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广东揭阳市普宁市红领巾实验学校2025-2026学年七年级第二学期期中素质测评数学试卷
1．某种计算机完成一次基本运算的时间约为1 纳秒（ns），已知1 纳秒＝0.000000001秒，该计算机完成15次基本运算，所用时间用科学记数法表示为（　　）
A．1.5× 秒 B．15× 秒
C．1.5× 秒 D．15× 秒
2．为纪念红军长征胜利90周年，小红购买了《盛世如愿·光辉征程》文创纪念卡牌，其中“遵义会议”卡牌2张，“四渡赤水”“飞夺泸定桥”“胜利会师”卡牌各1张，从中随机抽取一张恰好抽到“遵义会议”卡牌的概率是（　　）
A． B． C． D．
3．如图是一把剪刀示意图，当剪刀口增加时，（　　）
A．增加 B．不变 C．减少 D．增加
4．下列各式中，不能应用平方差公式进行计算的是（　　）
A． B．
C． D．
5．下列图形中，由，能得到的是（　　）
A． B．
C． D．
6．计算 的结果是（　　）
A． B． C． D．
7．九（1）班三名同学进行唱歌比赛，这三名同学用抽签方式确定出场顺序，则抽签后出场顺序是甲第一个出场，乙第二个出场，丙第三个出场的概率为（　　）
A． B． C． D．
8．若多项式是关于x的完全平方公式的展开式，则k的值为（　　）
A． B．或8 C． D．4或
9．如图，用不同的代数式表示图中阴影部分的面积，可得等式（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，平分交于点E，，，M，N分别是延长线上的点，和的平分线交于点F．下列结论：①；②；③平分；④为定值．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．“若是有理数，则”是　 　事件．
12．若计算的结果不含项，那么的值为　 　．
13．如图，在中，，，点D，E分别在，上，将沿折叠得，且满足，则　 　．
14．如图，大正方形与小正方形的面积之差是40，则阴影部分的面积是 ．
15．将一副三角板按如图放置，小明得到下列结论：①如果∠2＝30°，则有AC∥DE；②∠BAE+∠CAD＝180°；③如果BC∥AD，则有∠2＝30°；④如果∠CAD＝150°，则∠4＝∠C；那么其中正确的结论有　 　
16．计算：
17．先化简，再求值：，其中，．
18．“一人一盔安全守规，一人一戴平安常在”，如表是某厂质检部门对该厂生产的一批头盔质量检测的情况．
抽取的头盔数
合格品数
合格品频率
（1）求出表中______，______；
（2）从这批头盔中任意抽取一顶是合格品的概率的估计值是（精确到）；
（3）如果要出厂4900顶合格的头盔，则该厂估计要生产多少顶头盔？
19．【模型发现】某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系．
（1）如图1，，是、之间的一点，连接、，试说明：；请将下面的说理过程补充完整：
说明：如图，过作．
∵．（辅助线的作法）
∴．（__________________）
∵．（已知）
∴．（__________________）
∴．（__________________）
∵．（角的和差定义）
∴______．（等量代换）
（2）如图2，若，，，则______°；
（3）如图3，，点在的上方，问，，之间有什么数量关系？请说明理由．
20．若（且），则．
（1）如果，求x的值；
（2）已知x满足，求x的值．
21．如图，在四边形中，点E，F分别在上，已知且．
（1）求证：；
（2）若平分，，，求的度数．
22．【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为，
【类比探究】
（1）观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为______．
【应用】
（2）根据图②所得的公式，若，，求的值．
（3）若x满足，求的值．
【拓展】
（4）如图③，某学校有一块梯形空地，于点E，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为102平方米，米，求种草区域的面积和．
23．如图1，已知直线，且和分别相交于A，B两点，和分别交于C，D两点，点P在线段上．
（1）若，则　 　；
（2）试找出之间的等量关系，并说明理由；
（3）应用（2）中的结论解答下列问题：
已知，点A，B在上，点C，D在上，连接．分别是的平分线，．
①如图2，当点B在点A的右侧时，求的度数；
②如图3，当点B在点A的左侧时，直接写出的度数．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：所用时间=15×0.000 000 001=1.5×10-8.
