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七年级数学（人教版）上册
第一、二章专题训练·绝对值
规范书写要点
非负性求值题：必须写“因为……≥0，……≥0，且和为0，所以……=0，……=0”.
数轴位置型化简：必须先写“由数轴可知……”，再判断每个绝对值内式子的正负，最后去绝对值.
零点分段法：必须写“令……=0，得零点……”，然后“①当……时；②当……时；③当……时”，最后“综上所述”.
化简结果表述：不使用分段函数花括号，统一写为“当……时，原式=……”.
最值题：必须写“当且仅当……时取等号”，并说明最值成立的条件.
应用题：必须写“误差绝对值=……，因为……，所以……”，最后下结论.
专题一　绝对值的非负性
【知识要点】
若 ，则且.
【例题】
例1已知，求 .
解：
因为 ，，且它们的和为0，
所以 ，.
所以，即 .
所以
所以
【变式训练】
变式1 点A、B在数轴上对应的数分别为a、b，满足 .点P对应的数为x，当时，求x.
变式2　已知 求.
变式3　若求 ab.
变式4　若，求
变式5　当x取何值时，|x 1|+2 有最小值？最小值是多少？
专题二　数轴位置型绝对值化简
【例题】
例1　有理数a、b、c在数轴上的位置（a在原点左侧较远，b在原点左侧靠近原点，c在原点右侧）.化简 |a b| |a+b|+|c|.
解：
由数轴可知 a|b|.
所以 a b<0，a+b<0，c>0.
所以
|a b|= (a b)，|a+b|= (a+b)，|c|=c.
原式
= (a b) [ (a+b)]+c
= a+b+a+b+c
=2b+c.
【变式训练】
变式1．有理数 a、b、c在数轴上所对应的点的位置如图：
在数轴上表示；
化简： ；
用“>”或“<”填空： 0， 0， 0；化简：．
变式2．已知a，b，c满足，．
求出a，b，c的值；
a，b，c在数轴上所对应的点分别为A，B，C，P为数轴上一动点，其对应的数为x，当点P在点B与点C之间时，化简式子（写出化简过程）
变式3．如图，在数轴上点A表示数，点B表示数，且
填空：__________，__________；
点D为数轴上一动点，其对应的数为x，当点D在AB之间（不含A，B两点）运动时，请化简式子：；
在（1）（2）的条件下，点A，B，D开始在数轴上运动，若点A以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点B以每秒2个单位长度的速度向右运动，点D从原点开始以每秒2个单位长度的速度向左运动，运动时间为t秒，运动过程中，点D始终在AB之间（不含A，B两点）运动，的值是否随着时间t的变化而变化？请说明理由．
变式4．
在学习绝对值后，我们知道绝对值的几何意义，如：表示5，3在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5，在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B之间的距离可表示为．
［尝试运用］
点A，B，C在数轴上分别表示有理数，那么点A到点B的距离是______，点A到点C的距离是______（直接填最后结果）；
点A，B，C在数轴上分别表示有理数，那么点A到点B的距离与点A到点C的距离之和可表示为______（用含绝对值的式子表示）；
【拓展探究】
利用数轴探究：
①满足的x的所有值是______；
②设，当时，m的值是不变的，而且是m的最小值，这个最小值是______；当x的值在______的范围时，的最小值是2，当x的值取3时，的最小值是______；
（4）试求的最小值．
专题三　零点分段讨论法化简
【例题】
例1　化简 |x+2|+|x 4|.
解：
令 x+2=0，得 x= 2；
令 x 4=0，得 x=4.
零点为 2、4，分三段讨论.
① 当 x< 2 时，
x+2<0，x 4<0，
所以|x+2|= (x+2)，|x 4|= (x 4).
原式= (x+2) (x 4)= x 2 x+4= 2x+2.
② 当 2≤x<4 时，
x+2≥0，x 4<0，
所以|x+2|=x+2，|x 4|= (x 4).
原式=(x+2) (x 4)=x+2 x+4=6.
