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25.2.3　因式分解法
【课时目标】
1.理解因式分解法解方程的依据.(抽象能力)
2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.(运算能力)
3.会根据方程的特点选择恰当的方法解一元二次方程.(抽象能力、创新意识)
基础　主干落实　筑牢根基 　
新知要点 对点小练
1.因式分解法 (1)定义:通过因式分解使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0. 　　　　　 等号右边必须为0 (2)依据:若a·b=0,则a=0或b=0. 1.(1)判断(对的画“√”,错的画“×”). ①由(2x-2)(3x-4)=0,可得:2x-2=0或3x-4=0.(√) ②由(x-2)(x-3)=2×3,可得:x-2=2或x-3=3.(×) (2)一元二次方程x2=2x的根是x1=0,x2=2.
2.一元二次方程各种解法的对比 基本思想都是降次转化 解法特点直接开平方法直接利用平方根的意义配方法先配方,再降次公式法直接利用求根公式解方程因式分解法一边化为两个一次因式相乘,另一边为　0　,再分别使各一次因式等于0
2.(1)解方程(5-x)2=7(x-5),选择相对合适的方法是(D) A.直接开平方法 B.配方法 C.公式法 D.因式分解法 (2)下列方法中,最适合用于解方程x2-x-3=0的是(B) A.直接开平方法 B.公式法 C.配方法 D.因式分解法
重点　典例研析　启思凝智　
重点1　用因式分解法解一元二次方程(抽象能力、运算能力)
【典例1】用因式分解法解下列方程:
(1)x+1=x(x+1);
(2)(2x-1)2-x2=0.
【自主解答】(1)x+1=x(x+1),
方程变形为(x+1)(1-x)=0,
∴x+1=0或1-x=0,解得:x1=-1,x2=1.
(2)(2x-1)2-x2=0,
(2x-1+x)(2x-1-x)=0,
∴3x-1=0,x-1=0,解得:x1=,x2=1.
举一反三
　用因式分解法解下列方程:
(1)x2-6x=0;　　(2)(x+1)2=(2x-1)2.
【解析】(1)因式分解,得x(x-6)=0,
∴x=0或x-6=0,解得:x1=0,x2=6;
(2)(x+1)2-(2x-1)2=0,
因式分解,得(x+1+2x-1)(x+1-2x+1)=0,
∴3x=0或-x+2=0,
解得:x1=0,x2=2.
技法点拨
用因式分解法解一元二次方程的四步骤
重点2　一元二次方程解法的恰当选择(运算能力)
【典例2】用适当的方法解下列方程:
(1)(6x-1)2=25;　 (2)x2-2x=2x-1;
(3)x2-x=2;(4)x(x-7)=8(7-x).
【自主解答】(1)(6x-1)2=25,
6x-1=±5,
6x=1±5,
x=,即x1=1,x2=-;
(2)x2-2x=2x-1,
x2-4x=-1,
x2-4x+4=-1+4,
(x-2)2=3,
x-2=±,
x=2±,
即x1=2+,x2=2-;
(3)化为一般形式为x2-x-2=0,
∵a=1,b=-,c=-2,
∴Δ=b2-4ac=-4×1×(-2)=10>0,
∴x===,
∴x1=,x2=;
(4)x(x-7)=8(7-x),
x(x-7)-8(7-x)=0,
(x+8)(x-7)=0,
即x-7=0或x+8=0,∴x1=7,x2=-8.
举一反三
1.解下列方程:①2x2-18=0;②2x2-12x-782=0;③3x2+10x+1=0;④2(5x-1)2=2(5x-1).用较简便的方法依次是(A)
A.①直接开平方法,②配方法,③公式法,④因式分解法
B.①直接开平方法,②公式法,③④因式分解法
C.①因式分解法,②公式法,③配方法,④因式分解法
D.①直接开平方法,②③公式法,④因式分解法
2.用适当的方法解下列一元二次方程:
(1)3x(x+2)=5(x+2);
(2)2x2+7x+4=0;
(3)16(3x-2)2=(x+5)2.
【解析】(1)3x(x+2)=5(x+2),
3x(x+2)-5(x+2)=0,
(3x-5)(x+2)=0,
x+2=0或3x-5=0,
∴x1=-2,x2=;
(2)2x2+7x+4=0,a=2,b=7,c=4,
Δ=b2-4ac=72-4×2×4=17>0,
∴x==,
∴x1=,x2=;
(3)16(3x-2)2=(x+5)2,
4(3x-2)=±(x+5),
4(3x-2)=x+5或4(3x-2)=-(x+5),
∴x1=,x2=.
技法点拨
选择一元二次方程解法的技巧
1.选择顺序:直接开平方法→因式分解法→公式法(或配方法).
2.若方程为(mx+n)2=p(p≥0)型时,用直接开平方法.
3.若方程右边为0,而左边易于分解成两个一次因式的积时,可用因式分解法.
4.若方程一次项系数是二次项系数的偶数倍,可用配方法.
5.若用直接开平方法和因式分解法不能求解时,可用公式法.
