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北师大版数学五年级上册第四单元第4课时 用字母表示规律(分层作业)
一、基础巩固
1．一组图形按下列规律排列：……接下去的一个图形是(　　)。
A． B． C．
2．下图是2026年7月日历表，笑笑在上面圈出了三组数(如下图)。她发现像这样圈出的四个数之间都有相同的关系。下面最能表示圈出的四个数之间关系的是 (　　)。
A． B．
C． D．
3．海棠纹花窗是中国古典园林建筑中的一种窗式，其图样的排列具有一定规律。如下图，第一幅有4个，第二幅有7个，第三幅有10个……那么第十幅有(　　)个。
A．30 B．31 C．32 D．33
4．小北用完全一样的黑、白等边三角形纸板拼图形。图形中有　 　块黑色的三角形纸板。第n号图形中黑色的三角形纸板比白色的少　 　块。
5．观察下图，在桌面上按规律摆放棱长为1厘米的小正方体，摆5个时露在外面的面积是　 　平方厘米；摆n个时露在外面的面积是　 　平方厘米。
6．为庆祝六一儿童节，老师买了彩旗装饰教室。
（1）请你写一写或者画一画，表示彩旗排列的规律。
（2）请你选择○、△、☆、◎中的2个或以上的图案，设计一个有“重复”规律的图案(至少重复3次)。
7．如图所示，甲从A 点出发走向B点；乙从B点出发走向A 点。已知甲速度的2倍与乙速度的3倍相等，甲、乙两人相遇点的数对为多少
二、能力提升
8．儿童节摆花，按规律，接下来应该摆(　　)。
A． B． C．
9． 根据图中的规律，图⑨应填的分数是(　　)。
A． B． C． D．
10．按规律填空。
（1）2450，2550，　 　，　 　，2850。
（2）△ □△ □△　 　，　 　。
11．如图，用12根小棒可以搭出1个“爱心”，像这样搭下去，搭4个“爱心”用　 　根小棒，搭n个“爱心”用　 　根小棒。
12．如图，用小棒摆三角形。照这样摆下去，第4个图形需要　 　根小棒，第n个图形需要　 　根小棒。
13．三(1)班图书角需要对6本图书进行整理，这6本图书分别是《水浒传》《西游记》《红楼梦》《成语故事》《小王子》《格林童话》。
（1）请你按音序排列这6本书。
（2）班级中的一名同学从家又拿来了一本《三国演义》和一本《故事会》，请你按音序对这8本书重新排列。
14．
（1）上图中，摆1个五边形需要　 　根相同的小棒，摆2个需要　 　根相同的小棒，摆3个需要　 　根相同的小棒。
（2）照这样摆下去：
①摆n个五边形需要多少根相同的小棒？n=80 呢？
②265 根相同的小棒可以摆多少个五边形？
三、思维拓展
15．下图都是用相同的小正方体木块摆成的，按照这样的规律摆下去，第9 幅图共需要多少个小正方体木块？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】数形结合规律；基本排列周期
【解析】【解答】解：接着画是 。
故答案为：B。
【分析】按照“”3个图形为一组依次循环，接着画是 。
2．【答案】D
【知识点】数形结合规律
【解析】【解答】解：根据规律可知，最能表示圈出的四个数之间关系的是。
故答案为：D。
【分析】以左上角数为基础，右上角的数比这个数大1，最下角数比他多7，右下角数比他多8。由此判断这几个数之间的关系即可。
3．【答案】B
【知识点】数形结合规律
【解析】【解答】解：根据题意，可得
第1幅：3×1+1=4
第2幅：3×2+1＝7
第3幅：3×3+1＝10
......
