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第1章 有理数
1.4 有理数的加减（第二课时）
学习目标与重难点
学习目标：
1.观察有理数加法算式，发展符号意识与抽象能力，抽象概括出加法交换律、结合律，形成初步创新意识。
2.探究验证有理数加法运算律，发展推理意识，能利用运算律简化计算，提升运算能力。
3.结合生活实例，建立数学模型，发展模型与应用意识，会用运算律解决实际问题。
学习重点：理解有理数加法交换律、结合律，能运用运算律进行有理数加法的简便计算。
学习难点：根据算式特点灵活选择运算律分组，在实际问题中运用有理数加法运算律解决问题。
预习自测
一、知识链接
1.回顾上节课有理数加法法则：同号两数相加，取相同符号，绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并用较大绝对值减去较小绝对值；一个数同0相加仍得这个数，互为相反数的两个数相加和为0。
2.回顾小学加法交换律、结合律：小学学习过在正数范围内，加法交换加数位置、改变相加顺序，和不变，猜想该规律在有理数范围同样成立。
3.回顾相反数概念：互为相反数的两数和为0，为本节课简便运算中配对抵消的方法做好铺垫。
自学自测
1.有理数加法交换律用字母可以表示为________。
2.计算：7+(-12)+13 = [7+13]+(-12)，这里运用的运算律是________。
3.根据加法结合律：(-9)+16+(-11)=[(-9)+_____]+16。
教学过程
一、创设情境、导入新课
思考：我们以前学过加法交换律和结合律，它们在有理数范围内还成立吗？
问题一：计算：
（1）（-5）+6，6+（-5）；
（2）（- ）+（- ），（- ）+（- ）。
上面各题中计算的结果相同吗？再换一些数试试。
问题二：计算：
（1）[（-2）+（-8）]+（-7），（-2）+[（-8）+（-7）]；
（2）[ +（- ）]+（- ）， +[（- ）+（- ）]。
上面各题中计算的结果相同吗？再换一些数试试。
二、合作交流、新知探究
探究一：有理数的大小比较
教材第22页
1.加法交换律：一般地，有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变。字母表达式：a+b=b+a.
2.加法结合律：一般地，有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。字母表达式：（a+b）+c=a+（b+c）.
3.运算律使用技巧：多个有理数相加时，可以灵活交换加数位置、重新结合加数，优先把互为相反数的数、同号的数、能凑整的数结合在一起，简化运算。
4.易错提醒：交换加数位置时，要连同数字前面的正负符号一起移动，不能只移动数字，遗漏符号。
三、课堂练习、巩固提高
【知识技能类作业】必做题：
1.在计算 - + 2 + 时，下面方法运算正确且比较简便的是（ ）
A.（ + 2 ）+（ - ） B.（ + ）+（ 2 + ）
C.（ - ）+（ 2 - ） D.（ + ）+（ 2 - ）
2.能与-（ - ）相加得0的数是（ ）
A.- +（- ） B. - + C. + D. - +
3.在横线上填上适当的数：（-31）+19+（-5）+31=[（-31）+_____]+[19+_____]，这个过程运用的运算律有________________________________
4.填空：（1）9+（-11）+（-18）=
（2）-3.68+19+（-5.32）=
（3）（-3.2）+3+（-4.8）+（-3）=
【知识技能类作业】选做题：
1.国庆节期间，小刚同爸爸收割完稻谷后，帮爸爸登记粮食入仓情况，已知每袋标准质量为50kg，超过的记为正数，不足的记为负数，小刚登记的5袋粮食的情况为6kg，-5kg，3kg，4kg，7kg，则这5袋粮食的总质量是________kg.
2.有2025个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和.如果第一个数是0，第二个数是2，那么这2025个数的和是（ ）
A. 2 B. －2 C. 0 D. 4
3.(1) 绝对值小于2025的所有整数的和为________；
(2) 大于－999而小于1000的所有整数的和为________.
