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第1章 有理数
1.4.3 有理数的加、减混合运算
学习目标与重难点
学习目标：
1.借助气温情境，建立符号意识，能将实际问题抽象成有理数加减混合算式，理解代数和形式。
2.会把加减混合运算统一为加法，合理使用运算律简便计算，提升运算能力与推理意识。
3.能用有理数加减混合运算构建数学模型，列式解决实际问题，发展模型与应用意识。
学习重点：掌握有理数加减混合运算的转化方法，能将加减混合算式统一为加法，并运用加法运算律进行简便计算。
学习难点：理解加减混合运算统一成加法的本质，合理运用运算律分组，处理分数符号并准确完成计算。
预习自测
一、知识链接
1.回顾上节课有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，为加减混合运算统一成加法提供依据。
2.回顾有理数加法交换律与结合律，本节课可以利用运算律对统一后的加法算式简便运算。
3.回顾正数、负数以及相反数的概念，帮助正确化简式子符号，准确读、写省略加号的和的形式。
自学自测
1.把(-7)-(+9)+(-5)-(-3)统一成加法算式是________________。
2.式子-6+3-5+2可以读作：负6、正3、负5、正2的____。
3.计算：-5+7-3=________。
教学过程
一、创设情境、导入新课
问题：某地冬天某日的气温变化情况如下：早晨6：00的气温为-2℃，到中午12：00上升了8℃，到14：00又上升了5℃，且为当天的最高气温，到18：00降低了7℃，到23：00又降低了4℃。则该地当天23：00的气温是多少？
用正、负数表示气温的上升与下降，那么问题就转化为求：
（-2）+（+8）+（+5）+（-7）+（-4） ①
现在来解上面的问题：
（-2）+（+8）+（+5）+（-7）+（-4）
=（-2）+（-7）+（-4）+（+8）+（+5） （加法交换律）
=[（-2）+（-7）+（-4）]+[（+8）+（+5）] （加法结合律）
=-13+13
=0
即该地当天23：00的气温是0℃。
①式中仅含有加法运算，通常可省去加号及各个括号，写成
2+8+5-7-4 ①
这个式子可读作“负2、正8、正5、负7、负4的和”或者读作“负2加8加5减7减4”。
用如图所示的计算器计算②式的过程如下：
二、合作交流、新知探究
探究一：有理数加、减混合运算
1.加减混合运算转化：有理数加减混合运算可以依据减法法则，全部统一成加法运算。
2.代数和：全部化为加法后，算式可省略加号与括号，写成代数和形式，掌握两种读法。
3.简便运算方法：利用加法交换律、结合律分组凑数，简化有理数加减混合的计算。
4.实际应用：能把气温变化这类实际问题转化为有理数加减混合算式，计算求解。
三、课堂练习、巩固提高
【知识技能类作业】必做题：
1.下列运算中，计算结果是-5的是（ ）
A.（-4）-（-1） B.（-3）+（-1） C. （-6）-（-1）+|-1| D. （-3）-（-1）-|-3|
2.把算式（-28）+（-15）+（+47）+（-67）省略“+” 得到式子正确的是 （ ）
A.28+15+47+67 B. 28-15+47-67 C. -28-15+47-67 D. -28-15-47-67
3.如图是一种转盘型密码锁，每次开锁时需要先把表示“0”的刻度线与固定盘上的标记线对齐，再依据三个密码按顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘即可解锁．已知顺时针方向转动个小格记为“-m”，逆时针方向转动个小格记为“+n”．若密码为“+15，-7，-3”，则顺利开锁时，标记线对准的刻度线表示的数是（ ）
A. 5 B.10 C. 30 D.35
4.已知a是相反数等于自身的数，b是绝对值最小的数，m是最大的负整数，则2026a+2027（b+1）-m的值（ ）
A. 2026 B. 2027 C. 2028 D. 2029
【知识技能类作业】选做题：
1.有理数a，b在数轴上的位置如图1所示，在下列结论中：①|a|-b<0；②a-b>0；③|a|-|b|>0；④a+b<0；⑤b-（-a）<0；⑥|b+a|=-b-a．正确的结论有（ ）
A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
