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四川成都市玉林中学2025-2026学年八年级下学期5月期中数学试题
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故答案为：B.
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，如果把一个图形绕某一点旋转180°后，旋转得到的图形能够和原图形重合，这个图形就是中心对称图形；如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两侧的部分可以完全重合，这个图形就是轴对称图形，根据定义对各选项进行判断即可.
2．已知，下列不等式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵，
∴，故本选项不符合题意；
B、∵，
∴，故本选项不符合题意；
C、∵，
∴，故本选项符合题意；
D、∵，
∴，
∴，故本选项不符合题意；
故选：C．
【分析】
根据不等式的基本性质（不等式两边同除以或乘同一个负数，不等号方向发生改变）进行判断即可．
3．下列命题，假命题是（　　）
A．有一个内角等于的等腰三角形是等边三角形
B．有一个角是，腰相等的两个等腰三角形全等
C．三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等
D．三角形两个内角平分线的交点到三边的距离相等
【答案】B
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：、∵等腰三角形有一个内角为，若是顶角，则两个底角均为；若是底角，则顶角为，
∴三个内角均为，该三角形是等边三角形，故该选项是真命题，不符合题意；
、∵题目中的角未说明是顶角还是底角，当一个等腰三角形的是顶角，另一个等腰三角形的是底角时，两个三角形的内角度数不相等，
∴即使腰长相等，两个三角形也不全等，故该选项是假命题，符合题意；
、∵线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，
∴三角形两边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，故该选项是真命题，不符合题意；
、∵角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴三角形两个内角平分线的交点到三边的距离相等，故该选项是真命题，不符合题意．
故答案为：B.
【分析】根据等边三角形的判定定理、全等三角形的判定定理，以及三角形内心与外心的性质，逐个判断每个命题的真假，就能得出最终结论了．
4．一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式得，
∴不等式组的解集为，
在数轴上表示为．
故答案为：C.
【分析】先分别解出不等式组中每个不等式的解集，再取两个解集的公共部分得到不等式组的最终解集，最后根据解集判断对应数轴表示的选项即可.
5．用反证法证明命题“在钝角三角形中若，则”时，应先假设（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：反证法进行证明时，第一步需要先假设原命题要证明的结论不成立。本题中原命题需要证明的结论是，
因此结论不成立就是，
所以使用反证法时应当先假设。
故答案选：D.
【分析】反证法的操作步骤中，第一步就是假设原命题的结论不成立，据此找出符合要求的假设即可得到答案.
6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数的图象交于点，则关于的不等式 的解集为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数与正比例函数，的图象交于点，
∴当时，，
故答案为：．
【分析】结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可.
7．如图，在中，，，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，交边于点，连接，则的周长为（　　）
A．13 B．12 C．11 D．10
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由题意得：垂直平分，
∴，
∵，，
∴的周长为，
故答案为：A.
【分析】先确定的性质为垂直平分，再利用线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，得到，最后通过等量代换结合三角形周长公式计算出结果.
8．将一些书分给九（1）班的所有学生，若每人分4本，则还剩77本书；若每人分6本，则有一名学生能分到书但少于5本，求这些书的本数与九（1）班学生的人数，设九（1）班有学生x人，则列出的不等式组是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】列一元一次不等式组
【解析】【解答】解：设九（1）班有学生x人，则共有本书，
若每位学生分6本书，则有一名学生能分到书但少于5本，
则．
故选：C．
【分析】
设九（1）班一共有x名学生，根据“如果给每位学生分4本图书，最后还剩余77本”，可以得到图书的总数量为本；再结合“如果给每位学生分6本图书，只有一名学生可以分到图书，但是分到的图书不足5本”这个条件，就可以列出对应的一元一次不等式组求解.
9．“的倍不小于”用不等式表示为　 　．
【答案】
【知识点】列不等式
【解析】【解答】解：“x的3倍不小于y”用不等式表示为，
故答案为：．
【分析】根据“的倍”可以表示为，题目要求“不小于y”，结合不等关系即可列出对应不等式．
10．分解因式：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：
，
故答案为：．
【分析】分解因式时，先将提取负号变形为，再提取公因式，即可得到最终分解结果.
11．在平面直角坐标系中，将点先向右平移4个单位，再向下平移3个单位，得到点，则点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：将点先向右平移4个单位，再向下平移3个单位，得到点，
则点的坐标为，即．
故答案为：．
【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点的平移规律，即横坐标右移加、左移减，纵坐标上移加、下移减。将点 P(-3，1) 的横坐标加4、纵坐标减3，得到点 Q 的坐标为 (-3+4， 1-3) = (1，-2)。
12．一个多边形的内角和为1620度，这个多边形的边数是　 　
【答案】11
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为n，
由题意可得：（n-2）×180°=1620°，
解得n=11．
答：这个多边形的边数为11．
故答案为：11．
【分析】设这个多边形的边数为n，根据题意列出方程（n-2）×180°=1620°，再求出n的值即可。
13．如图，在中，，，，将绕点A按顺时针旋转一定角度得到，当点B的对应点D恰好落在边上时，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转的性质得，，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴．
故答案为：0.8.
