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第2课时　二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
【课时目标】
1.能画出y=a(x-h)2+k (a≠0)的图象.(几何直观)
2.理解二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)与y=ax2(a≠0)之间的联系.(几何直观、抽象能力)
3.能说出抛物线y=a(x-h)2+k的开口方向、对称轴、顶点、最值和增减性.(几何直观、抽象能力、推理能力)
基础　主干落实　筑牢根基 　
新知要点 对点小练
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 抛物线y=a(x-h)2+k(a>0)y=a(x-h)2+k(a<0)顶点坐标(h,k)(h,k)对称轴直线x=h直线x=h位置由h和k的符号确定由h和k的符号确定开口方向向上向下增减性在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小 在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大 在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小最值当x=h时,最小值为k当x=h时,最大值为k
1.把抛物线y=x2先向右平移6个单位长度,再向下平移3个单位长度,所得到的抛物线的解析式为(D) A.y=(x+6)2+3 B.y=(x-6)2+3 C.y=(x+6)2-3 D.y=(x-6)2-3 2.下列关于二次函数y=(x+2)2-3的图象,说法正确的是　①③　.(填序号) ①图象开口向上; ②顶点坐标为(2,-3); ③当x=-2时,有最小值-3; ④对称轴是直线x=2.
重点　典例研析　启思凝智　
重点1　抛物线的平移(几何直观、抽象能力)
【典例1】(教材再开发·P40探究拓展)将抛物线y=(x-1)2+2先向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,试确定平移后的抛物线的解析式,并写出其对称轴和顶点坐标.
【自主解答】将抛物线y=(x-1)2+2先向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度后的解析式为y=(x-1+2)2+2-3,即y=(x+1)2-1,∴平移后的抛物线的对称轴为直线x=-1,顶点坐标为(-1,-1).
举一反三
　(逆向思维)要得到y=-x2+1的图象只需通过平移y=-(x+1)2-2的图象,下列平移方法正确的是(B)
A.向左平移1个单位长度,向上平移3个单位长度
B.向右平移1个单位长度,向上平移3个单位长度
C.向左平移1个单位长度,向下平移3个单位长度
D.向右平移1个单位长度,向下平移3个单位长度
技法点拨
抛物线y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象是由抛物线y=ax2(a≠0)平移得到的.在平移的过程中,a的值不发生变化,变化的只是顶点的位置.
重点2　二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质(几何直观、抽象能力)
【典例2】若点A(0,y1),B(-3,y2),C(1,y3)为二次函数y=(x+2)2-9的图象上的三点,则y1,y2,y3的大小关系是　y2举一反三
1.对于抛物线y=-5(x+1)2-2的说法正确的是(D)
A.开口向上
B.顶点坐标是(1,-2)
C.对称轴是直线x=1
D.当x<-1时,y随x的增大而增大
2.(2025·广州一模)若点A(-1,y1),B(,y2),C(2,y3)在抛物线y=(x-2)2+k上,则y1,y2,y3的大小关系为　y1>y2>y3　(用“>”连接).
技法点拨
利用y=a(x-h)2+k的性质比较
二次函数值大小的方法
(1)代入比较法:将x值代入解析式,求出y值.
(2)增减比较法:
①当几个点在对称轴同侧时:
当a>0时,x1②当几个点在对称轴异侧时:
若几个点不在对称轴的同侧,则通过轴对称,把它们转化到对称轴同侧.
(3)距离比较法:根据距离对称轴的远近判断.
a>0时,点与对称轴的距离越近,函数值越小 a<0时,点与对称轴的距离越近,函数值越大
素养　思维提升　入境深探　
火眼金睛(找错并纠正)
把抛物线y=a(x+h)2+k先向左平移2个单位长度,再向上平移4个单位长度,得到抛物线y=(x+1)2-1.试确定a,h,k的值.
【陷阱】　关于抛物线平移没有分清起点抛物线和终点抛物线,平移方向弄反导致错误发生　.
