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第2课时　切线长定理
【课时目标】
　探索并证明切线长定理并能利用其进行有关的计算和证明.(几何直观、运算能力、推理能力)
基础　主干落实　筑牢根基 　
新知要点 对点小练
1.切线长定义 经过圆外一点的圆的 上,这点和切点之间 的长. 2.切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长 ,这一点和圆心的连线 两条切线的夹角. 　 如图,AB,AC是☉O的切线,P,Q为切点,如果AP=8,则AQ的长为 .
重点　典例研析　启思凝智　
重点1　利用切线长定理进行计算(推理能力、几何直观)
【典例1】(教材再开发·P153例3拓展)已知PA,PB分别切☉O于A,B,E为上一点,过E点的切线交PA于C,交PB于D.
(1)若PA=6,求△PCD的周长.
(2)若∠P=50°,求∠DOC.
举一反三
1.如图,AB,AC,BD是☉O的切线,P,C,D为切点,如果AB=7,AC=4,则BD的长为( )
　　　　　　　　　　　　　　　
A.3 B.2 C.2.5 D.1.5
2.如图,PA,PB是☉O的切线,A,B为切点,AC是☉O的直径,若∠P=54°,则∠BAC的度数为 .
技法点拨
切线长定理中的基本图形
如图,PA,PB为☉O的切线,此图形中含有:
(1)两个等腰三角形(△PAB,△OAB).
(2)一条特殊的角平分线(OP平分∠APB和∠AOB).
(3)三个垂直关系(OA⊥PA,OB⊥PB,OP⊥AB).
重点2　与切线长定理有关的综合题(运算能力、推理能力)
【典例2】如图,PA,PB是☉O的切线,A,B为切点,连接OA,OB,过点O作OC∥PA交PB于点C,过点C作CD⊥AP,垂足为D.
(1)求证:OC=AD.
(2)若☉O的半径是3,PA=9,求OC的长.
举一反三
　如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点O在边AC上,以点O为圆心,OC长为半径的半圆与斜边AB相切于点D,交OA于点E,连接OB.
(1)求证:BD=BC.
(2)已知OC=1,∠A=30°,求AB的长.
素养　思维提升　入境深探　
　如图,AB为☉O的直径,且AB=12 cm,AM和BN是☉O的两条切线,DC切☉O于点E,交AM于D,交BN于点C,设AD=x cm,BC=y cm.
(1)求证:∠DOC=90°;
(2)求y与x的函数关系式;
(3)若x,y是方程t2-13t+m=0的两个根,求x,y的值.第2课时　切线长定理
【课时目标】
　探索并证明切线长定理并能利用其进行有关的计算和证明.(几何直观、运算能力、推理能力)
基础　主干落实　筑牢根基 　
新知要点 对点小练
1.切线长定义 经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间线段的长. 2.切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 　 如图,AB,AC是☉O的切线,P,Q为切点,如果AP=8,则AQ的长为　8　.
重点　典例研析　启思凝智　
重点1　利用切线长定理进行计算(推理能力、几何直观)
【典例1】(教材再开发·P153例3拓展)已知PA,PB分别切☉O于A,B,E为上一点,过E点的切线交PA于C,交PB于D.
(1)若PA=6,求△PCD的周长.
(2)若∠P=50°,求∠DOC.
【自主解答】(1)连接OE,
∵PA,PB与圆O相切, ∴PA=PB=6,
同理可得:AC=CE,BD=DE,
△PCD的周长为PC+PD+CD=PC+PD+CE+DE=PA+PB=12;
(2)∵PA,PB与圆O相切,
∴∠OAP=∠OBP=90°,∠P=50°,
∴∠AOB=360°-90°-90°-50°=130°,
在Rt△AOC和Rt△EOC中,,
∴Rt△AOC≌Rt△EOC(HL),
∴∠AOC=∠COE,
同理:∠DOE=∠BOD,
∴∠COD=∠AOB=65°.
举一反三
1.如图,AB,AC,BD是☉O的切线,P,C,D为切点,如果AB=7,AC=4,则BD的长为(A)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.3 B.2 C.2.5 D.1.5
2.如图,PA,PB是☉O的切线,A,B为切点,AC是☉O的直径,若∠P=54°,则∠BAC的度数为　27°　.