【分析】根据旋转的性质得到边相等的关系，再结合60°的角判定等边三角形，进而得到边长的长度，最后结合BC的长计算出CD的长度.
14．解不等式（组）：
（1）
（2）
【答案】（1）解：去括号得，
移项合并得.
（2）解：，解不等式①得，，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）将含未知数的项移到左边，常数项移到另一边合并同类项；
（2）依据“同小取小”的原则，找出两个不等式各自解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集.
（1）解：去括号得，
移项合并得；
（2）解：，
解不等式①得，，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为．
15．如图，在边长为1的小正方形组成的方格纸中的顶点都在方格纸的格点上，经过平移使得的顶点C移到了点的位置．
（1）画出平移后的（点与点A对应，点与点B对应）；
（2）指出平移的方向和平移的距离；
（3）求线段在平移过程中扫过部分的面积．
【答案】（1）解：如图所示：即为所求；
（2）解：根据（1）中图象可得平移方向是：向右平移4个单位，向下平移1个单位．
（3）解：线段在平移过程中扫过部分的面积为．
【知识点】平移的性质；作图﹣平移；平行四边形的面积
【解析】【分析】（1）根据平移的性质，确定出平移后各对应点的位置；
（2）利用平移的性质得到所求结果；
（3）线段在整个平移过程中，扫过的区域面积为两个平行四边形的面积和.
（1）解：如图所示：即为所求；
（2）解：根据（1）中图象可得平移方向是：向右平移4个单位，向下平移1个单位．
（3）解：线段在平移过程中扫过部分的面积为．
16．若关于的不等式的最小整数解是方程的解，求代数式的值？
【答案】解：解不等式，移项得，
合并同类项得，
系数化为得，
∴不等式的最小整数解为，
把代入方程得，
化简得，
解得，
把代入得，
∴代数式的值为．
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式的特殊解；求代数式的值-整体代入求值；已知一元一次方程的解求参数
【解析】【分析】先求解一元一次不等式得出其解集，在解集中找出最小的整数解，将这个最小整数解代入方程求出的值，最后将m的值代入所求代数式计算，就能得到最终结果.
17．如图，在四边形中，，是上的一点，且，连接，，．
求证：
（1）．
（2）．
【答案】（1）解：，
和均为直角三角形．
在和中，
，
．
（2）解：
，
∴，
，
，
，
，
∴．
【知识点】垂线的概念；直角三角形全等的判定-HL；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】
（1）利用直角三角形全等的判定定理“”完成证明。
（2）先根据全等三角形对应角相等的性质，得到，再结合角的和差关系推出，即可得到结论。
（1）解：，
和均为直角三角形．
在和中，
，
．
（2），
∴，
，
，
，
，
∴．
18．如图1，在平面直角坐标系中，为直角三角形，，， ，点C为上一动点．
（1）点A的坐标为________；
（2）连接，并延长交y轴于点D，若的面积恰好被x轴分成两部分，求点C的坐标；
（3）如图2，若，将绕点O顺时针旋转，得到，如图2所示，所在直线交直线于点，当为直角三角形时，直接写出点的坐标．
【答案】（1）
（2）解：根据题意分两种情况讨论：①时，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
，
∴直线的解析式为，
∴当时，，
∴点；
②时，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
，
∴直线的解析式为，
∴当时，，
∴点；
综上所述：点的坐标为或．
（3）或或或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】（1）解：∵，
，
，
，
．
故答案为：.
（3）解：如图，当时，过点作于，
∵将绕点顺时针旋转，得到，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
当时，如图，
∵将绕点顺时针旋转，得到，
∴，
∴点在轴上，
∴点；
如图，当旋转角大于时，由中心对称的性质可得：点的坐标或，
综上所述：点的坐标或或或．
【分析】（1）根据含30°角的直角三角形的性质，利用平面直角坐标系的坐标特点得到结果；
（2）需要分两种不同情况进行讨论，分别是，以及，先根据三角形的面积关系求出点的坐标，再通过待定系数法得到直线的解析式，进而得到最终结果；
（3）需要分两种情况讨论，第一种是，第二种是，根据旋转的性质。利用含30°角的直角三角形的性质求出点B'的坐标即可.
（1）解：∵，
，
，
，
．
（2）解：根据题意分两种情况讨论：
①时，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
，
∴直线的解析式为，
∴当时，，
∴点；
②时，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
，
∴直线的解析式为，
∴当时，，
∴点；
综上所述：点的坐标为或．
（3）解：如图，当时，过点作于，
∵将绕点顺时针旋转，得到，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
当时，如图，
∵将绕点顺时针旋转，得到，
∴，
∴点在轴上，
∴点；
如图，当旋转角大于时，由中心对称的性质可得：点的坐标或，
综上所述：点的坐标或或或．
19．已知关于的不等式组有解，则的取值范围为　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：
解不等式得：，
解不等式得：移项得 ，
合并同类项得，
系数化为得，
∵不等式组有解，
∴．
故答案为：.