4.计算：(1)9+（-17）+（-23）+21 ；
(2)1+（-2）+2+（-1）；
(3)-11.75+17+（-6）+；
(4) 23.3＋(－10.5)+1+12.5；
(5)1.75+（-6）+3+（-1）+2；
（-12）+（+）+（-8）+（- ）+（- ）.
【综合拓展类作业】
1.无人驾驶网约车是近年来的热门话题，北京、上海、南京等城市均为其试点城市.据相关机构预测，至2030年全球无人驾驶网约车的市场规模或将超过2万亿美元.若某辆无人驾驶网约车某天上午的营运全都在一条笔直的东西走向的路上进行.规定向东为正，向西为负，那么它这天上午行车里程(单位：km)记录如下：＋6，－4，＋2，－3，＋7，－3，－5，＋5，＋6，－8.
(1) 将第几名乘客送到目的地时，车辆刚好回到上午的出发点
(2) 将最后一名乘客送到目的地时，车辆距上午的出发点多远 在出发点的东面还是西面
(3) 若该无人驾驶网约车的收费标准为：起步价15元(不超过3km)，超过3km，超过部分每千米3元，则该车辆在这天上午一共收入多少元
2.计算：1+（-2）+（-3）+4+5+（-6）+（-7）+8+……+2021+（-2022）+（-2023）+2024+2025=________.
总结反思、拓展升华
【课堂总结】
1.本节课从猜想入手，探究小学学习的加法交换律、结合律在有理数范围内是否仍然成立，通过多组算式计算对比，验证猜想。
2.有理数加法有两条运算律。加法交换律：a+b=b+a；加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
3.多个有理数相加时，可以交换加数位置，重新分组结合；优先把互为相反数、能够凑整的数结合在一起，简化计算，交换数字时要连带符号一起移动。
4.利用有理数加法运算律，简化有理数加法计算题，还可以解决称重、温度、位置变化等现实生活中的实际问题。
五、【作业布置】
【知识技能类作业】必做题：
1.7＋（-3）＋（-4）＋18＋（-11）＝（7＋18）＋［（-3）＋（-4）＋（-11）］是应用了（ ）
A.加法交换律 B.加法结合律 C.分配律 D.加法交换律与结合律
2.计算3+（-2）+5+（-8）时，用运算律最为恰当的是（ ）
A.[3+（-2）]+[5+（-8）] B.（ 3+ 5）+[（-2）+ （-8）]
C.[3+（-8）]+[（-2）+ 5] D.[（-2）+ 5]+[3+ （-8）]
3.六年级（1）班某学期班费收支情况如下（收入为正）:＋250元，-55元，-120元，＋7元，期末时，该班的班费结余为（ ）
A.83元 B.82元 C.35元 D.92元
4.利用运算律计算:
（1）（-1.9）＋3.6＋（-10.1）＋1.4；
（2）（-7）＋（＋11）＋（-13）＋9；
（3）33++（-2.16）+9+（-3）；
（4）49+（-78.21）+27+（-21.79）.
【知识技能类作业】选做题：
1.检修小组从A地出发，在东西方向的公路上检修线路。规定向东为正，记录如下（单位：千米）：-4,+7,-9,+8,+6,-4,-3。收工时距A地（ ）
A.东边1千米 B.西边1千米 C.东边2千米 D.西边2千米
2.计算 + + + +……+ 的结果是（ ）
A. B. C. D.
【综合拓展类作业】
1.传说“九宫图”是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究此图.
（1）现有1，2，3，4，5，6，7，8，9共九个数字，请将它们分别填入图①的九个方格中，使得每行的三个数、每列的三个数、斜对角的三个数之和都等于15；（2）通过研究问题（1），利用你发现的规律，将3，5，-7，1，7，-3，9，-5，-1这九个数字分别填入图②的九个方格中，使得横、竖、斜对角的三个数的和都相等.
