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四川省广元市利州区万达实验学校2025-2026学年七年级下学期5月期中数学试题
1．在这四个数中，是无理数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】无理数的概念；求算术平方根
【解析】【解答】解：，是整数，属于有理数；
是有限小数，属于有理数；
是分数，属于有理数；
是无限不循环小数，是无理数
故答案为：B.
【分析】先根据算术平方根定义将需要化简的数化简，然后根据整数与分数统称有理数；无限不循环的小数是无理数，常见的无理数有四类：①开方开不尽的数，②与π有关的数，③规律性的数，如0.101001000100001000001…（每两个1之间依次多一个0）这类有规律的数，④锐角三角函数，如sin60°等，逐个判断得出答案.
2．在平面直角坐标系中，点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：点位于第一象限；
故答案为：A．
【分析】根据点的坐标符号与象限的关系：第一象限的点（+，+），第二象限的点（-，+），第三象限的点（-，-），第四象限的点（+，-），判断得出答案.
3．二元一次方程组 的解是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】
解：①-②，得：
y=2，
把y=2代入①，得：
x=4.
∴方程组的解是：.
故答案选：B.
【分析】借此方程组，求出未知数x、y的值，即可得到正确答案.
4．下列命题是真命题的是（　　）
A．相等的角是对顶角 B．同位角相等
C．同旁内角互补 D．平行于同一直线的两直线平行
【答案】D
【知识点】对顶角及其性质；真命题与假命题；平行公理的推论；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：、相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题；
、只有两直线平行时同位角才相等，原命题缺少前提条件，是假命题；
、只有两直线平行时同旁内角才互补，原命题缺少前提条件，是假命题；
、平行于同一直线的两直线平行，原命题是真命题．
故答案为：D
【分析】条件和结论都正确的是真命题，真命题为： 平行于同一直线的两直线平行．
5．已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平方根的概念与表示
【解析】【解答】解：∵，
∴．
故答案为：B．
【分析】依据被开方数小数点每向左或向右移动2位，则对应的算术平方根向左或向右移动1位求解即可．
6．将点向左平移1个单位长度得到点，且点在y轴上，那么点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】点的坐标与象限的关系；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵将点向左平移个单位长度得到点P'，
∴的坐标为，即，
∵点在y轴上，y轴上任意点的横坐标为，
∴，
解得：，
将代入纵坐标得：，
∴的坐标为．
故答案为：A.
【分析】由平面内点的坐标平移规律“横坐标左减右加，纵坐标上加下减”得到点P'(m+1，2m+1)，然后根据“y轴上任意点的横坐标为0”列出方程m+1=0，求解得出m=-1，然后将m=-1代入2m+1得-1，从而即可得到点P'的坐标.
7．若单项式与是同类项，则a，b的值分别是（　　）
A．3，1 B．－3，1 C．3，－1 D．－3，－1
【答案】A
【知识点】同类项的概念；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵单项式与是同类项，
∴
①+②得2a=6，解得a=3，
将a=3代入②得b=1，
∴方程组的解为
故a，b的值分别为3，1
故答案为：A．
【分析】所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，据此列出关于字母a、b的方程组，求解即可得出a、b的值.
8．如图所示，，于点D，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【解答】解：如图，过点作，
，
，
，
，
，，
∴．
故答案为：B.
【分析】过点C作CM∥AB，由垂直的定义得∠CDE=90°，由平行于同一直线的两条直线互相平行得出AB∥EF∥CM，由二直线平行，内错角相等得∠BCM=∠ABC=40°，∠DE=∠DCM=90°，然后根据角的构成，由∠BCD=∠BCM+∠MCD可算出答案.
9．设为非负实数，记为不大于的最大整数．若，，则的各位数字之和为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，为非负实数，
∴为非负整数，，，
∴，，
∴，
∴，且，
∵，不满足条件，
，，满足条件，
，不满足条件，
∴，
∴的各位数字之和为．
故答案为：D.
【分析】根据新定义运算法则得出n≤x＜n+1，由可得，则推出，，再根据新定义运算法则得出，从而可得n2≤2026＜n(n+1)，进而找到满足该不等式组的整数n的值即可求出答案.
10．如图，点D、点E分别是的边上的点，连接并延长到F，使得，若，比的余角小，G为线段上一动点， H为上一点，且满足，为的平分线．下列结论∶①；②；③平分；④；⑤．其中结论正确的序号是（　　）
A．①②③④⑤ B．①②③④ C．②③④ D．①⑤
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；平行线的应用-证明问题
【解析】【解答】解：，
，故①正确；
，
，
，
，故②正确；
，
，
，
平分，故③正确；
在延长线上取点M，
，
，，
比的余角小，
，
，
解得，
，，故④正确；
为的平分线，
，
，即，
，
，即，
，故⑤错误，
综上可知，结论正确的序号是①②③④．
故答案为：B.
【分析】由内错角相等，两直线平行可推出AB∥CF，从而可判断①；由二直线平行，内错角相等可得∠ADE=∠F=∠B，从而由同位角相等，两直线平行得出DF∥BC，据此可判断②；由二直线平行，内错角相等得DEH=∠GHE=∠GEH，从而根据角平分线的定义可判断③；在BC的延长线上取点M，由二直线平行，同位角相等，内错角相等推出∠AED=∠ACB，∠F=∠FCM，由余角定义及“∠AED比∠ACB的余角小20°”建立方程可求出∠ACB=35°，然后根据三角形的内角和定理及等量代换可求出∠A+∠F=145°，据此可判断④；由角平分线的定义及角的构成可推出2∠IEH=35°，据此可判断⑤.
