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数的运算
知识点01：四则混合运算的运算顺序
1.分级的标准
四则混合运算分为两级，加法和减法叫作第一级运算；乘法和除法叫作第二级运算。
2.四则混合运算的运算顺序
（1）在没有括号的算式里，如果只含有同一级运算，要从左往右依次计算；如果含有两级运算，要先算第二级运算，再算第一级运算（也就是先算乘除法，再算加减法）。
（2）算式里有括号的，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的
知识点02：四则混合运算定律
运算定律 文字叙述 用字母表示
加法 加法交换律 两个数相加，交换加数的位置，和不变 a+b=b+a
加法结合律 三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变 (a+b)+c=a+(b+c)
乘法 乘法交换律 两个数相乘，交换两个乘数的位置积不变 ab =ba
乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘或者先把后两个数相乘，积不变 (ab)c=a(bc)
乘法分配律 两个数的和与一个数相乘，等于把这两个数分别与这个数相乘，再把它们的积相加 (a+b)c=ac+bc
知识点03：运算性质
1.减法的性质：a-b-c=a-(b+c) a-b+c=a-(b-c)
2.除法的性质（除数不等于0）: a÷（b×c）=a÷b÷c a÷b÷c=a÷c÷b
3.商不变的性质:被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。
a÷b=（a×m）÷（b×m）（m0，b0） a÷b=（a÷m）÷（b÷m）（m0，b0）
重点提示：在利用减法和除法的运算性质进行简便计算时，等式的两边可以颠倒过来，要根据算式的特点灵活地进行去括号或添括号。
知识点04：四则混合运算中的速算技巧：
1.加减法中的速算与巧算
（1）分组凑整法．把几个互为“补数”的减数先加起来，再从被减数中减去，或先减去那些与被减数有相同尾数的减数．（ “补数”就是两个数相加，如果恰好凑成整十、整百、整千……，就把其中的一个数叫做另一个数的“补数”）
（2）加补凑整法．有些算式中直接凑整不明显，这时可“借数”或“拆数”凑整．
（3）数值原理法：先把加在一起为整十、整百、整千…的数相加，再与其它的数相加．
（4）“基准数”法，基准当几个数比较接近于某一整数的数相加时，选这个整数为“基准数”（要注意把多加的数减去，把少加的数加上）
2.乘法凑整技巧：先把能凑成整十、整百、整千的几个乘数结合在一起，最后再与前面的数相乘，使 得运算简便。例如：，，
3.分数与小数混合运算的技巧
在分数、小数的四则混合运算中，到底是把分数化成小数，还是把小数化成分数，这不仅影响到运算过程的繁琐与简便，也影响到运算结果的精确度，因此，要具体情况具体分析，而不能只机械地记住一种化法：小数化成分数，或分数化成小数。
技巧1：一般情况下，在加、减法中，分数化成小数比较方便。
技巧2：在加、减法中，有时遇到分数只能化成循环小数时，就不能把分数化成小数。此时要将包括循环小数在内的所有小数都化为分数。
技巧3：在乘、除法中，一般情况下，小数化成分数计算，则比较简便。
技巧4：在运算中，使用假分数还是带分数，需视情况而定。
技巧5：在计算中经常用到除法、比、分数、小数、百分数相互之间的转化，掌握这些常用的数互化数方法对学习非常重要
知识点05：定义新运算
1.定义新运算是指运用某种特殊的符号表示的一种特定运算形式。注意：
（1）解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，然后进行计算。
（2）我们还要知道，这是一种人为的运算形式。它是使用特殊的运算符号，如：*、▲、★、◎、、Δ、◆、■等来表示的一种运算。
（3）新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。
2.一般的解题步骤是:
一是认真审题，深刻理解新定义的内容；
