2-af（x）+1=0．
令m=f（x），则m满足m2-am+1=0．
要使g（x）在给定区间上恰有7个零点，上述方程必须有两个不同的实根，其中一个根对应4个x,另一个根对应3个x.
因此，可设其中一个根为r,且-2＜r＜-1．
由两根之积为1，另一个根为．
因为-2＜r＜-1，所以，它恰好落在（-1，1]内，对应3个x.
反之，任取r∈（-2，-1），两个根r与分别对应4个和3个x,共得到7个零点．
由两根之和为a,得．
对勾函数在（-2，-1）上单调递增，x=-2时，x=-1时y=-2，
故a的取值范围为．
19.【答案】解：（1）证明：已知2c2-b2=2abcosC．
由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，得2abcosC=a2+b2-c2，
则2c2-b2=a2+b2-c2，
所以a2+2b2=3c2．
（2）由（1）得．
由余弦定理得．
因为，当且仅当时，等号成立，
所以，
故cosC的最小值为．
（3）由（1）知a2+2b2=3c2，由正弦定理得sin2A+2sin2B=3sin2C，
得，得cos2A-cos2C=2（cos2C-cos2B），
得，
得sin（A+C）sin（A-C）=2sin（C+B）sin（C-B），
得sinB（sinAcosC-sinCcosA）=2sinA（sinCcosB-sinBcosC）．
由题可知tanA，tanB有意义，因此A，B都不是直角，
由（2）可知C不是直角，所以△ABC不是直角三角形，
则cosAcosBcosC≠0，
等式两边同时除以cosAcosBcosC，
得tanB（tanA-tanC）=2tanA（tanC-tanB），
等式两边同时除以tanAtanBtanC，得．
因为，
所以，
则．
设，，则x2+6xy+2y2=3．
令t=x+y,则y=t-x,x2+6x（t-x）+2（t-x）2=3，
即3x2-2tx+3-2t2=0．
由Δ=4t2-4×3（3-2t2）≥0，得．
当，
即时，取得最小值，且最小值为．
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