2.如图所示，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为1/2的长方形，接着又把一个面积为1/2的长方形等分成两个面积为1/4的正方形，再把其中的一个正方形等分成两个面积为1/8的长方形，如此进行下去，试利用图形揭示的规律计算: + + + + + + + .
答案
自学自测：1.a+b=b+a；2.加法交换律和加法结合律；3.（-11）
【课堂练习】
【知识技能类作业】必做题
1.D
2.B
3.31；-5；加法交换律，加法结合律
4.-20；10；-8
【知识技能类作业】选做题
1.265
2.D
3.0；999
4.(1)-10；(2)0；(3)0；(4)27；(5)- ；(6)-20
【综合拓展类作业】
1.210元
2.故答案为2025
【作业布置】
【知识技能类作业】必做题
1.【解析】本题先调换加数位置再分组运算，同时运用加法交换律与结合律，故选D。
【详解】D
2.【解析】本题将同分母分数结合在一起凑整计算，B选项分组方式最为简便。
【详解】B
3.【解析】本题用正数表示收入、负数表示支出，把所有收支数据相加：+250+(-55)+(-120)+7，计算结果为82元，即为期末班费结余，故选B。
【详解】B
4.【解析】四道小题均运用加法交换律、结合律，重新调整加数位置，将可以凑整或者同分母的数分为一组，简化有理数加法的计算过程。
【详解】-7；0；37；-23
【知识技能类作业】选做题
1.【解析】本题考查有理数加法的实际应用，规定向东为正，向西为负，把所有行程记录相加，结果的正负代表方向，绝对值代表距离。
-4+7-9+8+6-4-3
=(-4-9-4-3)+(7+8+6)
=-20+21
=1
计算结果为1>0，说明收工时在A地东边1千米，选A。
【详解】A
2.【解析】观察算式，分母可以拆成两个相邻正整数相乘：2=1×2，6=2×3，12=3×4，…，90=9×10。
可以得到规律： = - 。
+ + + +……+
= + + + +……+
=（1- ）+（ - ）+（ - ）+…+ -
=1-
=
中间一正一负的项两两抵消，只剩下首项1和末项- ，答案选A。
【详解】A
【综合拓展类作业】
1.【解析】本题考查三阶幻方，核心规律：将9个数从小到大排列，中间数放在九宫格中心，首尾两个数为一组放在中心对称位置；每行、每列、对角线三个数的和（幻和）=中间数×3。
（1）数字1，2，3，4，5，6，7，8，9。九数总和45，幻和为15，中间数字是5。
从上到下三行依次填入：8，1，6；3，5，7；4，9，2。横竖斜三个数相加都等于15。
（2）数字3，5，-7，1，7，-3，9，-5，-1。从小到大排序：-7，-5，-3，-1，1，3，5，7，9，中间数是1，幻和为3。
对应替换得到九宫格，从上到下三行依次填入：7，-7，3；-3，1，5；-1，9，-5。横、竖、斜对角三个数相加结果都等于3。
解题思路：先排序，确定中心数，首尾配对，再填入方格，最后验算幻和。
【详解】（1）如图所示（答案不唯一）
（2）如图所示（答案不唯一）
2.【解析】这个大正方形的总面积是1。、、……这些小块，都是从这个正方形不断平分得到的。观察规律： =1- ； + =1- ； + + =1- 。也就是：前面所有小块面积相加=大正方形面积1减去最后剩下最小一块的面积。所以原式=
【详解】解法一：原式= + + + + + + + （ + ）-
= + + + + + +（ + ）-
= + + + + +（ + ）-
= + + + +（ + ）-
= + + +（ + ）-
= + +（ + ）-
= +（ + ）-
=( + ）-
=1-
=
解法二：结合题图发现 =1- ， + =1- ，……，即利用最后一个大正方形的面积减去最后的一个小正方形或小长方形的面积即可求得面积和。
所以原式=1- = .
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