2.数学老师在黑板上写下了如下的数组：1+1，（-2）+1，3+1，（-4）+1；…则第n数是（ ）．
A.n+1 B.（-n）+1 C.n+1或（-n）+1 D. 以上答案都不对
3.已知a、b互为相反数，m的绝对值是2，则2028[a-（-b）]-m+3的值是_____________．
4.递等式计算题
（1）1+2-3+4+5-6+7+8-9+10+11-12
（2）（-60）+（+80）+（-20）+（+70）
（3）（-100）+（+80）+（-90）+（+70）+（-80）+（+60）
（4）（-15）+（+8）+（-20）+（70）
（5）|-36|-（-36）+（+6）-|-6|+2028
【综合拓展类作业】
1.若|a+1|+|a-b|=0，且|c-1|=4，求a+b+c的值．
2.股民小石上星期五买进某公司股票2000股，每股27元，如表为本周内每日收盘时该股票的涨跌情况：
（1）星期三收盘时，该股票涨或跌了多少元？
（2）本周内该股票每股的最高价比最低价多了多少元？
（3）已知小石买进股票时付了0.15%的手续费，卖出时还需要付成交额的0.15%的手续费和0.1%的交易税．如果小石在星期五收盘前按收盘价将全部股票卖出，则它的收益情况如何？
总结反思、拓展升华
【课堂总结】
1.以一天气温变化的实际问题引入，把气温升降转化为正负数，列出算式，引出有理数加减混合运算。
2.有理数加减混合运算，可利用减法法则统一转化为加法运算；算式能省略括号与加号，写成代数和的形式，掌握它的两种读法。
3.统一成加法后，可以运用加法交换律、结合律，分组组合，简化运算，提升计算效率。
4.能够将生活中的变化类问题抽象为有理数加减混合运算，列式计算，解决实际问题。
五、【作业布置】
【知识技能类作业】必做题：
1.计算-12-18+7+13时，最简便的分组方式是（ ）
A.（-12+7）+（-18+13）
B.（-12-18）+（7+13）
C.（-12+13）+（-18）+7
D.-12-（18+7+13）
2.计算带分数加减混合运算时，将-2拆成整数与分数部分，正确的拆分是（ ）
A.-2+ B. -2- C.2- D.2+
3.计算 + + ： 。
【知识技能类作业】选做题：
1.如图，一组数排列如下，确满足自左到右每相邻的三个数的和都是相等的，
则第2028个数是 ．
2.如图2所示的运算程序中，若开始输入的x的值为8，则第一次输出的结果为4，第2次输出的结果为2，…，则第2027次输出的结果为___________．
【综合拓展类作业】
1.【思考】定义一种新运算“※”，观察下面的算式，你能发现什么规律吗？
【归纳】（1）两数进行“※”运算时，同号得正，异号得负，并把______．任何数同0进行“※”运算，都得______．
【运用】（2）计算：（-12） ※（4 ※ 0）；
（3）化简：（-7） ※x.
（提示：对于运算“※”，如有括号，先做括号内的运算．）
2.在学习了数轴后，小亮决定对数轴进行变化应用．
（1）应用一：①若数轴上有A，B，C三个点，表示的数分别是-4，-2，-3，
则B，C两点之间的距离为______，A，C两点之间的距离为______；
②在|x+2|数轴上可以理解为______．
（2）应用二：
①数轴上表示数a的点位于-3和2之间，则|a+3|+|a-2|的值为______．
②对于任何有理数x，|x+3|+|x-6|是否有最小值？如果有，写出最小值（请写清楚过程）；如果没有，请说明理由．
（3）应用三：
如果在原点处有一只电子小青蛙，跳1步为1个单位长度．小青蛙第1次先向左跳1步，第2次再向右跳3步，然后第3次再向左跳5步，第4次再向右跳7步，……，按此规律继续跳下去，那么第100次时，应再向______跳______步，此时落脚点表示的数是______．
答案
自学自测：1.（-7）+（-9+（-5）+（+3）；2.和；3.-1
【课堂练习】
【知识技能类作业】必做题
1.D
2.C
3.A
4.C
【知识技能类作业】选做题
1.B
2.C
3.1或5
4.（1）18（2）70（3）-60（4）43（5）2100
【综合拓展类作业】
1.a+b+c=3或a+b+c=-5
2.（1）涨了2.82元（2）股票每股的最高价比最低价多了：30.62-27.3=3.32（元）；（3）盈利2976元。
【作业布置】
【知识技能类作业】必做题