【分析】先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组有解的条件，推导得到参数m的取值范围．
20．如图，在中，，、分别是和的角平分线，且，，则的周长是　 　．
【答案】5
【知识点】等腰三角形的判定与性质；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：、分别是和的角平分线，
，，
，，
，，
，，
，，
，
的周长为，
故答案为：．
【分析】
已知、分别平分和，根据角平分线的定义可以得到，。再结合平行线的性质，可推出，，通过等量代换可得，。根据等角对等边的判定定理，即可得到，，最后将关系代入即可完成计算求解。
21．如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形，A、C分别在y轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为，将P点关于A对称得到，将关于O点对称得到，将关于C点对称得到，将关于B点对称得到，将关于A点对称得到……，按照顺序以此类推，则的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣中心对称；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：P点坐标为，将P点关于A对称得到，
，
将关于O点对称得到，
，
将关于C点对称得到，
，
将关于B点对称得到，
，
将关于A点对称得到
，
按照顺序以此类推，坐标按照，，，四个为一个循环，
，
则的坐标为；
故答案为：．
【分析】根据题意坐标的变化规律，发现点的坐标会以、、、这四个为一个周期循环出现，根据这个循环规律计算就能得到结果.
22．定义：在平面直角坐标系xOy中，点， ．若，为常数，且，则称点为点的“级上升点”．如点为点的上升点”．若点为点的“级上升点”，则点的坐标为　 　；若直线上恰有一点的“级上升点”在关于的函数的图象上，则的取值范围为　 　．
【答案】；
【知识点】一次函数的实际应用-几何问题；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：根据新定义可知点C的坐标为即；
设直线上的点的坐标为且，则该点的“级上升点”的坐标为，
即，
根据题意可得，，
解得：，
由得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
综上，的取值范围是，
故答案为：，．
【分析】
结合题目给出的新定义，再利用一次函数图象上点的坐标特征就可以完成解答.
23．如图，在中，，，点在边上，，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接并延长交的延长线于点，连接，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图：延长至，使，连接，过点作交的延长线交于，过点作交于，
由题意知，，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，即，
∵，，
∴，，
∴，，
同理可得，，
∴，
∴．
故答案为：.
【分析】延长到点，让，连接；再过点作，与的延长线交于点，过点作，交于点。通过辅助线构造可以证明，再由此推导出，即可借助勾股定理完成求解.
24．某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克元，售价每千克18元．
（1）该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元，求，的值．
（2）在（1）的条件下，该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜千克（为正整数），求超市在不同购买方案下哪种方案可获得的利润最大？最大利润值是多少？
【答案】（1）解：根据题意，得方程组：，
解得；
∴．
（2）解：设购买甲种蔬菜x千克，则乙种蔬菜千克，投入资金为：，
∵投入资金不少于1160元又不多于1168元，
∴，即，
解得，
x为正整数，即，
购买方案：
方案1：甲58千克，乙42千克；
方案2：甲59千克，乙41千克；
方案3：甲60千克，乙40千克；
设利润y元，
则利润，
∵，即y随x增大而增大，
当时，利润y最大为．
答：方案3可让超市获得最大利润，最大利润是520元．
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）结合两种不同采购方案的总花费，列出关于m、n的二元一次方程组，解这个方程组就能得到m和n的结果。
（2）设采购甲种蔬菜x千克，那么购买乙种蔬菜的质量就是千克，根据题目要求的资金范围，列出关于x的不等式组，解不等式组得到x的取值范围后，得到购买方案；再写出总利润关于x的一次函数表达式，根据一次项系数的正负判断函数的增减性，就可以找到利润最大的购买方案.
（1）解：根据题意，得方程组：
，
解得；
∴．
（2）解：设购买甲种蔬菜x千克，则乙种蔬菜千克，
投入资金为：，
∵投入资金不少于1160元又不多于1168元，
∴，即，
解得，
x为正整数，即，
购买方案：
方案1：甲58千克，乙42千克；
方案2：甲59千克，乙41千克；
方案3：甲60千克，乙40千克；
设利润y元，
则利润，
∵，即y随x增大而增大，
当时，利润y最大为．
答：方案3可让超市获得最大利润，最大利润是520元．
25．在中，，，，将绕顶点顺时针旋转，旋转角为，得到．
（1）如图1，若旋转角，求的度数；
（2）如图2，当时，设与相交于点，与交于点，连接，求的面积；
（3）如图3，设中点为，线段上有一动点，连接．在旋转过程中，线段的长度是否存在最大值和最小值？如果存在，请直接写出这个最大值与最小值．
【答案】（1）解：∵将绕顶点顺时针旋转，旋转角为且，，
，
，
．
（2）解：，，
根据旋转可得，
，
，
∴在中，三个内角都为，
∴为等边三角形，
又，
，
又 ∵为的直角三角形，
，
由勾股定理得，
，
，
，
，
为等腰三角形，，
，
过点作的高，
则，
∴，
．
（3）最小值：；最大值：
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】（3）解：∵为中点，
，
由旋转性质，到的距离为，
故在上旋转时，的轨迹是以为圆心，内半径、外半径的圆环，
当三点共线且时，线段的长度最小，最小值为：．
最大值：即到的最远距离，当在正下方且共线时，线段的长度最大，最大值为：．
【分析】
（1）根据旋转的性质可以得到旋转角，且对应边相等，结合等腰三角形两底角相等的性质，再利用已知条件，即可计算得出．
（2）根据，由平行线的内错角相等可以确定旋转角的大小，再结合的已知条件，可证明是等边三角形。已知，可得，再借助含角的直角三角形的性质，得到，结合勾股定理计算得，因此可得。接下来证明为等腰三角形，可得，过点作边的垂线，根据等腰三角形三线合一可得，再由勾股定理求出高，最后代入三角形面积公式计算，即可得到结果.
