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第1章 有理数
1.4.2 有理数的减法
学习目标与重难点
学习目标：
1.借助气温情境、数轴直观，抽象出有理数减法法则，理解a-b=a+(-b)，发展几何直观与符号意识。
2.利用加减法互逆关系推理减法法则，能把减法转化为加法运算，发展推理意识，提升运算能力。
3.从生活问题中提炼数量关系，构建有理数减法模型，运用法则解决实际问题，培养模型与应用意识。
学习重点：理解有理数减法法则，能运用法则把减法转化为加法，熟练进行有理数减法运算。
学习难点：体会减法运算中“两变一不变”，理解减去负数的算理，运用有理数减法解决实际问题。
预习自测
一、知识链接
1.回顾上节课有理数加法交换律、结合律，知道可以对有理数加法算式重新分组、调换顺序实现简便计算，本节课减法转化为加法后，就可以继续使用这两个运算律简化运算。
2.复习相反数的概念：只有符号不同的两个数互为相反数，有理数减法法则需要把减数变成它的相反数，是本节课法则推导的基础。
3.回顾有理数加法法则，会计算同号、异号两数相加以及一个数与0相加，本节课有理数减法最终都转化为有理数加法来计算。
自学自测
1.有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的________。
2.(-5)-(-3)=(-5)+________。
3.0-(-6)=________。
教学过程
一、创设情境、导入新课
探究：下表记录了某地某年2月1日至2月10日每天气温情况：
怎样求出该地2月3日最高气温与最低气温的差呢？
解决这里的问题，就是做减法
5-（-4）=？
由于加减法互为逆运算，上式可变为
？+（-4）=5
因为9+（-4）=5，所以上式中的？=9，即5-（-4）=9
又5+4=9
可见5-（-4）=5+（+4）
比较上式两边
说说你对有理数减法法则的猜想。
二、合作交流、新知探究
探究一：有理数的大小比较
教材第25页
1.有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；字母表达式：\a-b=a+(-b)。运算时有两处变化：减号变加号，减数变为它的相反数，被减数保持不变。
2.有理数减法计算步骤：①将减法转化为加法；②确定减数的相反数；③运用有理数加法法则完成计算。
请你算出上表中2月4日至2月10日每天最高气温与最低气温的差。
三、课堂练习、巩固提高
【知识技能类作业】必做题：
1.把-8-（+9）-（-5）+（-6）写成省略括号和加号的形式，正确的是（ ）
A.-8-9+5-6 B.-8-9-5-6 C.-8-9-5+6 D.-8+9-5+6
2.下列说法错误的是（ ）
A.两个正数的和一定大于每一个加数 B.两个负数的和一定是负数
C.两个正数的差一定小于被减数 D.两个正数的差一定是负数
3.武汉地区春季日均最高气温13℃，最低-5℃，日均最高气温比最低气温高 ．
4.已知a是有理数，[a]表示不超过a的最大整数，如[3.2]＝3，[-1.5]＝-2，[0.8]＝0，[2]＝2等，那么，[2]+[-3.6]-[-7]= ．
【知识技能类作业】选做题：
1.若a＜b＜0＜c，则以下四个结论中，正确的是（ ）
A.a+b+c一定是正数 B.c-a-b可能是负数
C.c-b-a一定是正数 D.a+b-c可能是正数1
2.已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，化简|a-b|+|π+2a|-|3-b+a|，得（ ）
A.π-3 B.2b-4a-π-3 C.π+3 D.3-π-2a
3.有理数a，b，c，满足|a+b+c|＝a+b-c，且c≠0，则|a+b-c+3|-|c-6|＝ ．
4.计算：（1）（-20）-（-18）+（-14）-13；
（2）（-40）-（-28）-（-19）+（-24）；
