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26.4　实际问题与二次函数
第1课时　二次函数的最值问题(面积)
【课时目标】
1.掌握二次函数模型的建立,会把实际问题转化为二次函数问题.(模型观念、应用意识)
2.会运用二次函数解决几何图形面积的最值问题.(应用意识、运算能力)
基础　主干落实　筑牢根基 　
新知要点 对点小练
1.二次函数y=ax2+bx+c的最值 (1)当a>0时,抛物线开口向上,抛物线有最低点,函数有最小值,当x=-时,其最小值为. (2)当a<0时,抛物线开口向下,抛物线有最高点,函数有最大值,当x=-时,其最大值为. 1.(1)二次函数y=-(x+1)2-6有( ) A.最大值-5 B.最小值-5 C.最大值-6 D.最小值-6 (2)二次函数y=x2-2x+3的最值情况是( ) A.有最大值2 B.有最小值2 C.有最大值4 D.有最小值4
2.根据二次函数最值解决实际问题的一般步骤 (1)列出二次函数的解析式,并根据自变量的实际意义,确定自变量的取值范围. (2)在自变量的取值范围内,运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值. 2.一个三角形的一条边长与这条边上的高的和为8,设该三角形的这条边长为x,面积为y,则y的最大值是( ) A.4 B.8 C.12 D.16
重点　典例研析　启思凝智　
重点1　知实际问题解析式求最值　
【典例1】要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管,在水管的顶端安装一个喷水头,喷出抛物线形的水柱.如图,以水管与地面交点为原点,原点与水柱落地处所在直线为x轴,水管所在直线为y轴,建立平面直角坐标系.水柱高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)之间具有函数关系y=-x2+x+.
(1)求抛物线形水柱的最高点A到地面的距离;
(2)求抛物线形水柱落地处点B与池中心的距离.
举一反三
(2025·山东中考)在水分、养料等条件一定的情况下,某植物的生长速度y(厘米/天)和光照强度x(勒克斯)之间存在一定关系.在低光照强度范围(200≤x<1 000)内,y与x近似成一次函数关系;在中高光照强度范围(x≥1 000)内,y与x近似成二次函数关系.其部分图象如图所示.根据图象,下列结论正确的是( )
A.当x≥1 000时,y随x的增大而减小
B.当x=2 000时,y有最大值
C.当y≥0.6时,x≥1 000
D.当y=0.4时,x=600
重点2　图形面积与二次函数(模型观念、应用意识、运算能力)
【典例2】(教材溯源·P51例2·2025·巴中中考)如图,计划用长为40 m的绳子围一个矩形围栏,其中一边靠墙(墙长25 m).
(1)矩形围栏的面积为150 m2时,三边分别长多少米
(2)矩形围栏的面积最大时,三边分别长多少米
举一反三
1.(墙长不限)如图,某农场要盖一排三间长方形的羊圈,打算一面利用旧墙(足够长),其余各面用木材围成栅栏,该农场计划用木材围成总长24 m的栅栏,设每间羊圈垂直于墙的一边长为x(m),三间羊圈的总面积为S(m2),则S关于x的函数关系式是　 　,x的取值范围是　 　,当x=　 　时,S最大.
2.(墙长有限)某养鸡专业户用篱笆及一面墙(该墙可用最大长度为36米)围成一个矩形场地ABCD来供鸡室外活动,该场地中间隔有一道与AB平行的篱笆(EF),如图,BE,EF上各留有1米宽的门(门不需要篱笆),该养鸡专业户共用篱笆58米,设该矩形的一边AB长x米,AD>AB,矩形ABCD的面积为S平方米.
(1)求出S与x的函数关系式,直接写出自变量x的取值范围;
(2)若规定AB≥10米,则矩形ABCD面积的最大值是多少
素养　思维提升　入境深探　
阅读理解
定义:两个二次项系数之和为1,对称轴相同,且图象与y轴交点也相同的二次函数互为友好同轴二次函数.例如y=2x2+4x-5的友好同轴二次函数为y=-x2-2x-5.
