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第2课时　待定系数法求二次函数的解析式
【课时目标】
1.会用待定系数法求二次函数的解析式.(运算能力、模型观念)
2.灵活应用一般式、顶点式等求二次函数的解析式.(运算能力、创新意识)
基础　主干落实　筑牢根基 　
新知要点 对点小练
1.二次函数解析式的三种形式 形式内容一般式y=ax2+bx+c(a≠0)顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0)交点式y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)
1.已知二次函数y=ax2+bx的图象经过点(-2,8)和(-1,5),则这个二次函数的解析式为( ) A.y=-x2+6x B.y=x2+6x C.y=-x2-6x D.y=x2-6x
2.灵活选择设法求二次函数解析式 (1)已知三个一般点的坐标,设一般式y=ax2+bx+c(a≠0)求解析式. (2)已知抛物线的顶点坐标、对称轴或最值,设顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0)求解析式. (3)已知抛物线与x轴的交点坐标,设交点式y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)求解析式. 2.顶点为点M(-2,1),且图象经过原点的二次函数解析式是( ) A.y=(x-2)2+1 B.y=-(x+2)2+1 C.y=(x+2)2+1 D.y=(x-2)2+1
重点　典例研析　启思凝智　
重点1　设一般式求二次函数解析式(运算能力、模型观念)
【典例1】(教材再开发·P45习题26.2T8拓展)已知抛物线经过点A(-1,6),B(1,-2), C(0,1).
(1)求该抛物线的解析式及其对称轴l;
(2)如果点A与点D关于对称轴l对称,连接AB,BD,求△ABD的面积.
举一反三
　二次函数的图象经过点A(0,-3),B(2,-3),C(-1,0).
(1)求此二次函数的关系式;
(2)求此二次函数图象的顶点坐标;
(3)填空:把二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移_________个单位长度,使得该图象的顶点在原点.
技法点拨
设一般式求二次函数解析式的一般步骤
重点2　用顶点式、交点式求二次函数解析式(运算能力、创新意识)
【典例2】已知抛物线与x轴交于M(-1,0),N(3,0),顶点的纵坐标为-8,用两种不同的方法求二次函数的解析式.
举一反三
1.已知二次函数y=ax2+bx+c,当x=-3时,函数取得最值4,当x=1时,y=-8,则函数解析式为　y=-x2-x-　.
2.已知二次函数的图象与x轴的两个交点坐标分别为(-1,0),(2,0),与y轴的交点坐标为(0,-2),求二次函数的解析式.
技法点拨
　若已知抛物线上任意三个点的坐标,设一般式y=ax2+bx+c(a≠0);
若已知顶点在原点,设y=ax2(a≠0);
若已知顶点在y轴上,设y=ax2+k(a≠0);
若已知抛物线过原点,设y=ax2+bx(a≠0);
若已知抛物线的顶点坐标或对称轴与最大(小)值,设顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0);
若已知顶点在x轴上,或抛物线与x轴只有一个交点,设y=a(x-h)2(a≠0).
素养　思维提升　入境深探　
一题多解
　已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示:
x … -3 -2 -1 0 1 …
y … 0 -3 -4 -3 0 …
求这个二次函数的解析式.26.2.3　二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
第1课时　二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
【课时目标】
1.会用配方法将一般式y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x-h)2+k.(运算能力)
2.能熟练求出二次函数一般式y=ax2+bx+c的顶点坐标、对称轴,说出它的开口、最值、增减性等.(运算能力、抽象能力)
3.能根据所给的自变量的取值范围画二次函数的图象.(几何直观、模型观念)
基础　主干落实　筑牢根基 　
新知要点 对点小练
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 1.判断(对的打“√”,错的打“×”). (1)抛物线y=ax2+c对称轴是y轴.(√) (2)抛物线y=ax2+bx的图象经过原点.(√) (3)a,b同号时抛物线y=ax2+bx+c的对称轴在y轴右侧.(×) 2.关于二次函数y=-x2+2x+1,下列说法正确的是(D) A.图象开口向上 B.当x>1时,y随x的增大而增大 C.有最小值2 D.顶点坐标是(1,2) 3.将二次函数y=2x2+4x-6写成y=a(x-h)2+k的形式为　y=2(x+1)2-8　.