（3）由中点的性质得到，接下来分别求解两个关键距离：一是结合点C到直线的距离与共线关系，求出点E到直线的最小垂距；二是利用“三点共线时，线段长度和取得最大值”的结论，得到点E到点的最大距离，即可完成求解．
（1）解：∵将绕顶点顺时针旋转，旋转角为且，
，
，
，
．
（2）解：，
，
根据旋转可得，
，
，
∴在中，三个内角都为，
∴为等边三角形，
又，
，
又 ∵为的直角三角形，
，
由勾股定理得，
，
，
，
，
为等腰三角形，，
，
过点作的高，
则，
∴，
．
（3）解：∵为中点，
，
由旋转性质，到的距离为，
故在上旋转时，的轨迹是以为圆心，内半径、外半径的圆环，
当三点共线且时，线段的长度最小，最小值为：．
最大值：即到的最远距离，当在正下方且共线时，线段的长度最大，最大值为：．
26．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，，，直线交直线于点．
（1）求直线的解析式及点的坐标；
（2）如图1，为直线上一动点且在第一象限内，、为轴上动点，在右侧且，当时，求的最小值；
（3）如图2，将沿着射线方向平移，平移后、、三点分别对应、、三点，在直线上是否存在点，使得以、、三个点为顶点的三角形为等腰直角三角形，若存在，请直接写出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：设直线的解析式，
因为直线与轴交于点，与轴交于点，，，
所以，，
将、的坐标代入直线的解析式中，则有，
，
解得，
所以直线的解析式；
联立直线、的解析式得，
，
解方程组得，
所以；
（2）解：因为，，所以，
所以，
所以，，
所以，
点在点上方，
设点的坐标，
点到轴的距离为，
因为，
所以，
解得，
所以，
所以，
如图，将点向左平移个长度单位至点，则，
过点关于轴的对称点，，
连接交轴于点，连接，
在轴上截取，
连接，则有，
所以的最小值为，
作于点，则，
则，，
所以的最小值为，
即的最小值为；
（3）存在，或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】（3）解：将沿着射线方向平移，即将向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，
所以，，，
由（2）可知，，
分情况讨论：
①当或时，如图，
因为以、、三个点为顶点的三角形为等腰直角三角形，
所以，
即与之间的距离为2，
向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，得到，
，
所以，
因为沿着射线方向平移，所以（舍去），
所以，此时，
②当时，如图，
，
过作，
因为是等腰直角三角形，
所以
所以即与之间的距离为2，
向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，得到，
，
所以，
因为沿着射线方向平移，所以（舍去），
所以，此时
综上所述，的坐标为或．
【分析】（1）通过待定系数法求出直线的解析式，再联立直线与直线的方程，即可得到点C的坐标；
（2）利用面积关系，先求出点到轴的纵坐标值，确定点P位置后，将点向左平移个单位长度得到点，再作点关于轴的对称点，连接交轴于点，在轴上截取线段，此时的最小值等于，由此即可计算得到最小值；
（3）沿射线方向平移，将向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，再分三种情况进行讨论：分别是直角顶点为即、直角顶点为即、直角顶点为即，分别计算后即可得到符合条件的点的坐标.