③ 当 x≥4 时，
x+2>0，x 4≥0，
所以|x+2|=x+2，|x 4|=x 4.
原式=(x+2)+(x 4)=2x 2.
综上所述：
当 x< 2 时，原式 = 2x+2；
当 2≤x<4 时，原式 =6；
当 x≥4 时，原式 =2x 2.
【变式训练】
变式1　化简 |x 1|+|x 5|.
变式2　化简 |x+3| |x 2|.
变式3　化简 |x+1|+|x|+|x 2|.
变式4　化简 |2x+1|+|x 2|.
变式5　化简 |x 2| |x+4|.
专题四　绝对值的几何意义与最值
【例题】
例1　求 |x 3|+|x+2| 的最小值；若 |x 3|+|x+2|=7，求x.
解：
|x 3| 表示x到3的距离，
|x+2|=|x ( 2)| 表示x到 2的距离.
两定点3与 2之间的距离为3 ( 2)=5.
当 2≤x≤3 时，距离之和最小，最小值为5.
若 |x 3|+|x+2|=7，因为 7>5，所以x在 2左侧或3右侧.
① 当 x< 2 时，
3 x+( 2 x)=7，即 1 2x=7，
解得 2x=6，x= 3.符合 x< 2.
② 当 x>3 时，
x 3+x+2=7，即 2x 1=7，
解得 2x=8，x=4.符合 x>3.
综上所述，最小值为5；当 |x 3|+|x+2|=7 时，x= 3 或 x=4.
【变式训练】
变式1　求 |x+2|+|x 3| 的最小值.
变式2　求 |x+3| |x 1| 的最大值和最小值.
变式3　求 |x+2|+|x|+|x 4| 的最小值.
变式4　求 |x 5|+|x+3| 的最小值；写出使 |x 5|+|x+3|=8 的所有整数x.
变式5　求 |x 1|+|x 2|+|x 3| 的最小值.
变式6　求 |x 1|+|x 2|+|x 3|+|x 4| 的最小值.
专题五型分类讨论
【例题】
例1　若a为非零有理数，求 .
解：当 a>0 时，|a|=a，
所以 .
当 a<0 时，|a|= a，
所以
综上所述：当 a>0 时，值为1；当 a<0 时，值为 1.
【变式训练】
变式1　已知，，|c|=c，求.
变式2　已知a、b、c是非零有理数，求 的所有可能值.
变式3　若 abc≠0，求
变式4　若a、b异号，求 .
专题六　绝对值综合应用
【例题】
例1　某零件标准直径为10 mm，误差绝对值不超过0.02 mm为合格品，在0.02 mm到0.05 mm之间为次品，超过0.05 mm为废品.测得5件样品直径为：10.01，9.96，10.03，9.94，10.06.判断各样品类别.
解：
分别计算各样品直径与标准直径10 mm的误差绝对值：
A：|10.01 10|=0.01<0.02，合格品；
B：|9.96 10|=0.04，0.02<0.04<0.05，次品；
C：|10.03 10|=0.03，0.02<0.03<0.05，次品；
D：|9.94 10|=0.06>0.05，废品；
E：|10.06 10|=0.06>0.05，废品.
答：A为合格品，B、C为次品，D、E为废品.
例2　（1）当x取何值时，|x 2|+3 有最小值？最小值是多少？
　（2）当a取何值时，5 |a+1| 有最大值？最大值是多少？
解：
（1）因为 |x 2|≥0，
所以 |x 2|+3≥3.
当且仅当 |x 2|=0，即 x=2 时取等号.
所以当 x=2 时，最小值为3.
（2）因为 |a+1|≥0，
所以 |a+1|≤0，
所以 5 |a+1|≤5.
当且仅当 |a+1|=0，即 a= 1 时取等号.
所以当 a= 1 时，最大值为5.
【变式训练】
变式1　
某零件标准直径为20 mm，误差绝对值不超过0.03 mm为合格品.测得4件样品直径为20.02，19.97，20.04，19.96，判断哪些合格.
