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2025-2026学年浙江省嘉兴一中实验学校九年级（上）月考数学试卷（1月份）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知3a-b=0，则的值是（　　）
A. 3 B. -3 C. D.
2.小刚抛掷一枚均匀的硬币，一连99次都掷出正面朝上，当他第100次掷硬币时，出现正面朝上的概率是（　　）
A. 0 B. 1 C. D.
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，，AB=10，则BC的长是（　　）
A. 6 B. 8 C. D.
4.如图，在4×4的网格中，点A，B，C，D，E，F，G均在格点上，则△ABC的外心是（　　）
A. 点D
B. 点E
C. 点F
D. 点G
5.将抛物线y=（x-1）2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得抛物线为（　　）
A. y=（x-2）2-1 B. y=（x-2）2+3 C. y=x2+1 D. y=x2-1
6.如图，菱形ABCD的对角线交于原点O，C（2，-2），将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第2026次旋转结束时，点C的坐标为（　　）
A.
B.
C.
D.
7.如图，在菱形ABCD中，点E在边AD上，射线CE交BA的延长线于点F，若，则S△FAE：S△FBC（　　）
A.
B.
C.
D.
8.如图，在△ABC的AB、AC边上分别取点E、F使得△ABC与以A、E、F为顶点的三角形相似，则下列三种尺规作图确定E、F的方法，正确的有（　　）
A. 3种 B. 2种 C. 1种 D. 全部错误
9.如图，半圆O的直径为4，等边三角形OAB，点A和点B在圆上，连接AD，BC相交于点P，将等边三角形OAB从OA与OC重合的位置开始，绕点O顺时针旋转α（0°≤α≤120°）.下列结论正确的是（　　）
结论Ⅰ：的长与的长之和为定值；
结论Ⅱ：当α=60°时，点P到CD的距离是；
结论Ⅲ：使得∠CPD=120°的α值有两个.
A. Ⅰ和Ⅱ B. Ⅱ和Ⅲ C. Ⅰ和Ⅲ D. Ⅰ，Ⅱ和Ⅲ
10.已知二次函数y=a（x-m+4）（x+m）+2（a≠0）的图象上有两点A（x1，p），B（x2，q），其中x1＜x2，则（　　）
A. 若a＞0，当x1+x2＞-5，则p＞q B. 若a＞0，当x1+x2＜-3，则p＞q
C. 若a＜0，当x1+x2＞-3，则p＞q D. 若a＜0，当x1+x2＜-5，则p＞q
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.如表记录了某种树苗在一定条件下移植成活的情况：由此估计这种树苗的移植成活的概率为 .
移植的棵数 100 200 500 1000 2000
成活的棵数 91 186 445 890 1800
成活的频率 0.91 0.93 0.89 0.89 0.9
12.如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为点E，BD=6，，则⊙O的半径为 .
13.如图，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的正半轴交于点A（3，0），与y轴的负半轴交于点B，对称轴为直线x=1.则方程ax2+bx+c=0的解是 .
14.如图，EB为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面BE的距离为1.5米，车头FACD近似看成一个矩形，且满足3FD=2FA，若盲区EB的长度是9米，则车宽FA的长度为 米.
15.如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE，连接DC，则阴影部分的面积为 cm2.
16.如图，在△ABC中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，点D、G分别是AB、BC上一点，且BD=BG.过点D作DF⊥DG，交AC于点F，交AE于点H.若∠ABC+∠BAC=180°，AD=2BD=2，，则△BDG的面积为 .
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
（1）计算：sin245°+tan60° cos30°；
（2）已知，求的值.
18.(本小题8分)
2025年暑假档电影票房火爆，电影A《长安的荔枝》和B《浪浪山小妖怪》深受观众喜爱，甲、乙两人从这两部电影中任意选择一部观看
(1) 甲选择《长安的荔枝》的概率是