重点　典例研析　启思凝智　
重点1　二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(几何直观、抽象能力、运算能力)
【典例1】(教材再开发·P43练习拓展)已知二次函数y=-x2-x+.
(1)用配方法把这个二次函数的解析式化为y=a(x-h)2+k的形式;
(2)写出这个二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴;
(3)将二次函数y=-x2的图象如何平移能得到二次函数y=-x2-x+的图象 请写出平移方法.
【自主解答】(1)y=-x2-x+=-(x2+2x+1-1)+=-(x+1)2+4;
(2)∵a=-<0,∴该抛物线的开口向下,由y=-(x+1)2+4知,抛物线的顶点坐标是(-1,4),对称轴为直线x=-1;
(3)将y=-x2的图象先向左平移1个单位长度,再向上平移4个单位长度即可.
举一反三
1.二次函数y=2x2+8x+7的图象是(C)
2.已知二次函数y=-x2-6x-10.下列说法:①其图象的对称轴为直线x=-3;②其图象顶点坐标为(3,-1);③当x<-4时,y随x的增大而减小;④该函数图象与y轴的交点为(0,-1).则其中说法正确的有　①　(填序号).
技法点拨
根据一般式确定二次函数图象特征的两个方法
1.配方得到顶点式,然后确定顶点、对称轴、最值等.
2.先确定系数a,b,c,然后套用公式求出顶点、对称轴、最值等.
重点2　抛物线y=ax2+bx+c与系数的对应关系(抽象能力、几何直观、推理能力)
【典例2】(2025·凉山州中考)二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示,其对称轴为x=2,且图象经过点(6,0),则下列结论错误的是(D)
A.bc>0
B.4a+b=0
C.若a+bx1=a+bx2且x1≠x2,则x1+x2=4
D.若(-1,y1),(3,y2)两点都在y=ax2+bx+c的图象上,则y2举一反三
抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论中正确的是　②④　.(填序号)
①abc>0;②a+b+c=2;③b>2a;④b>1.
技法点拨
根据二次函数图象确定字母系数取值范围的策略
(1)由口诀“上正下负”“左同右异”推断a,b,c的符号.
(2)结合图象,通过给x赋值,判断“a+b+c”“a-b+c”“4a+2b+c”“4a-2b+c”等式子的正负.
(3)当式子是由a,b组成的不等式时,通常可以通过对称轴解得.
(4)当式子是由a,c或b,c组成的不等式时,通常可以通过一个等式和一个不等式或两个不等式联立解得.
素养　思维提升　入境深探　
函数整合
问题 一次函数y=ax+b(a≠0)与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象在同一平面直角坐标系中的判定
图示 ① ②
分析 方法1:分别由直线和抛物线的位置确定出a,b的符号,看是否统一
方法2:先假设直线正确,得到a,b的符号,再看抛物线是否正确
结论 图①不正确,图②正确
尝试探索
一次函数y=ax+b(a≠0)与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(B)第2课时　待定系数法求二次函数的解析式
【课时目标】
1.会用待定系数法求二次函数的解析式.(运算能力、模型观念)
2.灵活应用一般式、顶点式等求二次函数的解析式.(运算能力、创新意识)
基础　主干落实　筑牢根基 　
新知要点 对点小练
1.二次函数解析式的三种形式 形式内容一般式y=ax2+bx+c(a≠0)顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0)交点式y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)
1.已知二次函数y=ax2+bx的图象经过点(-2,8)和(-1,5),则这个二次函数的解析式为(C) A.y=-x2+6x B.y=x2+6x C.y=-x2-6x D.y=x2-6x
2.灵活选择设法求二次函数解析式 (1)已知三个一般点的坐标,设一般式y=ax2+bx+c(a≠0)求解析式. (2)已知抛物线的顶点坐标、对称轴或最值,设顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0)求解析式. (3)已知抛物线与x轴的交点坐标,设交点式y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)求解析式. 2.顶点为点M(-2,1),且图象经过原点的二次函数解析式是(B) A.y=(x-2)2+1 B.y=-(x+2)2+1 C.y=(x+2)2+1 D.y=(x-2)2+1
重点　典例研析　启思凝智　
重点1　设一般式求二次函数解析式(运算能力、模型观念)
【典例1】(教材再开发·P45习题26.2T8拓展)已知抛物线经过点A(-1,6),B(1,-2), C(0,1).