变式2　
［阅读材料］
在数轴上点表示的数为点表示的数为，则点到点的距离记为，若，线段的长度可以表示为；若，线段的长度可以表示为．
［问题探究］

如图，点A在数轴上表示的数是8，点B在数轴上表示的数是，则______；
在（1）的条件下，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴匀速向右运动；同时动点O从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴匀速向右运动，设两点的运动时间为t秒，当时，求t的值；
在（1）的条件下，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向点B匀速运动；同时点N从点B出发，以每秒3个单位长度的速度向点A运动．当点M到达点B后，立即以原速返回，到达点A停止运动，当点N到达点A后，立即速度变为原速的一半返回，到达点B停止运动，请问：当点M运动时间为多少秒时，．
变式3
【阅读材料】我们在数学的学习过程中要接触到“数”和“形”，它们在一定条件下可以相互转化，这样的联系称为数形结合．数形结合是一种重要的数学思想方法，有着广泛的应用，在中学数学阶段，数形结合应用大致分为两种情形：借助数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观来阐明数之间某种关系．
我们学习过的绝对值知识从形的角度来解释就是：表示在数轴上数a到原点的距离．借助绝对值的形的解释，我们就可以得到．又比如从数的角度来解释：表示7与3差的绝对值；从形的角度来解释：7与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．
【分析应用】如图1，A、B是数轴上两点（A在B的左侧），A表示的数是．动点M从点A出发，以每秒3个单位的速度沿数轴向右匀速运动．
B点表示的数是 ，A和B两点之间的距离为 ；
①从形的角度来解释：5与 两数在数轴上所对应的两点之间的距离；
②数轴上表示数a和的两点之间的距离表示为 ；
③当a为 时，．
若动点M在A和B两点之间运动，其对应数的为，化简：（写出化简过程）．
若动点N从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若M、N同时出发，问点M运动多少秒时，M、N相距1个单位长度？
变式4
阅读下面材料：
如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且，
(1)写出数轴上点B表示的数________；
(2)表示5与3之差的绝对值，实际上也可理解为5与3两数在数轴上所对的两点之间的距离，如的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离．试探索：
①若，则________．
②的最小值为________；且满足条件（最小值）的所有整数x的和为________．
③若x表示一个有理数，有最小值为________．
动点P从0点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒，当________，A，P两点之间的距离为2．
变式5
先阅读，结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
【阅读】表示与差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
【探索】（1）数轴上表示和的两点之间的距离是____；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是，那么的值为____．
（2）若，，且数，在数轴上表示的点分别是点、点，则，两点间的最大距离是____，最小距离是____．
（3）利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是____．
【应用】（4）小明妈妈要租房，使小明到学校与妈妈到上班地点距离和最小，若把租房地记作，妈妈上班地点记作，小明学校记作，那么距离和的最小值是____．
【拓展】（5）的最小值是____．
七年级数学（人教版）上册
第一、二章专题训练·绝对值
规范书写要点
非负性求值题：必须写“因为……≥0，……≥0，且和为0，所以……=0，……=0”.
数轴位置型化简：必须先写“由数轴可知……”，再判断每个绝对值内式子的正负，最后去绝对值.
零点分段法：必须写“令……=0，得零点……”，然后“①当……时；②当……时；③当……时”，最后“综上所述”.
化简结果表述：不使用分段函数花括号，统一写为“当……时，原式=……”.
最值题：必须写“当且仅当……时取等号”，并说明最值成立的条件.
应用题：必须写“误差绝对值=……，因为……，所以……”，最后下结论.
专题一　绝对值的非负性
【知识要点】
若 ，则且.
【例题】
例1已知，求 .
解：
因为 ，，且它们的和为0，
所以 ，.
所以，即 .
所以
所以
【变式训练】
变式1
点A、B在数轴上对应的数分别为a、b，满足 .点P对应的数为x，当时，求x.