第n幅：3n+1
当ｎ＝10时，
3n+1
＝3×10+1
=31
故答案为：Ｂ
【分析】第一幅图：4=3×1+1，第二幅图：7=3×2+1，第三幅图：10=3×3+1，据此可知，第ｎ幅图：3n+1，代入数据，即可求解
4．【答案】55；n+1
【知识点】用字母表示数；数形结合规律
【解析】【解答】解：
图形中有？块黑色的三角形纸板。哪个图形？无法解答。
【分析】 第①个图形的黑色三角形个数为1=0+1（个），白色三角形3=1+2（个）；
第②个图形的黑色三角形个数为3=0+1+2（个），白色三角形有6=1+2+3（个）；
第③个图形的黑色三角形个数为6=0+1+2+3（个），白色三角形有10=1+2+3+4（个）；
……
据此解答即可。
5．【答案】21；4n+1
【知识点】数形结合规律
【解析】【解答】 解：1个面的面积：1×1=1（平方厘米）
摆1个小正方体时： （4×1 + 1）×1=5 （平方厘米）
摆2个小正方体时：（4×2 + 1 ）×1=9 （平方厘米）
摆3个小正方体时：（4×3 + 1 ）×1=13（平方厘米）
摆n个小正方体时： (4n + 1) ×1=4n+1（平方厘米）
当n=5时，面积： 4×5 + 1 = 21（ 平方厘米）
答： 摆5个时露在外面的面积是 21平方厘米， 摆n个时露在外面的面积是4n+1平方厘米。
故答案为：21；4n+1。
【分析】首先分析摆放小正方体时露在外面的面的规律： 摆1个小正方体时：底面被桌面挡住，露在外面的面是：前、后、左、右4个侧面 + 上面1个面，共 4×1 + 1 = 5 个面，面积是 5×1×1 = 5 平方厘米；
摆2个小正方体时：两个叠起来，侧面每个方向有2个面，前、后、左、右共 4×2 ；加上面1个面，共 4×2 + 1 = 9 个面，面积是 9×1 = 9 平方厘米；
摆3个小正方体时：侧面每个方向有3个面，前、后、左、右共 4×3 ；加上面1个面，共 4×3 + 1 = 13 个面，面积是 13×1 = 13 平方厘米
摆n个小正方体时，露在外面的面的数量是 4n + 1 个，面积是 (4n + 1) 平方厘米，当n=5时，面积为 4×5 + 1 = 21 平方厘米。
6．【答案】（1）解：□□○ □□○ □□○ □□○
（2）解： △☆◎◎◎ △☆◎◎◎ △☆◎◎◎
【知识点】数形结合规律
【解析】【分析】（1）彩旗的规律是“”3面一组依次循环，可以是□□○ □□○ □□○ □□○；
（2）可以用 △、☆、◎这三个图形，组成有规律的图案是 △☆◎◎◎ △☆◎◎◎ △☆◎◎◎ 。
7．【答案】解：设甲速度为3v，乙速度为2v，
路线总长(1+2+3+4+5+6+7)×2+4=60，
60=36，
根据图形确定相遇点为(-3，-3)。
答：甲、乙两人相遇点的数对为(-3，-3)。
【知识点】相遇问题；数形结合规律
【解析】【分析】设甲的速度为3v，因为甲速度的2倍与乙速度的3倍相等，那么2×3v=3×乙的速度，解得乙的速度为2v。
两人同时出发，设经过时间t相遇，根据路程=速度×时间，则甲走的路程为3vt，乙走的路程为2vt。由图可知，线路总长：(1+2+3+4+5+6+7)×2+4=60，相遇时，S甲+S乙就是A、B之间的路线总长，根据按比分配，则 所以相遇点与A 点的距离为36，由图可知，相遇点为(-3，-3)。
8．【答案】B
【知识点】数形结合规律；基本排列周期
【解析】【解答】解：按规律摆，接下来摆是 。
故答案为：B。
【分析】规律是：按照“”3盆花为一组依次循环，则接下来摆是 。
9．【答案】D
【知识点】数形结合规律
【解析】【解答】解：分母规律：
图①：分母4=22，