11．若，则　 　．
【答案】1
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：1．
【分析】根据算术平方根的非负性及绝对值非负性，由两个非负数的和为零，则每一个数都等于零，据此可求出a、b的值，最后将a、b的值代入待求式子计算即可.
12．已知点在第三象限，且点到轴的距离为1，则的值是　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点在第三象限，
∴点横坐标小于，纵坐标小于，
即且，
解得：，
∵点到轴的距离为，，
∴．
解得：．
当时，，，
即点在第三象限，且到轴的距离为，符合条件．
故答案为：4．
【分析】根据第三象限的横纵坐标都小于建立关于字母x的不等式组，求解可得，再根据一个点到x轴的距离等于其纵坐标的绝对值结合点P到x轴的距离为1，即可得3-x=-1，求解并检验即可得出x的值.
13．若关于x，y的方程组的解满足，则m的值为　 　．
【答案】3
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：，
由可得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】观察方程组中两个方程未知数系数的特点可得将两个方程相加后再两边同时除以5得x+y=m-1，结合x+y=2可列出关于字母m的方程，求解即可得出m的值.
14．如图，已知，则　 　°．
【答案】38
【知识点】平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：38．
【分析】由内错角相等，两直线平行得出AB∥CE，由二直线平行，同位角相等得∠B=∠3=38°.
15．已知关于，的方程组的解是，则方程组的解为　 　．
【答案】
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：整理方程组，可得：
方程组的解为，
方程组的解为，
，
解得：．
故答案为：．
【分析】整理新方程组可得，然后观察两方程组就会发现新方程组中的x+1与3-y相当于原方程组中的x与y，从而根据可得，求解即可得出新方程组的解.
16．如图，动点P按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，…，若在x轴上方时，每运动一次需要1秒，在x轴下方时，每运动一次需要2秒，按这样的运动规律，动点P第2026秒时运动到点　 　．
【答案】(1350，-2)
【知识点】点的坐标；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：通过观察图形可以得到，动点P的运动以6秒为一个完整循环周期，在每一个循环中，动点P完成四次运动后，整体会向右平移4个单位，
∵，
∴2026秒包含337个完整循环，还剩余4秒的运动，
337个完整循环一共向右平移的单位数为，
经过337个完整循环，也就是2022秒时，动点P的横坐标为，纵坐标为0，即此时点P的坐标为(1347，0)；
之后动点P开始新循环的运动，先向x轴上方方向运动，经过2秒后，也就是到2024秒时，点P的坐标变为 (1349，0)；
接下来动点P向x轴下方方向运动，再经过2秒后，也就是到2026秒时，点P的坐标变为 (1350，-2)；
因此，动点P运动2026秒后所在点的坐标为(1350，-2).
故答案为： (1350，-2).
【分析】 本题通过观察图形总结规律可得，动点P的运动每6秒为一个循环周期，每个周期整体向右移动4个单位，只需要用总时间2026除以6，根据得到的商和余数判断动点所在的位置，即可计算得到对应点的坐标.
17．求下列各式中的
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：∵
∴，
∴或；
（2）解：，
，
，
∴．
【知识点】利用开平方求未知数；利用开立方求未知数
【解析】【分析】（1）由平方根定义直接开方，将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次即可求出原方程的解；
（2）把x+1看成一个整体，首先将常数项移到方程的右边，然后方程两边同时除以8将未知数项的系数化为1，进而根据立方根定义直接开方将方程降次为一元一次方程，解一元一次即可求出原方程的解.
（1）解：
，
∴或；
（2）解：，
，
，
∴．
18．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）先根据乘方运算法则、算术平方根定义及立方根定义分别计算，再根据减去一个数等于加上这个数的相反数将减法转化为加法，同时根据绝对值性质化简绝对值，最后根据有理数加减法运算法则从左至右依次计算即可；
（2）先根据乘方运算法则、绝对值性质、算术平方根定义及立方根定义分别计算，再根据减去一个数等于加上这个数的相反数将减法转化为加法，最后根据有理数加减法运算法则从左至右依次计算即可.
（1）解：
；
（2）解：
．
19．解方程组：
（1）
（2）．
【答案】（1）解：，
得：，
将代入得，
解得：，
∴．
（2）解：，
整理得：，
得：，
解得：，
把代入得，
解得：，
∴原方程组的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）观察发现方程组中未知数y的系数相同，故利用方程②-①消去未知数y求出x的值，再将x的值代入方程①求出y的值，从而即可得出方程组的解；
（2）先根据去分母、去括号及移项将方程组中的两个方程整理成一般形式，观察发现方程组中未知数y的系数互为相反数，故利用方程①+②消去未知数y求出x的值，再将x的值代入方程①求出y的值，从而即可得出方程组的解.
（1）解：，
得：，
将代入得，
解得：，
∴．
（2）解：，
整理得：，
得：，
解得：，
把代入得，
解得：，
∴原方程组的解为．
20．如图，已知直线相交于点O，于点O．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）解：，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】角的运算；垂线的概念；对顶角及其性质
【解析】【分析】（1）由对顶角相等得出∠AOC=∠BOD=30°，由垂直的定义得∠EOD=90°，然后根据角的构成，由∠BOE=∠EOD-∠BOD可算出答案；
（2）由邻补角及∠BOD与∠BOC的比值可求出∠BOD=30°，由对顶角相等得∠AOC=∠BOD=30°，由垂直的定义得∠EOC=90°，然后根据角的构成，由∠AOE=∠AOC+∠COE可算出答案.
