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26.2　二次函数的图象和性质
26.2.1　二次函数y=ax2的图象和性质
【课时目标】
1.正确理解抛物线的有关概念.(抽象能力)
2.会用描点法画出二次函数y=ax2的图象,概括出图象的特点.(几何直观、抽象能力)
3.能根据图象说出抛物线y=ax2的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、增减性等性质.(抽象能力、几何直观、推理能力)
基础　主干落实　筑牢根基 　
新知要点 对点小练
二次函数y=ax2的图象和性质 抛物线y=ax2(a>0)y=ax2(a<0)图象开口方向向上向下对称轴y轴(直线x=0)顶点坐标(0,0)增减性 对称轴两侧
增减性相反当x<0时,y随x的增大而减小;当x>0时,y随x的增大而增大当x<0时,y随x的增大而增大;当x>0时,y随x的增大而减小最值当x=0时,y最小=0当x=0时,y最大=0区别与 联系抛物线y=ax2(a>0)与y=ax2(a<0)关于x轴对称,对称轴都为y轴,形状相同,开口方向相反
1.关于二次函数y=2x2,下列说法正确的是( ) A.图象开口方向向下 B.当x>0时,y随x的增大而减小 C.对称轴是直线x=2 D.当x=0时,y有最小值,最小值是0 2.函数y=5x2,y=-9x2的共同特征是( ) A.开口都向上,且都关于y轴对称 B.开口都向下,且都关于x轴对称 C.顶点都是原点,且都关于y轴对称 D.顶点都是原点,且都关于x轴对称 3.已知二次函数y=-x2,当x>0时,y随x的增大而　减小　.(填“增大”或“减小”)
重点　典例研析　启思凝智　
重点1　二次函数y=ax2的图象和性质(抽象能力、几何直观)
【典例1】(教材再开发·P35“归纳”拓展)若函数y=(k-1)是关于x的二次函数,且图象开口向下,求k.
举一反三
1.(根据增减性求参数)若函数y=(k+1)是关于x的二次函数,且图象在对称轴右侧时,y随x的增大而增大,求k.
2.(根据最值求参数)已知函数y=(k-2)是关于x的二次函数,当k为何值时,函数有最大值 当k为何值时,函数有最小值
技法点拨
二次函数y=ax2的“两关系四对等”
1.a>0 开口向上 有最小值
2.a<0 开口向下 有最大值
重点2　求二次函数y=ax2的解析式(抽象能力、运算能力)
【典例2】已知二次函数的图象顶点坐标是(0,0),且经过(-3,18).
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)判断点P(4,32)是否在二次函数的图象上.
举一反三
已知抛物线y=ax2经过点A(-2,-8).
(1)求此抛物线的函数解析式;
(2)写出这个二次函数图象的顶点坐标、对称轴;
(3)求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.
技法点拨
函数问题数量之间的对应关系
素养　思维提升　入境深探　
火眼金睛(找错并纠正)
已知A(-1,y1),B(-2,y2),C(3,y3)三点都在二次函数y=-x2的图象上,求y1,y2,y3的大小关系.26.2　二次函数的图象和性质
26.2.1　二次函数y=ax2的图象和性质
【课时目标】
1.正确理解抛物线的有关概念.(抽象能力)
2.会用描点法画出二次函数y=ax2的图象,概括出图象的特点.(几何直观、抽象能力)
3.能根据图象说出抛物线y=ax2的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、增减性等性质.(抽象能力、几何直观、推理能力)
基础　主干落实　筑牢根基 　
新知要点 对点小练
二次函数y=ax2的图象和性质 抛物线y=ax2(a>0)y=ax2(a<0)图象开口方向向上向下对称轴y轴(直线x=0)顶点坐标(0,0)增减性 对称轴两侧
增减性相反当x<0时,y随x的增大而减小;当x>0时,y随x的增大而增大当x<0时,y随x的增大而增大;当x>0时,y随x的增大而减小最值当x=0时,y最小=0当x=0时,y最大=0区别与 联系抛物线y=ax2(a>0)与y=ax2(a<0)关于x轴对称,对称轴都为y轴,形状相同,开口方向相反
1.关于二次函数y=2x2,下列说法正确的是(D) A.图象开口方向向下 B.当x>0时,y随x的增大而减小 C.对称轴是直线x=2 D.当x=0时,y有最小值,最小值是0 2.函数y=5x2,y=-9x2的共同特征是(C) A.开口都向上,且都关于y轴对称 B.开口都向下,且都关于x轴对称 C.顶点都是原点,且都关于y轴对称 D.顶点都是原点,且都关于x轴对称 3.已知二次函数y=-x2,当x>0时,y随x的增大而　减小　.(填“增大”或“减小”)
重点　典例研析　启思凝智　
重点1　二次函数y=ax2的图象和性质(抽象能力、几何直观)
【典例1】(教材再开发·P35“归纳”拓展)若函数y=(k-1)是关于x的二次函数,且图象开口向下,求k.
【自主解答】由y=(k-1)是关于x的二次函数,且图象开口向下得,,解得k=-3.
举一反三
1.(根据增减性求参数)若函数y=(k+1)是关于x的二次函数,且图象在对称轴右侧时,y随x的增大而增大,求k.
【解析】由y=(k+1)是关于x的二次函数,且图象在对称轴右侧时,y随x的增大而增大得,,解得k=2.
2.(根据最值求参数)已知函数y=(k-2)是关于x的二次函数,当k为何值时,函数有最大值 当k为何值时,函数有最小值
【解析】根据题意得:k2-4k+5=2,且k-2≠0,解得k1=1,k2=3.
当k=1时,k-2=-1<0,抛物线开口向下,函数有最大值;
当k=3时,k-2=1>0,抛物线开口向上,函数有最小值.
技法点拨
二次函数y=ax2的“两关系四对等”
1.a>0 开口向上 有最小值
2.a<0 开口向下 有最大值
重点2　求二次函数y=ax2的解析式(抽象能力、运算能力)
【典例2】已知二次函数的图象顶点坐标是(0,0),且经过(-3,18).
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)判断点P(4,32)是否在二次函数的图象上.
【自主解答】(1)∵顶点坐标是(0,0),则可设y=ax2,把(-3,18)代入y=ax2,得a=2,
∴二次函数的解析式为y=2x2.
(2)当x=4时,y=32,
∴点P(4,32)在二次函数的图象上.
举一反三
已知抛物线y=ax2经过点A(-2,-8).
(1)求此抛物线的函数解析式;
(2)写出这个二次函数图象的顶点坐标、对称轴;
(3)求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.
【解析】(1)∵抛物线y=ax2经过点A(-2,-8),
∴a·(-2)2=-8,∴a=-2,
∴此抛物线对应的函数解析式为y=-2x2.
(2)该抛物线的顶点坐标为(0,0),对称轴为y轴.
(3)把y=-6代入y=-2x2得,-6=-2x2,
解得x=±,∴抛物线上纵坐标为-6的点的坐标为(,-6),(-,-6).
技法点拨
函数问题数量之间的对应关系
素养　思维提升　入境深探　
火眼金睛(找错并纠正)
已知A(-1,y1),B(-2,y2),C(3,y3)三点都在二次函数y=-x2的图象上,求y1,y2,y3的大小关系.
【陷阱】　忽略抛物线对称轴两边的点,其增减性情况相反　.
正解:∵y=-x2的图象关于y轴对称,
∴x=3与x=-3的纵坐标都是y3.
∵a=-<0,∴图象开口向下.
∴-3<-2<-1<0,∴y3

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