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29.2.2　圆心角
【课时目标】
1.理解弧、弦、圆心角的概念.(抽象能力、几何直观)
2.探索并证明圆心角及其所对弧、弦的关系.(运算能力、推理能力、几何直观)
基础　主干落实　筑牢根基 　
新知要点 对点小练
1.圆心角 　顶点在 的角. 1.下列图形中的角是圆心角的是( )
2.圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 2.(1)下列说法:①等弧所对的圆心角相等;②等弧所对的弦相等;③圆心角相等,所对的弦相等;④弦相等,所对的圆心角相等;⑤在同圆或等圆中,相等的弦所对的弧相等.正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 (2)如图,在☉O中,=,∠AOB=35°,则∠COD的度数是( ) A.50° B.45° C.40° D.35°
重点　典例研析　启思凝智　
重点1　圆心角的概念及其计算(几何直观、推理能力)
【典例1】如图,在Rt△ABC中,∠BCA=90°,∠A=28°,以点C为圆心,BC为半径的圆分别交AB,AC于点D,点E,则所对的圆心角的度数为( )
A.28° B.64°
C.56° D.124°
举一反三
1.如图,弦AE∥直径CD,连接AO,∠AOC=40°,则所对的圆心角的度数为( )
A.40° B.50° C.60° D.30°
2.(2025·无锡期中)如图,点A,B,C,D在☉O上,且=,若∠BOD=84°,则∠ACO的度数为( )
A.42° B.44° C.46° D.48°
重点2　圆心角、弧、弦之间的关系(运算能力、推理能力)
【典例2】(教材再开发·P126练习T1改编)如图,AB,CD是☉O的两条弦,=,OE⊥AB,OF⊥CD,垂足分别为E,F.求证:OE=OF.
举一反三
1.(2025·苏州期中)如图,OA,OB,OC均为☉O半径,∠BOD=22°,AO⊥BO,点D为的中点,则∠BOC= .
2.如图,已知AB,CD是☉O的直径,=,∠BOD=32°,则∠COE的度数
为 度.
素养　思维提升　入境深探　
溯根求源
　圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系:在同圆或等圆中,如果两个圆心角的两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们对应的其余各组量也相等.(弦心距指从圆心到弦的距离(如图1中的OC,OC'),弦心距也可以说成圆心到弦的垂线段的长度.)
请运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解决下列问题.
如图2,O是∠EPF的平分线上一点,以点O为圆心的圆与角的两边分别交于点A,B,C,D.
(1)求证:AB=CD;
(2)若角的顶点P在圆上或圆内,上述结论还成立吗 若不成立,请说明理由;若成立,请加以证明.29.2.2　圆心角
【课时目标】
1.理解弧、弦、圆心角的概念.(抽象能力、几何直观)
2.探索并证明圆心角及其所对弧、弦的关系.(运算能力、推理能力、几何直观)
基础　主干落实　筑牢根基 　
新知要点 对点小练
1.圆心角 　顶点在圆心的角. 1.下列图形中的角是圆心角的是(B)
2.圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 2.(1)下列说法:①等弧所对的圆心角相等;②等弧所对的弦相等;③圆心角相等,所对的弦相等;④弦相等,所对的圆心角相等;⑤在同圆或等圆中,相等的弦所对的弧相等.正确的有(B) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 (2)如图,在☉O中,=,∠AOB=35°,则∠COD的度数是(D) A.50° B.45° C.40° D.35°
重点　典例研析　启思凝智　
重点1　圆心角的概念及其计算(几何直观、推理能力)
【典例1】如图,在Rt△ABC中,∠BCA=90°,∠A=28°,以点C为圆心,BC为半径的圆分别交AB,AC于点D,点E,则所对的圆心角的度数为(C)
A.28° B.64°
C.56° D.124°
举一反三
1.如图,弦AE∥直径CD,连接AO,∠AOC=40°,则所对的圆心角的度数为(A)
A.40° B.50° C.60° D.30°
2.(2025·无锡期中)如图,点A,B,C,D在☉O上,且=,若∠BOD=84°,则∠ACO的度数为(D)
A.42° B.44° C.46° D.48°
重点2　圆心角、弧、弦之间的关系(运算能力、推理能力)
【典例2】(教材再开发·P126练习T1改编)如图,AB,CD是☉O的两条弦,=,OE⊥AB,OF⊥CD,垂足分别为E,F.求证:OE=OF.
【自主解答】连接OA,OC,∵=,
∴AB=CD,∵OE⊥AB,OF⊥CD,
∴AE=AB,CF=CD,∠AEO=∠CFO=90°,
∴AE=CF,
又∵OA=OC,
∴Rt△OAE≌Rt△OCF(HL),∴OE=OF.
举一反三
1.(2025·苏州期中)如图,OA,OB,OC均为☉O半径,∠BOD=22°,AO⊥BO,点D为的中点,则∠BOC=　46°　.
2.如图,已知AB,CD是☉O的直径,=,∠BOD=32°,则∠COE的度数为　64　度.
素养　思维提升　入境深探　
溯根求源
　圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系:在同圆或等圆中,如果两个圆心角的两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们对应的其余各组量也相等.(弦心距指从圆心到弦的距离(如图1中的OC,OC'),弦心距也可以说成圆心到弦的垂线段的长度.)
请运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解决下列问题.
如图2,O是∠EPF的平分线上一点,以点O为圆心的圆与角的两边分别交于点A,B,C,D.
(1)求证:AB=CD;
(2)若角的顶点P在圆上或圆内,上述结论还成立吗 若不成立,请说明理由;若成立,请加以证明.
【解析】(1)如图①,过O作OM⊥AB于M,ON⊥CD于N,连接OA,OB,OC,OD,
则∠OMB=∠OND=90°,
∵PO平分∠EPF,∴OM=ON,
在Rt△OMB和Rt△OND中,,
∴Rt△OMB≌Rt△OND(HL),
∴BM=DN,
∵OM⊥AB,ON⊥CD,OM,ON过点O,
∴AB=2BM,CD=2DN,
∴AB=CD.
(2)成立.
证明:如图②,当P在☉O上时,点P与点A,点C重合,
∵同理(1)可得:BM=DN,AB=2BM,CD=2DN,
∴AB=CD;
当P在☉O内时,如图③,
∵同理(1)可得:BM=DN,AB=2BM,CD=2DN,
∴AB=CD.

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