（1）解：，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
21．如图，在四边形中，是延长线的一点，连接交于点，若，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∴；
（2）解：由（1）知：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质；邻补角
【解析】【分析】（1）根据角之间的关系可得，再根据直线平行判定定理即可求出答案.
（2）根据直线平行判定定理及性质即可求出答案.
（1）证明：∵，，
∴，
∴；
（2）解：由（1）知：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
22．已知点，点Q的坐标为．
（1）若点P在x轴上，请求出点P的坐标；
（2）若直线轴，请求出点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，且，请直接写出点Q的坐标．
【答案】（1）解：∵点在x轴上，
∴，
∴，
∴，
∴点P的坐标为；
（2）解：∵，，直线轴，
∴，
∴，
∴．
∴点P的坐标为．
（3）解：点Q的坐标为或.
【知识点】坐标与图形性质；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：（3）∵点P的坐标为，，
∴|b-7|=10，
∴b-7=10或b-7=-10，
∴b=17或b=-3，
∴点Q的坐标为或．
【分析】（1）由x轴上点的纵坐标为0建立方程a+4=0，求解得出a=-4，再将a=-4代入2a-2计算出结果，即可求出点P的坐标；
（2）由与y轴平行直线上的横坐标相等建立方程2a-2=4，求解得出a=3，再将a=3代入a+4计算出结果，即可求出点P的坐标；
（3）根据两点间的距离公式可得|b-7|=10，求解即可得出b的值，从而即可得到点Q的坐标.
（1）解：∵点在x轴上，
∴，
∴，
∴，
∴点P的坐标为；
（2）∵，，直线轴，
∴，
∴，
∴．
∴点P的坐标为．
（3）∵点P的坐标为，，
∴，或
∴点Q的坐标为或．
23．五一期间，正定打算举行各种迎游客活动，安排了两种货车来运输物资．调查得知，3辆小货车与2辆大货车一次可以满载运输1700件物品；4辆小货车与5辆大货车一次可以满载运输3200件物品．
（1）求1辆小货车和1辆大货车一次可以分别满载运输多少件物品？
（2）现有3000件物资需要再次运送，准备同时租用这两种货车一次运送完，每辆货车均全部装满货物，请你通过计算确定共有哪几种租车方案
（3）在（2）的前提下，若1辆小货车需租金400元/次，1辆大货车需租金500元/次．若组委会计划支出3600元用于租车，请直接写出是否够用．
【答案】（1）解：设1辆小货车一次满载运输件物品，1辆大货车一次满载运输件物品，
依题意得：，
解得：，
答：1辆小货车一次满载运输300件物品，1辆大货车一次满载运输400件物品．
（2）解：设租用小货车m辆，租用大货车n辆，根据题意得：，
∵m、n为正整数，
∴，，
答：共两种方案：①小货车2辆，大货车6辆；②小货车6辆，大货车3辆
（3）解：该组委会计划支出3600元用于租车，不够用，理由如下：
方案1：租用2辆小货车，6辆大货车，租车费为（元）；
方案2：租用6辆小货车，3辆大货车，租车费为；
；；
该组委会计划支出3600元用于租车，不够用．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-方案选择问题
【解析】【分析】（1）先设1辆小货车一次满载可以运输件物资，1辆大货车一次满载可以运输件物资，再结合题目给出的运输条件列出二元一次方程组，求解后就能得到两种货车单次满载的运输量；
（2）再设租用小货车的数量为辆，租用大货车的数量为辆，结合第一问求出的运输量，根据满载一次运送所有物资的要求列出等式，最后结合、都是非负整数的限定，找出所有符合要求的租车方案；
（3）最后分别计算出第二问得到的每一种租车方案的总费用，比较费用大小，就能得到最少费用的方案。
（1）解：设1辆小货车一次满载运输件物品，1辆大货车一次满载运输件物品，
依题意得：，
解得：，
答：1辆小货车一次满载运输300件物品，1辆大货车一次满载运输400件物品．
（2）解：设租用小货车m辆，租用大货车n辆，根据题意得：
，
∵m、n为正整数，
∴，，
答：共两种方案：①小货车2辆，大货车6辆；②小货车6辆，大货车3辆
（3）解：该组委会计划支出3600元用于租车，不够用，理由如下：
方案1：租用2辆小货车，6辆大货车，租车费为（元）；
方案2：租用6辆小货车，3辆大货车，租车费为；
；；
该组委会计划支出3600元用于租车，不够用．
24．若m，n都是实数，且满足，则称点为“爱心点”．
（1）判断点是否为“爱心点”，并说明理由；
（2）若点是“爱心点”，求a的值；
（3）已知点是“爱心点”，其中x，y是关于x，y的方程的解．若无论p取何值，代数式（k是常数）的值始终不变，求k的值．
【答案】（1）解：∵，
∴，
解得：，
∴，，
∴，
∴点是“爱心点”；
