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北京交大附中 2026--2027 学年度第一学期初三年级 9 月阶段性练习
数 学
（试卷满分 100分，考试时间 120分钟．）
一、选择题（共 16分，每题 2分）第 1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1．下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．若方程（m﹣1）x|m|+1﹣2x＝3是关于 x的一元二次方程，则 m的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．不存在
3．将抛物线 = 1 22 先向右平移 2个单位长度，再向下平移 1个单位长度，所得到的抛物线解析式是（ ）
A 1． = 22 ( 2) 1 B
1
． = 2 ( + 2)
2 1
C． = 12 ( + 2)
2 + 1 D． = 1 22 ( 2) + 1
4．如图，四边形 ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，AH⊥BC于点 H，则 AH的
长为（ ）
A．4 B．4.5 C．4.8 D．5
5．若关于 x的一元二次方程 x2﹣3x+m＝0有两个相等的实数根，则实数 m的值为（ ）
4 9
A． B 4． 9 C． D．
9
9 4 4
6．某年 5个城市的人均生活用电量如表所示：
城市 A B C D E
人均生活用电 788 812 847 886 910
量/（kW h）
根据人均生活用电量的组内离差平方和最小的原则，把这 5个城市分为两组．现有四种分组方法，并分
别算出四种分法的组内离差平方和，如表所示．正确的分组方法是（ ）
分组 组内离差平方和
第一种：{A}和{B，C，D，E} 5592.75
第二种：{A，B}和{C，D，E} 2310.00
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第三种：{A，B，C}和{D，E} 2048.67
第四种：{A，B，C，D}和{E} 5470.70
A．第一种 B．第二种 C．第三种 D．第四种
7．随着科技的飞速发展，新能源汽车越来越多地走进人们的生活．北京市新能源汽车保有量从 2022年的
61.7万辆到 2024 年的 100.9 万辆，呈现出逐年增加的趋势．设新能源汽车的保有量从 2022年到 2024
年的年平均增长率为 x，则下面所列方程正确的是（ ）
A．2×61.7x＝100.9 B．61.7x2＝100.9
C．61.7x+61.7x2＝100.9 D．61.7（1+x）2＝100.9
8．在平面直角坐标系 xOy中，点 A（1，0），B（1，t）（t＞0）．若点 C不与点 A重合，且以 B，O，C为
顶点的三角形与△AOB全等，则称 C为 B的“友好点”．给出下面四个结论：
①对于所有的点 B，在 y轴上都有 B的“友好点”；
②能够找到点 B，使得在 x轴上有 B的“友好点”；
③对于所有的点 B，在第一象限内都有 B的“友好点”；
④能够找到点 B，使得在第四象限内有 B的“友好点”．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
二、填空题（共 16分，每题 2分）
1
9．若代数式 有意义，则实数 x的取值范围是 ．
2
10．在 ABCD中，若∠A＝∠B+50°，则∠B的度数为 度．
11．一次实验竞赛由笔试、实践操作、结果分析、答辩四项构成，甲、乙两组的各项成绩（十分制）如表
所示．
小组 笔试 实践操作 结果分析 答辩
甲组 9 7 7 9
乙组 7 8 9 m
对笔试、实践操作、结果分析、答辩成绩分别赋权 2，4，2，2，计算每组的平均成绩．如果甲、乙两
组的平均成绩相同，那么 m的值为 ．
12．如图，矩形 ABCD的对角线 AC、BD相交于点 O，∠AOB＝60°，AB＝2，
那么 BC的长是 ．
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13．如果 a是一元二次方程 x2﹣3x﹣5＝0的一个根，那么代数式 8﹣a2+3a＝ ．
14．在平面直角坐标系 xOy中，函数 y＝x2+4x+4的图象经过点（m，y1）和（m+1，y2），若 m＞0，则
y1 y2（填“＞”“＝”或“＜”）．
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点 D，E分别在边 BC，AB上，连接 DE，
