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30.1.2　圆的切线
第1课时　切线的性质与判定
【课时目标】
1.掌握切线的概念.(几何直观、推理能力)
2.掌握切线的性质和判定,并能灵活应用.(运算能力、几何直观、推理能力)
基础　主干落实　筑牢根基 　
新知要点 对点小练
1.判定定理 注意直线经过圆周上一点 经过半径的外端并且 这条半径的直线是圆的切线. 1.下列四个选项中的表述,正确的是( ) A.经过半径上一点且垂直于这条半径的直线是圆的切线 B.经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线 C.经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 D.经过一条弦的外端且垂直于这条弦的直线是圆的切线
2.性质定理 圆的切线 过切点的半径. 2.如图,AB与☉O相切于点C,AO=3,☉O的半径为2,则AC的长为 .
重点　典例研析　启思凝智　
重点1　切线的判定(推理能力、几何直观)
【典例1】(2025·山东中考)如图,在△OAB中,点A在☉O上,边OB交☉O于点C,AD⊥OB于点D.AC是∠BAD的平分线.
(1)求证:AB为☉O的切线;
(2)若☉O的半径为2,∠AOB=45°,求CB的长.
举一反三
(2025·福州期中)如图,在Rt△OAB中,∠AOB=90°,OA=3,OB=4,以点O为圆心,2.4为半径作☉O.求证:AB是☉O的切线.
技法点拨
与切线的判定有关的两种辅助线
1.已知直线与圆的公共点:连半径(连接该点和圆心),证垂直(证明半径垂直于已知直线),得切线.
2.不知直线与圆的公共点:作垂直(过圆心作直线的垂线段),证d=r(证明垂线段等于半径),得切线.
重点2　切线的性质(运算能力、推理能力)
【典例2】(2025·广东中考)如图,点O是Rt△ABC斜边AC边上的一点,以OA为半径的☉O与边BC相切于点D.求证:AD平分∠BAC.
举一反三
1.如图,菱形OABC的顶点A,B,C在☉O上,过点B作☉O的切线交OA的延长线于点D.若☉O的半径为2,则BD的长为( )
　　　　　　　　　　　　　　　
A.2 B.2 C.2 D.4
2.如图,AB是☉O的直径,点C在AB的延长线上,CD与☉O相切于点D,若∠C=26°,则∠CAD= °.
素养　思维提升　入境深探　
阅读理解
　小高同学在一本数学课外读物上看到一个与圆相关的角——弦切角(弦切角的定义:把顶点在圆上,一边与圆相切,另一边和圆相交的角叫作弦切角),知道了弦切角定理:弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数.
【证明】在证明时,细心的小高考虑了三种情况,圆心在弦切角∠PAB的一条边上,圆心在弦切角外,圆心在弦切角内.如图1,PA与☉O相切于点A,AB为直径,当圆心O在AB上时,容易得到∠PAB=90°,所以弦切角∠PAB=∠C=90°.请帮助小高继续解决下面的问题.
(1)如图2,PA是☉O的切线,A为切点,AC为直径,∠PAB夹弧所对的圆周角为∠C,求证:∠PAB=∠C.
(2)如图3,PA是☉O的切线,A为切点,∠PAB夹弧所对的圆周角为∠C.求证:∠PAB=∠C.
【解决问题】
(3)如图4,△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O交BC于点E,过点B作☉O的切线,交AC的延长线于点D.直接写出∠CBD与∠BAC的数量关系:_________ . 30.1.2　圆的切线
第1课时　切线的性质与判定
【课时目标】
1.掌握切线的概念.(几何直观、推理能力)
2.掌握切线的性质和判定,并能灵活应用.(运算能力、几何直观、推理能力)
基础　主干落实　筑牢根基 　
新知要点 对点小练
1.判定定理 注意直线经过圆周上一点 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 1.下列四个选项中的表述,正确的是(C) A.经过半径上一点且垂直于这条半径的直线是圆的切线 B.经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线 C.经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 D.经过一条弦的外端且垂直于这条弦的直线是圆的切线
2.性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径. 2.如图,AB与☉O相切于点C,AO=3,☉O的半径为2,则AC的长为 　.
重点　典例研析　启思凝智　
重点1　切线的判定(推理能力、几何直观)
【典例1】(2025·山东中考)如图,在△OAB中,点A在☉O上,边OB交☉O于点C,AD⊥OB于点D.AC是∠BAD的平分线.