解：
因为 且
所以 即
所以
由得
分情况讨论：
① 当时，
即
解得
因为 符合条件.
② 当时，
无解.
③ 当 时，
即
解得
因为，符合条件.
综上所述，或
变式2　已知 求.
解：
因为 (a+2)2≥0，|b 1|≥0，且它们的和为0，
所以 a+2=0，b 1=0，即 a= 2，b=1.
所以 a+b= 2+1= 1.
所以 (a+b)2027=( 1)2027= 1.
变式3　若求 ab.
解：
由非负性可知
2026a+2=0，2027b+1=0.
所以
所以
变式4　若，求
解：
由非负性可知
a 1=0，ab 2=0.
所以 a=1，b=2.
将 a=1，b=2 代入，原式为
因为
……
将以上各式相加，中间项相互抵消，得
变式5　当x取何值时，|x 1|+2 有最小值？最小值是多少？
解：
因为 |x 1|≥0，
所以 |x 1|+2≥2.
当且仅当 |x 1|=0，即 x=1 时取等号.
所以当 x=1 时，|x 1|+2 取得最小值，最小值为2.
专题二　数轴位置型绝对值化简
【例题】
例1　有理数a、b、c在数轴上的位置（a在原点左侧较远，b在原点左侧靠近原点，c在原点右侧）.化简 |a b| |a+b|+|c|.
解：
由数轴可知 a|b|.
所以 a b<0，a+b<0，c>0.
所以
|a b|= (a b)，|a+b|= (a+b)，|c|=c.
原式
= (a b) [ (a+b)]+c
= a+b+a+b+c
=2b+c.
【变式训练】
变式1．有理数 a、b、c在数轴上所对应的点的位置如图：
在数轴上表示；
化简： ；
用“>”或“<”填空： 0， 0， 0；化简：．
解：（1）如图所示，
（2）解：由图可得：，
∴、、、，
∴
（3）解：∵，
，，；
∴
变式2．已知a，b，c满足，．
求出a，b，c的值；
a，b，c在数轴上所对应的点分别为A，B，C，P为数轴上一动点，其对应的数为x，当点P在点B与点C之间时，化简式子（写出化简过程）
解：（1）由绝对值的非负性、偶次方的非负性得：，，
解得，，
，
，
综上，；
（2）由题意，画数轴如下：
由数轴的定义得：，
则，
因此，
，
，
．
变式3．如图，在数轴上点A表示数，点B表示数，且
填空：__________，__________；
点D为数轴上一动点，其对应的数为x，当点D在AB之间（不含A，B两点）运动时，请化简式子：；
在（1）（2）的条件下，点A，B，D开始在数轴上运动，若点A以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点B以每秒2个单位长度的速度向右运动，点D从原点开始以每秒2个单位长度的速度向左运动，运动时间为t秒，运动过程中，点D始终在AB之间（不含A，B两点）运动，的值是否随着时间t的变化而变化？请说明理由．
（1）解：，
则，，
解得，，
（2）解：点在之间，且对应的数为，
，
，，
原式；
（3）解：为定值不随时间的变化而变化，理由如下：
由题可知，秒后：
A点对应的数可表示为，
B点对应的数可表示为，
D点对应的数可表示为，
，
，
，
即是一个定值，的值不随着时间的变化而变化．
变式4．
在学习绝对值后，我们知道绝对值的几何意义，如：表示5，3在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5，在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B之间的距离可表示为．
［尝试运用］
点A，B，C在数轴上分别表示有理数，那么点A到点B的距离是______，点A到点C的距离是______（直接填最后结果）；
点A，B，C在数轴上分别表示有理数，那么点A到点B的距离与点A到点C的距离之和可表示为______（用含绝对值的式子表示）；
【拓展探究】
利用数轴探究：
①满足的x的所有值是______；
②设，当时，m的值是不变的，而且是m的最小值，这个最小值是______；当x的值在______的范围时，的最小值是2，当x的值取3时，的最小值是______；
（4）试求的最小值．
解：（1）点A，B，C在数轴上分别表示有理数，，3，那么A到B的距离是，A到C的距离是，
（2）点A，B，C在数轴上分别表示有理数，，1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为；
（3）①当时，即，解得，
当时，即，解得，
当时，表示，3在数轴上对应的两点之间的距离为4，不可能为8，则此情况不成立；
故满足的的所有值是5或；
②设，当时，m的值不变，且是m的最小值，最小值是，
当的值取在的范围时，的最小值是，
当的取值是3时，的最小值是;
（4）当时，的最小值为．
专题三　零点分段讨论法化简
【例题】
例1　化简 |x+2|+|x 4|.
