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29.3　弧长和扇形面积
第1课时　弧长和扇形面积
【课时目标】
1.了解扇形的概念,掌握n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式,并熟练应用.(推理能力、运算能力)
2.能利用平移、割补、旋转等方法求不规则图形的面积.(几何直观、应用意识)
基础　主干落实　筑牢根基 　
新知要点 对点小练
1.弧长公式:l=. 1.在半径为6的圆中,60°的圆心角所对的弧长为　2π　.
2.(1)扇形概念:由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形. (2)扇形面积公式:①S扇形=;②S扇形=lR. 2.在半径为1的圆中,扇形AOB的圆心角为120°,则扇形AOB的面积为 π　.
重点　典例研析　启思凝智　
重点1　弧长公式及应用(运算能力、推理能力)
【典例1】(2024·广安中考)如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC=10,∠C=70°,以AB为直径作半圆,与AC,BC分别相交于点D,E,则的长度为(C)
A. B. C. D.
举一反三
1.一条弧所对的圆心角为135°,弧长等于半径为5 cm的圆的周长的3倍,则这条弧所在圆的半径为(A)
A.40 cm B.35 cm
C.30 cm D.22.5 cm
2.如图,四边形ABCD内接于圆,∠ABC=110°,=5π,=7π,则的长度为(B)
A.π B.π C.7π D.8π
3.(2024·甘南州中考)如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,∠B=58°,
∠ACD=40°.若☉O的半径为5,则的长为　π　.
技法点拨
弧长计算的三个步骤
第一步:从问题中找出公式所涉及三个量(弧长l、弧所对的圆心角、半径)中的两个;
第二步:把已知的两个量代入弧长公式;
第三步:求出公式中的未知量.
重点2　扇形面积公式及应用(运算能力、推理能力)
【典例2】如图所示,AB为☉O的直径,AC是☉O的一条弦,D为的中点,作DE⊥AC于点E,交AB的延长线于点F,连接DA.
(1)若AB=90,求圆心O到EF的距离.
(2)若DA=DF=6,求阴影部分的面积(结果保留π).
【自主解答】(1)如图所示,连接OD,
∵D为的中点,
∴∠CAD=∠BAD.
∵OA=OD,
∴∠BAD=∠ADO,
∴∠CAD=∠ADO,
∴OD∥AE.
∵DE⊥AC,
∴OD⊥EF,
∴OD的长是圆心O到EF的距离.
∵AB=90,
∴OD=AB=45.
(2)如图所示,过点O作OG⊥AD于点G.
∵DA=DF,
∴∠F=∠BAD,
由(1)得∠CAD=∠BAD,
∴∠F=∠CAD.
∵∠F+∠BAD+∠CAD=90°,
∴∠F=∠BAD=∠CAD=30°,
∴∠BOD=2∠BAD=60°,OF=2OD.
∵在Rt△ODF中,OF2-OD2=DF2,
∴(2OD)2-OD2=,解得OD=6.
∵在Rt△OAG中,OA=OD=6,∠OAG=30°,
∴OG=×6=3,
∴S△AOD=×6×3=9,
∴S阴影=S扇形OBD+S△AOD=+9=6π+9.
举一反三
1.如图,在半径为2、圆心角为90°的扇形内,以OB为直径作半圆交AB于点D,连接OD,则阴影部分的面积是(C)
A.π-1 B.π-2
C.π-2 D.π-1
2.如图,在正方形网格中,点A,B,C,D均在格点上,过B,C,D的弧交AB于点E,若每个正方形的边长为1,则图中阴影部分的面积为 　.(结果保留π)
技法点拨
素养　思维提升　入境深探　
一题多解
如图,矩形ABCD中,DB=4,以CD为直径的半圆O与AB相切于点E,求阴影部分的面积.
【解析】法一:和差法
如图,连接OE,
∵以CD为直径的半圆O与AB相切于点E,
∴OE⊥AB,OC=OE=OD.
又∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ABC=∠BCD=∠BEO=90°,
∴四边形EOCB是正方形,
∴BC=OE=OC=OD.
在Rt△BDC中,DB=4,
∴BC=OC=OD=4,
∴S阴影=S扇形DOE+S正方形EBCO-S△BDC=π×42+42-×8×4=4π.
法二:等积变形法
连接OE交BD于点F,如图,
∵以CD为直径的半圆O与AB相切于点E,
∴OE⊥AB,
∴∠OEB=90°.
∵四边形ABCD为矩形,
∴∠OCB=∠CBE=∠A=∠ODA=90°,
∴四边形CBEO和四边形OEAD为矩形,
∴OE=BC=CD,∠DOE=90°,∠DCB=90°.
设BC=x,则CD=2x,
在Rt△BCD中,
BC2+CD2=BD2,
即x2+(2x)2=(4)2,
解得x=4,∴BC=4,CD=8.
∴OD=OC=CD=BE=4.
在△ODF和△EBF中,
,
∴△ODF≌△EBF(AAS),
∴S△ODF=S△EBF,
∴S阴影=S扇形DOE==4π.29.3　弧长和扇形面积
第1课时　弧长和扇形面积
【课时目标】
1.了解扇形的概念,掌握n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式,并熟练应用.(推理能力、运算能力)
2.能利用平移、割补、旋转等方法求不规则图形的面积.(几何直观、应用意识)
基础　主干落实　筑牢根基 　
新知要点 对点小练
1.弧长公式:l=. 1.在半径为6的圆中,60°的圆心角所对的弧长为 .
2.(1)扇形概念:由组成圆心角的两条 和圆心角所对的 围成的图形. (2)扇形面积公式:①S扇形=;②S扇形= . 2.在半径为1的圆中,扇形AOB的圆心角为120°,则扇形AOB的面积为 .
重点　典例研析　启思凝智　
重点1　弧长公式及应用(运算能力、推理能力)
【典例1】(2024·广安中考)如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC=10,∠C=70°,以AB为直径作半圆,与AC,BC分别相交于点D,E,则的长度为( )
A. B. C. D.
举一反三
1.一条弧所对的圆心角为135°,弧长等于半径为5 cm的圆的周长的3倍,则这条弧所在圆的半径为( )
A.40 cm B.35 cm
C.30 cm D.22.5 cm
2.如图,四边形ABCD内接于圆,∠ABC=110°,=5π,=7π,则的长度为( )
A.π B.π C.7π D.8π
3.(2024·甘南州中考)如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,∠B=58°,
∠ACD=40°.若☉O的半径为5,则的长为 .
技法点拨
弧长计算的三个步骤
第一步:从问题中找出公式所涉及三个量(弧长l、弧所对的圆心角、半径)中的两个;
第二步:把已知的两个量代入弧长公式;
第三步:求出公式中的未知量.
重点2　扇形面积公式及应用(运算能力、推理能力)
【典例2】如图所示,AB为☉O的直径,AC是☉O的一条弦,D为的中点,作DE⊥AC于点E,交AB的延长线于点F,连接DA.
(1)若AB=90,求圆心O到EF的距离.
(2)若DA=DF=6,求阴影部分的面积(结果保留π).
举一反三
1.如图,在半径为2、圆心角为90°的扇形内,以OB为直径作半圆交AB于点D,连接OD,则阴影部分的面积是( )
A.π-1 B.π-2
C.π-2 D.π-1
2.如图,在正方形网格中,点A,B,C,D均在格点上,过B,C,D的弧交AB于点E,若每个正方形的边长为1,则图中阴影部分的面积为 .(结果保留π)
技法点拨
素养　思维提升　入境深探　
一题多解
如图,矩形ABCD中,DB=4,以CD为直径的半圆O与AB相切于点E,求阴影部分的面积.

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