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26.3　二次函数与一元二次方程
【课时目标】
1.掌握二次函数与一元二次方程的关系,会灵活运用一元二次方程根的判别式处理二次函数相关问题,能利用画二次函数的图象求一元二次方程的近似解.(抽象能力、运算能力、几何直观)
2.会利用二次函数的图象求解方程组及不等式,体会数形结合及转化思想的应用.(几何直观、运算能力)
基础　主干落实　筑牢根基 　
新知要点 对点小练
二次函数y=ax2+bx+c的图象与一元二次方程根的关系(以a>0为例) 1.判断(对的打“√”,错的打“×”) (1)二次函数图象与x轴不一定有交点.(　) (2)二次函数图象与y轴不一定有交点.(　) 2.函数y=x2-x+1的图象与x轴的交点的情况是( ) A.有两个交点　　　B.有一个交点 C.没有交点　　　　D.无法判断 3.若抛物线y=x2+4x+c与x轴只有一个公共点,则c的值为　　. 4.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则方程ax2+bx+c=0的解是　 　; 不等式ax2+bx+c<0的解集是　 　.
重点　典例研析　启思凝智　
重点1　二次函数与一元二次方程(抽象能力、运算能力、几何直观)
【典例1】已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过A(0,-8),B(-2,-20)两点.
(1)求b,c的值.
(2)二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴是否有交点 若有,求交点的坐标;若没有,请说明理由.
举一反三
抛物线y=2x2-4x+m的图象的部分如图所示,则关于x的一元二次方程2x2-4x+m=0的解是　 　.
技法点拨
二次函数与一元二次方程关系的两个方面
1.“数”的方面:当二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的函数值等于0时,相应的自变量的值为一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的解.
2.“形”的方面:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交点的横坐标为一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的解.
重点2　二次函数与不等式(运算能力、几何直观)
【典例2】(教材再开发·P50习题26.3T5拓展)抛物线y=x2-4x+3的图象与x轴交于A,B两点,A在B左侧,与y轴交于点C.
(1)点C坐标为　 　,顶点坐标为　 ;
(2)不等式x2-4x+3>0的解集是　 　;
(3)当y满足0举一反三
如图,二次函数y=ax2+c的图象与一次函数y=mx+n的图象交于A(-2,p),B(1,q)两点,则关于x的不等式ax2-mx+c>n的解集是　 　.
技法点拨
与二次函数相关的不等式解集的两种情况
1.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)在x轴上方的部分的点的纵坐标都是正数,所对应的x的所有值就是不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集.
2.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)在x轴下方的部分的点的纵坐标都是负数,所对应的x的所有值就是不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解集.
素养　思维提升　入境深探　
阅读理解
　　在初中阶段对函数的学习中,我们学习函数的过程总是:确定函数的解析式——画函数图象——利用函数图象研究其性质——运用函数图象解决问题.运用这一过程可以完成对一些未知函数图象和性质的探究.
尝试探究
　某班数学兴趣小组对函数y=|x2-2x|的图象和性质进行了探究,探究过程如下,请补充完整:
(1)自变量x的取值范围取全体实数,x与y的几组对应值列表如下:其中m=_________.
x … -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 …
y … 3 m 0 0.75 1 0.75 0 1.25 3 …
(2)根据上表数据,在如图所示的平面直角坐标系中描点,并画出了函数图象的一部分,请画出该函数图象的另一部分.
(3)观察函数图象,写出函数的一条性质:_________.
(4)进一步探究函数图象解决问题:
①方程|x2-2x|=有_________个实数根;
②在(2)问的平面直角坐标系中画出直线y=-x+1,根据图象写出方程|x2-2x|=-x+1的一个正数根约为_________.(精确到0.1) 26.3　二次函数与一元二次方程
【课时目标】
1.掌握二次函数与一元二次方程的关系,会灵活运用一元二次方程根的判别式处理二次函数相关问题,能利用画二次函数的图象求一元二次方程的近似解.(抽象能力、运算能力、几何直观)
2.会利用二次函数的图象求解方程组及不等式,体会数形结合及转化思想的应用.(几何直观、运算能力)
基础　主干落实　筑牢根基 　
新知要点 对点小练
二次函数y=ax2+bx+c的图象与一元二次方程根的关系(以a>0为例) 1.判断(对的打“√”,错的打“×”) (1)二次函数图象与x轴不一定有交点.(√) (2)二次函数图象与y轴不一定有交点.(×) 2.函数y=x2-x+1的图象与x轴的交点的情况是(C) A.有两个交点　　　B.有一个交点 C.没有交点　　　　D.无法判断 3.若抛物线y=x2+4x+c与x轴只有一个公共点,则c的值为　4　. 4.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则方程ax2+bx+c=0的解是　x1=-1,x2=3　; 不等式ax2+bx+c<0的解集是　x<-1或x>3　.