二是排除干扰，按新定义关系去掉新运算符号；
三是化新为旧，转化成已有知识做旧运算。
一．选择题
1．下面内容的学习运用了“转化”的数学思想方法的是（　　）
①计算分数除法
②求面积
③计算小数乘法
④求体积
A．② B．③④ C．②③④ D．①②③④
2．“六一”儿童节到了，原本单价为28元的《数学故事》进行大促销活动，现在每本只需18元，王老师用612元能买几本呢？在612÷18的竖式计算中，箭头所指的这一步表示的是（　　）
A．买3本用了54元 B．买3本用了540元
C．买30本用了54元 D．买30本用了540元
3．下面四个算式中的“7”和“3”可以直接相加减的是（　　）
A．427+392 B． C．6.79﹣2.3 D．7
故选：C。
4．在A÷B＝16……8中，把A和B同时缩小到原来的4倍后，商是____，余数是____。（　　）
A．16，2 B．4，2 C．16，8 D．4，8
5．下面四个问题不能用“120”解决的是（　　）
A．修路队要修120m长的公路，已修了全长的。已经修了多少米？
B．纯酒精与水按照1：3配制成酒精溶液120克，其中纯酒精有多少克？
C．学校合唱队有120名队员，其中男队员占，学校合唱队男队员多少名？
D．在一张比例尺是3：1的图纸上，量得一个零件的长度是120mm，这个零件的实际长度是多少毫米？
二．填空题（共8小题，满分19分）
6．210克比0.25千克少 　　%，比80米多20%是 　　米。
7．红领巾跳蚤书市中，六（1）班卖出120本，六（2）班比六（1）班多卖出60本，六（3）班卖出的本数是六（2）班的3倍。
（1）六（2）卖出 　　本，六（3）班卖出 　　本。
（2）六（2）班卖出的本数是六（1）班的 　　倍。
（3）六（3）班卖出的本数正好是六（4）班的5倍，六（4）班卖出 　　本。
8．看算式，写算理。
我发现：整数、小数、分数加减法的计算方法的相同点是 　相同的单位相加减　。
9．（1）75km的是 　　km，75km是 　　km的。
（2）甲数比乙数多60%，甲数是乙数的 　　%，乙数是甲数的 　　。
10．20千克比 　　千克少20%； 　　米比8米长。
11．观察如图的笔算除法，其中表示的实际大小是 　　，这个商的小数点后第20个数字是 　　。
12．看图写算式．
图1：
图2：
13．兵兵计划看一本书，每天看24页，第17天可以看完．如果每天看28页，那么第15天可以看完，这本书最少有　　，最多有　　．
A.385页 B.393页 C.408页 D.420页
三．判断题（共5小题，满分5分，每小题1分）
14．3米的与4米的一样长。 （ ）
A÷B＝4……3，则10A÷10B＝4……3。（ ）
16．如果把计数器个位上的一个珠子移到十分位上，这时得到的新数比原数少0.9。 　　（ ）
17．如果甲比乙多25%，那么乙就比甲少25%． （ ）
18．2 （ ）
四．计算题（共2小题，满分20分）
19．直接写出得数。
208+798＝ 2.5+3.8＝ 6288÷89≈
125%×8＝ 0.56÷0.7＝
20．简算计算。
1.25×0.25×3.2
37.25÷2.5÷4
五．应用题（共10小题，满分51分）
21．小明家、小刚家、学校在同一直线上．小明家到学校距离1000米，小刚家到学校距离1200米，那么小明家到小刚家的距离是多少千米？
目前，中国高铁在世界上排名第一。我国自主研发的复兴号动车最快的运行速度达350千米/时，比普通火车速度的3倍少10千米/时。普通火车速度是多少千米/时？
超市运来48箱饮料，比运来的方便面的3倍少6箱。超市运来多少箱方便面？
24．阳光小学6月1日举办“衢州有礼，你我共行”公益图书捐赠活动。五年级共捐赠425本，比四年级多捐赠147本，两个年级一共捐赠多少本？
25．一本科技书，夏小轩同学第一天看了它的，第二天看了它的20%，两天一共看了135页。这本书一共有多少页？
26．已知 ，求括号的值。
27．一笔奖金分一等奖、二等奖和三等奖，每个一等奖的奖金是每个二等奖奖金的两倍，每个二等奖的奖金是每个三等奖奖金的两倍．如果评一、二、三等奖各两人，那么每个一等奖的奖金是308元，如果一个一等奖，两个二等奖，三个三等奖，那么一等奖的奖金是多少元？