故答案为：C.
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
2．【答案】B
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵ “遵义会议”卡牌共2张，其余三种卡牌各1张，
∴总卡牌数为，
∴从中随机抽取一张恰好抽到“遵义会议”卡牌的概率．
故答案为：B
【分析】总卡牌数为，随机抽取一张恰好抽到“遵义会议”卡牌的概率．
3．【答案】D
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵，
∴增加时，增加，
故选：D．
【分析】利用对顶角相等解答即可．
4．【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】A.中，x是同号，y的异号，符合题意，能用公式；
B.中，x是异号，2y的同号，符合题意，能用公式；
C.中，a是异号，b的异号，不符合题意，不能用公式；
D.中，是同号，n的异号，符合题意，能用公式；
故答案为：C．
【分析】平方差公式（a+b）(a-b)，不符合公式结构特点的是 .
5．【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A选项：若，可以推出，无法推出，不符合题目要求；
B选项：仅根据，无法推出，不符合题目要求；
C选项：如图，
已知，且，通过等量代换可得，根据内错角相等，两直线平行，即可推出，符合题目要求；
D选项：仅由，无法推出，不符合题目要求。
【分析】依据平行线的判定定理，分别是同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，逐一分析每个选项里和的位置关系，以及它们能推出的平行结论即可。
6．【答案】A
【知识点】积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：
故答案为：A.
【分析】根据幂的乘方法则以及积的乘方法则的逆用可将原式变形为(-0.125×8)2020，据此计算.
7．【答案】D
【知识点】用列举法求概率
【解析】【解答】解：列举所有等可能的出场顺序如下：
(甲，乙，丙)，(甲，丙，乙)，(乙，甲，丙)，(乙，丙，甲)，(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)，
∵共有6种等可能的结果，其中符合“甲第一个出场，乙第二个出场，丙第三个出场”的结果只有1种，
∴所求概率．
故答案为：D
【分析】共有6种等可能的结果，其中符合“甲第一个出场，乙第二个出场，丙第三个出场”的结果只有1种， 则抽签后出场顺序是甲第一个出场，乙第二个出场，丙第三个出场的概率
8．【答案】B
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵多项式是完全平方公式的展开式．
∴，
∴时，解得．
时，解得．
则k的值为或8，
故选：B．
【分析】根据完全平方公式的形式，对代数式进行变形，确定出一次项，然后求解即可．
9．【答案】D
【知识点】完全平方公式的几何背景；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：阴影部分是边长为的正方形，因此其面积为，
阴影部分也可以看作是边长为的大正方形的面积减去两个长为，宽为的长方形面积，再加上边长为的正方形面积，即，因此有，
故答案为：D．
【分析】由图从整体看，阴影部分是边长为的正方形，则面积为，分部分看，阴影部分是边长为的大正方形的面积减去两个长为，宽为的长方形面积，再加上边长为的正方形面积，则可得等式．
10．【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵AB⊥BC，AE⊥DE，
∴∠1+∠AEB=90°，∠DEC+∠AEB=90°，
∴∠1=∠DEC，
又∵∠1+∠2=90°，
∴∠DEC+∠2=90°，
∴∠C=90°，
∴∠B+∠C=180°，
∴AB∥CD，故①正确；
∴∠ADN=∠BAD，
∵∠ADC+∠ADN=180°，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
又∵∠AEB≠∠BAD，
∴AEB+∠ADC≠180°，故②错误；
∵∠4+∠3=90°，∠2+∠1=90°，而∠3=∠1，
∴∠2=∠4，
∴ED平分∠ADC，故③正确；
∵∠1+∠2=90°，
∴∠EAM+∠EDN=360°-90°=270°．
∵∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，
∴∠EAF+∠EDF=×270°=135°．
∵AE⊥DE，
∴∠3+∠4=90°，
∴∠FAD+∠FDA=135°-90°=45°，
∴∠F=180°-（∠FAD+∠FDA）=180-45°=135°，故④正确．
故选：C．
【分析】根据AB⊥BC，AE⊥DE得到∠1=∠DEC，根据∠1+∠2=90°，可得∠C=90°，即可判断①；根据平行线的性质和角的关系，可判断②；根据等量代换，可判断③；根据角平分线的性质，以及角的关系，可判断④．
11．【答案】必然
【知识点】事件的分类；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：根据绝对值的性质可知：对任意有理数，都有恒成立，即该事件一定发生，根据定义，在一定条件下必然发生的事件称为必然事件，因此该事件是必然事件．
故答案为：必然
【分析】对任意有理数，都有恒成立，即该事件一定发生，为必然事件．
12．【答案】5
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：
∵的结果不含项，
∴，解得：．
故答案为：5．
【分析】本题以多项式乘法及不含某项为背景，考查了多项式乘法的展开及合并同类项；先计算多项式乘法，合并同类项后，令项的系数为零，解方程求m的值.
