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北师大版数学五年级上册第二单元第4课时 探索内角和的奥秘(分层作业)
一、基础巩固
1．正六边形的内角和是(　　)。
A．540° B．720° C．900°
2． 小华用一个三角形和一个四边形，沿着一条长度相等的边，严丝合缝地拼成了一个新的多边形。这个新的多边形的内角和是(　　)。
A．360° B．540° C．720° D．900°
3．下面是小文在探究五边形的内角和时的几种方法，正确的有(　　)种。
A．1 B．2 C．3 D．4
4．小明用“180°×6-360°”计算六边形的内角和，能表示他想法的是(　　)。
A． B． C． D．
5．若一个多边形的内角和是720°，则它是一个　 　边形。
6．求出下面图形的内角和。
内角和：　 　 　 　 　 　 　 　
我发现：多边形的内角和=　 　。
7．蜜蜂的蜂窝构造非常精巧。如图，蜂房由很多个大小相同的正六边形房孔组成，每个房孔的内角和是　 　°。
8．三角形的内角和是　 　，四边形的内角和是　 　，五边形的内角和是　 　，六边形的内角和是　 　。
你发现了什么？　 　
9．经过学习，东东和聪聪知道了三角形的内角和是180°。他们想利用所学的知识来探索多边形的内角和，东东和聪聪分别给出了他们的想法（如图），请写出他们的想法。根据他们的想法，你能得到五边形的内角和吗？在图中画一画，写出过程，并说一说你的发现。
二、能力提升
10． 在探究五边形的内角和时，同学们采用了不同的方法。小明列出的算式是180°×4-180°，下面图(　　)能表示他所采用的方法。
A． B．
C． D．
11． 一个四边形，截一刀后得到的新多边形的内角和将（　　）
A．增加180°
B．减少180°
C．不变
D．不变或增加180°或减少 180°
12．已知一个正多边形的一个内角是140°，则这个正多边形的边数是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
13．三角形的内角和是 180°。我们可以运用这个知识求出四边形、五边形、六边形内角和的度数，进而探索多边形的内角和：
多边形 内角和的度数
？
（1）照样子，写出计算六边形内角和度数的算式为　 　。
（2）观察算式，我们可以猜测 n 边形的内角和=　 　。
（3）利用前面探究的结论，我们可以快速计算出八边形的内角和是　 　°。若某一个多边形的内角和是1440°，则它是一个　 　边形。
14．下图是某古建筑的六边形窗户。
多边形……边数3456……内角和180°360°540°　……
　
我们在探究多边形内角和的过程中采用了　 　法，请根据你所采用的方法，计算出六边形窗户的内角和是　 　。
15．小明在探究六边形的内角和时，他从六边形的一个顶点依次连接与这个顶点不相连的其它顶点，这样就把六边形分成　 　个三角形，因为三角形的内角和是180°，所以小明推算出六边形的内角和是　 　°。
16．我们已经知道三角形的内角和等于180°。你能求出下面图形的内角和吗？
17．聪聪和明明在求六边形的内角和时，聪聪把六边形分成6 个三角形(图1)，因为三角形的内角和是180°，所以他认为六边形的内角和是 明明把六边形分成2个四边形(图2)，因为四边形的内角和是 360°，所以他认为六边形的内角和是 你同意谁的观点？请说明理由。
三、思维拓展
18．请你用同样的方法计算下面六边形的内角和。
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】多边形的内角和
【解析】【解答】解：（6-2）×180°
=4×180°
=720°
故答案为：B。
【分析】此题主要考查了多边形的内角和，多边形的内角和公式：（n-2）×180°（n为边数，且n＞3），据此列式解答。
2．【答案】B
【知识点】多边形的内角和
【解析】【解答】解：（5-2）×180°
=3×180°
=540°
故答案为：B。
【分析】此题主要考查了多边形的内角和计算，三角形有3条边，四边形有4条边，它们各用1条边重合拼接，所以新多边形的边数为：3+4- 2=5 条边，根据多边形的内角和公式计算。
3．【答案】C
【知识点】多边形的内角和
【解析】【解答】解：①把五边形分成 3 个三角形，内角和=180°×3，①正确。
②把五边形分成了4个三角形，但中间多算了一个平角，内角和= 180°×4-180°，②正确。
③把五边形分成一个三角形和一个四边形，内角和=180°+360°，③正确。
④把五边形分成5个三角形，但中间多算了一个周角而不是平角，内角和= 180°×5-360°，④错误。
因此正确的是①②③，共3种。