（3）-7+（- ）+6 -|-0.25|- ；
（4）-0.5-（- ）+3.75-（+）．
【综合拓展类作业】
1.阅读材料：
点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A，B两点之间的距离AB＝|a-b|．也就是说|4-（-3）|表示4与-3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．比如|x+3|可以写成|x-（-3）|，它的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数-3的点之间的距离．再举个例子：等式|x-1|＝1的几何意义可表示为：在数轴上表示数x的点与表示数1的点的距离等于1，这样的数x可以是0或2．
解决问题：
（1）|4-（-2）|＝ ；
（2）若|x+3|＝7，则x＝ ；若|x+3|＝|x-1|，则x＝ ；
（3）|x+3|+|x-1|表示数轴上有理数x的点到-3和1两点的距离之和．请你利用数轴，找出所有符合条件的整数x，使得|x+3|+|x-1|＝4．
总结反思、拓展升华
【课堂总结】
1.借助气温温差的生活实例，引出有理数减法问题，利用数轴和加减法互逆关系，启发我们探究有理数减法该如何计算。
2.有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，公式写成a-b=a+(-b)；运算时要注意“两变一不变”：减号变加号，减数变相反数，被减数保持不变。
3.有理数减法运算的核心思路是转化思想，把陌生的减法运算转化为已经学过的有理数加法来计算，再依据加法法则算出结果。
4.可以运用有理数减法，求解温差、分数差值等实际问题，先分析题意列出减法算式，再利用减法法则转化为加法进行求解。
五、【作业布置】
【知识技能类作业】必做题：
1.在计算（-15）-（-27）时，依据有理数减法法则，需要改变符号的数是（ ）
A.15 B.-15 C.27 D.-27
2.一架无人机从数轴原点出发，先向负方向（正西）飞行8个单位长度，再继续向负方向飞行5个单位长度。用算式表示该过程与结果，正确的是（ ）
A.-8+5=-3 B.-8-5=-13 C.8-5=3 D.8+5=13
3.下列说法中，正确的是（ ）
A.若a>0，b<0，则a-b<0; B.若a<0，b>0，则a-b>0;
C.若a<0，b<0，则a-(-b)>0; D.若a<0，b<0，且|b|>|a|，则a-b>0.
4.某日我国四个北方城市的气温如下表，当天温差最大的城市是（ ）
A.呼和浩特 B.太原 C.银川 D.兰州
【知识技能类作业】选做题：
1.若 a<0，b<0，且 |a|>|b|，则 a b（ ）。
A．>0 B．<0 C．=0 D．无法确定
2.若 2≤a≤4， 3≤b≤1，则 a b 的最大值是（ ）。
A．1 B．3 C．5 D．7
3.若 x y= 7，则 |y x| 的值是（ ）。
A． 7 B．0 C．7 D．14
4.已知 |a|=3，|b|=5，且 a b>0，则 a b 的可能值共有（ ）种。
A．1 B．2 C．3 D．4
【综合拓展类作业】
国际标准时间以伦敦中时区为基准（记作0时），纽约为西5区（记作-5时），巴黎为东1区（记作+1时），北京为东8区（记作+8时）。结合有理数减法的知识回答下列问题：
（1）北京时间 2026 年 9 月 1 日早上 8:00，求巴黎的当地时间；
（2）纽约时间 2026 年 9 月 1 日下午 3:00，求对应的北京时间。
2.已知数轴上A、B两点表示的数分别为m和n，两点之间的距离记为d。
（1）补全下表：
（2）请写出与、之间的等量关系，并用文字语言描述该结论；
（3）若数轴上点 P 表示的数是，点 Q 在点 P 的左侧，且 P、Q 两点间的距离为5，求点 Q 表示的数。
答案
自学自测：1.相反数；2.+3；3.6
【课堂练习】
【知识技能类作业】必做题
