资源简介

25.2.2　公式法
【课时目标】
1.理解并掌握用公式法解一元二次方程的方法.(抽象能力、运算能力)
2.能利用根的判别式对一元二次方程根的情况进行判断,能根据一元二次方程根的情况确定字母的取值范围.(运算能力、推理能力)
3.通过对一元二次方程求根公式的探索,熟悉配方的技巧,体验转化思想的运用.(模型观念)
基础　主干落实　筑牢根基 　
新知要点 对点小练
1.判别式Δ=b2-4ac的符号与一元二次方程根的对应情况 (1)Δ>0 方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根. (2)Δ=0 方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根. (3)Δ<0 方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根. 1.(1)判断(对的画“√”,错的画“×”). ①一元二次方程x2-x-1=0有两个不等的实数根.(√) ②一元二次方程x2-2x+1=0只有一个实数根.(×) (2)若关于x的方程2x2+4x+c=0没有实数根,则c的取值范围是c>2.
2.公式法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) (1)求根公式:x=. (2)公式法的定义:把各系数直接代入求根公式计算得出方程的根. 2.一元二次方程x2+x-1=0的根是(D) A.x=1-　　B.x= C.x=-1+ D.x=
重点　典例研析　启思凝智　
重点1　一元二次方程根的判别式的应用(抽象能力、运算能力)
【典例1】已知关于x的方程(k+1)x2-2kx+k-1=0.
(1)当k满足什么条件时,该方程是一元二次方程
(2)求证:该一元二次方程总有两个不等的实数根.
【自主解答】(1)∵此方程是一元二次方程,
∴k+1≠0,即k≠-1,
∴当k≠-1时,该方程是一元二次方程.
(2)∵Δ=(-2k)2-4(k+1)(k-1)=4k2-4k2+4=4>0,
∴该一元二次方程总有两个不等的实数根.
举一反三
1.对于任意实数k,关于x的方程x2-2kx+k2+1=0根的情况为(C)
A.有两个不等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定
2.(逆向求参)(2025·广元中考)若关于x的一元二次方程(a-1)x2+(a-1)x-=0有两个相等的实数根,则a=　-1　.
技法点拨
根的判别式的三个应用
(1)判断方程根的情况:不解方程,根据b2-4ac的符号直接判断方程根的情况.
(2)求系数中字母的取值:已知方程根的情况,求方程中字母系数的取值范围.
(3)证明关于根的结论:根据b2-4ac恒大于0或恒小于0或恒等于0,证明方程根的情况.
特别提醒
　根据根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围时,一定要综合考虑二次项系数不为零的情况.
重点2　用公式法解一元二次方程(运算能力)
【典例2】(教材再开发·P11例3拓展)用公式法解下列一元二次方程:
(1)3x2+1=2x;
(2)2(x-1)2-(x+1)(1-x)=(x+2)2.
【自主解答】(1)原方程整理成一般形式可得:3x2-2x+1=0,∵a=3,b=-2,c=1,
∴Δ=(-2)2-4×3×1=0,∴x=,∴原方程的解为x1=x2=;
(2)原方程整理成一般形式可得:2x2-8x-3=0,
∵a=2,b=-8,c=-3,
∴Δ=(-8)2-4×2×(-3)=88>0,
∴x==,
∴原方程的解为x1=,x2=.
举一反三
　用公式法解下列一元二次方程:
(1)-x2+2x=-;
(2)(3x-2)(x+1)=-1.
【解析】(1)整理得:3x2-8x-2=0,
∵a=3,b=-8,c=-2,
∴Δ=(-8)2-4×3×(-2)=88>0,
∴x==,
∴x1=,x2=.
(2)整理得:3x2+x-1=0,
∵a=3,b=1,c=-1,∴Δ=b2-4ac=1+12=13>0,∴x=,
∴x1=,x2=.
技法点拨
用公式法解一元二次方程的四步骤
(1)把一元二次方程化为一般形式;
(2)确定a,b,c的值;
(3)计算Δ=b2-4ac的值;
(4)当Δ=b2-4ac≥0时,把a,b,c的值代入求根公式,求出方程的两个实数根;当Δ=b2-4ac<0时,方程无实数根.