故答案为：C。
【分析】多边形的内角和=（多边形的边数-2）×180°，如果不是多边形的内角，多计算的度数要减去。
4．【答案】D
【知识点】多边形的内角和
【解析】【解答】解：选项A：分成2个四边形，和小明的想法不一致；
选项B：拆分方式得不到6个三角形，和小明的想法不一致；
选项C：从一个顶点分割成4个三角形，算式是180°×4，和小明的想法不一致；
选项D：从正六边形中心向各个顶点连线，把六边形分成6个三角形，6个三角形内角总和：180°°×6；6个三角形在中心点处拼成一个周角360°，这部分不属于六边形内角，需要减掉，因此六边形内角和=180°×6-360°，和小明算式一致。
故答案为：D。
【分析】此题主要考查了多边形的内角和，本题的疑难之处是找到与小明计算六边形内角和式子相对应的图，180°×6-360°表示用6个三角形内角和的总度数减去360°，观图可知，只有选项D能表示他的想法。
5．【答案】六
【知识点】多边形的内角和
【解析】【解答】解：设这个多边形是n边形，
(n 2)×180=720
(n 2)×180÷180=720÷180
n-2=4
n-2+2=4+2
n=6
故答案为：六。
【分析】此题主要考查了多边形的内角和，多边形内角和公式为 (n 2)×180°，其中n是边数；已知这个多边形的内角和为 720°，代入公式得：(n 2)×180=720，据此解方程即可。
6．【答案】360°；540°；720°；900°；180°×(多边形的边数-2)
【知识点】多边形的内角和
【解析】【解答】解：
内角和：360° 540° 720° 900°
我发现：多边形的内角和=180°×(多边形的边数-2)。
故答案为：360°；540°；720°；900°；180°×(多边形的边数-2)。
【分析】此题主要考查了多边形的内角和，n边形的内角和=180°×（n-2），（n＞2），据此解答。
7．【答案】720
【知识点】多边形的内角和
【解析】【解答】解：正六边形的边数为6，（6-2)×180°=720°。
故答案为：720。
【分析】根据多边形内角和公式来计算：（n-2）×180°（n3，且n是整数）。
8．【答案】180°；360°；540°；720°；多边形的内角和=(边数-2)×180°
【知识点】多边形的内角和
【解析】【解答】解：三角形的内角和是180°，四边形的内角和是360° ，五边形的内角和是540°，六边形的内角和是720°；
我发现：多边形的内角和=(边数-2)×180°。
故答案为：180°；360°；540°；720°；
【分析】多边形的内角和=(边数-2)×180°，据此作答即可。
9．【答案】东东：180°×2=360° 聪聪：4×180°-360°=360°
如图，五边形的内角和：180°×3=540°5×180°-360°=540°
发现：每多一条边，内角和就多180°。
【知识点】多边形的内角和
【解析】【分析】此题主要考查了多边形的内角和推导，东东的想法：将四边形从一个顶点出发画一条对角线，把四边形分成2个三角形， 三角形的内角和是180°，据此列式计算；
聪聪的想法：在四边形内部取一个点，连接这个点与四边形的四个顶点，把四边形分成4个三角形，再减去中间360°周角，据此可以求出四边形内角和；
观察图可以发现规律：每多一条边，内角和就多180°。
10．【答案】B
【知识点】多边形的内角和
【解析】【解答】解：A：算式是180°×3；
B：算式是180°×4-180°；
C：算式是180°×5-360°；
D：算式是180°+360°。
故答案为：B。
【分析】A：三个三角形的内角和就是五边形的内角和；
B：四个三角形的内角和减去下面一个平角度数就是五边形内角和；
C：5个三角形的内角和减去中间周角的度数就是五边形内角和；
D：四边形内角和加上三角形内角和就是五边形内角和。
11．【答案】D
【知识点】多边形的内角和
【解析】【解答】一个四边形截一刀后得到的多边形可能是三角形，可能是四边形，也可能是五边形，
内角和可能减少180度，可能不变，可能增加180度
故选：D
【分析】根据一个四边形截一刀后得到的多边形的边数即可得到答案。
12．【答案】D
【知识点】多边形的内角和
【解析】【解答】解设多边形的边为n边形，由内角和公式为：
(n-2)180=140n
n=9
故答案选D。
【分析】根据多边形的内角和公式，可得答案。
13．【答案】（1）180°×4=720°
（2）180°×(n-2)
（3）1080；十
【知识点】多边形的内角和
【解析】【解答】解：（1）计算六边形内角和度数的算式为180°×4=720°；
（2）观察算式，我们可以猜测 n 边形的内角和=180°×(n-2)；