(1)求该抛物线的解析式及其对称轴l;
(2)如果点A与点D关于对称轴l对称,连接AB,BD,求△ABD的面积.
【自主解答】(1)设该抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),将A(-1,6),B(1,-2),C(0,1)代入得:
,解得,
所以y=x2-4x+1,对称轴为直线x=-=2.
(2)由题意知点D坐标为(5,6),则AD=6,△ABD的面积为×6×[6-(-2)]=24.
举一反三
　二次函数的图象经过点A(0,-3),B(2,-3),C(-1,0).
(1)求此二次函数的关系式;
(2)求此二次函数图象的顶点坐标;
(3)填空:把二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移_________个单位长度,使得该图象的顶点在原点.
【解析】(1)设此二次函数的关系式为y=ax2+bx-3,把点(2,-3),(-1,0)代入得,解得,
则y=x2-2x-3;
(2)y=x2-2x-3=(x-1)2-4,故该函数的顶点坐标为(1,-4);
(3)|1-0|+|-4-0|=5.
答案:5
技法点拨
设一般式求二次函数解析式的一般步骤
重点2　用顶点式、交点式求二次函数解析式(运算能力、创新意识)
【典例2】已知抛物线与x轴交于M(-1,0),N(3,0),顶点的纵坐标为-8,用两种不同的方法求二次函数的解析式.
【自主解答】方法一:∵抛物线与x轴交于M(-1,0),N(3,0),∴抛物线的对称轴为直线x=1,
∴抛物线顶点坐标为(1,-8),
设抛物线解析式为y=a(x-1)2-8,
把(-1,0)代入得a(-1-1)2-8=0,解得a=2,
∴抛物线解析式为y=2(x-1)2-8=2x2-4x-6.
方法二:∵抛物线与x轴交于M(-1,0),N(3,0),
∴可设抛物线解析式为y=a(x+1)(x-3),
∵抛物线顶点坐标为(1,-8),
∴把(1,-8)代入得a(1+1)(1-3)=-8,解得a=2,
∴抛物线解析式为y=2(x+1)(x-3)=2x2-4x-6.
举一反三
1.已知二次函数y=ax2+bx+c,当x=-3时,函数取得最值4,当x=1时,y=-8,则函数解析式为　y=-x2-x-　.
2.已知二次函数的图象与x轴的两个交点坐标分别为(-1,0),(2,0),与y轴的交点坐标为(0,-2),求二次函数的解析式.
【解析】设二次函数的解析式为y=a(x+1)(x-2),把(0,-2)代入得a·1·(-2)=-2,
解得a=1,所以二次函数的解析式为y=(x+1)(x-2),即y=x2-x-2.
技法点拨
　若已知抛物线上任意三个点的坐标,设一般式y=ax2+bx+c(a≠0);
若已知顶点在原点,设y=ax2(a≠0);
若已知顶点在y轴上,设y=ax2+k(a≠0);
若已知抛物线过原点,设y=ax2+bx(a≠0);
若已知抛物线的顶点坐标或对称轴与最大(小)值,设顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0);
若已知顶点在x轴上,或抛物线与x轴只有一个交点,设y=a(x-h)2(a≠0).
素养　思维提升　入境深探　
一题多解
　已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示:
x … -3 -2 -1 0 1 …
y … 0 -3 -4 -3 0 …
求这个二次函数的解析式.
【解析】方法一(设顶点式)由题意可得二次函数的顶点坐标为(-1,-4),
设二次函数的解析式为y=a(x+1)2-4,
把点(0,-3)代入y=a(x+1)2-4,得a=1,
故二次函数的解析式为y=(x+1)2-4,即y=x2+2x-3.