正解: ∵抛物线y=a(x+h)2+k先向左平移2个单位长度,再向上平移4个单位长度,得到抛物线y=(x+1)2-1,
∴抛物线y=(x+1)2-1先向右平移2个单位长度,再向下平移4个单位长度,会得到抛物线y=a(x+h)2+k,
∴a=,-h=-1+2,k=-1-4,∴a=,h=-1,k=-5.第2课时　二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
【课时目标】
1.能画出y=a(x-h)2+k (a≠0)的图象.(几何直观)
2.理解二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)与y=ax2(a≠0)之间的联系.(几何直观、抽象能力)
3.能说出抛物线y=a(x-h)2+k的开口方向、对称轴、顶点、最值和增减性.(几何直观、抽象能力、推理能力)
基础　主干落实　筑牢根基 　
新知要点 对点小练
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 抛物线y=a(x-h)2+k(a>0)y=a(x-h)2+k(a<0)顶点坐标(h,k)(h,k)对称轴直线x=h直线x=h位置由h和k的符号确定由h和k的符号确定开口方向向上向下增减性在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小 在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大 在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小最值当x=h时,最小值为k当x=h时,最大值为k
1.把抛物线y=x2先向右平移6个单位长度,再向下平移3个单位长度,所得到的抛物线的解析式为( ) A.y=(x+6)2+3 B.y=(x-6)2+3 C.y=(x+6)2-3 D.y=(x-6)2-3 2.下列关于二次函数y=(x+2)2-3的图象,说法正确的是　 　.(填序号) ①图象开口向上; ②顶点坐标为(2,-3); ③当x=-2时,有最小值-3; ④对称轴是直线x=2.
重点　典例研析　启思凝智　
重点1　抛物线的平移(几何直观、抽象能力)
【典例1】(教材再开发·P40探究拓展)将抛物线y=(x-1)2+2先向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,试确定平移后的抛物线的解析式,并写出其对称轴和顶点坐标.
举一反三
　(逆向思维)要得到y=-x2+1的图象只需通过平移y=-(x+1)2-2的图象,下列平移方法正确的是( )
A.向左平移1个单位长度,向上平移3个单位长度
B.向右平移1个单位长度,向上平移3个单位长度
C.向左平移1个单位长度,向下平移3个单位长度
D.向右平移1个单位长度,向下平移3个单位长度
技法点拨
抛物线y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象是由抛物线y=ax2(a≠0)平移得到的.在平移的过程中,a的值不发生变化,变化的只是顶点的位置.
重点2　二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质(几何直观、抽象能力)
【典例2】若点A(0,y1),B(-3,y2),C(1,y3)为二次函数y=(x+2)2-9的图象上的三点,则y1,y2,y3的大小关系是　 　.
举一反三
1.对于抛物线y=-5(x+1)2-2的说法正确的是( )
A.开口向上
B.顶点坐标是(1,-2)
C.对称轴是直线x=1
D.当x<-1时,y随x的增大而增大
2.(2025·广州一模)若点A(-1,y1),B(,y2),C(2,y3)在抛物线y=(x-2)2+k上,则y1,y2,y3的大小关系为　 (用“>”连接).
技法点拨
利用y=a(x-h)2+k的性质比较
二次函数值大小的方法
(1)代入比较法:将x值代入解析式,求出y值.
(2)增减比较法:
①当几个点在对称轴同侧时:
当a>0时,x1②当几个点在对称轴异侧时:
若几个点不在对称轴的同侧,则通过轴对称,把它们转化到对称轴同侧.
(3)距离比较法:根据距离对称轴的远近判断.
a>0时,点与对称轴的距离越近,函数值越小 a<0时,点与对称轴的距离越近,函数值越大
素养　思维提升　入境深探　
火眼金睛(找错并纠正)
把抛物线y=a(x+h)2+k先向左平移2个单位长度,再向上平移4个单位长度,得到抛物线y=(x+1)2-1.试确定a,h,k的值.26.2.2　二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
第1课时　二次函数y=ax2+k及y=a(x-h)2的图象和性质
【课时目标】
1.会画二次函数y=ax2+k和y=a(x-h)2的图象.(几何直观)
2.理解抛物线y=ax2与抛物线 y=ax2+k和y=a(x-h)2之间的联系.(几何直观、抽象能力)
3.能说出抛物线y=ax2+k和y=a(x-h)2的开口方向、对称轴、顶点、最值和增减性.(几何直观、抽象能力、推理能力)
基础　主干落实　筑牢根基 　
新知要点 对点小练
1.二次函数y=ax2+k的图象和性质 y=ax2+ka>0a<0开口方向向上向下对称轴y轴(直线x=0)顶点坐标(0,k)最值当x=0时, y最小值=k当x=0时, y最大值=k增减性当x<0时,y随x的增大而减小;x>0时,y随x的增大而增大当x>0时,y随x的增大而减小;x<0时,y随x的增大而增大
1.(1)如图,二次函数y=2x2+1的图象是(A) (2)抛物线y=-x2-3的开口向　下　,顶点坐标是　(0,-3)　.