解：
令 x+2=0，得 x= 2；
令 x 4=0，得 x=4.
零点为 2、4，分三段讨论.
① 当 x< 2 时，
x+2<0，x 4<0，
所以|x+2|= (x+2)，|x 4|= (x 4).
原式= (x+2) (x 4)= x 2 x+4= 2x+2.
② 当 2≤x<4 时，
x+2≥0，x 4<0，
所以|x+2|=x+2，|x 4|= (x 4).
原式=(x+2) (x 4)=x+2 x+4=6.
③ 当 x≥4 时，
x+2>0，x 4≥0，
所以|x+2|=x+2，|x 4|=x 4.
原式=(x+2)+(x 4)=2x 2.
综上所述：
当 x< 2 时，原式 = 2x+2；
当 2≤x<4 时，原式 =6；
当 x≥4 时，原式 =2x 2.
【变式训练】
变式1　化简 |x 1|+|x 5|.
解：
零点为 x=1、x=5.
① 当 x<1 时，
原式 = (x 1) (x 5)= 2x+6.
② 当 1≤x<5 时，
原式 =(x 1) (x 5)=4.
③ 当 x≥5 时，
原式 =(x 1)+(x 5)=2x 6.
综上所述：
当 x<1 时，原式 = 2x+6；
当 1≤x<5 时，原式 =4；
当 x≥5 时，原式 =2x 6.
变式2　化简 |x+3| |x 2|.
解：
零点为 x= 3、x=2.
① 当 x< 3 时，
原式 = (x+3) [ (x 2)]= x 3+x 2= 5.
② 当 3≤x<2 时，
原式 =(x+3) [ (x 2)]=x+3+x 2=2x+1.
③ 当 x≥2 时，
原式 =(x+3) (x 2)=x+3 x+2=5.
综上所述：
当 x< 3 时，原式 = 5；
当 3≤x<2 时，原式 =2x+1；
当 x≥2 时，原式 =5.
变式3　化简 |x+1|+|x|+|x 2|.
解：
零点为 x= 1、x=0、x=2.
① 当 x< 1 时，
原式 = (x+1) x (x 2)= 3x+1.
② 当 1≤x<0 时，
原式 =(x+1) x (x 2)= x+3.
③ 当 0≤x<2 时，
原式 =(x+1)+x (x 2)=x+3.
④ 当 x≥2 时，
原式 =(x+1)+x+(x 2)=3x 1.
综上所述：
当 x< 1 时，原式 = 3x+1；
当 1≤x<0 时，原式 = x+3；
当 0≤x<2 时，原式 =x+3；
当 x≥2 时，原式 =3x 1.
变式4　化简 |2x+1|+|x 2|.
解：
令 2x+1=0，得 x=；令 x 2=0，得 x=2.
零点为 、2.
① 当 x< 时，
原式 = (2x+1) (x 2)= 3x+1.
② 当 ≤x<2 时，
原式 =(2x+1) (x 2)=x+3.
③ 当 x≥2 时，
原式 =(2x+1)+(x 2)=3x 1.
综上所述：
当 x<时，原式 = 3x+1；
当≤x<2 时，原式 =x+3；
当 x≥2 时，原式 =3x 1.
变式5　化简 |x 2| |x+4|.