（3）八边形内角和：180°×（8-2）=1080°；
1440°÷180°+2=10，所以它是一个十边形。
故答案为：（1）180°×4=720°；（2）180°×（n-2）；（3）1080；十。
【分析】（1）观察可知，多边形内角和=180°×（多边形的边数-2），根据规律列式即可；
（2）根据规律用含有字母的式子表示出n边形的内角和；
（3）根据规律计算八边形的内角和；用多边形的内角和除以180°，然后加上2就是边数。
14．【答案】分割；720°
【知识点】三角形的内角和；多边形的内角和
【解析】【解答】解：根据题意，可得180°×（6－2）
＝180°×4
＝720°
我们在探究多边形内角和的过程中采用了分割法，请根据你所采用的方法，计算出六边形窗户的内角和是720°。
多边形 ……
边数 3 4 5 6 ……
内角和 180° 360° 540° 720° ……
故答案为：分割；720°
【分析】三角形内角和：180°×（3-2）；四边形内角和：180°×（4-2）；五边形内角和：180°×（5－2）……由此可知，n边形可以分成（n－2）个三角形，内角和是180°×（n－2），代入数据，即可求出六边形的内角和。
15．【答案】4；720
【知识点】三角形的内角和；多边形的内角和
【解析】【解答】解：如图，把六边形分成4个三角形，
180°×4＝720°，六边形的内角和是720°。
故答案为：4；720。
【分析】（多边形的边数-2）×180°=多边形的内角和。
16．【答案】180°×3=540°
【知识点】多边形的内角和
【解析】【分析】把五边形的内角分成三个三角形，每个三角形的内角和都是180°，这些三角形的内角和就是五边形的内角和。
17．【答案】解：同意明明的观点。因为聪聪在计算时，多算了六边形中间的1个圆周角的度数，即多加了360°，所以正确的算法应为：
180°×6-360°
=1080°-360°
=720°。
【知识点】多边形的内角和
【解析】【分析】图一分成的三角形中，中间多算的一个周角不是多边形的内角和，所以要减去，这个六边形的内角和=180°×6-360°=720°。
18．【答案】解：
六边形的内角和：180°×（6-2）=720°
【知识点】多边形的内角和
【解析】【分析】n边形可以分成n-2个三角形，那么n边形的内角和=180°×（n-2）。
1 / 1北师大版数学五年级上册第二单元第4课时 探索内角和的奥秘(分层作业)
一、基础巩固
1．正六边形的内角和是(　　)。
A．540° B．720° C．900°
【答案】B
【知识点】多边形的内角和
【解析】【解答】解：（6-2）×180°
=4×180°
=720°
故答案为：B。
【分析】此题主要考查了多边形的内角和，多边形的内角和公式：（n-2）×180°（n为边数，且n＞3），据此列式解答。
2． 小华用一个三角形和一个四边形，沿着一条长度相等的边，严丝合缝地拼成了一个新的多边形。这个新的多边形的内角和是(　　)。
A．360° B．540° C．720° D．900°
【答案】B
【知识点】多边形的内角和
【解析】【解答】解：（5-2）×180°
=3×180°
=540°
故答案为：B。
【分析】此题主要考查了多边形的内角和计算，三角形有3条边，四边形有4条边，它们各用1条边重合拼接，所以新多边形的边数为：3+4- 2=5 条边，根据多边形的内角和公式计算。
3．下面是小文在探究五边形的内角和时的几种方法，正确的有(　　)种。
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】多边形的内角和
【解析】【解答】解：①把五边形分成 3 个三角形，内角和=180°×3，①正确。
②把五边形分成了4个三角形，但中间多算了一个平角，内角和= 180°×4-180°，②正确。
③把五边形分成一个三角形和一个四边形，内角和=180°+360°，③正确。
④把五边形分成5个三角形，但中间多算了一个周角而不是平角，内角和= 180°×5-360°，④错误。
因此正确的是①②③，共3种。
故答案为：C。
【分析】多边形的内角和=（多边形的边数-2）×180°，如果不是多边形的内角，多计算的度数要减去。
4．小明用“180°×6-360°”计算六边形的内角和，能表示他想法的是(　　)。
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】多边形的内角和
【解析】【解答】解：选项A：分成2个四边形，和小明的想法不一致；
选项B：拆分方式得不到6个三角形，和小明的想法不一致；
选项C：从一个顶点分割成4个三角形，算式是180°×4，和小明的想法不一致；