1.A
2.D
3.18℃
4.5
【知识技能类作业】选做题
1.C
2.D
3.-3
4.(1)-29；(2)-17；(3)-1.5； (4)-2
【综合拓展类作业】
1.（1）6；（2） 4或-10；-1； （3） -3、-2、-1、0、1．
【作业布置】
【知识技能类作业】必做题
1.【解析】根据有理数减法法则a-b=a+(-b)，(-15)-(-27)=(-15)+27，要把减数-27变成它的相反数27，所以改变符号的数是-27，选D。
【详解】D
2.【解析】数轴负方向代表负数，先飞8个单位：-8，继续向负方向飞5个单位，列式-8-5，计算结果-13，对应B选项。
【详解】B
3.【解析】A：a>0,b<0，a-b=a+(-b)，-b>0，结果大于0，错误；
B：a<0,b>0，a-b=a+(-b)，两负数相加，结果小于0，错误；
C：a<0,b<0，a-(-b)=a+b，两负数相加，结果小于0，错误；
D：a<0,b<0，|b|>|a|，a-b=a+(-b)，-b>0，正数绝对值更大，结果大于0，正确，选D。
【详解】D
4.【解析】温差 = 最高气温 最低气温，利用有理数减法计算。
1.呼和浩特：3-(-9)=3+9=12℃
2.太原：5-(-6)=5+6=11℃
3.银川：2-(-11)=2+11=13℃
4.兰州：1-(-8)=1+8=9℃
比较大小：13>12>11>9，银川温差最大。
【详解】C
【知识技能类作业】选做题
1.【解析】a<0,b<0，a-b=a+(-b)。
b<0，则-b>0；|a|>|b|，负数a的绝对值更大，相加结果为负，即a-b<0，选B。
【详解】B
2.【解析】a-b最大，就要让a尽可能大，b尽可能小。a最大值为4，b最小值为-3。a-b=4-(-3)=7，选D。
【详解】D
3.【解析】y-x是x-y的相反数，x-y=-7，则y-x=7。|y-x|=|7|=7，选C。
【详解】C
4.【解析】|a|=3，a=±3；|b|=5，b=±5。
条件a-b>0，即a>b。a=3，b=-5，a-b=8；a=-3，b=-5，a-b=2。一共2种，选B。
【详解】B
【综合拓展类作业】
1.【解析】伦敦记为0时，纽约西5区（记-5），巴黎东1区（记+1），北京东8区（记+8）。
时区差 = 目标时区 已知时区；
所求时间 = 已知时间 + 时区差
(1) 北京时间2026年9月1日早上8:00，求巴黎当地时间
北京：+8，巴黎：+1
时区差：1-8=-7
巴黎时间：8 + (-7) = 1
巴黎时间：2026年9月1日凌晨1:00
(2) 纽约时间2026年9月1日下午3:00，求对应的北京时间
下午3:00 = 15:00
纽约：-5，北京：+8
时区差：8-(-5)=13
北京时间：15+13=28，28-24=4，日期进一天
北京时间：2026年9月2日凌晨4:00
【详解】（1）巴黎当地时间为2026年9月1日凌晨1:00；
（2）北京时间为2026年9月2日凌晨4:00.
2.【解析】(1) 填表
数轴两点距离公式：d=|m-n|
m=5,n=2，d=|5-2|=3
m=-3,n=0，d=|-3-0|=3
m=2,n=-5，d=|2-(-5)|=7
m=-4,n=-1，d=|-4-(-1)|=3
m=1.5,n=-1.5，d=|1.5-(-1.5)|=3
表格依次填：3、3、7、3、3
(2)等量关系：\boldsymbol{d=|m-n|}
文字结论：数轴上两点之间的距离，等于这两个点所表示数的差的绝对值。
(3)解析：点Q在P左侧，左侧数字更小，用P的数减去距离。
P表示-1，两点距离为5
列式：-1-5=-6
答：点Q表示的数是-6。
【详解】（1）依次为：3、3、7、3、3；（2）d=|m-n|，数轴上任意两点间的距离，等于这两点所表示的数的差的绝对值；（3）点Q表示的数为-6。
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