解：零点为 x=2、x= 4.
① 当 x< 4 时，
原式 = (x 2) [ (x+4)]= x+2+x+4=6.
② 当 4≤x<2 时，
原式 = (x 2) (x+4)= x+2 x 4= 2x 2.
③ 当 x≥2 时，
原式 =(x 2) (x+4)=x 2 x 4= 6.
综上所述：
当 x< 4 时，原式 =6；
当 4≤x<2 时，原式 = 2x 2；
当 x≥2 时，原式 = 6.
专题四　绝对值的几何意义与最值
【例题】
例1　求 |x 3|+|x+2| 的最小值；若 |x 3|+|x+2|=7，求x.
解：
|x 3| 表示x到3的距离，
|x+2|=|x ( 2)| 表示x到 2的距离.
两定点3与 2之间的距离为3 ( 2)=5.
当 2≤x≤3 时，距离之和最小，最小值为5.
若 |x 3|+|x+2|=7，因为 7>5，所以x在 2左侧或3右侧.
① 当 x< 2 时，
3 x+( 2 x)=7，即 1 2x=7，
解得 2x=6，x= 3.符合 x< 2.
② 当 x>3 时，
x 3+x+2=7，即 2x 1=7，
解得 2x=8，x=4.符合 x>3.
综上所述，最小值为5；当 |x 3|+|x+2|=7 时，x= 3 或 x=4.
【变式训练】
变式1　求 |x+2|+|x 3| 的最小值.
解：|x+2| 表示x到 2的距离，
|x 3| 表示x到3的距离.
两定点距离为3 ( 2)=5.
当 2≤x≤3 时，距离之和最小.
所以最小值为5.
变式2　求 |x+3| |x 1| 的最大值和最小值.
解：|x+3| 表示x到 3的距离，
|x 1| 表示x到1的距离.
两定点距离为1 ( 3)=4.
当 x≥1 时，|x+3| |x 1|=(x+3) (x 1)=4，
所以最大值为4.
当 x≤ 3 时，|x+3| |x 1|= (x+3) [ (x 1)]= x 3+x 1= 4，
所以最小值为 4.
综上所述，最大值为4，最小值为 4.
变式3　求 |x+2|+|x|+|x 4| 的最小值.
解：零点为 2、0、4.
由绝对值的几何意义，当x取中间零点 x=0 时，距离之和最小.
此时|0+2|+|0|+|0 4|=2+0+4=6.
所以最小值为6.
变式4　求 |x 5|+|x+3| 的最小值；写出使 |x 5|+|x+3|=8 的所有整数x.
解：|x 5| 表示x到5的距离，
|x+3|=|x ( 3)| 表示x到 3的距离.
两定点距离为5 ( 3)=8.
当 3≤x≤5 时，距离之和恒为8，即为最小值.
所以使 |x 5|+|x+3|=8 的整数x为 3、 2、 1、0、1、2、3、4、5.
变式5　求 |x 1|+|x 2|+|x 3| 的最小值.
解：零点为1、2、3.
当x取中间零点 x=2 时，距离之和最小.
此时
|2 1|+|2 2|+|2 3|=1+0+1=2.
所以最小值为2.
变式6　求 |x 1|+|x 2|+|x 3|+|x 4| 的最小值.
解：零点为1、2、3、4.
当 2≤x≤3 时，距离之和最小.
此时
(x 1)+(x 2)+(3 x)+(4 x)=4.
所以最小值为4.
专题五型分类讨论
【例题】
例1　若a为非零有理数，求 .
解：当 a>0 时，|a|=a，
所以 .
当 a<0 时，|a|= a，
所以
综上所述：当 a>0 时，值为1；当 a<0 时，值为 1.
【变式训练】
变式1　已知，，|c|=c，求.
解：由，知 a<0.
同理，由，知 b<0.
由 |c|=c，知 c≥0.
又因为分母 abc≠0，所以 c>0.
因此 a<0，b<0，c>0，所以 abc>0.