（2）解：∵是爱心点，
∴，
解得：，
∵，
∴，
解得：；
（3）解：∵是“爱心点”，
∴，解得：，
∵，
∴，即，
∵x，y是关于x，y的方程的解，
∴，
解得：，
∴，
∵无论p取何值，代数式的值始终不变，
∴，
解得：．
【知识点】整式的加减运算；点的坐标；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）根据“爱心点”定义得出，求解得出m、n的值，再验证m、n的值是否满足，若满足则点A就是“爱心点”，否则就不是；
（2）根据“爱心点”定义得出 ，求解得出m、n的值，将m、n的值代入，可得关于字母a的方程，然后解方程即可；
（3）根据“爱心点”定义得， 求解得出m、n的值， 将m、n的值代入， 可得2x-y=3p+9，解方程组，得出，求出，根据无论p取何值，代数式的值始终不变，得出，求出k的值即可．
（1）解：∵，
∴，
解得：，
∴，，
∴，
∴点是“爱心点”；
（2）解：∵是爱心点，
∴，解得：，
∵，
∴，
解得：；
（3）解：∵是“爱心点”，
∴，解得：，
∵，
∴，即，
∵x，y是关于x，y的方程的解，
∴，
解得：，
∴，
∵无论p取何值，代数式的值始终不变，
∴，
解得：．
25．【问题情境】数学活动课上，老师以“一个含的直角三角板和两条平行直线”为背景展开数学活动．如图，已知直线，．
【操作发现】
（1）如图①，若 求的度数；
（2）如图②，创新小组的同学把三角板的位置进行了调整，当点在直线之间，点在直线的上方时，与有怎样的数量关系？请你用平行线的知识说明理由．
（3）【探究】如图③，开拓小组继续调整三角板的位置，当三角板的直角顶点在直线上，点在直线上方时，他们得出的结论是 ，开拓小组的结论是否正确？请说明理由．
【答案】（1）解：∵ 直线，
∴，
∵，
∴；
（2）解：．理由：
如图②，过点 B 作，
∵，
∵
∴
∴
（3）解：开拓小组的结论正确，理由如下：
如图③所示，过点 A 作，
∴
即
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴开拓小组的结论正确．
【知识点】三角形内角和定理；平行线的应用-求角度；平行线的应用-三角尺问题；平行公理的推论
【解析】【分析】（1）由二直线平行，内错角相等得∠2=∠1+ACB，然后代值计算可得答案；
（2）过点B作EF∥a，由二直线平行，同位角相等得∠2=∠CBF，∠1=∠ABE，然后由三角形内角和定理得∠1+∠2=∠ABE+∠CBF=90°；
（3） 开拓小组的结论正确，理由如下：过点A作AD∥a，由二直线平行，同旁内角互补求出∠CAD=180°-∠1，由平行于同一直线的两条直线互相平行得出AD∥b，由二直线平行，内错角相等得∠BAD=∠2，然后根据角的构成，由∠CAB=∠CAD+∠BAD=45°建立等式，再变形即可得出结论.
（1）解：∵ 直线，
∴，
∵，
∴
（2）解：．
理由：如图②，过点 B 作，
∵，
∵
∴
∴
（3）解：开拓小组的结论正确．
理由：如图③所示，过点 A 作，
∵
即
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴开拓小组的结论正确．
26．如图，已知点，将点向右平移4个单位长度，得到点，连接．将线段先向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度后得到线段，连接，．
（1）请直接写出点的坐标；
（2）连接，求三角形的面积；
（3）点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴向上平移运动，设运动时间为秒．问：是否存在这样的，使得四边形的面积等于6？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由；
（4）在（3）的条件下，点从点出发的同时，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿轴向左平移运动，设射线交轴于点．问：的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由．
【答案】（1）解：
（2）解：连接，如图，
，
，
S△OBD=×OB×yD=×2×2=2.
（3）解：存在，连接，
由题意知，
四边形的面积三角形的面积三角形的面积，
，
解得：，
时，四边形的面积等于6．
（4）解：的值不会发生变化．
①当N在线段上时，连接，
由题意知，，
，
，
，
，
②当N在延长线上时，连接，
设，
由题意知，，
，，
，
，
，
，
，
综上所述，的值不会发生变化，的值为2．
【知识点】三角形的面积；动点问题的函数图象；四边形-动点问题；分类讨论
【解析】【解答】（1）解：由平移可知；
【分析】（1）利用点平移的特征分析求解即可；
（2）先求出OB的长，再利用三角形的面积公式求解即可；
（3）连接OD，利用“四边形的面积三角形的面积三角形的面积”列出方程，再求解即可；
（4）分类讨论：①当N在线段上时，连接，②当N在延长线上时，连接，先分别画出图形，再利用割补法求解即可.