素养　思维提升　入境深探　
新知拓展
十字相乘法
　阅读材料:解方程x2+2x-35=0,我们可以按下面的方法解答:
(1)分解因式x2+2x-35 ①竖分二次项与常数项:x2=x·x,-35=(-5)×(+7) ②交叉相乘,验中项: ③横向写出两因式:x2+2x-35=(x-5)(x+7) (2)根据乘法原理,若ab=0,则a=0或b=0,则方程x2+2x-35可以这样求解: 方程左边因式分解得(x-5)(x+7)=0, ∴x-5=0或x+7=0, ∴x1=5,x2=-7
试用上述十字相乘法解下列方程:
(1)x2+5x+4=0;　(2)2x2+x-10=0.
【解析】(1)x2+5x+4=0,(x+1)(x+4)=0,
∴x+1=0或x+4=0,∴x1=-1,x2=-4.
(2)2x2+x-10=0,(2x+5)(x-2)=0,
2x+5=0或x-2=0,∴x1=-,x2=2.25.2.3　因式分解法
【课时目标】
1.理解因式分解法解方程的依据.(抽象能力)
2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.(运算能力)
3.会根据方程的特点选择恰当的方法解一元二次方程.(抽象能力、创新意识)
基础　主干落实　筑牢根基 　
新知要点 对点小练
1.因式分解法 (1)定义:通过因式分解使一元二次方程化为两个 的乘积等于0的形式,再使这两个 分别等于0. 　　　　　 等号右边必须为0 (2)依据:若a·b=0,则 或 . 1.(1)判断(对的画“√”,错的画“×”). ①由(2x-2)(3x-4)=0,可得:2x-2=0或3x-4=0.(　) ②由(x-2)(x-3)=2×3,可得:x-2=2或x-3=3.(　) (2)一元二次方程x2=2x的根是 .
2.一元二次方程各种解法的对比 基本思想都是降次转化 解法特点直接开平方法直接利用平方根的意义配方法先 ,再 公式法直接利用 解方程因式分解法一边化为两个 相乘,另一边为 ,再分别使各 等于0
2.(1)解方程(5-x)2=7(x-5),选择相对合适的方法是( ) A.直接开平方法 B.配方法 C.公式法 D.因式分解法 (2)下列方法中,最适合用于解方程x2-x-3=0的是( ) A.直接开平方法 B.公式法 C.配方法 D.因式分解法
重点　典例研析　启思凝智　
重点1　用因式分解法解一元二次方程(抽象能力、运算能力)
【典例1】用因式分解法解下列方程:
(1)x+1=x(x+1);
(2)(2x-1)2-x2=0.
举一反三
　用因式分解法解下列方程:
(1)x2-6x=0;　　(2)(x+1)2=(2x-1)2.
【解析】(1)因式分解,得x(x-6)=0,
∴x=0或x-6=0,解得:x1=0,x2=6;
(2)(x+1)2-(2x-1)2=0,
因式分解,得(x+1+2x-1)(x+1-2x+1)=0,
∴3x=0或-x+2=0,
解得:x1=0,x2=2.
技法点拨
用因式分解法解一元二次方程的四步骤
重点2　一元二次方程解法的恰当选择(运算能力)
【典例2】用适当的方法解下列方程:
(1)(6x-1)2=25;　 (2)x2-2x=2x-1;
(3)x2-x=2;(4)x(x-7)=8(7-x).
举一反三
1.解下列方程:①2x2-18=0;②2x2-12x-782=0;③3x2+10x+1=0;④2(5x-1)2=2(5x-1).用较简便的方法依次是( )
A.①直接开平方法,②配方法,③公式法,④因式分解法
B.①直接开平方法,②公式法,③④因式分解法
C.①因式分解法,②公式法,③配方法,④因式分解法
D.①直接开平方法,②③公式法,④因式分解法
2.用适当的方法解下列一元二次方程:
(1)3x(x+2)=5(x+2);
(2)2x2+7x+4=0;
(3)16(3x-2)2=(x+5)2.
技法点拨
选择一元二次方程解法的技巧
1.选择顺序:直接开平方法→因式分解法→公式法(或配方法).
2.若方程为(mx+n)2=p(p≥0)型时,用直接开平方法.
3.若方程右边为0,而左边易于分解成两个一次因式的积时,可用因式分解法.
4.若方程一次项系数是二次项系数的偶数倍,可用配方法.
5.若用直接开平方法和因式分解法不能求解时,可用公式法.
素养　思维提升　入境深探　
新知拓展
十字相乘法
　阅读材料:解方程x2+2x-35=0,我们可以按下面的方法解答:
(1)分解因式x2+2x-35 ①竖分二次项与常数项:x2=x·x,-35=(-5)×(+7) ②交叉相乘,验中项: ③横向写出两因式:x2+2x-35=(x-5)(x+7) (2)根据乘法原理,若ab=0,则a=0或b=0,则方程x2+2x-35可以这样求解: 方程左边因式分解得(x-5)(x+7)=0, ∴x-5=0或x+7=0, ∴x1=5,x2=-7
试用上述十字相乘法解下列方程:
(1)x2+5x+4=0;　(2)2x2+x-10=0.

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