方法二(设一般式)设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,
∵点(-3,0),(1,0),(-1,-4)在二次函数y=ax2+bx+c的图象上,
∴,解得,
∴二次函数的解析式为y=x2+2x-3.
方法三(设交点式)设二次函数的解析式为y=a(x+3)(x-1),
把点(-1,-4)代入得-4a=-4,∴a=1,
∴二次函数的解析式为y=(x+3)(x-1),
即y=x2+2x-3.26.2.3　二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
第1课时　二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
【课时目标】
1.会用配方法将一般式y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x-h)2+k.(运算能力)
2.能熟练求出二次函数一般式y=ax2+bx+c的顶点坐标、对称轴,说出它的开口、最值、增减性等.(运算能力、抽象能力)
3.能根据所给的自变量的取值范围画二次函数的图象.(几何直观、模型观念)
基础　主干落实　筑牢根基 　
新知要点 对点小练
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 1.判断(对的打“√”,错的打“×”). (1)抛物线y=ax2+c对称轴是y轴.(　) (2)抛物线y=ax2+bx的图象经过原点.(　) (3)a,b同号时抛物线y=ax2+bx+c的对称轴在y轴右侧.(　) 2.关于二次函数y=-x2+2x+1,下列说法正确的是( ) A.图象开口向上 B.当x>1时,y随x的增大而增大 C.有最小值2 D.顶点坐标是(1,2) 3.将二次函数y=2x2+4x-6写成y=a(x-h)2+k的形式为　 　.
重点　典例研析　启思凝智　
重点1　二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(几何直观、抽象能力、运算能力)
【典例1】(教材再开发·P43练习拓展)已知二次函数y=-x2-x+.
(1)用配方法把这个二次函数的解析式化为y=a(x-h)2+k的形式;
(2)写出这个二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴;
(3)将二次函数y=-x2的图象如何平移能得到二次函数y=-x2-x+的图象 请写出平移方法.
举一反三
1.二次函数y=2x2+8x+7的图象是( )
2.已知二次函数y=-x2-6x-10.下列说法:①其图象的对称轴为直线x=-3;②其图象顶点坐标为(3,-1);③当x<-4时,y随x的增大而减小;④该函数图象与y轴的交点为(0,-1).则其中说法正确的有　 　(填序号).
技法点拨
根据一般式确定二次函数图象特征的两个方法
1.配方得到顶点式,然后确定顶点、对称轴、最值等.
2.先确定系数a,b,c,然后套用公式求出顶点、对称轴、最值等.
重点2　抛物线y=ax2+bx+c与系数的对应关系(抽象能力、几何直观、推理能力)
【典例2】(2025·凉山州中考)二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示,其对称轴为x=2,且图象经过点(6,0),则下列结论错误的是( )
A.bc>0
B.4a+b=0
C.若a+bx1=a+bx2且x1≠x2,则x1+x2=4
D.若(-1,y1),(3,y2)两点都在y=ax2+bx+c的图象上,则y2举一反三
抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论中正确的是　　.(填序号)
①abc>0;②a+b+c=2;③b>2a;④b>1.
技法点拨
根据二次函数图象确定字母系数取值范围的策略
(1)由口诀“上正下负”“左同右异”推断a,b,c的符号.
(2)结合图象,通过给x赋值,判断“a+b+c”“a-b+c”“4a+2b+c”“4a-2b+c”等式子的正负.
(3)当式子是由a,b组成的不等式时,通常可以通过对称轴解得.
(4)当式子是由a,c或b,c组成的不等式时,通常可以通过一个等式和一个不等式或两个不等式联立解得.
素养　思维提升　入境深探　
函数整合
问题 一次函数y=ax+b(a≠0)与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象在同一平面直角坐标系中的判定
图示 ① ②
分析 方法1:分别由直线和抛物线的位置确定出a,b的符号,看是否统一
方法2:先假设直线正确,得到a,b的符号,再看抛物线是否正确
结论 图①不正确,图②正确
尝试探索
一次函数y=ax+b(a≠0)与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )

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