(1)求函数y=x2-2x+3的友好同轴二次函数;
(2)当-1≤x≤4时,函数y=(1-a)x2-2(1-a)x+3(a≠0且a≠1)的友好同轴二次函数有最大值5,求a的值.第3课时　建立模型(抛物线形实际问题)
【课时目标】
1.能运用二次函数,解决拱桥、运动轨迹等有关的问题.(应用意识、几何直观、运算能力)
2.能通过建立二次函数模型,运用二次函数的图象与性质进行决策,进一步提升模型观念和解决实际问题的能力.(模型观念、创新意识)
基础　主干落实　筑牢根基 　
新知要点 对点小练
建立坐标系解决实际问题的一般步骤: 第一步:根据题意建立适当的平面直角坐标系; 第二步:根据条件求出函数的解析式; 第三步:确定自变量的取值范围; 第四步:解决实际问题. 如图,有一座拱桥洞呈抛物线形状,这个桥洞的最大高度为16 m,跨度为40 m,现把它的示意图放在如图的平面直角坐标系中,则抛物线对应的函数关系式为　y=-(x-20)2+16　.
重点　典例研析　启思凝智　
重点1　抛物线形实物问题(几何直观、应用意识、运算能力)
【典例1】(教材溯源·P53探究2·2025·辽宁中考)为方便悬挂电子屏幕,学校需要在校门上方的抛物线形框架结构上增加立柱.为此,某数学兴趣小组开展了综合与实践活动,记录如下:
活动 主题 为校门上方的抛物线形框架结构增加立柱
活动 准备 1.去学校档案馆查阅框架结构的图纸; 2.准备皮尺等测量工具.
采集 数据 图1是校门及上方抛物线形框架结构的平面示意图,信息如下: 1.大门形状为矩形(矩形ABCD); 2.底部跨度(AD的长)为8 m; 3.立柱OE的长为2 m,且OE⊥AD,垂足为O,AO=OD.
设计 方案 考虑实用和美观等因素,在A,D间增加两根与AD垂直的立柱,垂足分别为M1,M2,立柱的另一端点N1,N2在抛物线形框架结构上,其中AM1=M2D=1 m.
确定 思路 小组成员经过讨论,确定以点O为坐标原点,线段AD所在直线为x轴,建立如图2所示的平面直角坐标系.点E的坐标为(0,2),设抛物线的表达式为y=ax2+2,分析数据得到点A或点D的坐标,进而求出抛物线的表达式,再利用表达式求出增加立柱的长度,从而解决问题.
根据以上信息,解决下列问题:
(1)求抛物线的表达式;
(2)现有一根长度为2 m的材料,如果用它制作这两根立柱,请你通过计算,判断这根材料的长度是否够用.(因施工产生的材料长度变化忽略不计)
【自主解答】(1)由题意,得AD=8,OA=OD=4,
∴A(-4,0),
把A(-4,0)代入y=ax2+2,得0=16a+2,
∴a=-,∴y=-x2+2.
(2)由题意,可知:OM1=OM2=4-1=3,
∴N1,N2关于y轴对称.
∵y=-x2+2,
∴当x=3时,y=-×32+2=,
∴M1N1=M2N2=.
∵2×=<2,
故这根材料的长度够用.
举一反三
(2025·武汉质检)如图,小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子,给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米,绳子自然下垂呈抛物线状,身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时,头部刚好接触到绳子,则绳子的最低点与地面的距离为　0.5　米.
重点2　抛物线形运动轨迹问题(应用意识、模型观念)
【典例2】(2025·青岛中考)小磊和小明练习打网球.在一次击球过程中,小磊从点O正上方1.8米的A点将球击出.
信息一:在如图所示的平面直角坐标系中,O为原点,OA在y轴上,球的运动路线可以看作二次函数y=ax2+bx+1.8(a,b为常数)图象的一部分,其中y(米)是球的高度,x(米)是球和原点的水平距离,图象经过点(2,3.2),(4,4.2).
信息二:球和原点的水平距离x(米)与时间t(秒)(0≤t≤1.6)之间近似满足一次函数关系,部分数据如下:
t(秒) 0 0.4 0.6 …
x(米) 0 4 6 …
(1)求y与x的函数关系式;
(2)网球被击出后经过多长时间达到最大高度 最大高度是多少
(3)当t为1.6秒时,小明将球击回.球在第一象限的运动路线可以看作二次函数y=-0.02x2+px+m(p,m为常数)图象的一部分,其中y(米)是球的高度,x(米)是球和原点的水平距离.当网球所在点的横坐标x为2,纵坐标y大于等于1.8时,p的取值范围为_________ (直接写出结果).