图②：分母9=32，
图③：分母16=42
规律：第n个图，分母为：(n+1) 2
分子规律：
图①：分子3=2×1+1，
图②：分子5=2×2+1，
图③：分子7=2×3+1
规律：第n个图，分子为：2n+1
当n=9时，图⑨所代表的分数为：
故答案为：Ｄ
【分析】先找分母规律：图①：分母4=22，图②：分母9=32，图③：分母16=42，由此，可发现规律：第n个图，分母为：(n+1) 2；再找分子规律：图①：分子3=2×1+1，图②：分子5=2×2+1，图③：分子7=2×3+1，由此可发现规律：第n个图，分子为2n+1，将n=9代入，即可求解。
10．【答案】（1）2650；2750
（2） ；□
【知识点】数形结合规律；数列中的规律
【解析】【解答】解：（1）2450、2550、2650、2750、2850；
（2）接着画是 ；□。
故答案为：（1）2650；2750；（2） ；□。
【分析】（1）规律是：从2450开始，100个100个地数一数；
（2）按照“ △ □ ”3个图形为一组依次循环。
11．【答案】42；10n+2
【知识点】数形结合规律
【解析】【解答】解：1 个爱心：12 根，
2 个爱心：12 + 10 = 22 根，
3 个爱心：22 + 10 = 32 根，
规律：每增加 1 个爱心，增加 10 根小棒。
搭 n 个爱心：10n+2
搭 4 个爱心：10×4+2=42（根）
故答案为：42；10n+2。
【分析】先数出搭 1 个、2 个、3 个爱心分别需要的小棒数量，找到相邻图形增加小棒的规律，推导出通用式子，再计算搭 4 个爱心需要的小棒根数。
12．【答案】9；2n+1
【知识点】数形结合规律
【解析】【解答】解：第4个图形：4×2+1=9（根），第n个图形需要（2n+1）根小棒。
故答案为：9；2n+1。
【分析】观察前几个图形可知，小棒根数=三角形个数×2+1，由此计算第4个图形需要的根数，用含有字母n的式子表示第n个图形需要小棒的根数。
13．【答案】（1）解：《成语故事》《格林童话》《红楼梦》《水浒传》《西游记》《小王子》
（2）解：《成语故事》《格林童话》《故事会》《红楼梦》《三国演义》《水浒传》《西游记》《小王子》。
【知识点】数形结合规律
【解析】【分析】确定每本书第一个汉字的首字母，然后依据音序的排列顺序进行排序。
14．【答案】（1）5；9；13
（2）解：①摆n个五边形需要(4n+1)根相同的小棒；
4n+1
=4×80+1
=320+1
=321（根）
②（265－1）÷4
=264÷4
=66（个）
答：①摆n个五边形需要（4n+1）根相同的小棒，n=80时需要321根相同的小棒；②265根相同的小棒可以摆66个五边形。
【知识点】用字母表示数；含字母式子的化简与求值；数形结合规律
【解析】【解答】解：（1）上图中，摆1个五边形需要5根相同的小棒，摆2个需要9根相同的小棒，摆3个需要13根相同的小棒。
故答案为：（1）5；9；13。
【分析】看图可知当每个图形中都拿走1根小棒后则每个图形中小棒的根数正好是4的倍数，因此，五边形个数×4+1=需要的小棒根数，据此可得规律当摆n个五边形时需要（4n+1）根相同的小棒；当已知小棒根数时，则根据五边形个数×4+1=需要的小棒根数，可得：（需要的小棒根数－1）÷4=可以摆的五边形个数。
15．【答案】解：1+5+9+13+17+21+25+29+33=153(个)。
答：第9 幅图共需要153个小正方体木块。
【知识点】从不同方向观察几何体；数形结合规律
【解析】【分析】每幅图中小正方体的个数依次为1，1+5，1+5+9，…，第9幅图中小正方体的个数=1+5+9+13+17+21+25+29+33=153(个)。
