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20．2.3　　二次根式的除法
【学习目标】
1．会利用二次根式的除法法则进行二次根式的除法运算，会运用商的算术平方根的性质化简二次根式．
2．经历探索二次根式除法以及商的算术平方根的过程，掌握其应用方法．
3．培养学生分析问题和逆向思维的能力，体会合作交流的乐趣，感悟数学的应用价值．
【学习重点】
利用二次根式的除法法则以及商的算术平方根性质进行简单运算和化简．
【学习难点】
二次根式的除法法则以及商的算术平方根性质的关系及应用．
在△ABC中，BC边上的高h＝6 cm，它的面积恰好等于边长为2 cm的正方形的面积，则BC的长为多少？
知识模块一　二次根式的除法
【自主探究】
阅读教材P6～P7，完成下面的内容．
1．填空：
(1)＝____，＝____；　　　(2)＝____，＝____；
(3)＝____，＝____．
2．利用计算器计算，并用“＞”“＜”或“＝”填空．
(1)__＝__；(2)__＝__；(3)__＝__；(4)__＝__.
归纳：二次根式除法法则：＝(a≥0，b＞0).
用语言表述为：两个算术平方根的商，等于这两个被开方数的商的算术平方根．
【合作探究】
范例：计算：
(1)；　　(2)；　　(3)；　　(4)÷.
解：(1)原式＝＝.(2)原式＝＝＝2.
(3)原式＝1－.(4)原式＝＝＝.
变例：已知长方体的体积V＝9，高h＝3，求它的底面积S.
解：它的底面积S＝9÷3＝3.
知识模块二　商的算术平方根
【自主探究】
归纳：商的算术平方根法则：商的算术平方根等于这两个数的算术平方根的商．
用字母表示为：＝(a≥0，b＞0).
【合作探究】
范例：化简，使分母中不含二次根式，并且被开方数中不含分母．
解：＝＝＝＝＝.
归纳：1.化简后的二次根式被开方数中不含分母，并且被开方数中所有因数(或因式)的幂的指数都小于2，像这样的二次根式称为最简二次根式．
2．要化去分母中的根号，只要将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式就可以了．如上述“范例”，将分子、分母同乘以，得＝＝＝.通常将这种化简过程称为分母有理化．
仿例：已知xy＞0，化简x.
解：∵－≥0，x2＞0，∴y≤0.∵xy＞0，∴x＜0，y＜0，－y＞0.
∴原式＝x·＝x·＝－.
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
知识模块一　二次根式的除法
知识模块二　商的算术平方根
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________20．2.2　积的算术平方根
【学习目标】
1．理解并掌握积的算术平方根的性质：＝·(a≥0，b≥0).
2．能运用该性质对二次根式进行化简(将根号内能开得尽方的因数或因式开出来)．
【学习重点】
积的算术平方根的性质的探索、理解和初步运用．
【学习难点】
1．对性质中条件a≥0，b≥0的必要性的理解．
2．熟练运用性质进行二次根式的化简，特别是当被开方数是较大的数或含有字母时．
问题：已知一个长方形，长为，宽为，它的面积是多少？(学生可能回答：2×3＝6)
　　 这个长方形的面积也可以用边长乘积的算术平方根来表示吗？如何表示？(＝＝6)
观察发现：×＝2×3＝6，而 ＝＝6.两者相等．
引发思考：这是一个普遍规律吗？
知识模块　积的算术平方根
【自主探究】
阅读教材P6～P7，完成下面的内容．
归纳：积的算术平方根法则用字母表示为：＝·(a≥0，b≥0).用语言表达就是：积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积．我们通常用它对二次根式进行化简．
【合作探究】
范例：化简，使被开方数不含完全平方的因数．
解：＝＝×＝2.
仿例：计算下列各式，并将所得的结果化简：
(1)；　　(2)×.
解：(1)原式＝＝＝×＝3.
(2)原式＝＝＝×＝5.
变例：现有一长方形的长为3 cm，宽为2 cm，这个长方形的面积是多少？
解：3×2＝3×2×＝6＝36(cm2).
答：这个长方形的面积是36 cm2.
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
知识模块　积的算术平方根
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________20．2　二次根式的乘除
20．2.1　二次根式的乘法
【学习目标】
1．理解并掌握二次根式的乘法法则：·＝(a≥0，b≥0).
2．能运用法则熟练地进行二次根式的乘法运算．
【学习重点】
二次根式乘法法则的理解、掌握和运用．
【学习难点】
法则中a≥0，b≥0条件的理解．
现有一长方形，长为3 cm，宽为2 cm，这个长方形的面积是多少？
根据长方形的面积公式可得：S＝3×2，我们如何对它进行计算呢？
知识模块　二次根式的乘法
【自主探究】
阅读教材P4～P5，完成下面的内容．
计算：(1)×与；　　　(2)×与.
思考：用计算器计算：(1)×；(2).