【自主解答】(1)∵图象经过点(2,3.2),(4,4.2),
,
解得,
∴y与x的函数关系式为y=-0.05x2+0.8x+1.8.
(2)由题中表格可知t=0,x=0,
∴设球和原点的水平距离x(米)与时间t(秒)的关系式为x=kt(k≠0),
代入(0.4,4)得:0.4k=4,解得:k=10,∴x=10t,
对于y=-0.05x2+0.8x+1.8,a=-0.05<0,
∴开口向下.
∵对称轴为直线x=-=8,
∴当x=8时,ymax=-0.05×82+0.8×8+1.8=5,
此时10t=8,解得t=0.8,
∴网球被击出后经过0.8秒达到最大高度,最大高度是5米.
(3)由题意得,当t=1.6时,x=1.6×10=16,
∴y=-0.05×162+0.8×16+1.8=1.8,
∴击球点位置为(16,1.8),
将(16,1.8)代入y=-0.02x2+px+m,
则-0.02×162+16p+m=1.8,∴m=6.92-16p,
∴y=-0.02x2+px+6.92-16p.
∵x=2时,y≥1.8,
∴-0.02×22+2p+6.92-16p≥1.8,解得:p≤0.36.
答案:p≤0.36
举一反三
　被推出的铅球的运动路径可看作抛物线的一部分,如图,以地面水平方向为x轴,出手点到地面的垂线为y轴,建立平面直角坐标系.小明第一次推铅球时,铅球出手时离地面的高度为1.6 m,铅球落地时,离出手点的水平距离是8 m,铅球运行的水平距离为3 m时达到最大高度.
(1)求小明第一次推铅球时该铅球运行路径对应的函数解析式.
(2)小明第二次推铅球时,铅球运行路径对应的函数解析式为y=-0.2x2+1.4x+1.6.
①第二次推铅球的成绩是否比第一次更好,请说明理由;
②铅球两次运行过程中,将离出手点的水平距离相同时,铅球所在位置的高度差记为Δh,求Δh的最大值及此时铅球运行的水平距离.
【解析】(1)设函数解析式为y=ax2+bx+1.6,则-=3,
∴b=-6a,∴y=ax2-6ax+1.6,
将(8,0)代入y=ax2-6ax+1.6,
得64a-48a+1.6=0,
解得a=-0.1,b=0.6,
故函数解析式为y=-0.1x2+0.6x+1.6.
(2)①∵y=-0.2x2+1.4x+1.6,
当y=0时,0=-0.2x2+1.4x+1.6,
解得x1=8,x2=-1(舍去),
故第二次推铅球的成绩与第一次相同.
②Δh=-0.2x2+1.4x+1.6-(-0.1x2+0.6x+1.6)=-0.1x2+0.8x=-0.1(x-4)2+1.6.∵-0.1<0,
∴当x=4时,Δh取最大值,最大值为1.6,
答:Δh的最大值为1.6 m,此时铅球运行的水平距离为4 m.
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链接生活
抛物线与汽车前灯
把抛物线沿它的对称轴旋转一周,就会形成一个抛物面,如图1所示的汽车前灯的反光曲面就是这种“抛物镜面”,它是由过等腰直角三角形(△ABC)顶点的抛物线绕着对称轴旋转一周所形成的,我们将抛物线和线段AB所围成的封闭图形称之为“碗形”,记作“碗形ABC”,其中抛物线部分叫“标准线”,记作“标准线ACB”,抛物线的顶点C称为“碗顶”,直角三角形的斜边AB的长度称为“碗宽”,碗顶C到AB的距离称为“碗高”.
(1)若碗形ABC的碗宽是20 cm,则碗高是_________cm(直接写出结果).
(2)如图2,碗形ABC的碗宽为4,点A与坐标原点重合,点B在x轴的正半轴上,点C在x轴下方,求标准线ACB的函数解析式(不需要写出自变量的取值范围).
【解析】(1)∵碗形ABC的碗宽是20 cm,∴AB=20 cm,
在Rt△ABC中,AC=10cm,
设碗高是x cm,则AC2=AB·x,∴x=10.
答案:10
(2)∵碗形ABC的碗宽为4,即AB=4,∴B(4,0),
如图,过点C作CE⊥x轴,
∵在等腰Rt△ABC中,∴BC=AC=2.
设碗高是yC,则AC2=AB·yC,∴CE=yC=2.
