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29.1.2　过三点的圆
【课时目标】
1.了解三角形的外心,能运用有关性质进行求解或证明.(抽象能力、推理能力、几何直观)
2.了解反证法的意义,会用反证法进行简单的证明.(推理能力、创新意识)
基础　主干落实　筑牢根基 　
新知要点 对点小练
1.三角形的外接圆与外心 (1)不在同一条直线上的三个点确定一个圆; (2)三角形的外接圆:经过三角形的三个顶点的圆; (3)三角形的外心:三角形外接圆的圆心.它是三角形三条边的垂直平分线的交点,到三角形三个顶点的距离相等. 1.判断(对的打“√”,错的打“×”) (1)任意一个三角形一定有一个外接圆,并且只有一个外接圆.(√) (2)三角形的外心到三角形三条边的距离相等.(×)
2.反证法的一般步骤 假设命题的结论不成立 → 从这个假设出发,经过推理,得出矛盾 → 由矛盾判定假设不正确,从而得出原命题成立. 2.用反证法证明“若☉O的半径为r,点P到圆心的距离d大于r,则点P在☉O外”,首先应假设点P在☉O上或点P在☉O内.
重点　典例研析　启思凝智　
重点1　三角形的外接圆(运算能力、推理能力)
【典例1】如图,在平面直角坐标系xOy中,A(3,6),B(1,4),C(1,0),则△ABC外接圆的圆心坐标是(D)
A.(4,2) B.(4,3)
C.(5,3) D.(5,2)
举一反三
　如图,平面直角坐标系中,☉P经过三点A(8,0),O(0,0),B(0,6),点D是☉P上的一动点.当点D到弦OB的距离最大时,点D的坐标是(A)
A.(9,3) B.(9,6)
C.(10,3) D.(10,6)
重点2　反证法(抽象能力、推理能力)
【典例2】如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠APB≠∠APC,求证:PB≠PC.
【自主解答】假设PB=PC,
∵在△ABP和△ACP中,,
∴△ABP≌△ACP(SSS),
∴∠APB=∠APC,
与∠APB≠∠APC相矛盾.
因而PB=PC不成立,
则PB≠PC.
举一反三
　用反证法证明:在△ABC中,如果M,N分别是边AB,AC上的点,那么BN,CM不能互相平分.
【证明】假设BN,CM能互相平分,则四边形BCNM为平行四边形,则BM∥CN,即AB∥AC,这与在△ABC中,AB,AC交于A点相矛盾,所以BN,CM能互相平分结论不成立,故BN,CM不能互相平分.
素养　思维提升　入境深探　
阅读理解
阿基米德折弦定理
阿基米德(公元前287年-公元前212年,古希腊)是一位伟大的数学家,他与牛顿、高斯并称为世界三大数学家.
阿基米德折弦定理:如图1,AB和BC是☉O的两条弦(即折线ABC是圆的一条折弦),AB>BC,D是的中点,则从D向AB所作垂线的垂足E是折弦ABC的中点,即AE=EB+BC.
下面是运用“补短法”证明AE=EB+BC的部分证明过程.
证明:如图2,延长CB到点F,使得CF=AE,连接DA,DB,DC,DF.
∵D是的中点,∴DA=DC.
依据上述材料,完成下列任务:
(1)请按照上面的证明思路,写出该证明的剩余部分;
(2)如图3,已知等边△ABC内接于☉O,AB=6,D为☉O上一点,∠ABD=45°,AE⊥BD于点E,则△BDC的周长是_________　.
【解析】(1)如题图2,延长CB到点F,使得CF=AE,连接DA,DB,DC,DF.
∵D是的中点,∴DA=DC,
∵=,
∴∠A=∠C,
∴△ADE≌△CDF(SAS),
∴DE=DF,∠F=∠DEA,
∵DE⊥AB,∴∠F=∠DEB=90°.
∵DB=DB,
∴Rt△DBF≌Rt△DBE(HL),
∴BF=BE,
∴CF=BC+BF=BC+BE,
∴AE=BC+BE;
(2)∵等边△ABC内接于☉O,
∴AB=AC=BC=6,
∴=,
∵AE⊥BD,∴AE=DE+CD,
∵∠ABE=45°,
∴△ABE是等腰直角三角形,
∴2BE2=AB2,
∴BE=3,
∴△BDC的周长为BD+CD+BC=2BE+BC=6+6.
答案:6+629.1.2　过三点的圆
【课时目标】
1.了解三角形的外心,能运用有关性质进行求解或证明.(抽象能力、推理能力、几何直观)
2.了解反证法的意义,会用反证法进行简单的证明.(推理能力、创新意识)
基础　主干落实　筑牢根基 　
新知要点 对点小练
1.三角形的外接圆与外心 (1) 的三个点确定一个圆; (2)三角形的外接圆:经过三角形的三个顶点的圆; (3)三角形的外心:三角形 的圆心.它是三角形三条边的 的交点,到三角形三个顶点的距离 . 1.判断(对的打“√”,错的打“×”) (1)任意一个三角形一定有一个外接圆,并且只有一个外接圆.( ) (2)三角形的外心到三角形三条边的距离相等.( )
2.反证法的一般步骤 假设命题的结论 → 从这个假设出发,经过推理,得出 → 由矛盾判定假设 ,从而得出原命题 . 2.用反证法证明“若☉O的半径为r,点P到圆心的距离d大于r,则点P在☉O外”,首先应假设 .
重点　典例研析　启思凝智　
重点1　三角形的外接圆(运算能力、推理能力)
【典例1】如图,在平面直角坐标系xOy中,A(3,6),B(1,4),C(1,0),则△ABC外接圆的圆心坐标是( )
A.(4,2) B.(4,3)
C.(5,3) D.(5,2)
举一反三
　如图,平面直角坐标系中,☉P经过三点A(8,0),O(0,0),B(0,6),点D是☉P上的一动点.当点D到弦OB的距离最大时,点D的坐标是( )
A.(9,3) B.(9,6)
C.(10,3) D.(10,6)
重点2　反证法(抽象能力、推理能力)
【典例2】如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠APB≠∠APC,求证:PB≠PC.
举一反三
　用反证法证明:在△ABC中,如果M,N分别是边AB,AC上的点,那么BN,CM不能互相平分.
素养　思维提升　入境深探　
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阿基米德折弦定理
阿基米德(公元前287年-公元前212年,古希腊)是一位伟大的数学家,他与牛顿、高斯并称为世界三大数学家.
阿基米德折弦定理:如图1,AB和BC是☉O的两条弦(即折线ABC是圆的一条折弦),AB>BC,D是的中点,则从D向AB所作垂线的垂足E是折弦ABC的中点,即AE=EB+BC.
下面是运用“补短法”证明AE=EB+BC的部分证明过程.
证明:如图2,延长CB到点F,使得CF=AE,连接DA,DB,DC,DF.
∵D是的中点,∴DA=DC.
依据上述材料,完成下列任务:
(1)请按照上面的证明思路,写出该证明的剩余部分;
(2)如图3,已知等边△ABC内接于☉O,AB=6,D为☉O上一点,∠ABD=45°,AE⊥BD于点E,则△BDC的周长是_________ .

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