从中你能发现什么规律？这是什么道理？
事实上，根据积的乘方法则，有(×)2＝()2×()2＝2×3，并且×＞0.所以×是2×3的算术平方根，即×＝.
一般地，设a≥0，b≥0，有·＝.
这就是说，两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根．
注意，在上式中，a，b都表示非负数．在本章中，如果没有特别说明，字母都表示正数．
【合作探究】
范例：计算：(1)×；　　　(2)×.
解：(1)原式＝
＝.
(2)原式＝
＝
＝4.
　　　　 　　　　　　　
仿例：计算：(1)×；　　　(2)×；　　　(3)(－2)×3.
解：(1)原式＝＝.
(2)原式＝＝＝8.
(3)原式＝－2×3×＝－6.
变例：已知三角形的一边长为 cm，这边上的高为 cm，求此三角形的面积．
解：此三角形的面积为：××＝(cm2).
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
知识模块　二次根式的乘法
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________20．3　二次根式的加减
【学习目标】
1．理解同类二次根式的概念，能准确辨别同类二次根式．
2．掌握二次根式加减的运算法则，能熟练进行二次根式的加减运算．
3．能运用运算律进行二次根式的混合运算．
【学习重点】
1．同类二次根式的概念．
2．二次根式加减的运算法则．
【学习难点】
1．正确识别同类二次根式
2．灵活进行二次根式的混合运算．
有一个矩形花圃，它的长为5 m，它的宽为 m，则这个矩形的周长为2(5＋)m，这个式子还可以化简吗？
知识模块一　同类二次根式
【自主探究】
阅读教材P9“试一试”及P10“概括”，完成下面的内容．
计算：(1)3a－2a；(2)3a－2a＋4a；(3)3－2；(4)3－2＋4.
归纳：与整式中同类项相类似，我们把像3、－2与4这样的几个二次根式，称为同类二次根式，3与－2也是同类二次根式．
【合作探究】
范例：下列各组二次根式是同类二次根式的是 (B)
A．与 B．与 C．与 D．与
仿例：下列二次根式与是同类二次根式的是 (D)
A． B． C． D．
变例：已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则x＝__4__．
知识模块二　二次根式的加减
【自主探究】
阅读教材P10～P11的内容．
归纳：二次根式的加减，先把各个二次根式化简，再将同类二次根式合并．
【合作探究】
范例：计算：(1)＋＋；
(2)＋3＋2x.
解：(1)原式＝2＋3＋2＝5＋2.
(2)原式＝3＋3×＋2x· ＝3＋＋2 ＝6.
　　 　　　　　　　　　 　　　　　　　　 　　　　　　　
仿例：计算：
(1)－＋；　　　(2)(＋)－(－).
解：(1)原式＝3－2＋3＝＋3.
(2)原式＝(3＋3)－(2－5)＝3＋3－2＋5 ＝＋8.
变例：王师傅有一根长为20 m的钢材，他想将这段钢材锯断后焊成两个面积分别为3 m2，12 m2的正方形铁框(无损耗)，问王师傅的钢材够用吗？请通过计算说明理由．
解：王师傅的钢材不够用．理由：
∵正方形的面积是3 m2，∴它的边长是 m，∴所耗费的钢材是4 m.
∵正方形的面积是12 m2，∴它的边长是2 m．∴所耗费的钢材是4×2＝8(m).
∴所耗费的钢材的总长度是4＋8＝12(m).
∵(12)2＝432，202＝400，432＞400，
∴12＞20，∴王师傅的钢材不够用．
知识模块三　二次根式的混合运算
【自主探究】
复习：1.平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
2．完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.
【合作探究】
范例：计算：
(1)(＋1)(－1)；　　(2)(－1)2；　　(3)(3－)2－÷.
解：(1)原式＝()2－12＝2－1＝1.
(2)原式＝()2－2××1＋12＝3－2.
(3)原式＝9－6＋2－＝9－6＋2－2＝11－8.
仿例：计算：(1)(－3)2；(2)(－3)(＋3)；(3)(＋2)＋(1－)2.
解：(1)原式＝5＋9－6＝14－6.(2)原式＝11－9＝2.
(3)原式＝＋2＋1－2＋6＝4＋2＋1－2＋6＝11.
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
知识模块一　同类二次根式
知识模块二　二次根式的加减
知识模块三　二次根式的混合运算
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________第20章小结与复习
【学习目标】
1．理解二次根式的意义，会化简二次根式，会进行二次根式的乘除、加减混合运算．
2．经历探究二次根式概念及运算的过程，体会二次根式的解题方法，在多解中进行比较，寻求有效快捷的计算方法．
3．培养学生良好的运算习惯和不懈的探索精神．
【学习重点】
二次根式的化简以及运算．
【学习难点】
二次根式性质、法则的正确使用．
知识模块一　二次根式的定义及性质
1．定义：形如(a≥0)的式子叫__二次根式__，其中a叫__被开方数__，只有当a是一个非负数时，才有意义．
典例1：下列各式中，不一定是二次根式的为 (B)
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．
2．二次根式的性质：
(1)()2＝a(a≥0); (2)＝|a|＝
(3)＝·(a≥0，b≥0); (4)＝(a≥0，b＞0).