13．【答案】
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）；直角三角形的性质；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图，
∵，，
，
由折叠的性质得：，
∵，
，
，
，
．
故答案为：．
【分析】根据三角形的内角和定理，结合，，求出为，根据折叠的性质得相等，再根据平行得为，然后根据平角的定义得和为，进一步计算可得的度数．
14．【答案】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，∵大正方形与小正方形的面积之差是40，
∴a2﹣b2＝40，
由正方形的性质得：BC⊥AB，BD⊥AB，BC＝AB＝a，BD＝BE＝b，
∴AE＝AB﹣BE＝a﹣b，
∴阴影部分的面积＝S△ACE+S△AED
＝AE BC+AE BD
＝AE （BC+BD）
＝（a﹣b）（a+b）
＝（a2﹣b2）
＝×40
＝20，
即阴影部分的面积是20．
故答案为：20
【知识点】平方差公式的几何背景；正方形的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】根据题意，设大正方形和小正方形的边长分别为a，b，根据题意可得，阴影部分的面积为，根据三角形的面积表示出来，再进行化简求解即可．
15．【答案】①②④
【知识点】平行线的应用-求角度；平行线的应用-证明问题
【解析】【解答】解：∵∠2=30°，
∴∠1=60°，
又∵∠E=60°，
∴∠1=∠E，
∴AC//DE，故①正确；
∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
即∠BAE+∠CAD=∠1+∠2+∠2+∠3=90°+90°=180°，故②正确；
∵BC//AD，
∴，
又∵∠C=45°，∠1+∠2=90°，
∴∠3=45°，
∴∠2=90° 45°=45°，故③错误；
∵∠D=30°，∠CAD=150°，
∴∠CAD+∠D=180°，
∴AC//DE，
∴∠4=∠C，故④正确．
故答案为①②④
【分析】根据角的和差关系可得∠1=60°，再根据平行线的判定定理即可求证①；根据角的和差关系得到可判断②；利用平行线的性质可得，再根据角之间的关系可判断③；根据平行线的判定与性质可判断④．
16．【答案】解：原式，
，
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】根据负整数指数幂，零指数幂，乘方对每个式子进行化简，然后求解即可．
17．【答案】解：
，
当，时，原式．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算；求代数式的值-化简代入求值
【解析】【分析】 化简的5x-2y，代入，，结果得-16
18．【答案】（1），
（2）解：由表格可知，随着抽取的头盔数量不断增大，任意抽取一个是合格的频率在附近波动，
所以任意抽取的一顶是合格品的概率估计值是；
（3）解：（顶）．
答：该厂估计要生产顶头盔
【知识点】频数与频率；利用频率估计概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：，；
故答案为：，．
【分析】（1）根据表中数据计数量×频率=合格数；
（2）由表中数据可判断频率在左右摆动，从而利于频率估计概率可判断任意抽取一只口罩是合格品的概率为；
（3）用样本数据估计：总数数量=合格数量÷概率．
（1）解：，；
故答案为：，．
（2）解：由表格可知，随着抽取的头盔数量不断增大，任意抽取一个是合格的频率在附近波动，
所以任意抽取的一顶是合格品的概率估计值是；
（3）解：（顶）．
答：该厂估计要生产顶头盔．
19．【答案】（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等；
（2）82
（3）解：，，之间的数量关系是：；理由如下：过点作（点在点的右侧），如图3所示：
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，，之间的数量关系是：．