将△BDE沿 DE折叠，点 B的对应点为 F，点 F刚好落在 AC边上．若 BC＝5，
= 5，则 BD的长为 ．
+ 1( ≥ 1)
16．如图，在平面直角坐标系 xOy中，函数 = 的图象与 x轴交于点 A，与函数 y＝kx+b
1( ＜ 1)
（k≠0）的图象交于 B，C两点．有以下三个结论：
①关于 x的方程 kx+b＝x+1的解是 x＝3；
②关于 x的不等式（k+1）x+b+1＞0的解集是﹣2＜x＜3；
③△ABC是直角三角形．
所有正确结论的序号是 ．
三、解答题（共 68分，第 17-19题每题 5分，第 20题 6分，第 21题 6分，第 22题 4分，第 23题 6分，
第 24题 6分，第 25 题 5分，第 26 题 6 分，第 27-28 题每题 7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证
明过程．
17．计算： ( 5 + 3)( 5 3) + (1 2)2．
18．用适当的方法解方程：x2﹣2x﹣4＝0；
19．已知关于 x的一元二次方程 x2﹣（m+3）x+2+m＝0．
（1）求证：对于任意实数 m，该方程总有实数根；
（2）若这个一元二次方程的一根大于 2，求 m的取值范围．
20．在数学课上，老师布置任务：利用尺规“作以线段 AB为对角线的正方形”．
小丽的作法如下：
1
①分别以点 A、B为圆心，以大于 AB为半径作弧，两弧交于 E、F两点；
2
②连接 EF，与 AB交于点 O；
③以点 O为圆心，OA长为半径作弧，与 EF交于 C、D两点；
④分别连接线段 AC，BC，BD，DA．所以四边形 ADBC就是所求作的正方形．
第 3页（共 8页）
根据小丽的作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵OA＝OB，OC＝OD，
∴四边形 ADBC为平行四边形．（ ）（填推理的依据）
∵OA＝OB＝OC＝OD，即 AB＝CD，
∴四边形 ADBC为矩形．（ ）（填推理的依据）
∵CD AB，
∴四边形 ADBC为正方形．（ ）（填推理的依据）
21．已知抛物线 y＝﹣x2+bx+c与 y轴的交点为（0，3），抛物线的
对称轴为直线 x＝1．
（1）求抛物线的表达式；
（2）直接写出抛物线的顶点坐标，并在平面直角坐标系 xOy
中画出抛物线；
（3）当 0＜x＜3时，直接写出 y的取值范围．
22．在平面直角坐标系 xOy中，函数 y＝kx+b（k≠0）与 y＝﹣kx+3
的图象交于点（2，1）．
（1）求 k，b的值；
（2）当 x＞2时，对于 x的每一个值，函数 y＝mx（m≠0）的值既大于函数 y＝kx+b的值，也大于函数
y＝﹣kx+3的值，直接写出 m的取值范围．
23．如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，点 D，E分别是 BC，AC的中点．连接 DE并延长至点 F，使得
EF＝DE．连接 AF，CF，AD．
（1）求证：四边形 ADCF是菱形；
（2）连接 BF，若∠ACB＝60°，AF＝2，求 BF的长．
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24．某校为促进学生养成健康生活习惯，组织该校 A，B两个校区的全体学生开展了青少年健康知识测试．为
了解八年级学生对健康知识的掌握情况，从 A，B两个校区的八年级学生中各随机抽取了 20 名学生的
成绩（百分制且为整数），并对数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．从 A校区抽取的学生成绩如表 1所示；
表 1
成绩 x/分 人数
65≤x＜70 1
70≤x＜75 3
75≤x＜80 2
80≤x＜85 4
85≤x＜90 m
90≤x＜95 4
95≤x＜100 2
b．从 B校区抽取的学生成绩按由小到大顺序排列如下：
70 74 77 77 78 79 79 81 82 85
85 85 85 87 88 88 91 96 96 97
c．从 A，B两个校区抽取的学生成绩的箱线图如图（不完整）；
d．从 A，B两个校区抽取的学生成绩的平均数、中位数、众数如表 2．
表 2
校区 平均数 中位数 众数
A校区 84 n 82
B校区 84 85 p
根据以上信息，回答下列问题：
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（1）表 1中 m＝ ；表 2中 n＝ ，p＝ ；
（2）在图中补全 B校区的箱线图，并标注相关数据；
