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第5章 走进几何世界 单元培优卷 2026-2027学年苏科版数学七年级上册
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1． 下列几种图形：①正方形；②长方体；③球；④圆锥；⑤圆；⑥圆柱。其中属于立体图形的是（　　）
A．②③④⑥ B．②④⑥ C．②③⑥ D．①④⑤
2． 下列图形中是平面图形的是 （　　）
A． B． C． D．
3．下列平面图形绕虚线旋转一周，能形成如图所示几何体的是（　　）
A． B． C． D．
4．将下列平面图形绕轴旋转一周，可以得到如图所示的立体图形的是（　　）
A． B． C． D．
5．下列几何体中，属于柱体的有（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
6．如图是一个花瓶，下列平面图形绕虚线旋转一周，能形成这个花瓶表面的是（　　）
A． B． C． D．
7．下列立体图形中，属于圆锥的是（　　）
A． B．
C． D．
8． 将图中的平面图形绕虚线旋转一周，得到的立体图形是（　　）
A． B． C． D．
9．宋代诗人邵雍在《春雨吟》中写道“春雨细如丝，如丝霡霂时”，这里把雨滴看成了点，通过“如”字将春雨比作丝线，用数学知识解释这一现象为（　　）
A．点动成线 B．线动成面
C．面动成体 D．面与面相交得到线
10．将自然数1至6分别写在一个正方体的6个面上，然后把任意相邻两个面上的数之和写在这两个面的公共棱上．则在这个正方体中所有棱上不同数的个数的最小值和最大值分别是（　　）
A．7，9 B．6，9 C．7，10 D．3，11
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．一个直棱柱有15条棱，则这个直棱柱有　 　个顶点，有　 　个面．
12． 将一个直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周得到的几何体是　 　.
13．流星划过夜空，会留下一条长长的“尾巴”，用数学知识解释这一现象：　 　.
14．一个棱柱有8个面，则它是一个　 　棱柱．
15．将一个边长为2的正方形绕一条边旋转一周，所得几何体的侧面积等于　 　.
16．“雨是最寻常的，一下就是三两天，可别恼，看，像牛毛，像花针，像细丝，密密地斜织”句中，雨“像细丝”说明　 　．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知一个六棱柱，它的底面边长都是5厘米，侧棱长都是8厘米，请回答下列问题。
（1）这个六棱柱一共有多少个面 一共有多少条棱 这些棱的长度之和是多少
（2）沿一条侧棱将这个六棱柱侧面全部展开成一个平面图形，这个图形的面积是多少
18．如图所示为一个棱柱形状的食品包装盒侧面展开图，
（1）请写出这个食品包装盒的几何体名称；
（2）若AC=3cm，BC=4cm，AB=5cm，DF=6cm，求这个几何体的侧面积。
19．如图所示，已知直角三角形纸板ABC，直角边AB=4 cm，BC=8 cm.
（1）将直角三角形纸板ABC绕三角形的边所在的直线旋转一周，能得到　 　种不同的几何体；
（2）分别计算绕三角形直角边所在的直线旋转一周，得到几何体的体积.（ 取3）
20．下列是我们常见的几何体，按要求将其分类（只填写编号）.
（1）如果按“柱”“锥球”来分，柱体有　 　，椎体有　 　，球有　 　；
（2）如果按“有无曲面”来分，有曲面的有　 　，无曲面的有　 　.
21．一个小立方体的六个面分别标有字母A，B，C，D，E，F，从三个不同方向看到的情形如图所示.
（1）A对面的字母是　 　，B对面的字母是　 　，E对面的字母是　 　.（请直接填写答案）
（2）若A=2x-1，B=-3x+9，C=-7，D=1，E=2x＋5，F= -9，且字母E与它对面的字母表示的数互为相反数，求A，B的值.
22．【教材呈现】下图是华师版七年级上册数学教材第104页的部分内容
例5如图3.4.1所示的窗框，上半部分为半圆，下半部分为6个大小一样的长方形，长方形的长和宽的比为3：2． 设长方形的长为x米，用x表示所需材料的长度(重合部分忽略不计)
（1）请根据教材提示，结合图3.4.1，写出例5中第(1)题完整的解题过程
（2）【结论应用】图①、图②是某设计师设计的两种窗户设计图，图①是由边长4a正方形和直径4a半圆组成，图②是由一个八边形和直径2a的圆组成。
求图②的面积(用含有a的代数式表示，结果保留π)．
（3）用铁丝做成图①、图②，这两个图形用的铁丝的长度是否相同，如果相同，请说明理由，如果不同，请比较出哪个设计图大
23．如图，三棱柱的上下底面均为周长为12cm的等边三角形，现要从中截取一个上下底面均为等边三角形且底面周长为3cm的小三棱柱.
（1）请写出截面的形状　 　；
（2）若小三棱柱的高为6cm，则截去小三棱柱后，剩下的几何体的棱长总和是多少？
24．用彩带捆扎一个圆柱形的蛋糕盒如图，打结处正好是底面圆心，打结用去彩带18cm.