重点　典例研析　启思凝智　
重点1　二次函数与一元二次方程(抽象能力、运算能力、几何直观)
【典例1】已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过A(0,-8),B(-2,-20)两点.
(1)求b,c的值.
(2)二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴是否有交点 若有,求交点的坐标;若没有,请说明理由.
【自主解答】(1)将点A,B的坐标代入函数解析式得,解得;
(2)有.由(1)知,抛物线的解析式为y=-x2+5x-8,
则Δ=52-4×(-)×(-8)=9>0,
故抛物线与x轴有两个交点,
令y=-x2+5x-8=0,解得x=2或x=8,
故交点坐标为(2,0)和(8,0).
举一反三
抛物线y=2x2-4x+m的图象的部分如图所示,则关于x的一元二次方程2x2-4x+m=0的解是　x1=-1,x2=3　.
技法点拨
二次函数与一元二次方程关系的两个方面
1.“数”的方面:当二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的函数值等于0时,相应的自变量的值为一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的解.
2.“形”的方面:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交点的横坐标为一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的解.
重点2　二次函数与不等式(运算能力、几何直观)
【典例2】(教材再开发·P50习题26.3T5拓展)抛物线y=x2-4x+3的图象与x轴交于A,B两点,A在B左侧,与y轴交于点C.
(1)点C坐标为　(0,3)　,顶点坐标为　(2,-1)　;
(2)不等式x2-4x+3>0的解集是　x>3或x<1　;
(3)当y满足0举一反三
如图,二次函数y=ax2+c的图象与一次函数y=mx+n的图象交于A(-2,p),B(1,q)两点,则关于x的不等式ax2-mx+c>n的解集是　-2技法点拨
与二次函数相关的不等式解集的两种情况
1.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)在x轴上方的部分的点的纵坐标都是正数,所对应的x的所有值就是不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集.
2.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)在x轴下方的部分的点的纵坐标都是负数,所对应的x的所有值就是不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解集.
素养　思维提升　入境深探　
阅读理解
　　在初中阶段对函数的学习中,我们学习函数的过程总是:确定函数的解析式——画函数图象——利用函数图象研究其性质——运用函数图象解决问题.运用这一过程可以完成对一些未知函数图象和性质的探究.
尝试探究
　某班数学兴趣小组对函数y=|x2-2x|的图象和性质进行了探究,探究过程如下,请补充完整:
(1)自变量x的取值范围取全体实数,x与y的几组对应值列表如下:其中m=_________.
x … -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 …
y … 3 m 0 0.75 1 0.75 0 1.25 3 …
(2)根据上表数据,在如图所示的平面直角坐标系中描点,并画出了函数图象的一部分,请画出该函数图象的另一部分.
(3)观察函数图象,写出函数的一条性质:_________.
(4)进一步探究函数图象解决问题:
①方程|x2-2x|=有_________个实数根;
②在(2)问的平面直角坐标系中画出直线y=-x+1,根据图象写出方程|x2-2x|=-x+1的一个正数根约为_________.(精确到0.1)
【解析】(1)把x=-0.5代入y=|x2-2x|,
得y=|(-0.5)2-2×(-0.5)|=1.25,即m=1.25.
答案:1.25
(2)如图所示:
(3)由函数图象知:当x>2时,y随x的增大而增大(答案不唯一,合理即可)
(4)①由函数图象知:函数图象与y=有4个交点,所以对应的方程|x2-2x|=有4个实数根.
答案:4
②如图,
由图象可知方程|x2-2x|=-x+1的一个正数根约为0.4.
答案:0.4

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