∵△ABC是等腰三角形,
∴AE=BE=AB=2,∴C(2,-2).
设标准线ACB的函数解析式为y=a(x-2)2-2,
将点B(4,0)代入得,4a-2=0,解得a=,
∴标准线ACB的函数解析式为y=(x-2)2-2.第2课时　二次函数的最值问题(利润)
【课时目标】
1.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围.(抽象能力、运算能力)
2.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题.(应用意识、模型观念)
基础　主干落实　筑牢根基 　
新知要点 对点小练
1.销售问题常用的等量关系 (1)利润=收入-成本; (2)利润=单件利润×销量; (3)利润=利润率×成本. 1.某超市经销一种水果,每千克盈利10元,每天销售500千克,经市场调查反映:若每千克涨价1元,每天销售量减少20千克,设每千克涨价x(单位:元),且0≤x≤25,每天售出商品的利润为y(单位:元),则y与x的函数关系式是( ) A.y=500-20x　　　　　　B.y=(500-20x)(10+x) C.y=(500+10x)(10-x) D.y=(500-10x)(10+x)
2.应用二次函数解决销售利润最值问题的一般步骤 (1)建立函数关系式:运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量”; (2)确定自变量的取值范围:要使解析式有意义,要使实际问题有意义; 不一定在函数图象的顶点处取得 (3)求出最大利润:在自变量的取值范围内,可以利用配方法或公式法求出,也可以画出函数的简图,利用简图和性质求出. 2.便民商店经营一种商品,在销售过程中,发现一周利润y(元)与每件销售价x(元)之间的关系满足y=-2x2+80x+750,由于某种原因,售价只能满足25≤x≤30,那么一周可获得的最大利润是　 　元.
重点　典例研析　启思凝智　
重点　商品利润与二次函数(模型观念、应用意识、运算能力)
【典例】(教材溯源·P52探究1·2025·大庆中考)为推进我市“红色研学”文化旅游发展,大庆博物馆新推出A,B两种文创纪念品.已知2个A纪念品和3个B纪念品的成本和是155元;4个A纪念品和1个B纪念品的成本和是135元.一套纪念品由一个A纪念品和一个B纪念品组成.规定:每套纪念品的售价不低于65元且不高于72元(每套售价为整数).如果每套纪念品的售价为72元,那么每天可销售80套.经调查发现,每套纪念品的售价每降价1元,其销售量相应增加10套.设每天的利润为W(元),每套纪念品的售价为a元(65≤a≤72且a为整数).
(1)分别求出每个A纪念品和每个B纪念品的成本;
(2)求当a为何值时,每天的利润W最大.
举一反三
1.某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售,经市场调查发现:销售单价不低于进价时,日销售量y(盒)与销售单价x(元)是一次函数关系,下表是y与x的几组对应值.
销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 …
销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 …
(1)求y与x的函数解析式.
(2)糖果销售单价定为多少元时,所获日销售利润最大,最大利润是多少
(3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品,赠送礼品后,为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元,求m的值.
2.某商家正在热销一种商品,其成本为30元/件,在销售过程中发现随着售价增加,销售量在减少.商家决定当售价为60元/件时,改变销售策略,此时售价每增加1元需支付由此产生的额外费用150元.该商品销售量y(件)与售价x(元/件)满足如图所示的函数关系(其中40≤x≤70,且x为整数).
(1)直接写出y与x的函数解析式;
(2)当售价为多少时,商家所获利润最大,最大利润是多少
技法点拨
1.销售量随单价变化而变化的三种展现方法:(1)文字叙述;(2)表格展示;(3)图象展现.