【知识点】猪蹄模型；铅笔头模型；平行线的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【解答】（1）解：如图，过作，
∵，（辅助线的作法）
∴，（两直线平行，内错角相等）
∵，（已知）
∴，（平行于同一条直线的两条直线互相平行）
∴，（两直线平行，内错角相等）
∵，（角的和差定义）
∴．（等量代换）
（2）解：过点P作（点在点的右侧），如图2所示：
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【分析】（1）过作，根据“两直线平行，内错角相等”
得，“平行于同一条直线的两条直线互相平行”得，根据“两直线平行，内错角相等”得，得；
（2）过点作（点在点的右侧），
则，得，证明得，得，．
（3）过点作（点在点的右侧），
则，证得，，即，
（1）解：如图，过作，
∵，（辅助线的作法）
∴，（两直线平行，内错角相等）
∵，（已知）
∴，（平行于同一条直线的两条直线互相平行）
∴，（两直线平行，内错角相等）
∵，（角的和差定义）
∴．（等量代换）
（2）解：过点P作（点在点的右侧），如图2所示：
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）解：，，之间的数量关系是：；理由如下：
过点作（点在点的右侧），如图3所示：
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，，之间的数量关系是：．
20．【答案】（1）解：∵，∴，
∴，
∴，
∴，
解得：；
（2）解：∵，∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：．
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算；同底数幂乘法的逆用；幂的乘方的逆运算
【解析】【分析】（1）由已知得，即，得，解得x=2；
（2）由已知得，即，得，则，解得x=．
（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：．
21．【答案】（1）证明：∵，∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：由（1）得：，，∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴.
【知识点】角平分线的概念；平行线的应用-求角度；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）由 ，得，由，则，得 ；
（2）由，则，又平分，得，得，则，则．
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：由（1）得：，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴.
22．【答案】（1）；
（2）由（1）的结论得：，
又，
；
（3）设，则，
，
，
，
由（1）的结论得：，
，
；
（4）设，
于点E，米，
（平方米），（平方米），（平方米），平方米，（米），
种花区域的面积和为102平方米，
，
，
由（1）的结论得：，
，
，
种草区域的面积和为：（平方米），
答：种草区域的面积和为60平方米．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；三角形的面积；几何图形的面积计算-割补法；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：（1）∵图②中大正方形的边长为，阴影部分两个正方形的边长分别为a，b，两个长方形的宽和长分别为a，b，
大正方形的面积为，阴影部分两个正方形的面积分别为，长方形的面积为，
又阴影部分两个正方形的面积之和大正方形的面积两个长方形的面积，
，
故答案为：；
【分析】（1）根据图②中“阴影部分两个正方形的面积之和=大正方形的面积-两个长方形的面积”得.