所以 |abc|=abc，.
变式2　已知a、b、c是非零有理数，求 的所有可能值.
解：对于非零有理数a，当 a>0 时；当 a<0 时 .
设a、b、c中正数个数为k，则负数个数为 3 k.
原式 =k×1+(3 k)×( 1)=2k 3.
因为k可取0、1、2、3，
所以原式可能值为 3、 1、1、3.
变式3　若 abc≠0，求
解：设a、b、c中负数个数为n.
前三项中，每个正数贡献1，每个负数贡献 1，
所以前三项之和为 (3 n) n=3 2n.
第四项
当n为偶数时，abc>0，第四项为1；
当n为奇数时，abc<0，第四项为 1.
分别讨论：
① n=0：原式 =3+1=4；
② n=1：原式 =1 1=0；
③ n=2：原式 = 1+1=0；
④ n=3：原式 = 3 1= 4.
所以原式的可能值为 4、0、 4.
变式4　若a、b异号，求 .
解：
因为a、b异号，所以一个为正，一个为负.
若 a>0，b<0，则，，原式 =1+( 1)=0.
若 a<0，b>0，同理原式 =( 1)+1=0.
所以原式的值为0.
专题六　绝对值综合应用
【例题】
例1　某零件标准直径为10 mm，误差绝对值不超过0.02 mm为合格品，在0.02 mm到0.05 mm之间为次品，超过0.05 mm为废品.测得5件样品直径为：10.01，9.96，10.03，9.94，10.06.判断各样品类别.
解：
分别计算各样品直径与标准直径10 mm的误差绝对值：
A：|10.01 10|=0.01<0.02，合格品；
B：|9.96 10|=0.04，0.02<0.04<0.05，次品；
C：|10.03 10|=0.03，0.02<0.03<0.05，次品；
D：|9.94 10|=0.06>0.05，废品；
E：|10.06 10|=0.06>0.05，废品.
答：A为合格品，B、C为次品，D、E为废品.
例2　（1）当x取何值时，|x 2|+3 有最小值？最小值是多少？
　（2）当a取何值时，5 |a+1| 有最大值？最大值是多少？
解：
（1）因为 |x 2|≥0，
所以 |x 2|+3≥3.
当且仅当 |x 2|=0，即 x=2 时取等号.
所以当 x=2 时，最小值为3.
（2）因为 |a+1|≥0，
所以 |a+1|≤0，
所以 5 |a+1|≤5.
当且仅当 |a+1|=0，即 a= 1 时取等号.
所以当 a= 1 时，最大值为5.
【变式训练】
变式1　
某零件标准直径为20 mm，误差绝对值不超过0.03 mm为合格品.测得4件样品直径为20.02，19.97，20.04，19.96，判断哪些合格.
解：
分别计算误差绝对值：
|20.02 20|=0.02≤0.03，合格；
|19.97 20|=0.03≤0.03，合格；
|20.04 20|=0.04>0.03，不合格；
|19.96 20|=0.04>0.03，不合格.
答：20.02、19.97合格；20.04、19.96不合格.