选项D：从正六边形中心向各个顶点连线，把六边形分成6个三角形，6个三角形内角总和：180°°×6；6个三角形在中心点处拼成一个周角360°，这部分不属于六边形内角，需要减掉，因此六边形内角和=180°×6-360°，和小明算式一致。
故答案为：D。
【分析】此题主要考查了多边形的内角和，本题的疑难之处是找到与小明计算六边形内角和式子相对应的图，180°×6-360°表示用6个三角形内角和的总度数减去360°，观图可知，只有选项D能表示他的想法。
5．若一个多边形的内角和是720°，则它是一个　 　边形。
【答案】六
【知识点】多边形的内角和
【解析】【解答】解：设这个多边形是n边形，
(n 2)×180=720
(n 2)×180÷180=720÷180
n-2=4
n-2+2=4+2
n=6
故答案为：六。
【分析】此题主要考查了多边形的内角和，多边形内角和公式为 (n 2)×180°，其中n是边数；已知这个多边形的内角和为 720°，代入公式得：(n 2)×180=720，据此解方程即可。
6．求出下面图形的内角和。
内角和：　 　 　 　 　 　 　 　
我发现：多边形的内角和=　 　。
【答案】360°；540°；720°；900°；180°×(多边形的边数-2)
【知识点】多边形的内角和
【解析】【解答】解：
内角和：360° 540° 720° 900°
我发现：多边形的内角和=180°×(多边形的边数-2)。
故答案为：360°；540°；720°；900°；180°×(多边形的边数-2)。
【分析】此题主要考查了多边形的内角和，n边形的内角和=180°×（n-2），（n＞2），据此解答。
7．蜜蜂的蜂窝构造非常精巧。如图，蜂房由很多个大小相同的正六边形房孔组成，每个房孔的内角和是　 　°。
【答案】720
【知识点】多边形的内角和
【解析】【解答】解：正六边形的边数为6，（6-2)×180°=720°。
故答案为：720。
【分析】根据多边形内角和公式来计算：（n-2）×180°（n3，且n是整数）。
8．三角形的内角和是　 　，四边形的内角和是　 　，五边形的内角和是　 　，六边形的内角和是　 　。
你发现了什么？　 　
【答案】180°；360°；540°；720°；多边形的内角和=(边数-2)×180°
【知识点】多边形的内角和
【解析】【解答】解：三角形的内角和是180°，四边形的内角和是360° ，五边形的内角和是540°，六边形的内角和是720°；
我发现：多边形的内角和=(边数-2)×180°。
故答案为：180°；360°；540°；720°；
【分析】多边形的内角和=(边数-2)×180°，据此作答即可。
9．经过学习，东东和聪聪知道了三角形的内角和是180°。他们想利用所学的知识来探索多边形的内角和，东东和聪聪分别给出了他们的想法（如图），请写出他们的想法。根据他们的想法，你能得到五边形的内角和吗？在图中画一画，写出过程，并说一说你的发现。
【答案】东东：180°×2=360° 聪聪：4×180°-360°=360°
如图，五边形的内角和：180°×3=540°5×180°-360°=540°
发现：每多一条边，内角和就多180°。
【知识点】多边形的内角和
【解析】【分析】此题主要考查了多边形的内角和推导，东东的想法：将四边形从一个顶点出发画一条对角线，把四边形分成2个三角形， 三角形的内角和是180°，据此列式计算；
聪聪的想法：在四边形内部取一个点，连接这个点与四边形的四个顶点，把四边形分成4个三角形，再减去中间360°周角，据此可以求出四边形内角和；
观察图可以发现规律：每多一条边，内角和就多180°。
二、能力提升
10． 在探究五边形的内角和时，同学们采用了不同的方法。小明列出的算式是180°×4-180°，下面图(　　)能表示他所采用的方法。
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】多边形的内角和
【解析】【解答】解：A：算式是180°×3；
B：算式是180°×4-180°；
C：算式是180°×5-360°；
D：算式是180°+360°。
故答案为：B。
【分析】A：三个三角形的内角和就是五边形的内角和；
B：四个三角形的内角和减去下面一个平角度数就是五边形内角和；
C：5个三角形的内角和减去中间周角的度数就是五边形内角和；
D：四边形内角和加上三角形内角和就是五边形内角和。
11． 一个四边形，截一刀后得到的新多边形的内角和将（　　）
A．增加180°
B．减少180°
C．不变
D．不变或增加180°或减少 180°
【答案】D
【知识点】多边形的内角和
【解析】【解答】一个四边形截一刀后得到的多边形可能是三角形，可能是四边形，也可能是五边形，