2.二次函数y=a(x-h)2的图象和性质 y= a(x-h)2a>0a<0开口方向向上向下对称轴直线x=h顶点坐标(h,0)最值当x=h时, y最小值=0当x=h时, y最大值=0增减性 　　　　　 对称轴的 两侧增减 性相反 当xh时,y随x的增大而增大当x>h时,y随x的增大而减小;x2.(1)抛物线y=-(x-2)2可以看作是将抛物线y=-x2(B) A.向左平移2个单位长度得到的 B.向右平移2个单位长度得到的 C.向上平移2个单位长度得到的 D.向下平移2个单位长度得到的 　(2)二次函数y=(x-1)2的对称轴是直线　x=1　,当　x>1　时,y随x的增大而增大.
重点　典例研析　启思凝智　
重点1　二次函数y=ax2+k的图象和性质(几何直观、抽象能力)
【典例1】(教材再开发·P38“练习”拓展)已知二次函数y=-x2+5.
(1)写出它的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和最值;
(2)若点(x1,y1),(x2,y2)在该二次函数的图象上,且x1>x2>0,试比较y1与y2的大小;
(3)抛物线y=-x2-1可以由抛物线y=-x2+5平移得到吗 如果可以,写出平移的方法;如果不可以,请说明理由.
【自主解答】(1)∵a=-<0,∴它的图象的开口向下,对称轴为y轴,顶点坐标为(0,5),
当x=0时,y最大值=5.
(2)∵抛物线的开口向下,对称轴为y轴,
∴当x>0时,y随x的增大而减小,
故当x1>x2>0时,y1(3)抛物线y=-x2-1可以由抛物线y=-x2+5平移得到,其平移方法是将抛物线y=-x2+5向下平移6个单位长度.
举一反三
不画函数y=3x2和y=3x2-1的图象,回答下面的问题:
(1)抛物线y=3x2-1经过怎样的平移才能得到抛物线y=3x2
(2)函数y=3x2-1,当x　　　时,y随x的增大而增大;当x　　　时,函数y有最小值,最小值是　　　;其图象与y轴的交点坐标是　　　,与x轴的交点坐标是_________.
【解析】(1)根据抛物线平移的知识,可知y=3x2-1向上平移1个单位长度才能得到抛物线y=3x2.
(2)当x=0时,y=-1;当y=0时,3x2-1=0,解得x=±.
函数y=3x2-1,当x>0时,y随x的增大而增大;当x=0时,函数y有最小值,最小值是-1;其图象与y轴的交点坐标是(0,-1),与x轴的交点坐标是(,0),(-,0).
答案:>0　=0　-1　(0,-1)　(,0),(-,0)
重点2　二次函数y=a(x-h)2的图象和性质(几何直观、抽象能力)
【典例2】(教材再开发·P39“练习”拓展)已知二次函数y=(x-3)2.
(1)写出该二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和该函数的最值.
(2)若点A(x1,y1),B(x2,y2)位于对称轴右侧的抛物线上,且x1(3)抛物线y=(x+7)2可以由抛物线y=(x-3)2平移得到吗 如果可以,请写出平移的方法;如果不可以,请说明理由.
【自主解答】(1)由题意,∵二次函数y=(x-3)2,
∴该二次函数图象的开口向上,对称轴是直线x=3,顶点坐标为(3,0),该函数有最小值,最小值为0.
(2)由题意,∵二次函数y=(x-3)2,
∴当x>3时,y随x的增大而增大.
∵点A(x1,y1),B(x2,y2)位于对称轴右侧,且x1∴y1(3)由题意,按照“左加右减,上加下减”的规律进行判断,
∵x-3+10=x+7,∴抛物线y=(x+7)2可以由抛物线y=(x-3)2向左平移10个单位长度得到.