（2）由（1）得，将代入得；
（3）设，则，得，由（1）得，，即；
（4）设，则（米），得，由（1）得，（平方米）．
23．【答案】（1）
（2）解：，理由如下：
如图所示，过点P作，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：①由（2）的结论知，∵，，
∴，，
∵分别是的平分线，
∴，
∴；
②
【知识点】角平分线的概念；平行线的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【解答】（1）解：如图所示，过点P作，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）②由（2）的结论可知，
∵，，
∴，，
∴，
∵分别是的平分线，
∴，
∴，
∴．
【分析】（1）过点P作，利用平行线的判定与性质，求解即可；
（2）过点P作，根据平行线的判定与性质，求解即可；
（3）①由（2）可得，从而得到，，根据角平分线的定义得到，利用角的和差关系可得；②由（2）可得，按照①中的方法求解即可．
1 / 1广东揭阳市普宁市红领巾实验学校2025-2026学年七年级第二学期期中素质测评数学试卷
1．某种计算机完成一次基本运算的时间约为1 纳秒（ns），已知1 纳秒＝0.000000001秒，该计算机完成15次基本运算，所用时间用科学记数法表示为（　　）
A．1.5× 秒 B．15× 秒
C．1.5× 秒 D．15× 秒
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：所用时间=15×0.000 000 001=1.5×10-8.
故答案为：C.
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
2．为纪念红军长征胜利90周年，小红购买了《盛世如愿·光辉征程》文创纪念卡牌，其中“遵义会议”卡牌2张，“四渡赤水”“飞夺泸定桥”“胜利会师”卡牌各1张，从中随机抽取一张恰好抽到“遵义会议”卡牌的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵ “遵义会议”卡牌共2张，其余三种卡牌各1张，
∴总卡牌数为，
∴从中随机抽取一张恰好抽到“遵义会议”卡牌的概率．
故答案为：B
【分析】总卡牌数为，随机抽取一张恰好抽到“遵义会议”卡牌的概率．
3．如图是一把剪刀示意图，当剪刀口增加时，（　　）
A．增加 B．不变 C．减少 D．增加
【答案】D
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵，
∴增加时，增加，
故选：D．
【分析】利用对顶角相等解答即可．
4．下列各式中，不能应用平方差公式进行计算的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】A.中，x是同号，y的异号，符合题意，能用公式；
B.中，x是异号，2y的同号，符合题意，能用公式；
C.中，a是异号，b的异号，不符合题意，不能用公式；
D.中，是同号，n的异号，符合题意，能用公式；
故答案为：C．
【分析】平方差公式（a+b）(a-b)，不符合公式结构特点的是 .
5．下列图形中，由，能得到的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A选项：若，可以推出，无法推出，不符合题目要求；
B选项：仅根据，无法推出，不符合题目要求；
C选项：如图，
已知，且，通过等量代换可得，根据内错角相等，两直线平行，即可推出，符合题目要求；
D选项：仅由，无法推出，不符合题目要求。
【分析】依据平行线的判定定理，分别是同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，逐一分析每个选项里和的位置关系，以及它们能推出的平行结论即可。
6．计算 的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：
故答案为：A.
【分析】根据幂的乘方法则以及积的乘方法则的逆用可将原式变形为(-0.125×8)2020，据此计算.
7．九（1）班三名同学进行唱歌比赛，这三名同学用抽签方式确定出场顺序，则抽签后出场顺序是甲第一个出场，乙第二个出场，丙第三个出场的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用列举法求概率
【解析】【解答】解：列举所有等可能的出场顺序如下：
(甲，乙，丙)，(甲，丙，乙)，(乙，甲，丙)，(乙，丙，甲)，(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)，
∵共有6种等可能的结果，其中符合“甲第一个出场，乙第二个出场，丙第三个出场”的结果只有1种，
∴所求概率．
故答案为：D
【分析】共有6种等可能的结果，其中符合“甲第一个出场，乙第二个出场，丙第三个出场”的结果只有1种， 则抽签后出场顺序是甲第一个出场，乙第二个出场，丙第三个出场的概率
8．若多项式是关于x的完全平方公式的展开式，则k的值为（　　）
A． B．或8 C． D．4或
【答案】B