内角和可能减少180度，可能不变，可能增加180度
故选：D
【分析】根据一个四边形截一刀后得到的多边形的边数即可得到答案。
12．已知一个正多边形的一个内角是140°，则这个正多边形的边数是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】D
【知识点】多边形的内角和
【解析】【解答】解设多边形的边为n边形，由内角和公式为：
(n-2)180=140n
n=9
故答案选D。
【分析】根据多边形的内角和公式，可得答案。
13．三角形的内角和是 180°。我们可以运用这个知识求出四边形、五边形、六边形内角和的度数，进而探索多边形的内角和：
多边形 内角和的度数
？
（1）照样子，写出计算六边形内角和度数的算式为　 　。
（2）观察算式，我们可以猜测 n 边形的内角和=　 　。
（3）利用前面探究的结论，我们可以快速计算出八边形的内角和是　 　°。若某一个多边形的内角和是1440°，则它是一个　 　边形。
【答案】（1）180°×4=720°
（2）180°×(n-2)
（3）1080；十
【知识点】多边形的内角和
【解析】【解答】解：（1）计算六边形内角和度数的算式为180°×4=720°；
（2）观察算式，我们可以猜测 n 边形的内角和=180°×(n-2)；
（3）八边形内角和：180°×（8-2）=1080°；
1440°÷180°+2=10，所以它是一个十边形。
故答案为：（1）180°×4=720°；（2）180°×（n-2）；（3）1080；十。
【分析】（1）观察可知，多边形内角和=180°×（多边形的边数-2），根据规律列式即可；
（2）根据规律用含有字母的式子表示出n边形的内角和；
（3）根据规律计算八边形的内角和；用多边形的内角和除以180°，然后加上2就是边数。
14．下图是某古建筑的六边形窗户。
多边形……边数3456……内角和180°360°540°　……
　
我们在探究多边形内角和的过程中采用了　 　法，请根据你所采用的方法，计算出六边形窗户的内角和是　 　。
【答案】分割；720°
【知识点】三角形的内角和；多边形的内角和
【解析】【解答】解：根据题意，可得180°×（6－2）
＝180°×4
＝720°
我们在探究多边形内角和的过程中采用了分割法，请根据你所采用的方法，计算出六边形窗户的内角和是720°。
多边形 ……
边数 3 4 5 6 ……
内角和 180° 360° 540° 720° ……
故答案为：分割；720°
【分析】三角形内角和：180°×（3-2）；四边形内角和：180°×（4-2）；五边形内角和：180°×（5－2）……由此可知，n边形可以分成（n－2）个三角形，内角和是180°×（n－2），代入数据，即可求出六边形的内角和。
15．小明在探究六边形的内角和时，他从六边形的一个顶点依次连接与这个顶点不相连的其它顶点，这样就把六边形分成　 　个三角形，因为三角形的内角和是180°，所以小明推算出六边形的内角和是　 　°。
【答案】4；720
【知识点】三角形的内角和；多边形的内角和
【解析】【解答】解：如图，把六边形分成4个三角形，
180°×4＝720°，六边形的内角和是720°。
故答案为：4；720。
【分析】（多边形的边数-2）×180°=多边形的内角和。
16．我们已经知道三角形的内角和等于180°。你能求出下面图形的内角和吗？
【答案】180°×3=540°
【知识点】多边形的内角和
【解析】【分析】把五边形的内角分成三个三角形，每个三角形的内角和都是180°，这些三角形的内角和就是五边形的内角和。
17．聪聪和明明在求六边形的内角和时，聪聪把六边形分成6 个三角形(图1)，因为三角形的内角和是180°，所以他认为六边形的内角和是 明明把六边形分成2个四边形(图2)，因为四边形的内角和是 360°，所以他认为六边形的内角和是 你同意谁的观点？请说明理由。
【答案】解：同意明明的观点。因为聪聪在计算时，多算了六边形中间的1个圆周角的度数，即多加了360°，所以正确的算法应为：
180°×6-360°
=1080°-360°
=720°。
【知识点】多边形的内角和
【解析】【分析】图一分成的三角形中，中间多算的一个周角不是多边形的内角和，所以要减去，这个六边形的内角和=180°×6-360°=720°。
三、思维拓展
18．请你用同样的方法计算下面六边形的内角和。
【答案】解：
六边形的内角和：180°×（6-2）=720°
【知识点】多边形的内角和
【解析】【分析】n边形可以分成n-2个三角形，那么n边形的内角和=180°×（n-2）。
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