1.【解析】计算-12-18+7+13，简便分组一般把负数归一组、正数归一组。
原式=(-12-18)+(7+13)，对应选项B。
【详解】B
2.【解析】-2 =-（2+）=-2-
【详解】B
3.【解析】运用裂项公式：= - ， + + =（1- ）+（ - ）+（ - ）=1- =
【详解】
【知识技能类作业】选做题
1.【解析】已知相邻三个数的和相等，可得周期循环。数列：4，a，b，c，-1，2
由4+a+b=a+b+c，得到c=4；
a+b+c=b+c+(-1)，得到a=-1；
b+c+(-1)=c+(-1)+2，得到b=2。
数列为：4，-1，2，4，-1，2……周期是3。
2028÷3=676，刚好整除，对应周期最后一个数，是2。
【详解】2
2.【解析】输入x=8
第1次：8÷2=4；
第2次：4÷2=2；
第3次：2÷2=1；
第4次：1+3=4；
第5次：4÷2=2。
从第1次开始输出依次：4，2，1，4，2，1……周期为3。
从第1次：4(1),2(2),1(3),4(4),2(5),1(6)
2027÷3=675……2，余数2，对应周期第二个数，结果是2。
【详解】2
【综合拓展类作业】
1.【解析】(1)观察算式，同号、异号运算结果都是取两数绝对值相加；任何数和0做※运算，结果是这个数本身。
(2)先算括号里4※0=4，再算(-12)※4，异号得负，绝对值相加，得到-16。
(3)分情况：x大于0时，(-7)※x= -7-x；x等于0时，结果是-7；x小于0时，(-7)※x=7-x。
【详解】（1）解：根据运算实例，得同好得正，异号得负，并把绝对值相加，任何数同0进行“※”运算，都得这个数的绝对值
故答案为：绝对值相加；这个数的绝对值。
（2）解：（-12） ※（4 ※ 0）=（-12） ※4=-16
（3）解：当x>0时，（-7） ※x=-（7+x）=-7-x
当x=0时，（-7） ※x=7；当x<0时，（-7） ※x=7-x
2.【解析】（1）应用一
①数轴两点距离等于两数之差的绝对值。B表示-2，C表示-3，|-2-(-3)|=1；A表示-4，C表示-3，|-4-(-3)|=1。所以B、C两点距离为1，A、C两点距离为1。
②|x+2|可以理解为数轴上表示数x的点与表示-2的点之间的距离。
（2）应用二
①a在-3和2之间，a+3为正，a-2为负，去掉绝对值：|a+3|+|a-2|=a+3+2-a=5，结果是5。
②|x+3|+|x-6|代表数轴上x到-3和6两个点的距离之和。当x取在-3和6之间时，距离和最小，最小值为6-(-3)=9，存在最小值9。
（3）应用三
规律：奇数次向左跳，偶数次向右跳，第n次跳(2n-1)步。第100次是偶数次，向右跳，步数2×100-1=199步。每两次一组，(-1+3)=2、(-5+7)=2，一共50组，总和50×2=100，落脚点表示的数是100。
【详解】（1）解：①∵数轴上有A，B，C三个点，表示的数分别是-4，-2，3，
∴B，C两点之间的距离为3-（-2）=5，A，C两点之间的距离为3-（-4）=7，
故答案为：5，7；
②根据两点间的距离意义，得|x+2|在数轴上可以理解为数x到-2的距离．
故答案为：数x到-2的距离．
（2）解：①根据题意，可知-3故答案为：5．
②解：根据题意，x+3=0，x-6=0
解得x=-3，x=6
设-3表示的点为M，数6表示的点是N，数x表示的点为Q，
则MN=6-（-3）=9，
当x<-3时即点Q在MN的外部，此时QM+QN>MN=9；
当x>6时即点Q在MN的外部，此时QM+QN>MN=9 ；
当-3≤x≤6时即点Q在MN上，此时QM+QN=MN=9 ；
故|x+3|+|x-6|有最小值，且最小值为9．
（3）解：根据题意，得序号奇数次向左跳，序号偶数次，向右跳，且跳步数均为（2n-1）步，其中n是序号数，规定向左记作负数，向右记作正数，
则第1跳为-1步，第2跳为2n-1=2×2-1=3步，此时为位于-1+3=2处；
第3跳为-（2n-1）=-（2×3-1）=-5步，此时为位于-5+2=-3处；
第4跳为2n-1=2×4-1=7步，此时为位于-3+7=4处；
故第100跳为2n-1=2×100-1=199步，此时为位于100处；
故答案为：右，199,100．
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