举一反三
已知二次函数y=a(x-h)2的图象向左平移2个单位长度,得到抛物线y=-(x+1)2的图象.
(1)试确定a,h的值;
(2)指出二次函数y=a(x-h)2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
【解析】(1)二次函数y=-(x+1)2的图象的顶点坐标为(-1,0),把点(-1,0)向右平移2个单位长度得到点的坐标为(1,0),所以原二次函数的解析式为y=-(x-1)2,所以a=-,h=1;
(2)二次函数y=a(x-h)2,即y=-(x-1)2,图象开口向下,对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,0).26.2.2　二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
第1课时　二次函数y=ax2+k及y=a(x-h)2的图象和性质
【课时目标】
1.会画二次函数y=ax2+k和y=a(x-h)2的图象.(几何直观)
2.理解抛物线y=ax2与抛物线 y=ax2+k和y=a(x-h)2之间的联系.(几何直观、抽象能力)
3.能说出抛物线y=ax2+k和y=a(x-h)2的开口方向、对称轴、顶点、最值和增减性.(几何直观、抽象能力、推理能力)
基础　主干落实　筑牢根基 　
新知要点 对点小练
1.二次函数y=ax2+k的图象和性质 y=ax2+ka>0a<0开口方向向上向下对称轴y轴(直线x=0)顶点坐标(0,k)最值当x=0时, y最小值=k当x=0时, y最大值=k增减性当x<0时,y随x的增大而减小;x>0时,y随x的增大而增大当x>0时,y随x的增大而减小;x<0时,y随x的增大而增大
1.(1)如图,二次函数y=2x2+1的图象是( ) (2)抛物线y=-x2-3的开口向　 　,顶点坐标是　 　.
2.二次函数y=a(x-h)2的图象和性质 y= a(x-h)2a>0a<0开口方向向上向下对称轴直线x=h顶点坐标(h,0)最值当x=h时, y最小值=0当x=h时, y最大值=0增减性 　　　　　 对称轴的 两侧增减 性相反 当xh时,y随x的增大而增大当x>h时,y随x的增大而减小;x2.(1)抛物线y=-(x-2)2可以看作是将抛物线y=-x2( ) A.向左平移2个单位长度得到的 B.向右平移2个单位长度得到的 C.向上平移2个单位长度得到的 D.向下平移2个单位长度得到的 　(2)二次函数y=(x-1)2的对称轴是直线　 　,当　 　时,y随x的增大而增大.
重点　典例研析　启思凝智　
重点1　二次函数y=ax2+k的图象和性质(几何直观、抽象能力)
【典例1】(教材再开发·P38“练习”拓展)已知二次函数y=-x2+5.
(1)写出它的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和最值;
(2)若点(x1,y1),(x2,y2)在该二次函数的图象上,且x1>x2>0,试比较y1与y2的大小;
(3)抛物线y=-x2-1可以由抛物线y=-x2+5平移得到吗 如果可以,写出平移的方法;如果不可以,请说明理由.
举一反三
不画函数y=3x2和y=3x2-1的图象,回答下面的问题:
(1)抛物线y=3x2-1经过怎样的平移才能得到抛物线y=3x2
(2)函数y=3x2-1,当x　　　时,y随x的增大而增大;当x　　　时,函数y有最小值,最小值是　　　;其图象与y轴的交点坐标是　　　,与x轴的交点坐标是_________.
重点2　二次函数y=a(x-h)2的图象和性质(几何直观、抽象能力)
【典例2】(教材再开发·P39“练习”拓展)已知二次函数y=(x-3)2.
(1)写出该二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和该函数的最值.
(2)若点A(x1,y1),B(x2,y2)位于对称轴右侧的抛物线上,且x1(3)抛物线y=(x+7)2可以由抛物线y=(x-3)2平移得到吗 如果可以,请写出平移的方法;如果不可以,请说明理由.
举一反三
已知二次函数y=a(x-h)2的图象向左平移2个单位长度,得到抛物线y=-(x+1)2的图象.
(1)试确定a,h的值;
(2)指出二次函数y=a(x-h)2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.

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