(2) 为了增加观众们的观影乐趣，影院增设了一个摸红球中爆米花的活动：在不透明布袋里已装有30个球，其中2个红球．它们的形状大小完全相同，只有颜色不同．现需往布袋里再放入一些红球，可使每一次摸到红球的概率为，则应该再放入 个红球
(3) 用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人选择同一部电影的概率
19.(本小题8分)
根据以下素材，探索完成任务.
临近春节，天气寒冷，美美服装店购进一批加绒裤进行销售.
素材1 已知该款加绒裤每条成本30元，刚开始每条售价为60元，每星期可卖100条.
素材2 为了促销，该店决定降价销售，经市场调查发现：每降价1元，每星期可多卖10条.设该款加绒裤每件售价x元，每星期的销售量为y条.
【问题解决】
任务1 售价（元/条）60595857…x…每星期可卖条数（条）100110______130…______…
任务2 当每条售价定为多少元时，每星期的销售利润S最大，最大利润是多少？
任务3 当每条加绒裤售价定为多少元时，该店一星期可获得3910元的利润？若该店每星期想要获得不低于3910元的利润，则每星期至少要销售该款加绒裤多少条？
20.(本小题8分)
洗手盆上常装有一种抬启式水龙头（如图1），完全开启后，把手AM与水平线的夹角为37°，此时把手端点A、出水口点B和落水点C在同一直线上，洗手盆及水龙头示意图如图2，M，D，E在一条直线上，ME⊥EC，其相关数据为AM=15cm,ME=31cm,∠ACE=60°
(1) 求EC的长
(2) 如果出水口B与点A的距离为，测得出水管BD与DM的夹角∠MDB=60°，求出水管BD的长．（参考数据：）
21.(本小题8分)
如图1是一块钟表残片，图2是其示意简图．弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D，连接AC．
(1) 请用无刻度的直尺和圆规作出残片所在圆的圆心O；（保留作图痕迹，不写作法）
(2) 若AB=12，CD=3，求残片所在圆的半径
(3) 除了尺规作图外，还有一种有趣的作图方式就是：只用无刻度的直尺作图．请按要求完成下列作图．如图，在 ABCD中，点M为边AD的中点．试仅用一把无刻度的直尺确定边CD的中点N．（保留作图痕迹，不写作法）
22.(本小题10分)
某兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究：
(1) 【初探猜想】如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的点，连接DE，CF，若DE⊥CF，则线段DE与CF的数量关系为
(2) 【类比探究】如图2，在矩形ABCD中，AD=8，CD=6，点E，F分别是边AD，BC上的点，点G是边AB上一点，连接EF，DG，若EF⊥DG，求的值
(3) 【知识迁移】如图3，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，点E，F分别在线段AB，AD上，且CE⊥BF，连接AC，若∠ACB=90°，AC=5，BC=12，求的值
23.(本小题10分)
在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-2bx+b2-2.且b＜0.
（1）当抛物线经过A（0，-1），B（6，y0）两点时.
①求b的值；
②点C（m,n）为抛物线在A、B之间的部分图象上的任意一点（包含A、B两点），都有n≥-1.求a的取值范围；
（2）若a=1，P（x1，y1），Q（x2，y2）时抛物线上的两点.当1≤x1＜3，b-1＜x2＜b+2时，总有y1≥y2，求b的取值范围.
24.(本小题12分)
如图，AB为⊙O的直径，点D为AB下方⊙O上一点，点C为弧ABD的中点，连接CD，CA．
(1) 求证：∠ABD=2∠BDC
(2) 过点C作CH⊥AB于H，交AD于E，求证：△ACE∽△ADC
(3) 在（2）的条件下，若OH=5，AD=24，求线段BH的长度
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】A
10.【答案】C
11.【答案】0.9
12.【答案】5
13.【答案】x1=-1，x2=3
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】解：（1）sin245°+tan60° cos30°
=+×
=+
=2；
（2）=，
两边同乘6（x+3y）得：6（x-2y）=5（x+3y），
解得x=27y,
∴．
18.【答案】【小题1】
【小题2】
5
【小题3】
甲、乙两人从这两部电影中任意选择一部观看，作树状图如下：
由树状图知，共有4种等可能结果，其中甲、乙两人选择同一部电影的情况有2种，即AA和BB，
∴甲、乙两人选择同一部电影的概率为