2.确定利润最大值的两种情况:
(1)顶点在自变量的取值范围之内,顶点的纵坐标便是最值;
(2)顶点在自变量的取值范围之外,端点的纵坐标才是最值.26.4　实际问题与二次函数
第1课时　二次函数的最值问题(面积)
【课时目标】
1.掌握二次函数模型的建立,会把实际问题转化为二次函数问题.(模型观念、应用意识)
2.会运用二次函数解决几何图形面积的最值问题.(应用意识、运算能力)
基础　主干落实　筑牢根基 　
新知要点 对点小练
1.二次函数y=ax2+bx+c的最值 (1)当a>0时,抛物线开口向上,抛物线有最低点,函数有最小值,当x=-时,其最小值为. (2)当a<0时,抛物线开口向下,抛物线有最高点,函数有最大值,当x=-时,其最大值为. 1.(1)二次函数y=-(x+1)2-6有(C) A.最大值-5 B.最小值-5 C.最大值-6 D.最小值-6 (2)二次函数y=x2-2x+3的最值情况是(B) A.有最大值2 B.有最小值2 C.有最大值4 D.有最小值4
2.根据二次函数最值解决实际问题的一般步骤 (1)列出二次函数的解析式,并根据自变量的实际意义,确定自变量的取值范围. (2)在自变量的取值范围内,运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值. 2.一个三角形的一条边长与这条边上的高的和为8,设该三角形的这条边长为x,面积为y,则y的最大值是(B) A.4 B.8 C.12 D.16
重点　典例研析　启思凝智　
重点1　知实际问题解析式求最值　
【典例1】要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管,在水管的顶端安装一个喷水头,喷出抛物线形的水柱.如图,以水管与地面交点为原点,原点与水柱落地处所在直线为x轴,水管所在直线为y轴,建立平面直角坐标系.水柱高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)之间具有函数关系y=-x2+x+.
(1)求抛物线形水柱的最高点A到地面的距离;
(2)求抛物线形水柱落地处点B与池中心的距离.
【自主解答】(1)∵y=-x2+x+,
∴配方得y=-(x-1)2+3,∴顶点A(1,3),
∴抛物线形水柱的最高点A到地面的距离为3 m.
(2)当y=0时,-x2+x+=0,
解得x1=3,x2=-1(不符合题意,故舍去),
∴B(3,0),即OB=3,∴抛物线形水柱落地处点B与池中心的距离为3 m.
举一反三
(2025·山东中考)在水分、养料等条件一定的情况下,某植物的生长速度y(厘米/天)和光照强度x(勒克斯)之间存在一定关系.在低光照强度范围(200≤x<1 000)内,y与x近似成一次函数关系;在中高光照强度范围(x≥1 000)内,y与x近似成二次函数关系.其部分图象如图所示.根据图象,下列结论正确的是(B)
A.当x≥1 000时,y随x的增大而减小
B.当x=2 000时,y有最大值
C.当y≥0.6时,x≥1 000
D.当y=0.4时,x=600
重点2　图形面积与二次函数(模型观念、应用意识、运算能力)
【典例2】(教材溯源·P51例2·2025·巴中中考)如图,计划用长为40 m的绳子围一个矩形围栏,其中一边靠墙(墙长25 m).
(1)矩形围栏的面积为150 m2时,三边分别长多少米
(2)矩形围栏的面积最大时,三边分别长多少米
【自主解答】(1)设垂直于墙的一边长x m,则平行于墙的边长为(40-2x)m,
根据题意得x(40-2x)=150,
解得x1=5,x2=15,
当x=5时,40-2x=30>25(不符合题意,舍去),
当x=15时,40-2x=10<25(符合题意),
∴三边长分别为15 m,10 m,15 m;
(2)设矩形围栏的面积为S m2,
则S=x(40-2x)=-2(x-10)2+200,
∵-2<0,
∴当x=10时,S有最大值,最大值为200,
当x=10时,40-2x=20<25(符合题意),
∴三边长分别为10 m,20 m,10 m.
举一反三
1.(墙长不限)如图,某农场要盖一排三间长方形的羊圈,打算一面利用旧墙(足够长),其余各面用木材围成栅栏,该农场计划用木材围成总长24 m的栅栏,设每间羊圈垂直于墙的一边长为x(m),三间羊圈的总面积为S(m2),则S关于x的函数关系式是　S=-4x2+24x　,x的取值范围是　02.(墙长有限)某养鸡专业户用篱笆及一面墙(该墙可用最大长度为36米)围成一个矩形场地ABCD来供鸡室外活动,该场地中间隔有一道与AB平行的篱笆(EF),如图,BE,EF上各留有1米宽的门(门不需要篱笆),该养鸡专业户共用篱笆58米,设该矩形的一边AB长x米,AD>AB,矩形ABCD的面积为S平方米.