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵多项式是完全平方公式的展开式．
∴，
∴时，解得．
时，解得．
则k的值为或8，
故选：B．
【分析】根据完全平方公式的形式，对代数式进行变形，确定出一次项，然后求解即可．
9．如图，用不同的代数式表示图中阴影部分的面积，可得等式（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式的几何背景；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：阴影部分是边长为的正方形，因此其面积为，
阴影部分也可以看作是边长为的大正方形的面积减去两个长为，宽为的长方形面积，再加上边长为的正方形面积，即，因此有，
故答案为：D．
【分析】由图从整体看，阴影部分是边长为的正方形，则面积为，分部分看，阴影部分是边长为的大正方形的面积减去两个长为，宽为的长方形面积，再加上边长为的正方形面积，则可得等式．
10．如图，平分交于点E，，，M，N分别是延长线上的点，和的平分线交于点F．下列结论：①；②；③平分；④为定值．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵AB⊥BC，AE⊥DE，
∴∠1+∠AEB=90°，∠DEC+∠AEB=90°，
∴∠1=∠DEC，
又∵∠1+∠2=90°，
∴∠DEC+∠2=90°，
∴∠C=90°，
∴∠B+∠C=180°，
∴AB∥CD，故①正确；
∴∠ADN=∠BAD，
∵∠ADC+∠ADN=180°，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
又∵∠AEB≠∠BAD，
∴AEB+∠ADC≠180°，故②错误；
∵∠4+∠3=90°，∠2+∠1=90°，而∠3=∠1，
∴∠2=∠4，
∴ED平分∠ADC，故③正确；
∵∠1+∠2=90°，
∴∠EAM+∠EDN=360°-90°=270°．
∵∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，
∴∠EAF+∠EDF=×270°=135°．
∵AE⊥DE，
∴∠3+∠4=90°，
∴∠FAD+∠FDA=135°-90°=45°，
∴∠F=180°-（∠FAD+∠FDA）=180-45°=135°，故④正确．
故选：C．
【分析】根据AB⊥BC，AE⊥DE得到∠1=∠DEC，根据∠1+∠2=90°，可得∠C=90°，即可判断①；根据平行线的性质和角的关系，可判断②；根据等量代换，可判断③；根据角平分线的性质，以及角的关系，可判断④．
11．“若是有理数，则”是　 　事件．
【答案】必然
【知识点】事件的分类；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：根据绝对值的性质可知：对任意有理数，都有恒成立，即该事件一定发生，根据定义，在一定条件下必然发生的事件称为必然事件，因此该事件是必然事件．
故答案为：必然
【分析】对任意有理数，都有恒成立，即该事件一定发生，为必然事件．
12．若计算的结果不含项，那么的值为　 　．
【答案】5
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：
∵的结果不含项，
∴，解得：．
故答案为：5．
【分析】本题以多项式乘法及不含某项为背景，考查了多项式乘法的展开及合并同类项；先计算多项式乘法，合并同类项后，令项的系数为零，解方程求m的值.
13．如图，在中，，，点D，E分别在，上，将沿折叠得，且满足，则　 　．
【答案】
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）；直角三角形的性质；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图，
∵，，
，
由折叠的性质得：，
∵，
，
，
，
．
故答案为：．
【分析】根据三角形的内角和定理，结合，，求出为，根据折叠的性质得相等，再根据平行得为，然后根据平角的定义得和为，进一步计算可得的度数．
14．如图，大正方形与小正方形的面积之差是40，则阴影部分的面积是 ．
【答案】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，∵大正方形与小正方形的面积之差是40，
∴a2﹣b2＝40，
由正方形的性质得：BC⊥AB，BD⊥AB，BC＝AB＝a，BD＝BE＝b，
∴AE＝AB﹣BE＝a﹣b，
∴阴影部分的面积＝S△ACE+S△AED
＝AE BC+AE BD
＝AE （BC+BD）
＝（a﹣b）（a+b）
＝（a2﹣b2）
＝×40
＝20，
即阴影部分的面积是20．
故答案为：20
【知识点】平方差公式的几何背景；正方形的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】根据题意，设大正方形和小正方形的边长分别为a，b，根据题意可得，阴影部分的面积为，根据三角形的面积表示出来，再进行化简求解即可．
15．将一副三角板按如图放置，小明得到下列结论：①如果∠2＝30°，则有AC∥DE；②∠BAE+∠CAD＝180°；③如果BC∥AD，则有∠2＝30°；④如果∠CAD＝150°，则∠4＝∠C；那么其中正确的结论有　 　
