资源简介

30.2　三角形的内切圆
【课时目标】
　了解三角形的内切圆、三角形的内心的概念和性质,并能应用其进行有关的计算和证明.(推理能力、几何直观)
基础　主干落实　筑牢根基 　
新知要点 对点小练
1.三角形内切圆有关概念 与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆,其圆心叫作三角形的内心. 2.三角形内心的性质 三角形的内心是三角形三条角平分线的交点,它到三角形各边的距离相等. 下面关于“三角形的内心”说法正确的是(A) A.三角形的内心到三边的距离相等 B.三角形的内心是三条垂直平分线的交点 C.三角形的内心是三边中线的交点 D.三角形的内心到三个顶点的距离相等
重点　典例研析　启思凝智　
重点1　与三角形内切圆有关的计算和证明(运算能力、推理能力)
【典例1】如图,点I是△ABC的内心,AI的延长线和△ABC的外接圆☉O相交于点D.
(1)求证:DB=DI;
(2)如果OI⊥AD,IM⊥AB于M.
求证:BC=2AM.
【自主解答】(1)连接BI,
∵点I是△ABC的内心,
∴∠BAD=∠CAD,∠ABI=∠CBI,
∴∠BAD+∠ABI=∠CAD+∠CBI,
∵∠CAD=∠CBD,
∴∠BAD+∠ABI=∠CBD+∠CBI,
∵∠BID=∠BAD+∠ABI,∠IBD=∠CBD+∠CBI,∴∠BID=∠IBD,∴DB=DI.
(2)连接OD交BC于点E,
∵∠BAD=∠CAD,∴=,
∴OD⊥BC,BE=CE,
∵OI⊥AD,IM⊥AB,
∴∠BED=∠AMI=90°,IA=DI,
∵DB=DI,∴DB=IA,
∵∠DBE=∠DAC,∠IAM=∠DAC,
∴∠DBE=∠IAM,
在△DBE和△IAM中,,
∴△DBE≌△IAM(AAS),
∴BE=AM,∴2BE=2AM,
∵BC=2BE,∴BC=2AM.
举一反三
1.已知直角三角形的两直角边分别为6和8,则这个三角形的内切圆的半径为(A)
A.2 B.4 C.5 D.1
2.(2025·镇江期中)如图,点O为△ABC外接圆的圆心,点I为△ABC的内心,连接BO,CI,若∠BCI=36°,则∠OBA的度数为　18　°.
重点2　作三角形内切圆
【典例2】(2025·龙岩期末)如图,AB为☉O的直径,CD平分∠ACB交☉O于点D,AC=4,BC=3.
(1)作△ABC的内心E;(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下,求DE的长.
【自主解答】(1)如图所示,点E即为所求作的点.
(2)连接OD,
∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=∠ADB=90°.
在Rt△ABC中,AB==5.
∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠BCD=45°,
∴∠AOD=∠BOD=90°,
∴AD=BD,∠ABD=45°.
在Rt△ABD中,AD2+BD2=AB2,
∴BD=AB=.
∵BE平分∠CBA,
∴∠ABE=∠CBE.
又∵∠DEB=∠CBE+∠DCB=∠CBE+45°,
∠DBE=∠ABE+∠ABD=∠ABE+45°,
∴∠DEB=∠DBE,
∴DE=BD=.
举一反三
　如图,在△ABC中作一个圆,使它与这个三角形的三边都相切.
【解析】如图所示,分别作∠ABC,∠ACB的平分线BE和CF,交点为I,再过I作BC的垂线,垂足为D,再以I为圆心,以ID的长为半径作☉I.
素养　思维提升　入境深探　
阅读理解
　阅读材料:
已知,如图(1),在面积为S的△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,内切圆O的半径为r.连接OA,OB,OC,△ABC被划分为三个小三角形.
∵S=S△OBC+S△OAC+S△OAB=BC·r+AC·r+AB·r=(a+b+c)r.
∴r=.