19.【答案】120 -10 x+700
20.【答案】【小题1】过点A作AG⊥EH于G，交MN于点F，如图所示，
由题意可得：EG=MF，FG=ME=31cm,
在Rt△AMF中，，，
∴，，
∴EG=MF=12cm,AG=AF+FG=9+31=40（cm），
∵∠ACG=60°，
∴，
∴EC=EG+CG=12+23≈35（cm），即EC的长约为35cm.
【小题2】如图，连接CD，延长CA，EM交于点H，
由题意可得：∠BDE=180°-∠MDB=180°-60°=120°，
又∵∠ACE=60°，
∴∠DBC=360°-∠E-∠BDE-∠BCE=90°，∠H=30°，
∴HC=2EC=70cm,
∵由（1）可得，
∴，
∵B与点A的距离为，
∴，
∴HB=HC-BC=70-30.8=39.2cm,
∴

21.【答案】【小题1】残片所在圆的圆心O，如图2.1即为所求；
【小题2】如图2.2，连接OA，
设圆的半径为r,则OA=r,OD=r-3，
∵CD⊥AB，AB=12，
∴，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：AD2+OD2=OA2，
∴62+（r-3）2=r2，
解得：r=7.5，
∴圆的半径为7.5
【小题3】如图3，连接AC，BD交于点O，连接CM交OD于点J，连接AJ，延长AJ交CD于点N，点N即为所求．

22.【答案】【小题1】
DE=CF
【小题2】
解：如图2：过点E作EK⊥BC于点K，EF与DG的交点为H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，AB=CD=6
∵EK⊥BC，
∴∠BKE=90°=∠A=∠B，
∴四边形ABKE是矩形，
∴EK=AB=6、∠AEK=∠DEK=90°，
∴∠DEH+∠FEK=90°，
∵EF⊥DG，
∴∠DHE=90°，
∴∠EDH+∠DEH=90°，
∴∠FEK=∠EDH，
又∵∠A=∠EKF=90°，
∴△EFK∽△DGA，
∴
【小题3】
解：如图3，过点C作CG⊥AB于点G，CE与BF的交点为T，
∵CG⊥AB，
∴∠CGE=∠DAB=90°，
∴∠ECG+∠CEG=90°，
∵CE⊥BF，
∴∠BHE=90°，
∴∠HBE+∠BEH=90°，
∴∠ECG=∠TBE，
又∵∠CGE=∠DAB=90°，
∴△CGE∽△BAF，
∴，
∵∠ACB=90°，AC=5，BC=12，
∴，
∵，
∴，
∴

23.【答案】（1）①b=-1；② （2）b≤-1
24.【答案】【小题1】证明：如图1，连接AD．
设∠BDC=α，∠ADC=β，则∠CAB=∠BDC=α，
∵点C为弧ABD中点，
∴，
∴∠ADC=∠DAC=β，
∴∠DAB=β-α，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ADB=90°，
∴α+β=90°，
∴β=90°-α，
∴∠ABD=90°-∠DAB=90°-（β-α），
∴∠ABD=2α，
∴∠ABD=2∠BDC
【小题2】证明：∵CH⊥AB，
∴∠ACE+∠CAB=∠ADC+∠BDC=90°，
∵∠CAB=∠CDB，
∴∠ACE=∠ADC，
又∵∠CAE=∠DAC，
∴△ACE∽△ADC
【小题3】解：如图3，连接OC，
∴∠COB=2∠CAB，
∵∠BDC=∠CAB，∠ABD=2∠BDC，
∴∠COB=∠ABD，
∵∠OHC=∠ADB=90°，AB=2OC，OH=5，
∴△OCH∽△ABD，
∴，即=，
解得：BD=10（经检验，是分式方程的解，且符合题意），
在直角三角形ABD中，由勾股定理得：，
∴BO=13，
∴BH=OB-OH=13-5=8

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