1 / 1北师大版数学五年级上册第四单元第4课时 用字母表示规律(分层作业)
一、基础巩固
1．一组图形按下列规律排列：……接下去的一个图形是(　　)。
A． B． C．
【答案】B
【知识点】数形结合规律；基本排列周期
【解析】【解答】解：接着画是 。
故答案为：B。
【分析】按照“”3个图形为一组依次循环，接着画是 。
2．下图是2026年7月日历表，笑笑在上面圈出了三组数(如下图)。她发现像这样圈出的四个数之间都有相同的关系。下面最能表示圈出的四个数之间关系的是 (　　)。
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】数形结合规律
【解析】【解答】解：根据规律可知，最能表示圈出的四个数之间关系的是。
故答案为：D。
【分析】以左上角数为基础，右上角的数比这个数大1，最下角数比他多7，右下角数比他多8。由此判断这几个数之间的关系即可。
3．海棠纹花窗是中国古典园林建筑中的一种窗式，其图样的排列具有一定规律。如下图，第一幅有4个，第二幅有7个，第三幅有10个……那么第十幅有(　　)个。
A．30 B．31 C．32 D．33
【答案】B
【知识点】数形结合规律
【解析】【解答】解：根据题意，可得
第1幅：3×1+1=4
第2幅：3×2+1＝7
第3幅：3×3+1＝10
......
第n幅：3n+1
当ｎ＝10时，
3n+1
＝3×10+1
=31
故答案为：Ｂ
【分析】第一幅图：4=3×1+1，第二幅图：7=3×2+1，第三幅图：10=3×3+1，据此可知，第ｎ幅图：3n+1，代入数据，即可求解
4．小北用完全一样的黑、白等边三角形纸板拼图形。图形中有　 　块黑色的三角形纸板。第n号图形中黑色的三角形纸板比白色的少　 　块。
【答案】55；n+1
【知识点】用字母表示数；数形结合规律
【解析】【解答】解：
图形中有？块黑色的三角形纸板。哪个图形？无法解答。
【分析】 第①个图形的黑色三角形个数为1=0+1（个），白色三角形3=1+2（个）；
第②个图形的黑色三角形个数为3=0+1+2（个），白色三角形有6=1+2+3（个）；
第③个图形的黑色三角形个数为6=0+1+2+3（个），白色三角形有10=1+2+3+4（个）；
……
据此解答即可。
5．观察下图，在桌面上按规律摆放棱长为1厘米的小正方体，摆5个时露在外面的面积是　 　平方厘米；摆n个时露在外面的面积是　 　平方厘米。
【答案】21；4n+1
【知识点】数形结合规律
【解析】【解答】 解：1个面的面积：1×1=1（平方厘米）
摆1个小正方体时： （4×1 + 1）×1=5 （平方厘米）
摆2个小正方体时：（4×2 + 1 ）×1=9 （平方厘米）
摆3个小正方体时：（4×3 + 1 ）×1=13（平方厘米）
摆n个小正方体时： (4n + 1) ×1=4n+1（平方厘米）
当n=5时，面积： 4×5 + 1 = 21（ 平方厘米）
答： 摆5个时露在外面的面积是 21平方厘米， 摆n个时露在外面的面积是4n+1平方厘米。
故答案为：21；4n+1。
【分析】首先分析摆放小正方体时露在外面的面的规律： 摆1个小正方体时：底面被桌面挡住，露在外面的面是：前、后、左、右4个侧面 + 上面1个面，共 4×1 + 1 = 5 个面，面积是 5×1×1 = 5 平方厘米；
摆2个小正方体时：两个叠起来，侧面每个方向有2个面，前、后、左、右共 4×2 ；加上面1个面，共 4×2 + 1 = 9 个面，面积是 9×1 = 9 平方厘米；