（1）解：设直线的解析式，
因为直线与轴交于点，与轴交于点，，，
所以，，
将、的坐标代入直线的解析式中，则有，
，
解得，
所以直线的解析式；
联立直线、的解析式得，
，
解方程组得，
所以；
（2）解：因为，，所以，
所以，
所以，，
所以，
点在点上方，
设点的坐标，
点到轴的距离为，
因为，
所以，
解得，
所以，
所以，
如图，将点向左平移个长度单位至点，则，
过点关于轴的对称点，，
连接交轴于点，连接，
在轴上截取，
连接，则有，
所以的最小值为，
作于点，则，
则，，
所以的最小值为，
即的最小值为；
（3）解：将沿着射线方向平移，即将向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，
所以，，，
由（2）可知，，
分情况讨论：
①当或时，如图，
因为以、、三个点为顶点的三角形为等腰直角三角形，
所以，
即与之间的距离为2，
向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，得到，
，
所以，
因为沿着射线方向平移，所以（舍去），
所以，此时，
②当时，如图，
，
过作，
因为是等腰直角三角形，
所以
所以即与之间的距离为2，
向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，得到，
，
所以，
因为沿着射线方向平移，所以（舍去），
所以，此时
综上所述，的坐标为或．
1 / 1四川成都市玉林中学2025-2026学年八年级下学期5月期中数学试题
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．已知，下列不等式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列命题，假命题是（　　）
A．有一个内角等于的等腰三角形是等边三角形
B．有一个角是，腰相等的两个等腰三角形全等
C．三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等
D．三角形两个内角平分线的交点到三边的距离相等
4．一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．用反证法证明命题“在钝角三角形中若，则”时，应先假设（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数的图象交于点，则关于的不等式 的解集为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，交边于点，连接，则的周长为（　　）
A．13 B．12 C．11 D．10
8．将一些书分给九（1）班的所有学生，若每人分4本，则还剩77本书；若每人分6本，则有一名学生能分到书但少于5本，求这些书的本数与九（1）班学生的人数，设九（1）班有学生x人，则列出的不等式组是（　　）
A．
B．
C．
D．
9．“的倍不小于”用不等式表示为　 　．
10．分解因式：　 　．
11．在平面直角坐标系中，将点先向右平移4个单位，再向下平移3个单位，得到点，则点的坐标为　 　．
12．一个多边形的内角和为1620度，这个多边形的边数是　 　
13．如图，在中，，，，将绕点A按顺时针旋转一定角度得到，当点B的对应点D恰好落在边上时，则的长为　 　．
14．解不等式（组）：
（1）
（2）
15．如图，在边长为1的小正方形组成的方格纸中的顶点都在方格纸的格点上，经过平移使得的顶点C移到了点的位置．
（1）画出平移后的（点与点A对应，点与点B对应）；
（2）指出平移的方向和平移的距离；
（3）求线段在平移过程中扫过部分的面积．
16．若关于的不等式的最小整数解是方程的解，求代数式的值？
17．如图，在四边形中，，是上的一点，且，连接，，．
求证：
（1）．
（2）．
18．如图1，在平面直角坐标系中，为直角三角形，，， ，点C为上一动点．
（1）点A的坐标为________；
（2）连接，并延长交y轴于点D，若的面积恰好被x轴分成两部分，求点C的坐标；
（3）如图2，若，将绕点O顺时针旋转，得到，如图2所示，所在直线交直线于点，当为直角三角形时，直接写出点的坐标．
19．已知关于的不等式组有解，则的取值范围为　 　．
20．如图，在中，，、分别是和的角平分线，且，，则的周长是　 　．
21．如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形，A、C分别在y轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为，将P点关于A对称得到，将关于O点对称得到，将关于C点对称得到，将关于B点对称得到，将关于A点对称得到……，按照顺序以此类推，则的坐标为　 　．
22．定义：在平面直角坐标系xOy中，点， ．若，为常数，且，则称点为点的“级上升点”．如点为点的上升点”．若点为点的“级上升点”，则点的坐标为　 　；若直线上恰有一点的“级上升点”在关于的函数的图象上，则的取值范围为　 　．
23．如图，在中，，，点在边上，，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接并延长交的延长线于点，连接，则的值为　 　．
24．某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克元，售价每千克18元．
（1）该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元，求，的值．
（2）在（1）的条件下，该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜千克（为正整数），求超市在不同购买方案下哪种方案可获得的利润最大？最大利润值是多少？
25．在中，，，，将绕顶点顺时针旋转，旋转角为，得到．
（1）如图1，若旋转角，求的度数；
（2）如图2，当时，设与相交于点，与交于点，连接，求的面积；
（3）如图3，设中点为，线段上有一动点，连接．在旋转过程中，线段的长度是否存在最大值和最小值？如果存在，请直接写出这个最大值与最小值．
26．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，，，直线交直线于点．
（1）求直线的解析式及点的坐标；
（2）如图1，为直线上一动点且在第一象限内，、为轴上动点，在右侧且，当时，求的最小值；
（3）如图2，将沿着射线方向平移，平移后、、三点分别对应、、三点，在直线上是否存在点，使得以、、三个点为顶点的三角形为等腰直角三角形，若存在，请直接写出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故答案为：B.
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，如果把一个图形绕某一点旋转180°后，旋转得到的图形能够和原图形重合，这个图形就是中心对称图形；如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两侧的部分可以完全重合，这个图形就是轴对称图形，根据定义对各选项进行判断即可.
2．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵，
∴，故本选项不符合题意；
B、∵，
∴，故本选项不符合题意；
C、∵，
∴，故本选项符合题意；
D、∵，
∴，
∴，故本选项不符合题意；
故选：C．
【分析】
根据不等式的基本性质（不等式两边同除以或乘同一个负数，不等号方向发生改变）进行判断即可．
3．【答案】B
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：、∵等腰三角形有一个内角为，若是顶角，则两个底角均为；若是底角，则顶角为，
∴三个内角均为，该三角形是等边三角形，故该选项是真命题，不符合题意；
、∵题目中的角未说明是顶角还是底角，当一个等腰三角形的是顶角，另一个等腰三角形的是底角时，两个三角形的内角度数不相等，
∴即使腰长相等，两个三角形也不全等，故该选项是假命题，符合题意；
、∵线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，
∴三角形两边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，故该选项是真命题，不符合题意；
、∵角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴三角形两个内角平分线的交点到三边的距离相等，故该选项是真命题，不符合题意．
故答案为：B.