变式2　
［阅读材料］
在数轴上点表示的数为点表示的数为，则点到点的距离记为，若，线段的长度可以表示为；若，线段的长度可以表示为．
［问题探究］

如图，点A在数轴上表示的数是8，点B在数轴上表示的数是，则______；
在（1）的条件下，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴匀速向右运动；同时动点O从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴匀速向右运动，设两点的运动时间为t秒，当时，求t的值；
在（1）的条件下，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向点B匀速运动；同时点N从点B出发，以每秒3个单位长度的速度向点A运动．当点M到达点B后，立即以原速返回，到达点A停止运动，当点N到达点A后，立即速度变为原速的一半返回，到达点B停止运动，请问：当点M运动时间为多少秒时，．
解：
根据题意得：．
当运动时间为秒时，点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是，
根据题意得：，
即或，
解得：或．
答：的值为4或14；
依题意，（秒），（秒），（秒），（秒）．
当时，点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是，
根据题意得：，
即或，
解得：或；
当时，点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是，
根据题意得：，
解得：（不符合题意，舍去）；
当时，点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是，
根据题意得：，
即或，
解得：或．
答：当点运动时间为或5或或秒时，．
变式3
【阅读材料】我们在数学的学习过程中要接触到“数”和“形”，它们在一定条件下可以相互转化，这样的联系称为数形结合．数形结合是一种重要的数学思想方法，有着广泛的应用，在中学数学阶段，数形结合应用大致分为两种情形：借助数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观来阐明数之间某种关系．
我们学习过的绝对值知识从形的角度来解释就是：表示在数轴上数a到原点的距离．借助绝对值的形的解释，我们就可以得到．又比如从数的角度来解释：表示7与3差的绝对值；从形的角度来解释：7与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．
【分析应用】如图1，A、B是数轴上两点（A在B的左侧），A表示的数是．动点M从点A出发，以每秒3个单位的速度沿数轴向右匀速运动．
B点表示的数是 ，A和B两点之间的距离为 ；
①从形的角度来解释：5与 两数在数轴上所对应的两点之间的距离；
②数轴上表示数a和的两点之间的距离表示为 ；
③当a为 时，．
若动点M在A和B两点之间运动，其对应数的为，化简：（写出化简过程）．
若动点N从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若M、N同时出发，问点M运动多少秒时，M、N相距1个单位长度？
（1）解：由数轴可得点B表示的数为4；
A和B两点之间的距离为．
（2）解：①从形的角度来解释：5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；
②数轴上表示数a和的两点之间的距离表示为．
③∵表示点a表示的点到的距离与到2的距离的和为13，
∴或6．
（3）解：∵动点M在A和B两点之间运动，
∴，
∴．
（4）解：设点M运动t秒时，M、N相距1个单位长度，
由题意可得：点M表示的数为，点N表示的数为t，
∴，解得：或2，
∴点M运动1或2秒时，M、N相距1个单位长度．
变式4
阅读下面材料：
如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且，
(1)写出数轴上点B表示的数________；
(2)表示5与3之差的绝对值，实际上也可理解为5与3两数在数轴上所对的两点之间的距离，如的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离．试探索：
①若，则________．
②的最小值为________；且满足条件（最小值）的所有整数x的和为________．
③若x表示一个有理数，有最小值为________．
动点P从0点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒，当________，A，P两点之间的距离为2．
（1）解：点B表示的数为；
（2）①∵，
∴，
则或；
②当时，取得最小值，最小值为，
此时满足条件的整数之和为：
；
③∵表示数轴上数对应的点到数，数，数对应的点的距离之和，
当这个距离之和最小时，则数对应的点与数3对应的点重合，
∴当时，有最小值，最小值为．
（3）由A，P两点之间的距离为2，可得，
，则（秒）；
，则（秒），
所以当或秒时，A，P两点之间的距离为2．
变式5
先阅读，结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
【阅读】表示与差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
【探索】（1）数轴上表示和的两点之间的距离是____；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是，那么的值为____．
（2）若，，且数，在数轴上表示的点分别是点、点，则，两点间的最大距离是____，最小距离是____．
（3）利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是____．
【应用】（4）小明妈妈要租房，使小明到学校与妈妈到上班地点距离和最小，若把租房地记作，妈妈上班地点记作，小明学校记作，那么距离和的最小值是____．
【拓展】（5）的最小值是____．
解：（）数轴上表示和的两点之间的距离是，
表示数和的两点之间的距离是，则有，
∴或；
（）∵，，
∴或，或，
∴当，时，A，B两点间有最大距离，
当，时，A，B两点间有最小距离，
（）∵，
∴，
∴符合条件的整数点的值为，，，，，，，，
∴点表示的数的和是；
（）由表示与，的距离之和，
当时，距离和有最小值；
（）当时，距离和有最小值，为
．

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