特别提醒
　不要忘记求判别式的值,若判别式小于0直接代入则造成无效计算.
素养　思维提升　入境深探　
　火眼金睛(找错并纠正)
解方程:3x2-7x=2.
【陷阱】　用公式法解方程没有先化成一般形式,致使确定系数时出错　.
正解:原方程为3x2-7x-2=0,
∵a=3,b=-7,c=-2,
∴Δ=b2-4ac=(-7)2-4×3×(-2)=73,
∴x==,
∴x1=,x2=.25.2.2　公式法
【课时目标】
1.理解并掌握用公式法解一元二次方程的方法.(抽象能力、运算能力)
2.能利用根的判别式对一元二次方程根的情况进行判断,能根据一元二次方程根的情况确定字母的取值范围.(运算能力、推理能力)
3.通过对一元二次方程求根公式的探索,熟悉配方的技巧,体验转化思想的运用.(模型观念)
基础　主干落实　筑牢根基 　
新知要点 对点小练
1.判别式Δ=b2-4ac的符号与一元二次方程根的对应情况 (1)Δ>0 方程ax2+bx+c=0(a≠0)有 的实数根. (2)Δ=0 方程ax2+bx+c=0(a≠0)有 的实数根. (3)Δ<0 方程ax2+bx+c=0(a≠0) 实数根. 1.(1)判断(对的画“√”,错的画“×”). ①一元二次方程x2-x-1=0有两个不等的实数根.(　) ②一元二次方程x2-2x+1=0只有一个实数根.(　) (2)若关于x的方程2x2+4x+c=0没有实数根,则c的取值范围是 .
2.公式法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) (1)求根公式: . (2)公式法的定义:把各系数直接代入 计算得出方程的根. 2.一元二次方程x2+x-1=0的根是( ) A.x=1-　　B.x= C.x=-1+ D.x=
重点　典例研析　启思凝智　
重点1　一元二次方程根的判别式的应用(抽象能力、运算能力)
【典例1】已知关于x的方程(k+1)x2-2kx+k-1=0.
(1)当k满足什么条件时,该方程是一元二次方程
(2)求证:该一元二次方程总有两个不等的实数根.
【自主解答】(1)∵此方程是一元二次方程,
∴k+1≠0,即k≠-1,
∴当k≠-1时,该方程是一元二次方程.
(2)∵Δ=(-2k)2-4(k+1)(k-1)=4k2-4k2+4=4>0,
∴该一元二次方程总有两个不等的实数根.
举一反三
1.对于任意实数k,关于x的方程x2-2kx+k2+1=0根的情况为( )
A.有两个不等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定
2.(逆向求参)(2025·广元中考)若关于x的一元二次方程(a-1)x2+(a-1)x-=0有两个相等的实数根,则a= .
技法点拨
根的判别式的三个应用
(1)判断方程根的情况:不解方程,根据b2-4ac的符号直接判断方程根的情况.
(2)求系数中字母的取值:已知方程根的情况,求方程中字母系数的取值范围.
(3)证明关于根的结论:根据b2-4ac恒大于0或恒小于0或恒等于0,证明方程根的情况.
特别提醒
　根据根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围时,一定要综合考虑二次项系数不为零的情况.
重点2　用公式法解一元二次方程(运算能力)
【典例2】(教材再开发·P11例3拓展)用公式法解下列一元二次方程:
(1)3x2+1=2x;
(2)2(x-1)2-(x+1)(1-x)=(x+2)2.
举一反三
　用公式法解下列一元二次方程:
(1)-x2+2x=-;
(2)(3x-2)(x+1)=-1.
技法点拨
用公式法解一元二次方程的四步骤
(1)把一元二次方程化为一般形式;
(2)确定a,b,c的值;
(3)计算Δ=b2-4ac的值;
(4)当Δ=b2-4ac≥0时,把a,b,c的值代入求根公式,求出方程的两个实数根;当Δ=b2-4ac<0时,方程无实数根.
特别提醒
　不要忘记求判别式的值,若判别式小于0直接代入则造成无效计算.
素养　思维提升　入境深探　
　火眼金睛(找错并纠正)
解方程:3x2-7x=2.
【陷阱】 .

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