摆3个小正方体时：侧面每个方向有3个面，前、后、左、右共 4×3 ；加上面1个面，共 4×3 + 1 = 13 个面，面积是 13×1 = 13 平方厘米
摆n个小正方体时，露在外面的面的数量是 4n + 1 个，面积是 (4n + 1) 平方厘米，当n=5时，面积为 4×5 + 1 = 21 平方厘米。
6．为庆祝六一儿童节，老师买了彩旗装饰教室。
（1）请你写一写或者画一画，表示彩旗排列的规律。
（2）请你选择○、△、☆、◎中的2个或以上的图案，设计一个有“重复”规律的图案(至少重复3次)。
【答案】（1）解：□□○ □□○ □□○ □□○
（2）解： △☆◎◎◎ △☆◎◎◎ △☆◎◎◎
【知识点】数形结合规律
【解析】【分析】（1）彩旗的规律是“”3面一组依次循环，可以是□□○ □□○ □□○ □□○；
（2）可以用 △、☆、◎这三个图形，组成有规律的图案是 △☆◎◎◎ △☆◎◎◎ △☆◎◎◎ 。
7．如图所示，甲从A 点出发走向B点；乙从B点出发走向A 点。已知甲速度的2倍与乙速度的3倍相等，甲、乙两人相遇点的数对为多少
【答案】解：设甲速度为3v，乙速度为2v，
路线总长(1+2+3+4+5+6+7)×2+4=60，
60=36，
根据图形确定相遇点为(-3，-3)。
答：甲、乙两人相遇点的数对为(-3，-3)。
【知识点】相遇问题；数形结合规律
【解析】【分析】设甲的速度为3v，因为甲速度的2倍与乙速度的3倍相等，那么2×3v=3×乙的速度，解得乙的速度为2v。
两人同时出发，设经过时间t相遇，根据路程=速度×时间，则甲走的路程为3vt，乙走的路程为2vt。由图可知，线路总长：(1+2+3+4+5+6+7)×2+4=60，相遇时，S甲+S乙就是A、B之间的路线总长，根据按比分配，则 所以相遇点与A 点的距离为36，由图可知，相遇点为(-3，-3)。
二、能力提升
8．儿童节摆花，按规律，接下来应该摆(　　)。
A． B． C．
【答案】B
【知识点】数形结合规律；基本排列周期
【解析】【解答】解：按规律摆，接下来摆是 。
故答案为：B。
【分析】规律是：按照“”3盆花为一组依次循环，则接下来摆是 。
9． 根据图中的规律，图⑨应填的分数是(　　)。
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】数形结合规律
【解析】【解答】解：分母规律：
图①：分母4=22，
图②：分母9=32，
图③：分母16=42
规律：第n个图，分母为：(n+1) 2
分子规律：
图①：分子3=2×1+1，
图②：分子5=2×2+1，
图③：分子7=2×3+1
规律：第n个图，分子为：2n+1
当n=9时，图⑨所代表的分数为：
故答案为：Ｄ
【分析】先找分母规律：图①：分母4=22，图②：分母9=32，图③：分母16=42，由此，可发现规律：第n个图，分母为：(n+1) 2；再找分子规律：图①：分子3=2×1+1，图②：分子5=2×2+1，图③：分子7=2×3+1，由此可发现规律：第n个图，分子为2n+1，将n=9代入，即可求解。
10．按规律填空。
（1）2450，2550，　 　，　 　，2850。
（2）△ □△ □△　 　，　 　。
【答案】（1）2650；2750
（2） ；□
【知识点】数形结合规律；数列中的规律
【解析】【解答】解：（1）2450、2550、2650、2750、2850；
（2）接着画是 ；□。
故答案为：（1）2650；2750；（2） ；□。
【分析】（1）规律是：从2450开始，100个100个地数一数；
（2）按照“ △ □ ”3个图形为一组依次循环。