(1)求出S与x的函数关系式,直接写出自变量x的取值范围;
(2)若规定AB≥10米,则矩形ABCD面积的最大值是多少
【解析】(1)由题意可得,AB=x米,BC=(58-3x+1+1)=(60-3x)米,则S=x(60-3x)=-3x2+60x,
∵0<60-3x≤36,60-3x>x,∴8≤x<15,
即S与x的函数关系式是S=-3x2+60x(8≤x<15);
(2)∵S=-3x2+60x=-3(x-10)2+300,
∴a=-3<0,该函数图象开口向下,顶点坐标为(10,300),
∵AB≥10米,∴10≤x<15,
∴当x=10时,该函数取得最大值,此时S=300,
答:矩形ABCD面积的最大值是300平方米.
素养　思维提升　入境深探　
阅读理解
定义:两个二次项系数之和为1,对称轴相同,且图象与y轴交点也相同的二次函数互为友好同轴二次函数.例如y=2x2+4x-5的友好同轴二次函数为y=-x2-2x-5.
(1)求函数y=x2-2x+3的友好同轴二次函数;
(2)当-1≤x≤4时,函数y=(1-a)x2-2(1-a)x+3(a≠0且a≠1)的友好同轴二次函数有最大值5,求a的值.
【解析】(1)∵解析式中a=,对称轴为直线x=-=4,c=3,
∴y=x2-2x+3的友好同轴二次函数中a=,对称轴为直线x=4,c=3,∴y=x2-6x+3.
(2)∵抛物线的对称轴为直线x=1,
∴函数y=(1-a)x2-2(1-a)x+3的友好同轴二次函数为y=ax2-2ax+3=a(x-1)2-a+3,
∴其顶点坐标为(1,-a+3),
当a<0时,函数最大值为-a+3=5,解得a=-2;
当a>0时,抛物线开口向上,
∵1-(-1)<4-1,
∴当x=4时,y最大=8a+3,∴8a+3=5,解得a=.
综上所述:a的值为-2或.第2课时　二次函数的最值问题(利润)
【课时目标】
1.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围.(抽象能力、运算能力)
2.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题.(应用意识、模型观念)
基础　主干落实　筑牢根基 　
新知要点 对点小练
1.销售问题常用的等量关系 (1)利润=收入-成本; (2)利润=单件利润×销量; (3)利润=利润率×成本. 1.某超市经销一种水果,每千克盈利10元,每天销售500千克,经市场调查反映:若每千克涨价1元,每天销售量减少20千克,设每千克涨价x(单位:元),且0≤x≤25,每天售出商品的利润为y(单位:元),则y与x的函数关系式是(B) A.y=500-20x　　　　　　B.y=(500-20x)(10+x) C.y=(500+10x)(10-x) D.y=(500-10x)(10+x)
2.应用二次函数解决销售利润最值问题的一般步骤 (1)建立函数关系式:运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量”; (2)确定自变量的取值范围:要使解析式有意义,要使实际问题有意义; 不一定在函数图象的顶点处取得 (3)求出最大利润:在自变量的取值范围内,可以利用配方法或公式法求出,也可以画出函数的简图,利用简图和性质求出. 2.便民商店经营一种商品,在销售过程中,发现一周利润y(元)与每件销售价x(元)之间的关系满足y=-2x2+80x+750,由于某种原因,售价只能满足25≤x≤30,那么一周可获得的最大利润是　1 500　元.
重点　典例研析　启思凝智　
重点　商品利润与二次函数(模型观念、应用意识、运算能力)
【典例】(教材溯源·P52探究1·2025·大庆中考)为推进我市“红色研学”文化旅游发展,大庆博物馆新推出A,B两种文创纪念品.已知2个A纪念品和3个B纪念品的成本和是155元;4个A纪念品和1个B纪念品的成本和是135元.一套纪念品由一个A纪念品和一个B纪念品组成.规定:每套纪念品的售价不低于65元且不高于72元(每套售价为整数).如果每套纪念品的售价为72元,那么每天可销售80套.经调查发现,每套纪念品的售价每降价1元,其销售量相应增加10套.设每天的利润为W(元),每套纪念品的售价为a元(65≤a≤72且a为整数).
(1)分别求出每个A纪念品和每个B纪念品的成本;
(2)求当a为何值时,每天的利润W最大.
【自主解答】(1)设每个A纪念品的成本为x元,每个B纪念品的成本为y元,
∴,解得.
答:每个A纪念品的成本为25元,每个B纪念品的成本为35元.
(2)由题意,每套成本为25+35=60元,售价为a元,
∴每套利润为(a-60)元.