【分析】根据等边三角形的判定定理、全等三角形的判定定理，以及三角形内心与外心的性质，逐个判断每个命题的真假，就能得出最终结论了．
4．【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式得，
∴不等式组的解集为，
在数轴上表示为．
故答案为：C.
【分析】先分别解出不等式组中每个不等式的解集，再取两个解集的公共部分得到不等式组的最终解集，最后根据解集判断对应数轴表示的选项即可.
5．【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：反证法进行证明时，第一步需要先假设原命题要证明的结论不成立。本题中原命题需要证明的结论是，
因此结论不成立就是，
所以使用反证法时应当先假设。
故答案选：D.
【分析】反证法的操作步骤中，第一步就是假设原命题的结论不成立，据此找出符合要求的假设即可得到答案.
6．【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数与正比例函数，的图象交于点，
∴当时，，
故答案为：．
【分析】结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可.
7．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由题意得：垂直平分，
∴，
∵，，
∴的周长为，
故答案为：A.
【分析】先确定的性质为垂直平分，再利用线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，得到，最后通过等量代换结合三角形周长公式计算出结果.
8．【答案】C
【知识点】列一元一次不等式组
【解析】【解答】解：设九（1）班有学生x人，则共有本书，
若每位学生分6本书，则有一名学生能分到书但少于5本，
则．
故选：C．
【分析】
设九（1）班一共有x名学生，根据“如果给每位学生分4本图书，最后还剩余77本”，可以得到图书的总数量为本；再结合“如果给每位学生分6本图书，只有一名学生可以分到图书，但是分到的图书不足5本”这个条件，就可以列出对应的一元一次不等式组求解.
9．【答案】
【知识点】列不等式
【解析】【解答】解：“x的3倍不小于y”用不等式表示为，
故答案为：．
【分析】根据“的倍”可以表示为，题目要求“不小于y”，结合不等关系即可列出对应不等式．
10．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：
，
故答案为：．
【分析】分解因式时，先将提取负号变形为，再提取公因式，即可得到最终分解结果.
11．【答案】
【知识点】沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：将点先向右平移4个单位，再向下平移3个单位，得到点，
则点的坐标为，即．
故答案为：．
【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点的平移规律，即横坐标右移加、左移减，纵坐标上移加、下移减。将点 P(-3，1) 的横坐标加4、纵坐标减3，得到点 Q 的坐标为 (-3+4， 1-3) = (1，-2)。
12．【答案】11
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为n，
由题意可得：（n-2）×180°=1620°，
解得n=11．
答：这个多边形的边数为11．
故答案为：11．
【分析】设这个多边形的边数为n，根据题意列出方程（n-2）×180°=1620°，再求出n的值即可。
13．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转的性质得，，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴．
故答案为：0.8.
【分析】根据旋转的性质得到边相等的关系，再结合60°的角判定等边三角形，进而得到边长的长度，最后结合BC的长计算出CD的长度.
14．【答案】（1）解：去括号得，
移项合并得.
（2）解：，解不等式①得，，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）将含未知数的项移到左边，常数项移到另一边合并同类项；
（2）依据“同小取小”的原则，找出两个不等式各自解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集.
（1）解：去括号得，
移项合并得；
（2）解：，
解不等式①得，，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为．
15．【答案】（1）解：如图所示：即为所求；
（2）解：根据（1）中图象可得平移方向是：向右平移4个单位，向下平移1个单位．
（3）解：线段在平移过程中扫过部分的面积为．
【知识点】平移的性质；作图﹣平移；平行四边形的面积
【解析】【分析】（1）根据平移的性质，确定出平移后各对应点的位置；
（2）利用平移的性质得到所求结果；
（3）线段在整个平移过程中，扫过的区域面积为两个平行四边形的面积和.
（1）解：如图所示：即为所求；
（2）解：根据（1）中图象可得平移方向是：向右平移4个单位，向下平移1个单位．
（3）解：线段在平移过程中扫过部分的面积为．
16．【答案】解：解不等式，移项得，
合并同类项得，
系数化为得，
∴不等式的最小整数解为，
把代入方程得，
化简得，
解得，
把代入得，
∴代数式的值为．
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式的特殊解；求代数式的值-整体代入求值；已知一元一次方程的解求参数
【解析】【分析】先求解一元一次不等式得出其解集，在解集中找出最小的整数解，将这个最小整数解代入方程求出的值，最后将m的值代入所求代数式计算，就能得到最终结果.
17．【答案】（1）解：，
和均为直角三角形．
在和中，
，
．
（2）解：
，
∴，
，
，
，
，
∴．
【知识点】垂线的概念；直角三角形全等的判定-HL；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】
（1）利用直角三角形全等的判定定理“”完成证明。
（2）先根据全等三角形对应角相等的性质，得到，再结合角的和差关系推出，即可得到结论。
（1）解：，
和均为直角三角形．
在和中，
，
．
（2），
∴，
，
，
，
，
∴．
18．【答案】（1）
（2）解：根据题意分两种情况讨论：①时，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
，
∴直线的解析式为，
∴当时，，
∴点；
②时，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
，
∴直线的解析式为，
∴当时，，
∴点；
综上所述：点的坐标为或．
（3）或或或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】（1）解：∵，
，
，
，
．
故答案为：.