技法点拨
切线长定理中的基本图形
如图,PA,PB为☉O的切线,此图形中含有:
(1)两个等腰三角形(△PAB,△OAB).
(2)一条特殊的角平分线(OP平分∠APB和∠AOB).
(3)三个垂直关系(OA⊥PA,OB⊥PB,OP⊥AB).
重点2　与切线长定理有关的综合题(运算能力、推理能力)
【典例2】如图,PA,PB是☉O的切线,A,B为切点,连接OA,OB,过点O作OC∥PA交PB于点C,过点C作CD⊥AP,垂足为D.
(1)求证:OC=AD.
(2)若☉O的半径是3,PA=9,求OC的长.
【自主解答】(1)∵PA,PB是☉O的切线,OA,OB是☉O的半径,
∴OA⊥PA,OB⊥PB.
∵OC∥PA,CD⊥AP,
∴CD⊥OC,
∴∠OAD=∠CDA=∠OCD=90°,
∴四边形OADC是矩形,
∴OC=AD.
(2)设OC=AD=x,
∵四边形OADC是矩形,☉O的半径是3,PA=9,
∴OA=OB=CD=3,PD=PA-AD=9-x.
∵OC∥PA,
∴∠OCB=∠P.
∵OB⊥PB,CD⊥AP,
∴∠OBC=∠CDP=90°.
在△OCB和△CPD中,
,
∴△OCB≌△CPD(AAS),
∴BC=PD=9-x,
在Rt△OCB中,由勾股定理得OC2=OB2+BC2,
∴x2=32+(9-x)2,
解得x=5,∴OC=5.
举一反三
　如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点O在边AC上,以点O为圆心,OC长为半径的半圆与斜边AB相切于点D,交OA于点E,连接OB.
(1)求证:BD=BC.
(2)已知OC=1,∠A=30°,求AB的长.
【解析】(1)如图,连接OD,
∵半圆O与AB相切于点D,
∴OD⊥AB.
∵∠ACB=90°,
∴∠ODB=∠OCB=90°.
∵OD=OC,OB=OB,
∴Rt△ODB≌Rt△OCB(HL).
∴BD=BC.
(2)∵∠A=30°,∠ACB=90°,
∴∠ABC=60°.
∵Rt△ODB≌Rt△OCB,
∴∠CBO=∠DBO=∠ABC=30°.
∵OC=1,
∴在Rt△BCO中,OB=2,BC=.
∴在Rt△ABC中,AB=2BC=2.
素养　思维提升　入境深探　
　如图,AB为☉O的直径,且AB=12 cm,AM和BN是☉O的两条切线,DC切☉O于点E,交AM于D,交BN于点C,设AD=x cm,BC=y cm.
(1)求证:∠DOC=90°;
(2)求y与x的函数关系式;
(3)若x,y是方程t2-13t+m=0的两个根,求x,y的值.
　【解析】(1)∵DA,DE是☉O的两条切线,
∴∠ADO=∠EDO,
同理可得,∠BCO=∠ECO.
∵AB为☉O的直径,AM和BN是☉O的两条切线,
∴AM⊥AO,BN⊥OB,
∴AM∥BN,
∴∠ADC+∠BCD=180°,
∴∠ODC+∠OCD=90°,
∴∠DOC=180°-90°=90°.
(2)过点D作DF⊥BC,垂足为F,
则四边形ABFD为矩形,
∴DF=AB=12 cm,BF=AD=x cm,
∵☉O分别切AM,BN,CD于A,B,E,
∴DE=AD=x cm,CE=CB=y cm,
∴CF=(y-x)cm,CD=(x+y)cm,
在Rt△DCF中,DC2=CF2+DF2,
即(x+y)2=(y-x)2+122,
∴xy=36,
∴y=.
(3)∵x,y是方程t2-13t+m=0的两个根,
∴x+y=13,即x+=13,
整理得,x2-13x+36=0,
解得,x1=4,x2=9,
则y1=9,y2=4,
∴x=4,y=9或x=9,y=4.

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