（1）解：由平移可知；
（2）解：连接，如图，
，
，
三角形的面积；
（3）解：存在，
连接，
由题意知，
四边形的面积三角形的面积三角形的面积，
，
解得，
时，四边形的面积等于6．
（4）解：的值不会发生变化．
当N在线段上时，连接，
由题意知，，
，
，
，
，
当N在延长线上时，连接，
设，
由题意知，，
，，
，
，
，
，
，
综上所述，的值不会发生变化，的值为2．
1 / 1四川省广元市利州区万达实验学校2025-2026学年七年级下学期5月期中数学试题
1．在这四个数中，是无理数的是（　　）
A． B． C． D．
2．在平面直角坐标系中，点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．二元一次方程组 的解是(　　)
A． B． C． D．
4．下列命题是真命题的是（　　）
A．相等的角是对顶角 B．同位角相等
C．同旁内角互补 D．平行于同一直线的两直线平行
5．已知，则（　　）
A． B． C． D．
6．将点向左平移1个单位长度得到点，且点在y轴上，那么点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
7．若单项式与是同类项，则a，b的值分别是（　　）
A．3，1 B．－3，1 C．3，－1 D．－3，－1
8．如图所示，，于点D，若，则（　　）
A． B． C． D．
9．设为非负实数，记为不大于的最大整数．若，，则的各位数字之和为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
10．如图，点D、点E分别是的边上的点，连接并延长到F，使得，若，比的余角小，G为线段上一动点， H为上一点，且满足，为的平分线．下列结论∶①；②；③平分；④；⑤．其中结论正确的序号是（　　）
A．①②③④⑤ B．①②③④ C．②③④ D．①⑤
11．若，则　 　．
12．已知点在第三象限，且点到轴的距离为1，则的值是　 　．
13．若关于x，y的方程组的解满足，则m的值为　 　．
14．如图，已知，则　 　°．
15．已知关于，的方程组的解是，则方程组的解为　 　．
16．如图，动点P按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，…，若在x轴上方时，每运动一次需要1秒，在x轴下方时，每运动一次需要2秒，按这样的运动规律，动点P第2026秒时运动到点　 　．
17．求下列各式中的
（1）；
（2）．
18．计算：
（1）；
（2）．
19．解方程组：
（1）
（2）．
20．如图，已知直线相交于点O，于点O．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数．
21．如图，在四边形中，是延长线的一点，连接交于点，若，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
22．已知点，点Q的坐标为．
（1）若点P在x轴上，请求出点P的坐标；
（2）若直线轴，请求出点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，且，请直接写出点Q的坐标．
23．五一期间，正定打算举行各种迎游客活动，安排了两种货车来运输物资．调查得知，3辆小货车与2辆大货车一次可以满载运输1700件物品；4辆小货车与5辆大货车一次可以满载运输3200件物品．
（1）求1辆小货车和1辆大货车一次可以分别满载运输多少件物品？
（2）现有3000件物资需要再次运送，准备同时租用这两种货车一次运送完，每辆货车均全部装满货物，请你通过计算确定共有哪几种租车方案
（3）在（2）的前提下，若1辆小货车需租金400元/次，1辆大货车需租金500元/次．若组委会计划支出3600元用于租车，请直接写出是否够用．
24．若m，n都是实数，且满足，则称点为“爱心点”．
（1）判断点是否为“爱心点”，并说明理由；
（2）若点是“爱心点”，求a的值；
（3）已知点是“爱心点”，其中x，y是关于x，y的方程的解．若无论p取何值，代数式（k是常数）的值始终不变，求k的值．
25．【问题情境】数学活动课上，老师以“一个含的直角三角板和两条平行直线”为背景展开数学活动．如图，已知直线，．
【操作发现】
（1）如图①，若 求的度数；
（2）如图②，创新小组的同学把三角板的位置进行了调整，当点在直线之间，点在直线的上方时，与有怎样的数量关系？请你用平行线的知识说明理由．
（3）【探究】如图③，开拓小组继续调整三角板的位置，当三角板的直角顶点在直线上，点在直线上方时，他们得出的结论是 ，开拓小组的结论是否正确？请说明理由．
26．如图，已知点，将点向右平移4个单位长度，得到点，连接．将线段先向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度后得到线段，连接，．
（1）请直接写出点的坐标；
（2）连接，求三角形的面积；
（3）点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴向上平移运动，设运动时间为秒．问：是否存在这样的，使得四边形的面积等于6？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由；
（4）在（3）的条件下，点从点出发的同时，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿轴向左平移运动，设射线交轴于点．问：的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】无理数的概念；求算术平方根
【解析】【解答】解：，是整数，属于有理数；
是有限小数，属于有理数；
是分数，属于有理数；
是无限不循环小数，是无理数
故答案为：B.
【分析】先根据算术平方根定义将需要化简的数化简，然后根据整数与分数统称有理数；无限不循环的小数是无理数，常见的无理数有四类：①开方开不尽的数，②与π有关的数，③规律性的数，如0.101001000100001000001…（每两个1之间依次多一个0）这类有规律的数，④锐角三角函数，如sin60°等，逐个判断得出答案.
2．【答案】A
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：点位于第一象限；
故答案为：A．
【分析】根据点的坐标符号与象限的关系：第一象限的点（+，+），第二象限的点（-，+），第三象限的点（-，-），第四象限的点（+，-），判断得出答案.
3．【答案】B
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】
解：①-②，得：
y=2，
把y=2代入①，得：
x=4.
∴方程组的解是：.
故答案选：B.
【分析】借此方程组，求出未知数x、y的值，即可得到正确答案.
4．【答案】D
【知识点】对顶角及其性质；真命题与假命题；平行公理的推论；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：、相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题；
、只有两直线平行时同位角才相等，原命题缺少前提条件，是假命题；
、只有两直线平行时同旁内角才互补，原命题缺少前提条件，是假命题；
、平行于同一直线的两直线平行，原命题是真命题．
故答案为：D
【分析】条件和结论都正确的是真命题，真命题为： 平行于同一直线的两直线平行．
5．【答案】B
【知识点】平方根的概念与表示
【解析】【解答】解：∵，
∴．
故答案为：B．
【分析】依据被开方数小数点每向左或向右移动2位，则对应的算术平方根向左或向右移动1位求解即可．
6．【答案】A
【知识点】点的坐标与象限的关系；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵将点向左平移个单位长度得到点P'，
∴的坐标为，即，
∵点在y轴上，y轴上任意点的横坐标为，
∴，
解得：，
将代入纵坐标得：，
∴的坐标为．
故答案为：A.