（3）解：如图，当时，过点作于，
∵将绕点顺时针旋转，得到，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
当时，如图，
∵将绕点顺时针旋转，得到，
∴，
∴点在轴上，
∴点；
如图，当旋转角大于时，由中心对称的性质可得：点的坐标或，
综上所述：点的坐标或或或．
【分析】（1）根据含30°角的直角三角形的性质，利用平面直角坐标系的坐标特点得到结果；
（2）需要分两种不同情况进行讨论，分别是，以及，先根据三角形的面积关系求出点的坐标，再通过待定系数法得到直线的解析式，进而得到最终结果；
（3）需要分两种情况讨论，第一种是，第二种是，根据旋转的性质。利用含30°角的直角三角形的性质求出点B'的坐标即可.
（1）解：∵，
，
，
，
．
（2）解：根据题意分两种情况讨论：
①时，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
，
∴直线的解析式为，
∴当时，，
∴点；
②时，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
，
∴直线的解析式为，
∴当时，，
∴点；
综上所述：点的坐标为或．
（3）解：如图，当时，过点作于，
∵将绕点顺时针旋转，得到，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
当时，如图，
∵将绕点顺时针旋转，得到，
∴，
∴点在轴上，
∴点；
如图，当旋转角大于时，由中心对称的性质可得：点的坐标或，
综上所述：点的坐标或或或．
19．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：
解不等式得：，
解不等式得：移项得 ，
合并同类项得，
系数化为得，
∵不等式组有解，
∴．
故答案为：.
【分析】先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组有解的条件，推导得到参数m的取值范围．
20．【答案】5
【知识点】等腰三角形的判定与性质；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：、分别是和的角平分线，
，，
，，
，，
，，
，，
，
的周长为，
故答案为：．
【分析】
已知、分别平分和，根据角平分线的定义可以得到，。再结合平行线的性质，可推出，，通过等量代换可得，。根据等角对等边的判定定理，即可得到，，最后将关系代入即可完成计算求解。
21．【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣中心对称；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：P点坐标为，将P点关于A对称得到，
，
将关于O点对称得到，
，
将关于C点对称得到，
，
将关于B点对称得到，
，
将关于A点对称得到
，
按照顺序以此类推，坐标按照，，，四个为一个循环，
，
则的坐标为；
故答案为：．
【分析】根据题意坐标的变化规律，发现点的坐标会以、、、这四个为一个周期循环出现，根据这个循环规律计算就能得到结果.
22．【答案】；
【知识点】一次函数的实际应用-几何问题；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：根据新定义可知点C的坐标为即；
设直线上的点的坐标为且，则该点的“级上升点”的坐标为，
即，
根据题意可得，，
解得：，
由得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
综上，的取值范围是，
故答案为：，．
【分析】
结合题目给出的新定义，再利用一次函数图象上点的坐标特征就可以完成解答.
23．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图：延长至，使，连接，过点作交的延长线交于，过点作交于，
由题意知，，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，即，
∵，，
∴，，
∴，，
同理可得，，
∴，
∴．
故答案为：.
【分析】延长到点，让，连接；再过点作，与的延长线交于点，过点作，交于点。通过辅助线构造可以证明，再由此推导出，即可借助勾股定理完成求解.
24．【答案】（1）解：根据题意，得方程组：，
解得；
∴．
（2）解：设购买甲种蔬菜x千克，则乙种蔬菜千克，投入资金为：，
∵投入资金不少于1160元又不多于1168元，
∴，即，
解得，
x为正整数，即，
购买方案：
方案1：甲58千克，乙42千克；
方案2：甲59千克，乙41千克；
方案3：甲60千克，乙40千克；
设利润y元，
则利润，
∵，即y随x增大而增大，
当时，利润y最大为．
答：方案3可让超市获得最大利润，最大利润是520元．
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）结合两种不同采购方案的总花费，列出关于m、n的二元一次方程组，解这个方程组就能得到m和n的结果。
（2）设采购甲种蔬菜x千克，那么购买乙种蔬菜的质量就是千克，根据题目要求的资金范围，列出关于x的不等式组，解不等式组得到x的取值范围后，得到购买方案；再写出总利润关于x的一次函数表达式，根据一次项系数的正负判断函数的增减性，就可以找到利润最大的购买方案.
