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30.1　直线与圆
30.1.1　直线与圆相离、相切、相交
【课时目标】
掌握直线和圆的三种位置关系以及三种不同位置关系的判别方法.(运算能力、几何直观、推理能力)
基础　主干落实　筑牢根基 　
新知要点 对点小练
直线和圆的位置关系 直线与圆相交相切相离图形公共点的个数 0公共点的名称交点 无直线名称割线 无d与r的关系d rd rd r
1.已知☉O的半径为6 cm,圆心O到直线l的距离为5 cm,则直线l与☉O的公共点个数为( ) A.2 B.1 C.0 D.无法判断 2.已知圆的直径为12 cm,如果圆心与直线的距离是6 cm,那么直线和圆的位置关系为 (填“相交”“相切”或“相离”).
重点　典例研析　启思凝智　
重点1　判断直线和圆的位置关系(推理能力、几何直观)
【典例1】在△ABC中,已知∠ACB=90°,BC=AC=10,以点C为圆心,分别以5,5和8为半径作圆,那么直线AB与这三个圆的位置关系分别是 、 、 .
举一反三
1.一个圆的半径是9 cm.如果圆心与直线上一点之间的距离是9 cm,那么这条直线和这个圆的位置关系是( )
A.相切 B.相交
C.相交或相切 D.相离
2.(2025·盐城期中)已知☉O的半径是一元二次方程x2-2x-3=0的一个根,圆心O到直线l的距离d=2,则直线l与☉O的位置关系是( )
A.相切 B.相交
C.相离 D.相切或相交
技法点拨
判断直线和圆的位置关系的三步骤
重点2　根据直线与圆的位置关系求值(运算能力、推理能力)
【典例2】(教材再开发·P149例1拓展)
已知在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,以点A为圆心,r为半径作☉A,
(1)当半径r为何值时,☉A与直线BC相切
(2)当半径r为何值时,☉A与直线BD相切
(3)当☉A与直线BC相交且与直线CD相离时,求半径r的取值范围.
举一反三
1.(2025·北京期中)已知☉O的半径为3,线段AB=2,若☉O与线段AB有两个交点,则点O到直线AB的距离d的取值范围是 .
2.已知∠AOB=30°,P是OA上的一点,OP=24 cm,以r为半径作☉P.
(1)若r=12 cm,试判断☉P与OB的位置关系;
(2)若☉P与OB相离,试求出r需满足的条件.
技法点拨
巧用位置和数量的对应关系
1.直线和圆的位置关系与圆心到直线的距离和半径之间的数量关系是互相对应的,知道数量关系可以确定位置关系,知道位置关系可以确定数量关系.
2.用直线和圆的位置关系来判断r的取值情况时,最好先画出图形,防止漏解.
素养　思维提升　入境深探　
阅读理解
　点P是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上,过点P向x轴,y轴作垂线段,若垂线段的长度的和为4,则点P叫作“垂距点”.例如:图中的P(1,3)是“垂距点”.
(1)在点A(2,2),B(,-),C(-1,5)中,是“垂距点”的点为_________;
(2)求函数y=2x+3的图象上的“垂距点”的坐标.30.1　直线与圆
30.1.1　直线与圆相离、相切、相交
【课时目标】
掌握直线和圆的三种位置关系以及三种不同位置关系的判别方法.(运算能力、几何直观、推理能力)
基础　主干落实　筑牢根基 　
新知要点 对点小练
直线和圆的位置关系 直线与圆相交相切相离图形公共点的个数210公共点的名称交点切点无直线名称割线切线无d与r的关系dr
1.已知☉O的半径为6 cm,圆心O到直线l的距离为5 cm,则直线l与☉O的公共点个数为(A) A.2 B.1 C.0 D.无法判断 2.已知圆的直径为12 cm,如果圆心与直线的距离是6 cm,那么直线和圆的位置关系为　相切　(填“相交”“相切”或“相离”).
重点　典例研析　启思凝智　
重点1　判断直线和圆的位置关系(推理能力、几何直观)
【典例1】在△ABC中,已知∠ACB=90°,BC=AC=10,以点C为圆心,分别以5,5和8为半径作圆,那么直线AB与这三个圆的位置关系分别是　相离　、　相切　、　相交　.