【分析】由平面内点的坐标平移规律“横坐标左减右加，纵坐标上加下减”得到点P'(m+1，2m+1)，然后根据“y轴上任意点的横坐标为0”列出方程m+1=0，求解得出m=-1，然后将m=-1代入2m+1得-1，从而即可得到点P'的坐标.
7．【答案】A
【知识点】同类项的概念；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵单项式与是同类项，
∴
①+②得2a=6，解得a=3，
将a=3代入②得b=1，
∴方程组的解为
故a，b的值分别为3，1
故答案为：A．
【分析】所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，据此列出关于字母a、b的方程组，求解即可得出a、b的值.
8．【答案】B
【知识点】平行线的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【解答】解：如图，过点作，
，
，
，
，
，，
∴．
故答案为：B.
【分析】过点C作CM∥AB，由垂直的定义得∠CDE=90°，由平行于同一直线的两条直线互相平行得出AB∥EF∥CM，由二直线平行，内错角相等得∠BCM=∠ABC=40°，∠DE=∠DCM=90°，然后根据角的构成，由∠BCD=∠BCM+∠MCD可算出答案.
9．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，为非负实数，
∴为非负整数，，，
∴，，
∴，
∴，且，
∵，不满足条件，
，，满足条件，
，不满足条件，
∴，
∴的各位数字之和为．
故答案为：D.
【分析】根据新定义运算法则得出n≤x＜n+1，由可得，则推出，，再根据新定义运算法则得出，从而可得n2≤2026＜n(n+1)，进而找到满足该不等式组的整数n的值即可求出答案.
10．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；平行线的应用-证明问题
【解析】【解答】解：，
，故①正确；
，
，
，
，故②正确；
，
，
，
平分，故③正确；
在延长线上取点M，
，
，，
比的余角小，
，
，
解得，
，，故④正确；
为的平分线，
，
，即，
，
，即，
，故⑤错误，
综上可知，结论正确的序号是①②③④．
故答案为：B.
【分析】由内错角相等，两直线平行可推出AB∥CF，从而可判断①；由二直线平行，内错角相等可得∠ADE=∠F=∠B，从而由同位角相等，两直线平行得出DF∥BC，据此可判断②；由二直线平行，内错角相等得DEH=∠GHE=∠GEH，从而根据角平分线的定义可判断③；在BC的延长线上取点M，由二直线平行，同位角相等，内错角相等推出∠AED=∠ACB，∠F=∠FCM，由余角定义及“∠AED比∠ACB的余角小20°”建立方程可求出∠ACB=35°，然后根据三角形的内角和定理及等量代换可求出∠A+∠F=145°，据此可判断④；由角平分线的定义及角的构成可推出2∠IEH=35°，据此可判断⑤.
11．【答案】1
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：1．
【分析】根据算术平方根的非负性及绝对值非负性，由两个非负数的和为零，则每一个数都等于零，据此可求出a、b的值，最后将a、b的值代入待求式子计算即可.
12．【答案】
【知识点】点的坐标；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点在第三象限，
∴点横坐标小于，纵坐标小于，
即且，
解得：，
∵点到轴的距离为，，
∴．
解得：．
当时，，，
即点在第三象限，且到轴的距离为，符合条件．
故答案为：4．
【分析】根据第三象限的横纵坐标都小于建立关于字母x的不等式组，求解可得，再根据一个点到x轴的距离等于其纵坐标的绝对值结合点P到x轴的距离为1，即可得3-x=-1，求解并检验即可得出x的值.
13．【答案】3
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：，
由可得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】观察方程组中两个方程未知数系数的特点可得将两个方程相加后再两边同时除以5得x+y=m-1，结合x+y=2可列出关于字母m的方程，求解即可得出m的值.
14．【答案】38
【知识点】平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：38．
【分析】由内错角相等，两直线平行得出AB∥CE，由二直线平行，同位角相等得∠B=∠3=38°.
15．【答案】
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：整理方程组，可得：
方程组的解为，
方程组的解为，
，
解得：．
故答案为：．
【分析】整理新方程组可得，然后观察两方程组就会发现新方程组中的x+1与3-y相当于原方程组中的x与y，从而根据可得，求解即可得出新方程组的解.
16．【答案】(1350，-2)
【知识点】点的坐标；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：通过观察图形可以得到，动点P的运动以6秒为一个完整循环周期，在每一个循环中，动点P完成四次运动后，整体会向右平移4个单位，
∵，
∴2026秒包含337个完整循环，还剩余4秒的运动，
337个完整循环一共向右平移的单位数为，
经过337个完整循环，也就是2022秒时，动点P的横坐标为，纵坐标为0，即此时点P的坐标为(1347，0)；
之后动点P开始新循环的运动，先向x轴上方方向运动，经过2秒后，也就是到2024秒时，点P的坐标变为 (1349，0)；
接下来动点P向x轴下方方向运动，再经过2秒后，也就是到2026秒时，点P的坐标变为 (1350，-2)；
因此，动点P运动2026秒后所在点的坐标为(1350，-2).