【答案】①②④
【知识点】平行线的应用-求角度；平行线的应用-证明问题
【解析】【解答】解：∵∠2=30°，
∴∠1=60°，
又∵∠E=60°，
∴∠1=∠E，
∴AC//DE，故①正确；
∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
即∠BAE+∠CAD=∠1+∠2+∠2+∠3=90°+90°=180°，故②正确；
∵BC//AD，
∴，
又∵∠C=45°，∠1+∠2=90°，
∴∠3=45°，
∴∠2=90° 45°=45°，故③错误；
∵∠D=30°，∠CAD=150°，
∴∠CAD+∠D=180°，
∴AC//DE，
∴∠4=∠C，故④正确．
故答案为①②④
【分析】根据角的和差关系可得∠1=60°，再根据平行线的判定定理即可求证①；根据角的和差关系得到可判断②；利用平行线的性质可得，再根据角之间的关系可判断③；根据平行线的判定与性质可判断④．
16．计算：
【答案】解：原式，
，
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】根据负整数指数幂，零指数幂，乘方对每个式子进行化简，然后求解即可．
17．先化简，再求值：，其中，．
【答案】解：
，
当，时，原式．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算；求代数式的值-化简代入求值
【解析】【分析】 化简的5x-2y，代入，，结果得-16
18．“一人一盔安全守规，一人一戴平安常在”，如表是某厂质检部门对该厂生产的一批头盔质量检测的情况．
抽取的头盔数
合格品数
合格品频率
（1）求出表中______，______；
（2）从这批头盔中任意抽取一顶是合格品的概率的估计值是（精确到）；
（3）如果要出厂4900顶合格的头盔，则该厂估计要生产多少顶头盔？
【答案】（1），
（2）解：由表格可知，随着抽取的头盔数量不断增大，任意抽取一个是合格的频率在附近波动，
所以任意抽取的一顶是合格品的概率估计值是；
（3）解：（顶）．
答：该厂估计要生产顶头盔
【知识点】频数与频率；利用频率估计概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：，；
故答案为：，．
【分析】（1）根据表中数据计数量×频率=合格数；
（2）由表中数据可判断频率在左右摆动，从而利于频率估计概率可判断任意抽取一只口罩是合格品的概率为；
（3）用样本数据估计：总数数量=合格数量÷概率．
（1）解：，；
故答案为：，．
（2）解：由表格可知，随着抽取的头盔数量不断增大，任意抽取一个是合格的频率在附近波动，
所以任意抽取的一顶是合格品的概率估计值是；
（3）解：（顶）．
答：该厂估计要生产顶头盔．
19．【模型发现】某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系．
（1）如图1，，是、之间的一点，连接、，试说明：；请将下面的说理过程补充完整：
说明：如图，过作．
∵．（辅助线的作法）
∴．（__________________）
∵．（已知）
∴．（__________________）
∴．（__________________）
∵．（角的和差定义）
∴______．（等量代换）
（2）如图2，若，，，则______°；
（3）如图3，，点在的上方，问，，之间有什么数量关系？请说明理由．
【答案】（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等；
（2）82
（3）解：，，之间的数量关系是：；理由如下：过点作（点在点的右侧），如图3所示：
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，，之间的数量关系是：．
【知识点】猪蹄模型；铅笔头模型；平行线的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【解答】（1）解：如图，过作，
∵，（辅助线的作法）
∴，（两直线平行，内错角相等）
∵，（已知）
∴，（平行于同一条直线的两条直线互相平行）
∴，（两直线平行，内错角相等）
∵，（角的和差定义）
∴．（等量代换）
（2）解：过点P作（点在点的右侧），如图2所示：
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【分析】（1）过作，根据“两直线平行，内错角相等”
得，“平行于同一条直线的两条直线互相平行”得，根据“两直线平行，内错角相等”得，得；
（2）过点作（点在点的右侧），
则，得，证明得，得，．
（3）过点作（点在点的右侧），
则，证得，，即，
（1）解：如图，过作，
∵，（辅助线的作法）
∴，（两直线平行，内错角相等）
∵，（已知）
∴，（平行于同一条直线的两条直线互相平行）
∴，（两直线平行，内错角相等）
∵，（角的和差定义）
∴．（等量代换）
（2）解：过点P作（点在点的右侧），如图2所示：
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）解：，，之间的数量关系是：；理由如下：
