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13.1 三角形的概念与分类 · 学案
姓名：________ 班级：________ 日期：________
一、学习目标（核心素养目标）
【数学眼光 · 抽象能力】能说出三角形的定义，识别三角形的顶点、边、内角
【数学思维 · 推理能力】掌握按边、按角两种分类方法，能对任意三角形准确归类
【数学语言 · 应用意识】能举例说明三角形在生活中的应用，理解「等边三角形是特殊的等腰三角形」
二、预习导学（课前完成）
知识回顾（七年级旧知）
1. 线段有____个端点，射线有____个端点，直线有____个端点。
2. 小于 90° 的角叫____角，等于 90° 的叫____角，大于 90° 且小于 180° 的叫____角。
新知预习（翻课本 13.1）
1. 由____同一直线上的三条线段____顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2. 三角形记作____，它有____个顶点、____条边、____个内角。
3. 按边分类：____三角形、____三角形（其中____三角形是特殊的等腰三角形）。
4. 按角分类：____三角形、____三角形、____三角形。
三、课堂探究
探究 1：什么样的图形才算三角形？
思考：定义中「不在同一直线上」这几个字能去掉吗？为什么？
结论：三角形是____同一直线上的三条线段____相接所组成的图形。
探究 2：按边分类如何「不重不漏」？
小明把三角形按边分成「不等边、等腰、等边」三类，同桌说「等边也是等腰，你重复了」。
结论：等边是底边和腰相等的等腰三角形，即 等边包含于等腰。
探究 3：按角分类的「标准」是什么？
思考：一个三角形能不能既是锐角三角形又是钝角三角形？为什么？
结论：按角分类的标准是「____角」，三类互不重叠。
四、分层练习
A 组（基础）
1.三内角为 35°、55°、90°，按角分类是____三角形。
【答案】直角
2. 三边 4、4、6 按边分是____三角形；三边 4、4、4 是____三角形。
【答案】等腰；等边
3. 下列说法正确的是（ ）
A. 等腰是等边 B. 等边是等腰 C. 直角不可能是等腰 D. 按角分只有两类。
【答案】B
4. 在 △ABC 中，点 D 在边 BC 上：(1) 图中共有____个三角形；(2) 以 CD 为边的三角形是____。
【答案】(1) 3 个；(2) △ACD
5. 判断：
(1) 三条线段一定能组成三角形（ ）；
(2) 一个三角形最多有一个直角（ ）；
(3) 等腰至少有两边相等（ ）。
【答案】(1) ×；(2) √；(3) √
B 组（提高）
1. 等腰三角形周长 16，一边长 4，求其余两边长（分类讨论并检验）。
【答案】6、6
2. 用 6 根等长火柴棒摆三角形，按边分类能摆出几种？各是哪一类？
【答案】1 种，等边三角形
3. △ABC 三边 a、b、c 满足 (a-b) + |b-c| = 0，判断按边分类属于哪一类。
【答案】等边三角形
五、学后反思
我的收获：____________________
我的疑问：____________________
还想问老师：__________________
六、预习任务（下节课）
下节课讲 13.2「与三角形有关的线段」，预习课本 13.2.1，思考：三角形的三条边满足什么大小关系？「两点之间线段最短」能证明它吗？
【参考答案与解析】
A 组
1. 直角。解析：最大角 90° 是直角，有一个角是直角的三角形是直角三角形。
2. 等腰；等边。解析：4、4、6 有两边相等，且 4+4=8>6 能组成，是等腰三角形；4、4、4 三边都相等，是等边三角形。
3. B。解析：A 错（等腰只需两边相等，不一定是等边）；B 对（等边三边相等，满足等腰条件，是特殊的等腰）；
　 C 错（等腰直角三角形既是等腰又是直角）；D 错（按角分三类：锐角、直角、钝角）。
4. (1) 3 个；(2) △ACD。解析：图中三角形有 △ABC、△ABD、△ACD 共 3 个；以 CD 为边的三角形需同时含 C、D 两点，只有 △ACD。
　 注意 B、C、D 三点共线，不能构成三角形。
5. (1) ×；(2) √；(3) √。解析：(1) 需满足两边之和大于第三边，反例 1、2、3；
　 (2) 有两个直角则三角和已超过 180°，不可能，故最多一个直角；
　 (3) 等腰三角形的定义就是至少有两边相等（等边也满足）。
B 组
1. 其余两边长都是 6（三边 6、6、4）。解析：① 若 4 为底：2x+4=16，x=6，三边 6、6、4，检验 4+6=10>6，成立；
　 ② 若 4 为腰：4+4+y=16，y=8，三边 4、4、8，检验 4+4=8，不大于 8，组不成，舍去。故只有 6、6。
　 【易错】算出的边长必须回代检验三边关系。
2. 1 种：等边三角形（每边 2 根）。解析：设三边根数 a≤b≤c，a+b+c=6 且 a+b>c。枚举：
　 (1,1,4)：1+1=2<4，不能；(1,2,3)：1+2=3=3，不能（共线退化）；(2,2,2)：2+2=4>2，能。只有 1 种。
3. 等边三角形。解析：(a-b) ≥ 0 且 |b-c| ≥ 0，两者之和为 0 只能各自为 0，得 a=b 且 b=c，故 a=b=c。
　 【易错】别漏掉「非负数之和为 0，则各项均为 0」这个关键推理。

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