故答案为： (1350，-2).
【分析】 本题通过观察图形总结规律可得，动点P的运动每6秒为一个循环周期，每个周期整体向右移动4个单位，只需要用总时间2026除以6，根据得到的商和余数判断动点所在的位置，即可计算得到对应点的坐标.
17．【答案】（1）解：∵
∴，
∴或；
（2）解：，
，
，
∴．
【知识点】利用开平方求未知数；利用开立方求未知数
【解析】【分析】（1）由平方根定义直接开方，将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次即可求出原方程的解；
（2）把x+1看成一个整体，首先将常数项移到方程的右边，然后方程两边同时除以8将未知数项的系数化为1，进而根据立方根定义直接开方将方程降次为一元一次方程，解一元一次即可求出原方程的解.
（1）解：
，
∴或；
（2）解：，
，
，
∴．
18．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）先根据乘方运算法则、算术平方根定义及立方根定义分别计算，再根据减去一个数等于加上这个数的相反数将减法转化为加法，同时根据绝对值性质化简绝对值，最后根据有理数加减法运算法则从左至右依次计算即可；
（2）先根据乘方运算法则、绝对值性质、算术平方根定义及立方根定义分别计算，再根据减去一个数等于加上这个数的相反数将减法转化为加法，最后根据有理数加减法运算法则从左至右依次计算即可.
（1）解：
；
（2）解：
．
19．【答案】（1）解：，
得：，
将代入得，
解得：，
∴．
（2）解：，
整理得：，
得：，
解得：，
把代入得，
解得：，
∴原方程组的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）观察发现方程组中未知数y的系数相同，故利用方程②-①消去未知数y求出x的值，再将x的值代入方程①求出y的值，从而即可得出方程组的解；
（2）先根据去分母、去括号及移项将方程组中的两个方程整理成一般形式，观察发现方程组中未知数y的系数互为相反数，故利用方程①+②消去未知数y求出x的值，再将x的值代入方程①求出y的值，从而即可得出方程组的解.
（1）解：，
得：，
将代入得，
解得：，
∴．
（2）解：，
整理得：，
得：，
解得：，
把代入得，
解得：，
∴原方程组的解为．
20．【答案】（1）解：，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】角的运算；垂线的概念；对顶角及其性质
【解析】【分析】（1）由对顶角相等得出∠AOC=∠BOD=30°，由垂直的定义得∠EOD=90°，然后根据角的构成，由∠BOE=∠EOD-∠BOD可算出答案；
（2）由邻补角及∠BOD与∠BOC的比值可求出∠BOD=30°，由对顶角相等得∠AOC=∠BOD=30°，由垂直的定义得∠EOC=90°，然后根据角的构成，由∠AOE=∠AOC+∠COE可算出答案.
（1）解：，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
21．【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∴；
（2）解：由（1）知：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质；邻补角
【解析】【分析】（1）根据角之间的关系可得，再根据直线平行判定定理即可求出答案.
（2）根据直线平行判定定理及性质即可求出答案.
（1）证明：∵，，
∴，
∴；
（2）解：由（1）知：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
22．【答案】（1）解：∵点在x轴上，
∴，
∴，
∴，
∴点P的坐标为；
（2）解：∵，，直线轴，
∴，
∴，
∴．
∴点P的坐标为．
（3）解：点Q的坐标为或.
【知识点】坐标与图形性质；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：（3）∵点P的坐标为，，
∴|b-7|=10，
∴b-7=10或b-7=-10，
∴b=17或b=-3，
∴点Q的坐标为或．
【分析】（1）由x轴上点的纵坐标为0建立方程a+4=0，求解得出a=-4，再将a=-4代入2a-2计算出结果，即可求出点P的坐标；
（2）由与y轴平行直线上的横坐标相等建立方程2a-2=4，求解得出a=3，再将a=3代入a+4计算出结果，即可求出点P的坐标；
（3）根据两点间的距离公式可得|b-7|=10，求解即可得出b的值，从而即可得到点Q的坐标.