11．如图，用12根小棒可以搭出1个“爱心”，像这样搭下去，搭4个“爱心”用　 　根小棒，搭n个“爱心”用　 　根小棒。
【答案】42；10n+2
【知识点】数形结合规律
【解析】【解答】解：1 个爱心：12 根，
2 个爱心：12 + 10 = 22 根，
3 个爱心：22 + 10 = 32 根，
规律：每增加 1 个爱心，增加 10 根小棒。
搭 n 个爱心：10n+2
搭 4 个爱心：10×4+2=42（根）
故答案为：42；10n+2。
【分析】先数出搭 1 个、2 个、3 个爱心分别需要的小棒数量，找到相邻图形增加小棒的规律，推导出通用式子，再计算搭 4 个爱心需要的小棒根数。
12．如图，用小棒摆三角形。照这样摆下去，第4个图形需要　 　根小棒，第n个图形需要　 　根小棒。
【答案】9；2n+1
【知识点】数形结合规律
【解析】【解答】解：第4个图形：4×2+1=9（根），第n个图形需要（2n+1）根小棒。
故答案为：9；2n+1。
【分析】观察前几个图形可知，小棒根数=三角形个数×2+1，由此计算第4个图形需要的根数，用含有字母n的式子表示第n个图形需要小棒的根数。
13．三(1)班图书角需要对6本图书进行整理，这6本图书分别是《水浒传》《西游记》《红楼梦》《成语故事》《小王子》《格林童话》。
（1）请你按音序排列这6本书。
（2）班级中的一名同学从家又拿来了一本《三国演义》和一本《故事会》，请你按音序对这8本书重新排列。
【答案】（1）解：《成语故事》《格林童话》《红楼梦》《水浒传》《西游记》《小王子》
（2）解：《成语故事》《格林童话》《故事会》《红楼梦》《三国演义》《水浒传》《西游记》《小王子》。
【知识点】数形结合规律
【解析】【分析】确定每本书第一个汉字的首字母，然后依据音序的排列顺序进行排序。
14．
（1）上图中，摆1个五边形需要　 　根相同的小棒，摆2个需要　 　根相同的小棒，摆3个需要　 　根相同的小棒。
（2）照这样摆下去：
①摆n个五边形需要多少根相同的小棒？n=80 呢？
②265 根相同的小棒可以摆多少个五边形？
【答案】（1）5；9；13
（2）解：①摆n个五边形需要(4n+1)根相同的小棒；
4n+1
=4×80+1
=320+1
=321（根）
②（265－1）÷4
=264÷4
=66（个）
答：①摆n个五边形需要（4n+1）根相同的小棒，n=80时需要321根相同的小棒；②265根相同的小棒可以摆66个五边形。
【知识点】用字母表示数；含字母式子的化简与求值；数形结合规律
【解析】【解答】解：（1）上图中，摆1个五边形需要5根相同的小棒，摆2个需要9根相同的小棒，摆3个需要13根相同的小棒。
故答案为：（1）5；9；13。
【分析】看图可知当每个图形中都拿走1根小棒后则每个图形中小棒的根数正好是4的倍数，因此，五边形个数×4+1=需要的小棒根数，据此可得规律当摆n个五边形时需要（4n+1）根相同的小棒；当已知小棒根数时，则根据五边形个数×4+1=需要的小棒根数，可得：（需要的小棒根数－1）÷4=可以摆的五边形个数。
三、思维拓展
15．下图都是用相同的小正方体木块摆成的，按照这样的规律摆下去，第9 幅图共需要多少个小正方体木块？
【答案】解：1+5+9+13+17+21+25+29+33=153(个)。
答：第9 幅图共需要153个小正方体木块。
【知识点】从不同方向观察几何体；数形结合规律
【解析】【分析】每幅图中小正方体的个数依次为1，1+5，1+5+9，…，第9幅图中小正方体的个数=1+5+9+13+17+21+25+29+33=153(个)。
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