(1)类比推理:若面积为S的四边形ABCD存在内切圆(与各边都相切的圆),如图(2),各边长分别为AB=a,BC=b,CD=c,AD=d,求四边形的内切圆半径r;
(2)理解应用:如图(3),在四边形ABCD中,☉O1与☉O2分别为△ABD与△BCD的内切圆,☉O1与△ABD的切点分别为E,F,G,设它们的半径分别为r1和r2,若
∠ADB=90°,AE=4,BC+CD=10,S△DBC=9,r2=1,求r1的值.
【解析】(1)连接OA,OB,OC,OD,
∵S四边形ABCD=S△AOB+S△BOC+S△COD+S△AOD
=(a+b+c+d)r,
∴r=;
(2)∵S△DBC=9,r2=1,
∴BC+CD+BD==18,
∵BC+CD=10,∴BD=8.
∵☉O1是△ABD的内切圆,
∴AE=AG=4,BE=BF,DF=DG,
∴DG+BE=BD=8,
∴设DG=x,则BE=8-x,
∵∠ADB=90°,
∴AD2+BD2=AB2,
即(4+x)2+82=(4+8-x)2,解得x=2,
∴AD=AG+DG=4+2=6,
∴S△ABD=AD·BD=×6×8=24,
∵AD+AB+BD=AG+AE+(DG+BE)+BD=4+4+8+8=24,
∴r1===2.30.2　三角形的内切圆
【课时目标】
　了解三角形的内切圆、三角形的内心的概念和性质,并能应用其进行有关的计算和证明.(推理能力、几何直观)
基础　主干落实　筑牢根基 　
新知要点 对点小练
1.三角形内切圆有关概念 与三角形各边都 的圆叫作三角形的内切圆,其圆心叫作三角形的内心. 2.三角形内心的性质 三角形的内心是三角形 的交点,它到三角形 的距离相等. 下面关于“三角形的内心”说法正确的是( ) A.三角形的内心到三边的距离相等 B.三角形的内心是三条垂直平分线的交点 C.三角形的内心是三边中线的交点 D.三角形的内心到三个顶点的距离相等
重点　典例研析　启思凝智　
重点1　与三角形内切圆有关的计算和证明(运算能力、推理能力)
【典例1】如图,点I是△ABC的内心,AI的延长线和△ABC的外接圆☉O相交于点D.
(1)求证:DB=DI;
(2)如果OI⊥AD,IM⊥AB于M.
求证:BC=2AM.
举一反三
1.已知直角三角形的两直角边分别为6和8,则这个三角形的内切圆的半径为( )
A.2 B.4 C.5 D.1
2.(2025·镇江期中)如图,点O为△ABC外接圆的圆心,点I为△ABC的内心,连接BO,CI,若∠BCI=36°,则∠OBA的度数为 °.
重点2　作三角形内切圆
【典例2】(2025·龙岩期末)如图,AB为☉O的直径,CD平分∠ACB交☉O于点D,AC=4,BC=3.
(1)作△ABC的内心E;(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下,求DE的长.
举一反三
　如图,在△ABC中作一个圆,使它与这个三角形的三边都相切.
素养　思维提升　入境深探　
阅读理解
　阅读材料:
已知,如图(1),在面积为S的△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,内切圆O的半径为r.连接OA,OB,OC,△ABC被划分为三个小三角形.
∵S=S△OBC+S△OAC+S△OAB=BC·r+AC·r+AB·r=(a+b+c)r.
∴r=.
(1)类比推理:若面积为S的四边形ABCD存在内切圆(与各边都相切的圆),如图(2),各边长分别为AB=a,BC=b,CD=c,AD=d,求四边形的内切圆半径r;
(2)理解应用:如图(3),在四边形ABCD中,☉O1与☉O2分别为△ABD与△BCD的内切圆,☉O1与△ABD的切点分别为E,F,G,设它们的半径分别为r1和r2,若
∠ADB=90°,AE=4,BC+CD=10,S△DBC=9,r2=1,求r1的值.

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