（3）已知从 A校区抽取的学生成绩中某位学生的成绩是 90分，请判断从 A校区抽取的学生成绩中是
否还有其他学生的成绩也是 90分，并说明理由；
（4）已知 A，B校区八年级各有 160名学生，估计这两个校区八年级学生中成绩不低于 90分的学生一
共有多少人．
1
25．小静根据学习函数的经验，对函数 y x 2 2 的图象与性质进行了探究，下面是小静的探究过程，
请补充完整：
（1）函数 y
1

x 2 2 的自变量 x 的取值范围是_______；
（2）下表是 y 与 x 的几组对应值．
x 3 5… 1 0 1 3 4 …
2 2
y 1 1… 1 4 4 1 m …
9 4
表中的m ________；
（3）如图，在平面直角坐标系 xOy中，描出以上表中各对对应值为
坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象，并写出一个该函数的
性质：_______；
（4）结合函数图象，点 A a, y1 和点 B 5 a, y2 在函数
y 1
y yx 2 2 的图象上，且 1 2 成立，则 a的取值范围是______．
26．竹编是我国历史悠久的经典传统手工艺，并成功入选国家级非物质文化遗产名录．竹编以竹篾为原料，
采用平编、绞编等传统技法，编织成各类实用器具与工艺精品．
为提升生产效率，某竹编工厂引入机器人作业，将平编与绞编两项技法编写为计算机程序．已知一
件产品只采用一种编织技法，机器人每完成一件产品后，便会从头开始执行程序编织下一件产品，直至
完成全部生产任务．记平编或绞编的编织时间为 tmin，平编的编织面积为 S1（单位：dm2），绞编的编
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织面积为 S2（单位：dm2），部分数据如下：
t/min 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 …
S1/dm2 0 1.2 2.4 m 4.8 6.0 7.2 …
S2/dm2 0 0.8 2.0 3.8 6.2 9.0 12.0 …
通过分析数据，发现可以用函数刻画 S1与 t，S2与 t之间的关系，其中 S1与 t的关系可以近似用正比例
函数刻画．
（1）表中 m的值为 （结果保留小数点后一位）；
（2）在给出的平面直角坐标系中，画出 S1与 t，S2与 t的函数图象；
（3）根据以上数据与函数图象，解决以下问题：
①两台机器人分别用平编和绞编各编织一个面积为 9dm2的产品，若它们同时开始编织，则它们完成产
品所用的时间相差 min；
②该工厂接到一批补购订单，需要平编产品 200件，绞编产品 100件，且每件产品的面积都为 12dm2．开
始时机器人 A编织平编产品，机器人 B编织绞编产品，工作一段时间后，机器人 B出现故障无法工作．机
器人 A完成所有平编产品后，调整为绞编程序接着机器人 B的进度完成剩余的绞编产品．当编织完所
有产品时，机器人 A编织的总面积为 3052dm2．若生产两件产品之间的时间间隔忽略不计，则机器人 B
出现故障前大约工作了 min（结果保留小数点后一位）．
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27．已知：在正方形 ABCD中，点 E是 BC延长线上一点，且 CE≠BC，连接 DE，过点 D作 DE的垂线
交直线 AB于点 F，连接 EF，取 EF的中点 G，连接 CG．
（1）当 CE＜BC时，
①补全图 1；
②求证：△ADF≌△CDE；
③用等式表示线段 CD，CE，CG之间的数量关系，并证明；
（2）如图 2，当 CE＞BC时，请你直接写出线段 CD，CE，CG之间的数量关系．
28．在平面直角坐标系 xOy中，对于线段 MN和不在直线 MN上的点 P，给出如下定义：作点 P关于直线
MN的对称点 Q，若线段 MN上存在点 R，使得以点 O，P，Q，R为顶点的四边形是平行四边形，则称
点 P是线段 MN的“关联点”．
（1）如图，点 M（2，0），N（5，0），在点 P1（1，1），P2（3，2），P3（2，﹣3）中，线段 MN的“关
联点”是 ；
（2）已知点 A（﹣4，2），B（2，﹣1），C（0，m），D（0，m+1）．若线段 CD上的任意一点都是线段
AB的“关联点”，直接写出 m的取值范围；
（3）已知点 E（﹣2，﹣1），点 F（2，n）在 x轴上方且 n≠1．若点 G（0，1）是线段 EF的“关联点”，
直接写出 n的值．
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