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25.2.4　一元二次方程的根与系数的关系
【课时目标】
1.理解一元二次方程的根与系数的关系,能进行简单应用.(抽象能力、运算能力)
2.在一元二次方程根与系数关系的探究过程中,感受由特殊到一般的认识方法.(抽象能力、推理能力)
基础　主干落实　筑牢根基 　
新知要点 对点小练
　一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程:ax2+bx+c=0( ). 两根之和: 与 的比的 x1+x2=-. 应用前提是方程有根 两根之积: 与 的比 x1x2=. 1.若x1,x2是方程x2-6x-7=0的两个根,则( ) A.x1+x2=6　　　　B.x1+x2=-6 C.x1x2= D.x1x2=7 2.已知关于x的方程2x2+px+q=0的两根分别为-3,-1,则q= .
重点　典例研析　启思凝智　
重点1　利用根与系数的关系求代数式的值(运算能力)
【典例1】(教材再开发·P16例5拓展)已知一元二次方程x2+3x-1=0的两实数根分别为α,β,不解方程求下列各式的值.
(1)α3β+αβ3;　　(2)+.
举一反三
1.已知一元二次方程x2+3x-1=0的两实数根分别为α,β,不解方程求下列各式的值.
(1)(α-1)(β-1).　　　(2)α-β.
2.已知x1,x2是方程3x2-2x-7=0的两个根,不解方程,利用根与系数的关系,求下列各式的值:
(1)(x1-x2)2;　　(2) (x1+) (x2+).
重点2　利用根与系数的关系求字母系数的值(运算能力、推理能力)
【典例2】(2025·重庆期中)已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2-3m=0.
(1)若方程有两个实数根,求m的取值范围;
(2)设方程的两个实数根分别为x1,x2,若++4x1x2=36,求m的值.
举一反三
1.(2025·南京期中)一元二次方程x2-3x+m=0的两根分别是x1,x2,且2x1+x2=1,则m的值为 .
2.已知关于x的一元二次方程x2+(m-3)x-m+2=0.
(1)求证:不论m取何值,该方程都有两个不等的实数根;
(2)设方程的两个根分别为x1,x2,且x1>x2,若x1-x2=2,求m的值.
技法点拨
　根据一元二次方程两根的关系,求系数中待定字母值的步骤
素养　思维提升　入境深探　
　火眼金睛(找错并纠正)
关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2+1=0有两个不等的实数根x1,x2,若x1+x2=-x1·x2,求k的值.
【陷阱】 .25.2.4　一元二次方程的根与系数的关系
【课时目标】
1.理解一元二次方程的根与系数的关系,能进行简单应用.(抽象能力、运算能力)
2.在一元二次方程根与系数关系的探究过程中,感受由特殊到一般的认识方法.(抽象能力、推理能力)
基础　主干落实　筑牢根基 　
新知要点 对点小练
　一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程:ax2+bx+c=0(a≠0). 两根之和:一次项系数与二次项系数的比的相反数 x1+x2=-. 应用前提是方程有根 两根之积:常数项与二次项系数的比 x1x2=. 1.若x1,x2是方程x2-6x-7=0的两个根,则(A) A.x1+x2=6　　　　B.x1+x2=-6 C.x1x2= D.x1x2=7 2.已知关于x的方程2x2+px+q=0的两根分别为-3,-1,则q=　6　.
重点　典例研析　启思凝智　
重点1　利用根与系数的关系求代数式的值(运算能力)
【典例1】(教材再开发·P16例5拓展)已知一元二次方程x2+3x-1=0的两实数根分别为α,β,不解方程求下列各式的值.
(1)α3β+αβ3;　　(2)+.
【自主解答】∵α,β是方程x2+3x-1=0的两个实数根,
∴α+β=-3,αβ=-1.
∴α2+β2=(α+β)2-2αβ=(-3)2-2×(-1)=11.
(1)原式=αβ(α2+β2)=-1×11=-11.
(2)原式===-11.
举一反三
1.已知一元二次方程x2+3x-1=0的两实数根分别为α,β,不解方程求下列各式的值.
(1)(α-1)(β-1).　　　(2)α-β.
【解析】∵α,β是方程x2+3x-1=0的两个实数根,
∴α+β=-3,αβ=-1.
(1)原式=αβ-(α+β)+1=(-1)-(-3)+1=3.
(2)原式=±
=±
=±=±.
2.已知x1,x2是方程3x2-2x-7=0的两个根,不解方程,利用根与系数的关系,求下列各式的值:
(1)(x1-x2)2;　　(2) (x1+) (x2+).
【解析】由题意得,x1+x2=,x1x2=-,
(1)(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=()2-4×(-)=.
(2) (x1+) (x2+)=x1x2+2+=-+2-=-.
重点2　利用根与系数的关系求字母系数的值(运算能力、推理能力)
【典例2】(2025·重庆期中)已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2-3m=0.
(1)若方程有两个实数根,求m的取值范围;
(2)设方程的两个实数根分别为x1,x2,若++4x1x2=36,求m的值.
【自主解答】(1)∵该方程有两个实数根,
∴Δ=(2m)2-4(m2-3m)≥0,
∴m≥0.
(2)∵方程的两个实数根分别为x1,x2,
∴x1+x2=-2m,x1·x2=m2-3m,
∴++4x1x2=(x1+x2)2+2x1x2=(-2m)2+2(m2-3m)=36,
解得m=3或-2,
∵m≥0,∴m=3.
举一反三
1.(2025·南京期中)一元二次方程x2-3x+m=0的两根分别是x1,x2,且2x1+x2=1,则m的值为　-10　.
2.已知关于x的一元二次方程x2+(m-3)x-m+2=0.
(1)求证:不论m取何值,该方程都有两个不等的实数根;
(2)设方程的两个根分别为x1,x2,且x1>x2,若x1-x2=2,求m的值.
【解析】(1)∵x2+(m-3)x-m+2=0,
∴Δ=(m-3)2-4××(2-m)=m2-6m+9-4+2m=m2-4m+5=(m-2)2+1>0.
∴不论m取何值,该方程都有两个不等的实数根.
(2)∵x2+(m-3)x-m+2=0的两个根分别为x1,x2,且x1>x2,∴x1+x2=-=-2(m-3)= 6-2m,x1x2=2(-m+2)=4-2m,
∵x1-x2=2,∴(x1-x2)2=40,
即(x1+x2)2-4x1x2=40,∴(6-2m)2-4(4-2m)=40,解得:m=5或m=-1.
技法点拨
　根据一元二次方程两根的关系,求系数中待定字母值的步骤
素养　思维提升　入境深探　
　火眼金睛(找错并纠正)
关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2+1=0有两个不等的实数根x1,x2,若x1+x2=-x1·x2,求k的值.
【陷阱】根据根与系数的关系求出字母参数值后,注意还需检验是否符合判别式的要求.
正解:∵一元二次方程x2+(2k+1)x+k2+1=0有两个不等的实数根,
∴Δ=(2k+1)2-4(k2+1)=4k-3>0,
解得:k>,由根与系数的关系可得:x1+x2=-(2k+1),x1x2=k2+1,∵x1+x2=-x1x2,
∴-(2k+1)=-(k2+1),解得:k1=0,k2=2,
∵k>,∴k=2.

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