（1）解：根据题意，得方程组：
，
解得；
∴．
（2）解：设购买甲种蔬菜x千克，则乙种蔬菜千克，
投入资金为：，
∵投入资金不少于1160元又不多于1168元，
∴，即，
解得，
x为正整数，即，
购买方案：
方案1：甲58千克，乙42千克；
方案2：甲59千克，乙41千克；
方案3：甲60千克，乙40千克；
设利润y元，
则利润，
∵，即y随x增大而增大，
当时，利润y最大为．
答：方案3可让超市获得最大利润，最大利润是520元．
25．【答案】（1）解：∵将绕顶点顺时针旋转，旋转角为且，，
，
，
．
（2）解：，，
根据旋转可得，
，
，
∴在中，三个内角都为，
∴为等边三角形，
又，
，
又 ∵为的直角三角形，
，
由勾股定理得，
，
，
，
，
为等腰三角形，，
，
过点作的高，
则，
∴，
．
（3）最小值：；最大值：
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】（3）解：∵为中点，
，
由旋转性质，到的距离为，
故在上旋转时，的轨迹是以为圆心，内半径、外半径的圆环，
当三点共线且时，线段的长度最小，最小值为：．
最大值：即到的最远距离，当在正下方且共线时，线段的长度最大，最大值为：．
【分析】
（1）根据旋转的性质可以得到旋转角，且对应边相等，结合等腰三角形两底角相等的性质，再利用已知条件，即可计算得出．
（2）根据，由平行线的内错角相等可以确定旋转角的大小，再结合的已知条件，可证明是等边三角形。已知，可得，再借助含角的直角三角形的性质，得到，结合勾股定理计算得，因此可得。接下来证明为等腰三角形，可得，过点作边的垂线，根据等腰三角形三线合一可得，再由勾股定理求出高，最后代入三角形面积公式计算，即可得到结果.
（3）由中点的性质得到，接下来分别求解两个关键距离：一是结合点C到直线的距离与共线关系，求出点E到直线的最小垂距；二是利用“三点共线时，线段长度和取得最大值”的结论，得到点E到点的最大距离，即可完成求解．
（1）解：∵将绕顶点顺时针旋转，旋转角为且，
，
，
，
．
（2）解：，
，
根据旋转可得，
，
，
∴在中，三个内角都为，
∴为等边三角形，
又，
，
又 ∵为的直角三角形，
，
由勾股定理得，
，
，
，
，
为等腰三角形，，
，
过点作的高，
则，
∴，
．
（3）解：∵为中点，
，
由旋转性质，到的距离为，
故在上旋转时，的轨迹是以为圆心，内半径、外半径的圆环，
当三点共线且时，线段的长度最小，最小值为：．
最大值：即到的最远距离，当在正下方且共线时，线段的长度最大，最大值为：．
26．【答案】（1）解：设直线的解析式，
因为直线与轴交于点，与轴交于点，，，
所以，，
将、的坐标代入直线的解析式中，则有，
，
解得，
所以直线的解析式；
联立直线、的解析式得，
，
解方程组得，
所以；
（2）解：因为，，所以，
所以，
所以，，
所以，
点在点上方，
设点的坐标，
点到轴的距离为，
因为，
所以，
解得，
所以，
所以，
如图，将点向左平移个长度单位至点，则，
过点关于轴的对称点，，
连接交轴于点，连接，
在轴上截取，
连接，则有，
所以的最小值为，
作于点，则，
则，，
所以的最小值为，
即的最小值为；
（3）存在，或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】（3）解：将沿着射线方向平移，即将向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，
所以，，，
由（2）可知，，
分情况讨论：
①当或时，如图，
因为以、、三个点为顶点的三角形为等腰直角三角形，
所以，
即与之间的距离为2，
向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，得到，
，
所以，
因为沿着射线方向平移，所以（舍去），
所以，此时，
②当时，如图，
，
过作，
因为是等腰直角三角形，
所以
所以即与之间的距离为2，
向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，得到，
，
所以，
因为沿着射线方向平移，所以（舍去），
所以，此时
综上所述，的坐标为或．
【分析】（1）通过待定系数法求出直线的解析式，再联立直线与直线的方程，即可得到点C的坐标；
（2）利用面积关系，先求出点到轴的纵坐标值，确定点P位置后，将点向左平移个单位长度得到点，再作点关于轴的对称点，连接交轴于点，在轴上截取线段，此时的最小值等于，由此即可计算得到最小值；
（3）沿射线方向平移，将向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，再分三种情况进行讨论：分别是直角顶点为即、直角顶点为即、直角顶点为即，分别计算后即可得到符合条件的点的坐标.
（1）解：设直线的解析式，
因为直线与轴交于点，与轴交于点，，，
所以，，
将、的坐标代入直线的解析式中，则有，
，
解得，
所以直线的解析式；
联立直线、的解析式得，
，
解方程组得，
所以；
（2）解：因为，，所以，
所以，
所以，，
所以，
点在点上方，
设点的坐标，
点到轴的距离为，
因为，
所以，
解得，
所以，
所以，
如图，将点向左平移个长度单位至点，则，
过点关于轴的对称点，，
连接交轴于点，连接，
在轴上截取，
连接，则有，
所以的最小值为，
作于点，则，
则，，
所以的最小值为，
即的最小值为；
（3）解：将沿着射线方向平移，即将向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，
所以，，，
由（2）可知，，
分情况讨论：
①当或时，如图，
因为以、、三个点为顶点的三角形为等腰直角三角形，
所以，
即与之间的距离为2，
向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，得到，
，
所以，
因为沿着射线方向平移，所以（舍去），
所以，此时，
②当时，如图，
，
过作，
因为是等腰直角三角形，
所以
所以即与之间的距离为2，
向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，得到，
，
所以，
因为沿着射线方向平移，所以（舍去），
所以，此时
综上所述，的坐标为或．
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