过点作（点在点的右侧），如图3所示：
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，，之间的数量关系是：．
20．若（且），则．
（1）如果，求x的值；
（2）已知x满足，求x的值．
【答案】（1）解：∵，∴，
∴，
∴，
∴，
解得：；
（2）解：∵，∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：．
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算；同底数幂乘法的逆用；幂的乘方的逆运算
【解析】【分析】（1）由已知得，即，得，解得x=2；
（2）由已知得，即，得，则，解得x=．
（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：．
21．如图，在四边形中，点E，F分别在上，已知且．
（1）求证：；
（2）若平分，，，求的度数．
【答案】（1）证明：∵，∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：由（1）得：，，∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴.
【知识点】角平分线的概念；平行线的应用-求角度；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）由 ，得，由，则，得 ；
（2）由，则，又平分，得，得，则，则．
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：由（1）得：，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴.
22．【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为，
【类比探究】
（1）观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为______．
【应用】
（2）根据图②所得的公式，若，，求的值．
（3）若x满足，求的值．
【拓展】
（4）如图③，某学校有一块梯形空地，于点E，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为102平方米，米，求种草区域的面积和．
【答案】（1）；
（2）由（1）的结论得：，
又，
；
（3）设，则，
，
，
，
由（1）的结论得：，
，
；
（4）设，
于点E，米，
（平方米），（平方米），（平方米），平方米，（米），
种花区域的面积和为102平方米，
，
，
由（1）的结论得：，
，
，
种草区域的面积和为：（平方米），
答：种草区域的面积和为60平方米．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；三角形的面积；几何图形的面积计算-割补法；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：（1）∵图②中大正方形的边长为，阴影部分两个正方形的边长分别为a，b，两个长方形的宽和长分别为a，b，
大正方形的面积为，阴影部分两个正方形的面积分别为，长方形的面积为，
又阴影部分两个正方形的面积之和大正方形的面积两个长方形的面积，
，
故答案为：；
【分析】（1）根据图②中“阴影部分两个正方形的面积之和=大正方形的面积-两个长方形的面积”得.
（2）由（1）得，将代入得；
（3）设，则，得，由（1）得，，即；
（4）设，则（米），得，由（1）得，（平方米）．
23．如图1，已知直线，且和分别相交于A，B两点，和分别交于C，D两点，点P在线段上．
（1）若，则　 　；
（2）试找出之间的等量关系，并说明理由；
（3）应用（2）中的结论解答下列问题：
已知，点A，B在上，点C，D在上，连接．分别是的平分线，．
①如图2，当点B在点A的右侧时，求的度数；
②如图3，当点B在点A的左侧时，直接写出的度数．
【答案】（1）
（2）解：，理由如下：
如图所示，过点P作，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：①由（2）的结论知，∵，，
∴，，
∵分别是的平分线，
∴，
∴；
②
【知识点】角平分线的概念；平行线的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【解答】（1）解：如图所示，过点P作，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）②由（2）的结论可知，
∵，，
∴，，
∴，
∵分别是的平分线，
∴，
∴，
∴．
【分析】（1）过点P作，利用平行线的判定与性质，求解即可；
（2）过点P作，根据平行线的判定与性质，求解即可；
（3）①由（2）可得，从而得到，，根据角平分线的定义得到，利用角的和差关系可得；②由（2）可得，按照①中的方法求解即可．
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