∵售价为72元时销量80套,每降价1元销量增加10套,
∴故销量为80+10(72-a)=(800-10a)套.
∴利润W=(a-60)(800-10a)=-10a2+1 400a-48 000=-10(a-70)2+1 000.
∵65≤a≤72且a为整数,
∴当a=70时,每天的利润W最大.
举一反三
1.某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售,经市场调查发现:销售单价不低于进价时,日销售量y(盒)与销售单价x(元)是一次函数关系,下表是y与x的几组对应值.
销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 …
销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 …
(1)求y与x的函数解析式.
(2)糖果销售单价定为多少元时,所获日销售利润最大,最大利润是多少
(3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品,赠送礼品后,为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元,求m的值.
【解析】(1)设y=kx+b(k≠0),
∴,解得,
∴y=-2x+80.
(2)设日销售利润为w元,
w=(x-10)(-2x+80)
=-2x2+100x-800
=-2(x-25)2+450.
答:糖果销售单价定为25元时,所获日销售利润最大,最大利润是450元.
(3)w=(x-10-m)(-2x+80)
=-2x2+(100+2m)x-800-80m.
∵最大利润为392元,
∴=392,
整理得:m2-60m+116=0,
(m-2)(m-58)=0,解得:m1=2,m2=58,
当m=58时,x=54,
每盒糖果的利润为54-10-58=-14(元),
应舍去.故m=2.
2.某商家正在热销一种商品,其成本为30元/件,在销售过程中发现随着售价增加,销售量在减少.商家决定当售价为60元/件时,改变销售策略,此时售价每增加1元需支付由此产生的额外费用150元.该商品销售量y(件)与售价x(元/件)满足如图所示的函数关系(其中40≤x≤70,且x为整数).
(1)直接写出y与x的函数解析式;
(2)当售价为多少时,商家所获利润最大,最大利润是多少
【解析】(1)设线段AB的解析式为y=kx+b(40≤x≤60),
将点(40,300),(60,100)代入上式得:
解得
∴线段AB的解析式为y=-10x+700(40≤x≤60).
设线段BC的解析式为y=mx+n(60将点(60,100),(70,150)代入上式得:
解得
∴线段BC的解析式为y=5x-200(60∴y与x的函数解析式为
y=
(2)设获得的利润为w元,
①当40≤x≤60时,w=(x-30)(-10x+700)=-10(x-50)2+4 000,
∵-10<0,
∴当x=50时,w有最大值,最大值为4 000;
②当60∵5>0,∴当60∴当x=70时,w有最大值,最大值为5×(70-50)2+2 500=4 500.
综上,当售价为70元/件时,该商家获得的利润最大,最大利润为4 500元.
技法点拨
1.销售量随单价变化而变化的三种展现方法:(1)文字叙述;(2)表格展示;(3)图象展现.
2.确定利润最大值的两种情况:
(1)顶点在自变量的取值范围之内,顶点的纵坐标便是最值;
(2)顶点在自变量的取值范围之外,端点的纵坐标才是最值.第3课时　建立模型(抛物线形实际问题)
【课时目标】
1.能运用二次函数,解决拱桥、运动轨迹等有关的问题.(应用意识、几何直观、运算能力)
2.能通过建立二次函数模型,运用二次函数的图象与性质进行决策,进一步提升模型观念和解决实际问题的能力.(模型观念、创新意识)
基础　主干落实　筑牢根基 　
新知要点 对点小练
建立坐标系解决实际问题的一般步骤: 第一步:根据题意建立适当的平面直角坐标系; 第二步:根据条件求出函数的解析式; 第三步:确定自变量的取值范围; 第四步:解决实际问题. 如图,有一座拱桥洞呈抛物线形状,这个桥洞的最大高度为16 m,跨度为40 m,现把它的示意图放在如图的平面直角坐标系中,则抛物线对应的函数关系式为 　.
重点　典例研析　启思凝智　
重点1　抛物线形实物问题(几何直观、应用意识、运算能力)
【典例1】(教材溯源·P53探究2·2025·辽宁中考)为方便悬挂电子屏幕,学校需要在校门上方的抛物线形框架结构上增加立柱.为此,某数学兴趣小组开展了综合与实践活动,记录如下:
活动 主题 为校门上方的抛物线形框架结构增加立柱
活动 准备 1.去学校档案馆查阅框架结构的图纸; 2.准备皮尺等测量工具.