28．某商场为促销，按如下规定对顾客实行优惠：
①若一次购物不超过200元，则不予优惠。
②若一次购物超过200元，但不超过500元，按标价给予九折优惠。
③若一次购物超过500元，其中500元按第2条规定给予优惠，超过500元部分给予八折优惠。某人两次去购物，分别付款168元与423元，如果他把这两次购买的商品一次购买，则应付多少元？
29．利华食堂上次购进猪肉136千克，每千克28元：购进黄牛肉28千克，每千克64元，这次购进两种动物肉一共要用多少钱？
（1）列综合算式并用简便方法计算、解答。
（2）在对上面的综合算式进行简便计算时，运用了什么运算律？简单地解答。
（3）为什么上面的运算律肯定是正确的？请用图形结合符号（如：字母、+、﹣、×、÷、括号、文字等）的方法进行说明。
30．（1）如图①、②能验证（6+4）×3＝6×3+4×3的是 　②　。
（2）小明是这样验证的（如图③），你认同他的想法吗？如果不认同，请在图上修改。
（3）你能用类似的方法验证3a+4a＝7a吗？
参考答案
选择题
1.D 2.D 3.C 4.A 5.B
填空题
6.16 96 7. 180,540,1.5,108 8.相同的单位相加减。
45，125 160，62.5% 10. 25，10
11.3.6，9。
；．
13.B C
判断题
14.× 15.× 16.√ 17.× 18.×
计算题
19.解：
208+798＝1006 24 2.5+3.8＝6.3 6288÷89≈70
125%×8＝10 0.56÷0.7＝0.8
20.解：1.25×0.25×3.2
＝1.25×0.25×0.8×4
＝1.25×0.8×（0.25×4）
＝1×1
＝1
37.25÷2.5÷4
＝37.25÷（2.5×4）
＝37.25÷10
＝3.725
＝1﹣1
＝0
1
应用题
21.解：第一种情况：小明家与小刚家都在学校的同一侧
1200﹣1000＝200（米）
第二种情况：小明家与小刚家在学校的两侧
1200+1000＝2200（米）
答：小明家到小刚家的距离是200米或2200米。
22.解：设普通火车每小时行x千米。
3x﹣10＝350
3x﹣10+10＝350+10
3x＝360
3x÷3＝360÷3
x＝120
答：普通火车速度是120千米/时。
23.解：（48+6）÷3
＝54÷3
＝18（箱）
答：超市运来18箱方便面。
24.解：425﹣147+425
＝278+425
＝703（本）
答：两个年级一共捐赠703本。
25.解：135÷（20%）
＝135
＝300（页）
答：这本书一共有300页。
26.解：53.5
（6.81.6）×90%
＝（6.8﹣1.6）
＝（）
27.解：原来每个二等奖：308÷2＝154（元）
每个三等奖：154÷2＝77（元）
奖金总额：（308+154+77）×2＝1078（元）
获奖数全部用三等奖计数：1×4+2×2+3＝11（个）
每个三等奖奖金：1078÷11＝98（元）
每个一等奖奖金：98×4＝392（元）
答：那么一等奖的奖金是392元．
28.解：168+423÷90%
＝168+423÷0.9
＝168+470
＝638（元），
500×90%+（638﹣500）×80%
＝500×0.9+138×0.8
＝450+110.4
＝560.4（元），
答：如果他把这两次购买的商品一次购买，则应付560.4元．
29.解：（1）136×28+28×64
＝（136+64）×28
＝200×28
＝5600（元）
答：这次购进两种动物肉一共要用5600元。
（2）在对上面的综合算式进行简便计算时，运用了乘法分配律。
（3）乘法分配律用字母表示为（a+b）×c＝a×c+b×c。（合理即可。）
30.解：（1）①、②能验证（6+4）×3＝6×3+4×3的是②。
（2）不认同他的想法，修改如下：
（3）验证3a+4a＝7a的方法如下：
这个图形的面积可以表示为：3a+4a＝7a。
故答案为：②。

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