典例2：当__a≤0__时，＝－2a.
知识模块二　二次根式的运算
1．二次根式的乘法：·＝(a≥0，b≥0)
典例3：若把根号外的因式移到根号内，则化简a＝__－__．
2．二次根式的除法：＝(a≥0，b＞0)
典例4：计算：3×(－)÷.
解：原式＝－.
注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．
　　 　　　　　　　　　 　　　　　　　　 　　　　　　　
3．二次根式的加减：需要把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式(即同类二次根式)的系数相加减，被开方数不变．
注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并．但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含开得尽方的因数．
典例5：计算：－－＋|2－|.
解：原式＝.
4．二次根式的混合运算：
先乘方(或开方)，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的；能利用运算律或乘法公式进行运算的，可适当改变运算顺序进行简便运算．
注意：进行根式运算时，要正确运用运算法则和乘法公式，分析题目特点，掌握方法与技巧，以便使运算过程简便．二次根式运算结果应尽可能化简．另外，根式的分数必须写成假分数或真分数，不能写成带分数．例如不能写成8.
典例6：已知x＝1－，y＝1＋，求x2＋y2－xy－2x＋2y的值．
解：∵x＝1－，y＝1＋，
∴x－y＝(1－)－(1＋)＝－2，xy＝(1－)(1＋)＝－1.
∴x2＋y2－xy－2x＋2y＝(x－y)2＋xy－2(x－y)＝(－2)2＋(－1)－2×(－2)＝7＋4.
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
知识模块一　二次根式的定义及性质
知识模块二　二次根式的运算
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________第20章　二次根式
20．1　认识二次根式
【学习目标】
1．经历二次根式概念的发生过程，了解二次根式的概念．
2．理解二次根式何时有意义，何时无意义，会在简单情况下求根号内所含字母的取值范围．
3．掌握二次根式的性质．
【学习重点】
确定二次根式中字母的取值范围．
【学习难点】
利用二次根式的性质进行化简和计算．
根据下图所示的直角三角形、正方形和等边三角形的条件，完成以下填空：
1．直角三角形的斜边长是___cm__；
2．正方形的边长是___cm__；
3．等边三角形的边长是___cm__．
知识模块一　二次根式的定义
【自主探究】
阅读教材P2“回忆”和“概括”，完成下面的内容．
1．形如(a≥0)的式子叫做__二次根式__．一定有：
(1)__≥__0(a≥0)，即(a≥0)是一个__非负数__．
(2)()2＝__a__(a≥0)，化掉根号的方法．
2．从形式上看，二次根式必须具备以下两个条件：
(1)必须有二次根号；
(2)被开方数大于等于0.
【合作探究】
范例：下面是二次根式的是 (C)
A． B． C． D．
仿例：下列式子是二次根式的有：__③__．(填序号)
①；②；③；④.
变例：若是二次根式，则a的值不能是 (C)
A． B．3.14 C．－2 D．0
知识模块二　二次根式有意义的条件
【自主探究】
阅读教材P2“注意”．
在中，a的取值必须满足__a≥0__，即二次根式的被开方数必须是__非负数__．当x__≥1__时，二次根式有意义．
【合作探究】
范例：当x取何值时，下列各二次根式有意义？
(1)；　　(2)；　　(3).
解：(1)有意义，则3x－4≥0，解得x≥.
(2)有意义，则2＋x≥0，解得x≥－3.
(3)有意义，则－＞0，故2－x＜0，解得x＞2.
变例：已知x为任意实数，在实数范围内一定有意义的二次根式是 (D)
A． B． C． D．
知识模块三　二次根式的性质
【自主探究】
阅读教材P2“思考”及P3“概括”，完成下面的内容．
＝|a|＝
【合作探究】
范例1：填空：
＝__2__；＝__0.01__；＝____；
＝__0__；＝__2__；＝__0.75__．
探究：根据算术平方根、非负数的意义，我们可以得到：＝|a|，从而我们就可以对任何形如的二次根式化简了．
范例2：若是一个正整数，求正整数m的最小值．
解：∵＝是一个正整数，∴当m的最小正整数为5时，即＝＝10.∴m的最小正整数为5.
仿例：若－3≤x≤2时，试化简|x－2|＋＋.
解：∵－3≤x≤2，∴x－2≤0，x＋3≥0，x－5＜0.
∴原式＝|x－2|＋＋＝|x－2|＋|x＋3|＋|x－5|＝－(x－2)＋(x＋3)－(x－5)＝－x＋2＋x＋3－x＋5＝－x＋10.
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
知识模块一　二次根式的定义
知识模块二　二次根式有意义的条件
知识模块三　二次根式的性质
1．收获：____________________________________________________________________
2．存在困惑：_________________________________________________________________

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