采集 数据 图1是校门及上方抛物线形框架结构的平面示意图,信息如下: 1.大门形状为矩形(矩形ABCD); 2.底部跨度(AD的长)为8 m; 3.立柱OE的长为2 m,且OE⊥AD,垂足为O,AO=OD.
设计 方案 考虑实用和美观等因素,在A,D间增加两根与AD垂直的立柱,垂足分别为M1,M2,立柱的另一端点N1,N2在抛物线形框架结构上,其中AM1=M2D=1 m.
确定 思路 小组成员经过讨论,确定以点O为坐标原点,线段AD所在直线为x轴,建立如图2所示的平面直角坐标系.点E的坐标为(0,2),设抛物线的表达式为y=ax2+2,分析数据得到点A或点D的坐标,进而求出抛物线的表达式,再利用表达式求出增加立柱的长度,从而解决问题.
根据以上信息,解决下列问题:
(1)求抛物线的表达式;
(2)现有一根长度为2 m的材料,如果用它制作这两根立柱,请你通过计算,判断这根材料的长度是否够用.(因施工产生的材料长度变化忽略不计)
举一反三
(2025·武汉质检)如图,小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子,给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米,绳子自然下垂呈抛物线状,身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时,头部刚好接触到绳子,则绳子的最低点与地面的距离为　 　米.
重点2　抛物线形运动轨迹问题(应用意识、模型观念)
【典例2】(2025·青岛中考)小磊和小明练习打网球.在一次击球过程中,小磊从点O正上方1.8米的A点将球击出.
信息一:在如图所示的平面直角坐标系中,O为原点,OA在y轴上,球的运动路线可以看作二次函数y=ax2+bx+1.8(a,b为常数)图象的一部分,其中y(米)是球的高度,x(米)是球和原点的水平距离,图象经过点(2,3.2),(4,4.2).
信息二:球和原点的水平距离x(米)与时间t(秒)(0≤t≤1.6)之间近似满足一次函数关系,部分数据如下:
t(秒) 0 0.4 0.6 …
x(米) 0 4 6 …
(1)求y与x的函数关系式;
(2)网球被击出后经过多长时间达到最大高度 最大高度是多少
(3)当t为1.6秒时,小明将球击回.球在第一象限的运动路线可以看作二次函数y=-0.02x2+px+m(p,m为常数)图象的一部分,其中y(米)是球的高度,x(米)是球和原点的水平距离.当网球所在点的横坐标x为2,纵坐标y大于等于1.8时,p的取值范围为_________ (直接写出结果).
举一反三
　被推出的铅球的运动路径可看作抛物线的一部分,如图,以地面水平方向为x轴,出手点到地面的垂线为y轴,建立平面直角坐标系.小明第一次推铅球时,铅球出手时离地面的高度为1.6 m,铅球落地时,离出手点的水平距离是8 m,铅球运行的水平距离为3 m时达到最大高度.
(1)求小明第一次推铅球时该铅球运行路径对应的函数解析式.
(2)小明第二次推铅球时,铅球运行路径对应的函数解析式为y=-0.2x2+1.4x+1.6.
①第二次推铅球的成绩是否比第一次更好,请说明理由;
②铅球两次运行过程中,将离出手点的水平距离相同时,铅球所在位置的高度差记为Δh,求Δh的最大值及此时铅球运行的水平距离.
素养　思维提升　入境深探　
链接生活
抛物线与汽车前灯
把抛物线沿它的对称轴旋转一周,就会形成一个抛物面,如图1所示的汽车前灯的反光曲面就是这种“抛物镜面”,它是由过等腰直角三角形(△ABC)顶点的抛物线绕着对称轴旋转一周所形成的,我们将抛物线和线段AB所围成的封闭图形称之为“碗形”,记作“碗形ABC”,其中抛物线部分叫“标准线”,记作“标准线ACB”,抛物线的顶点C称为“碗顶”,直角三角形的斜边AB的长度称为“碗宽”,碗顶C到AB的距离称为“碗高”.
(1)若碗形ABC的碗宽是20 cm,则碗高是_________cm(直接写出结果).
(2)如图2,碗形ABC的碗宽为4,点A与坐标原点重合,点B在x轴的正半轴上,点C在x轴下方,求标准线ACB的函数解析式(不需要写出自变量的取值范围).

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