举一反三
1.一个圆的半径是9 cm.如果圆心与直线上一点之间的距离是9 cm,那么这条直线和这个圆的位置关系是(C)
A.相切 B.相交
C.相交或相切 D.相离
2.(2025·盐城期中)已知☉O的半径是一元二次方程x2-2x-3=0的一个根,圆心O到直线l的距离d=2,则直线l与☉O的位置关系是(B)
A.相切 B.相交
C.相离 D.相切或相交
技法点拨
判断直线和圆的位置关系的三步骤
重点2　根据直线与圆的位置关系求值(运算能力、推理能力)
【典例2】(教材再开发·P149例1拓展)
已知在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,以点A为圆心,r为半径作☉A,
(1)当半径r为何值时,☉A与直线BC相切
(2)当半径r为何值时,☉A与直线BD相切
(3)当☉A与直线BC相交且与直线CD相离时,求半径r的取值范围.
【自主解答】(1)∵四边形ABCD为矩形,
∴∠B=∠D=90°,
∴AB⊥BC,AD⊥DC.
∵圆心A到BC边的距离为AB=3,☉A与直线BC相切,
∴r=AB=3,
则当半径r为3时,☉A与直线BC相切.
(2)连接BD,过A作AE⊥BD,交BD于点E,
∵在Rt△ABD中,AB=3,AD=4,
∴BD==5.
又∵S△ABD=BD·AE=AB·AD,
∴圆心A到BD边的距离AE==2.4.
又☉A与直线BD相切,
∴r=AE=2.4,则当半径r为2.4时,☉A与直线BD相切.
(3)∵☉A与直线BC相交,圆心A到BC边的距离为AB=3,
∴r>3.
又☉A与直线CD相离,圆心A到CD的距离为AD=4,
∴r<4,
则当半径r的取值范围为3举一反三
1.(2025·北京期中)已知☉O的半径为3,线段AB=2,若☉O与线段AB有两个交点,则点O到直线AB的距离d的取值范围是　2≤d<3　.
2.已知∠AOB=30°,P是OA上的一点,OP=24 cm,以r为半径作☉P.
(1)若r=12 cm,试判断☉P与OB的位置关系;
(2)若☉P与OB相离,试求出r需满足的条件.
【解析】过点P作PC⊥OB,垂足为C,则∠OCP=90°.
∵∠AOB=30°,OP=24 cm,
∴PC=OP=12 cm.
(1)∵PC=r=12 cm,
∴☉P与OB相切,
即☉P与OB的位置关系是相切.
(2)当☉P与OB相离时,r∴r需满足的条件是:0 cm技法点拨
巧用位置和数量的对应关系
1.直线和圆的位置关系与圆心到直线的距离和半径之间的数量关系是互相对应的,知道数量关系可以确定位置关系,知道位置关系可以确定数量关系.
2.用直线和圆的位置关系来判断r的取值情况时,最好先画出图形,防止漏解.
素养　思维提升　入境深探　
阅读理解
　点P是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上,过点P向x轴,y轴作垂线段,若垂线段的长度的和为4,则点P叫作“垂距点”.例如:图中的P(1,3)是“垂距点”.
(1)在点A(2,2),B(,-),C(-1,5)中,是“垂距点”的点为_________;
(2)求函数y=2x+3的图象上的“垂距点”的坐标.
【解析】(1)∵|2|+|2|=4,||+|-|=4,
|-1|+|5|=6≠4,
∴是“垂距点”的点为A,B.
答案:A,B
(2)设函数y=2x+3的图象上的“垂距点”的坐标为(a,2a+3),
依题意得:|a|+|2a+3|=4.
①当a>0时,a+(2a+3)=4,
解得:a=,
∴此时“垂距点”的坐标为(,);
②当-解得:a=1(不符合题意,舍去);
③当a<-时,-a-(2a+3)=4,
解得:a=-,
∴此时“垂距点”的坐标为(-,-).
∴综上所述,函数y=2x+3的图象上的“垂距点”的坐标是(,)或(-,-).

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