(1)求证:AB为☉O的切线;
(2)若☉O的半径为2,∠AOB=45°,求CB的长.
【自主解答】(1)∵AD⊥OB,
∴∠DAC+∠ACD=90°.
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA.
∵AC是∠BAD的平分线,
∴∠DAC=∠BAC,
∴∠BAC+∠OAC=∠DAC+∠OCA=90°,
即AB⊥OA,
又∵OA为☉O的半径,
∴AB为☉O的切线.
(2)∵∠AOB=45°,又AB⊥OA,
∴△OAB为等腰直角三角形.
∵☉O的半径为2,
∴OA=2=OC,
∴OB=OA=2,
∴CB=OB-OC=2-2.
举一反三
(2025·福州期中)如图,在Rt△OAB中,∠AOB=90°,OA=3,OB=4,以点O为圆心,2.4为半径作☉O.求证:AB是☉O的切线.
【证明】过点O作OC⊥AB于点C,如图,
∵∠AOB=90°,OA=3,OB=4,
∴AB==5,
∵AB·OC=OA·OB,∴OC==2.4,
∵☉O的半径为2.4,
∴OC为☉O的半径,而AB⊥OC,
∴AB是☉O的切线.
技法点拨
与切线的判定有关的两种辅助线
1.已知直线与圆的公共点:连半径(连接该点和圆心),证垂直(证明半径垂直于已知直线),得切线.
2.不知直线与圆的公共点:作垂直(过圆心作直线的垂线段),证d=r(证明垂线段等于半径),得切线.
重点2　切线的性质(运算能力、推理能力)
【典例2】(2025·广东中考)如图,点O是Rt△ABC斜边AC边上的一点,以OA为半径的☉O与边BC相切于点D.求证:AD平分∠BAC.
【自主解答】连接OD,
∵☉O与边BC相切于点D,
∴OD⊥BC,即∠ODC=90°.
∵△ABC为直角三角形,
∴∠ODC=∠B=90°,
∴OD∥AB,∴∠1=∠3.
∵OD=OA,∴∠1=∠2,
∴∠3=∠2,∴AD平分∠BAC.
举一反三
1.如图,菱形OABC的顶点A,B,C在☉O上,过点B作☉O的切线交OA的延长线于点D.若☉O的半径为2,则BD的长为(C)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.2 B.2 C.2 D.4
2.如图,AB是☉O的直径,点C在AB的延长线上,CD与☉O相切于点D,若∠C=26°,则∠CAD=　32　°.
素养　思维提升　入境深探　
阅读理解
　小高同学在一本数学课外读物上看到一个与圆相关的角——弦切角(弦切角的定义:把顶点在圆上,一边与圆相切,另一边和圆相交的角叫作弦切角),知道了弦切角定理:弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数.
【证明】在证明时,细心的小高考虑了三种情况,圆心在弦切角∠PAB的一条边上,圆心在弦切角外,圆心在弦切角内.如图1,PA与☉O相切于点A,AB为直径,当圆心O在AB上时,容易得到∠PAB=90°,所以弦切角∠PAB=∠C=90°.请帮助小高继续解决下面的问题.
(1)如图2,PA是☉O的切线,A为切点,AC为直径,∠PAB夹弧所对的圆周角为∠C,求证:∠PAB=∠C.
(2)如图3,PA是☉O的切线,A为切点,∠PAB夹弧所对的圆周角为∠C.求证:∠PAB=∠C.
【解决问题】
(3)如图4,△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O交BC于点E,过点B作☉O的切线,交AC的延长线于点D.直接写出∠CBD与∠BAC的数量关系:_________　.
【解析】(1)∵PA是☉O的切线,A为切点,
∴∠PAC=90°,
∴∠PAB+∠BAC=90°,
∵AC是直径,
∴∠ABC=90°,
∴∠C+∠BAC=90°,
∴∠PAB=∠C.
(2)作直径AD,连接CD,
由(1)得,∠PAD=∠ACD,
∵∠BAD=∠BCD,
∴∠PAB=∠ACB.
(3)连接AE,
由(1)知,∠DBC=∠BAE,
∵AB是直径,∴∠AEB=90°,
∵AB=AC,∴∠BAC=2∠BAE,
∴∠BAC=2∠CBD.
答案:∠BAC=2∠CBD

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