（1）解：∵点在x轴上，
∴，
∴，
∴，
∴点P的坐标为；
（2）∵，，直线轴，
∴，
∴，
∴．
∴点P的坐标为．
（3）∵点P的坐标为，，
∴，或
∴点Q的坐标为或．
23．【答案】（1）解：设1辆小货车一次满载运输件物品，1辆大货车一次满载运输件物品，
依题意得：，
解得：，
答：1辆小货车一次满载运输300件物品，1辆大货车一次满载运输400件物品．
（2）解：设租用小货车m辆，租用大货车n辆，根据题意得：，
∵m、n为正整数，
∴，，
答：共两种方案：①小货车2辆，大货车6辆；②小货车6辆，大货车3辆
（3）解：该组委会计划支出3600元用于租车，不够用，理由如下：
方案1：租用2辆小货车，6辆大货车，租车费为（元）；
方案2：租用6辆小货车，3辆大货车，租车费为；
；；
该组委会计划支出3600元用于租车，不够用．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-方案选择问题
【解析】【分析】（1）先设1辆小货车一次满载可以运输件物资，1辆大货车一次满载可以运输件物资，再结合题目给出的运输条件列出二元一次方程组，求解后就能得到两种货车单次满载的运输量；
（2）再设租用小货车的数量为辆，租用大货车的数量为辆，结合第一问求出的运输量，根据满载一次运送所有物资的要求列出等式，最后结合、都是非负整数的限定，找出所有符合要求的租车方案；
（3）最后分别计算出第二问得到的每一种租车方案的总费用，比较费用大小，就能得到最少费用的方案。
（1）解：设1辆小货车一次满载运输件物品，1辆大货车一次满载运输件物品，
依题意得：，
解得：，
答：1辆小货车一次满载运输300件物品，1辆大货车一次满载运输400件物品．
（2）解：设租用小货车m辆，租用大货车n辆，根据题意得：
，
∵m、n为正整数，
∴，，
答：共两种方案：①小货车2辆，大货车6辆；②小货车6辆，大货车3辆
（3）解：该组委会计划支出3600元用于租车，不够用，理由如下：
方案1：租用2辆小货车，6辆大货车，租车费为（元）；
方案2：租用6辆小货车，3辆大货车，租车费为；
；；
该组委会计划支出3600元用于租车，不够用．
24．【答案】（1）解：∵，
∴，
解得：，
∴，，
∴，
∴点是“爱心点”；
（2）解：∵是爱心点，
∴，
解得：，
∵，
∴，
解得：；
（3）解：∵是“爱心点”，
∴，解得：，
∵，
∴，即，
∵x，y是关于x，y的方程的解，
∴，
解得：，
∴，
∵无论p取何值，代数式的值始终不变，
∴，
解得：．
【知识点】整式的加减运算；点的坐标；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）根据“爱心点”定义得出，求解得出m、n的值，再验证m、n的值是否满足，若满足则点A就是“爱心点”，否则就不是；
（2）根据“爱心点”定义得出 ，求解得出m、n的值，将m、n的值代入，可得关于字母a的方程，然后解方程即可；
（3）根据“爱心点”定义得， 求解得出m、n的值， 将m、n的值代入， 可得2x-y=3p+9，解方程组，得出，求出，根据无论p取何值，代数式的值始终不变，得出，求出k的值即可．
（1）解：∵，
∴，
解得：，
∴，，
∴，
∴点是“爱心点”；
（2）解：∵是爱心点，
∴，解得：，
∵，
∴，
解得：；
（3）解：∵是“爱心点”，
∴，解得：，
∵，
∴，即，
∵x，y是关于x，y的方程的解，
∴，
解得：，
∴，
∵无论p取何值，代数式的值始终不变，
∴，
解得：．
25．【答案】（1）解：∵ 直线，
∴，
∵，
∴；
（2）解：．理由：
如图②，过点 B 作，
∵，
∵
∴
∴
（3）解：开拓小组的结论正确，理由如下：
如图③所示，过点 A 作，
∴
即
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴开拓小组的结论正确．
【知识点】三角形内角和定理；平行线的应用-求角度；平行线的应用-三角尺问题；平行公理的推论
【解析】【分析】（1）由二直线平行，内错角相等得∠2=∠1+ACB，然后代值计算可得答案；
（2）过点B作EF∥a，由二直线平行，同位角相等得∠2=∠CBF，∠1=∠ABE，然后由三角形内角和定理得∠1+∠2=∠ABE+∠CBF=90°；
（3） 开拓小组的结论正确，理由如下：过点A作AD∥a，由二直线平行，同旁内角互补求出∠CAD=180°-∠1，由平行于同一直线的两条直线互相平行得出AD∥b，由二直线平行，内错角相等得∠BAD=∠2，然后根据角的构成，由∠CAB=∠CAD+∠BAD=45°建立等式，再变形即可得出结论.
（1）解：∵ 直线，
∴，
∵，
∴
（2）解：．
理由：如图②，过点 B 作，
∵，
∵
∴
∴
（3）解：开拓小组的结论正确．
理由：如图③所示，过点 A 作，
∵
即
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴开拓小组的结论正确．
26．【答案】（1）解：
（2）解：连接，如图，
，
，
S△OBD=×OB×yD=×2×2=2.
（3）解：存在，连接，
由题意知，
四边形的面积三角形的面积三角形的面积，
，
解得：，
时，四边形的面积等于6．
（4）解：的值不会发生变化．
①当N在线段上时，连接，
由题意知，，
，
，
，
，
②当N在延长线上时，连接，
设，
由题意知，，
，，
，
，
，
，
，
综上所述，的值不会发生变化，的值为2．
【知识点】三角形的面积；动点问题的函数图象；四边形-动点问题；分类讨论
【解析】【解答】（1）解：由平移可知；
【分析】（1）利用点平移的特征分析求解即可；
（2）先求出OB的长，再利用三角形的面积公式求解即可；
（3）连接OD，利用“四边形的面积三角形的面积三角形的面积”列出方程，再求解即可；
（4）分类讨论：①当N在线段上时，连接，②当N在延长线上时，连接，先分别画出图形，再利用割补法求解即可.
（1）解：由平移可知；
（2）解：连接，如图，
，
，
三角形的面积；
（3）解：存在，
连接，
由题意知，
四边形的面积三角形的面积三角形的面积，
，
解得，
时，四边形的面积等于6．
（4）解：的值不会发生变化．
当N在线段上时，连接，
由题意知，，
，
，
，
，
当N在延长线上时，连接，
设，
由题意知，，
，，
，
，
，
，
，
综上所述，的值不会发生变化，的值为2．
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