（1）扎这个盒子至少用去彩带多少厘米？
（2）这个蛋糕盒子的体积是多少立方厘米？
（3）蛋糕的直径比盒子直径少3cm，高比盒子矮5cm，张琳打开盒子，沿着蛋糕底面的直径垂直切开，平均分成两部分，这时蛋糕的表面积增加多少平方厘米？
25．如图1，现有一个棱长为20cm的立方体水槽放在桌面上，水槽内水的高度为acm，往水槽里放入棱长为10cm的立方体铁块.
（1）求下列两种情况下a的值.
①若放入铁块后水面恰好在铁块的上表面，则a=　 　cm；②若放入铁块后水槽恰好盛满（无溢出)，则a=　 　cm；
（2）若0≤a≤7.5，放入铁块后水槽内水面的高度为　 　cm，(用含a的代数式表示）.
（3）如图2，在水槽旁用管子连通一个底面在桌面上的圆柱形容器，内部底面积为
50cm2，管口底部A离水槽内底面的高度为hcm (h>a)，水槽内放入铁块，水溢入圆柱形容器后，容器内水面与水槽内水面的高度差为4cm，若 a=15，求h的值.(水槽和容器的壁及底面厚度相同)
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解： 立体图形为： 长方体 、 球 、 圆锥 、 圆柱 ，
故答案为：A.
【分析】根据立体图形的定义“各部分不在同一个面的图形是立体图形”解题即可.
2．【答案】A
【解析】【解答】解：∵正方体，球，六棱柱都是立体图形，
∴B，C，D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】有些几何图形(如线段、角、三角形、长方形、圆等)的名个部分都在同一平面内，它们是平面图形；有些几何图形(如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等)的各个部分不都在同一平面内，它们是立体图形，根据概念逐一分析即可.
3．【答案】C
【解析】【解答】解：将平面图形 绕着虚线旋转一周可以得到的几何体为 ，
故选：C．
【分析】本题考查点、线、面、体，根据点动成线，线动成面面，面动成几何体，据悉分析判断，即可求解.
4．【答案】B
【解析】【解答】解：观察题干图形可知，该立体图形是一个圆柱和圆锥相叠，
A：旋转后得到圆柱与两个圆锥的组合，不符合；
B：图形上半部分是一边在轴上的矩形，旋转后得到圆柱；下半部分是直角边在轴上的直角三角形，旋转后得到同底的圆锥，正好得到题目中的立体，符合要求；
C：完整矩形旋转后只得到一个圆柱，不符合；
D：旋转后得到两个同底的圆锥，不符合．
故答案为：B.
【分析】根据面动成体，逐项判断解答即可.
5．【答案】B
【解析】【解答】解：圆锥，三棱锥是锥体，不属于柱体；长方体，圆柱属于柱体；球是球体，不属于柱体；
∴属于柱体的有2个，
故答案为：B.
【分析】根据锥体包括圆锥和棱锥，柱体包括棱柱和圆柱，长方体是四棱柱属于柱体，球是球体，即可得到答案.
6．【答案】C
【解析】【解答】解：将选项所给的平面图形绕虚线旋转一周，可得C选项符合所给图形，
故选：C．
【分析】
面动成体，将平面图形旋转一周，再与花瓶的形状进行比较即可．
7．【答案】C
【解析】【解答】解：结合图形的特点，根据日常生活中的常识及圆锥的概念和特性判定C是圆锥．
故答案为：C．
【分析】利用圆锥的特征并结合图形逐项分析判断即可.
8．【答案】C
【解析】【解答】解：由题意可得：
旋转一周可得
故答案为：C
【分析】根据旋转的性质即可求出答案.
9．【答案】A
【解析】【解答】解：∵雨滴可视为点，春雨被比喻为丝线，即线，∴点移动形成线，对应“点动成线”的几何原理．
故答案为：A．
【分析】利用“点动成线，线动成面，面动成体”并结合题干中的信息分析求解即可.
10．【答案】A
【解析】【解答】证明：①根据题意，相邻两面上的数相加，正方体每个面都有4个相邻面，
所以：每个面的数字都是加4遍； 1、2、3、4、5、6这6个数的和为21；
所以：不论数字怎么摆放，12条棱12个数字的和恒等于：4×21＝84
这6个数任取2个相加，只有9个不重复的数字：3，4，5，6，7，8，9，10，11
所以：根据“抽屉原理”，12条棱的数字至少重复3个．
即：棱上不同和数的个数最多9个！
②9个和数3，4，5，6，7，8，9，10，11分解：
3＝1+2
4＝1+3
5＝1+4＝2+3[可重复1次]
6＝1+5＝2+4[可重复1次]
7＝1+6＝2+5＝3+4[可重复2次]
8＝2+6＝3+5[可重复1次]
9＝3+6＝4+5[可重复1次]
10＝4+6
11＝5+6
如果所有重复的情况都出现，这些重复的数字的和为：
2×（5+6+8+9）+3×7＝56+21＝77
12个和数字的和恒为84，剩余一个和数＝84﹣77＝7，而7已经被重复了2次，不可能再出现．
所以这种情况不成立．
所以最多只能重复5次．
即：棱上和数最少7个．
故答案为：A．
【分析】根据题意，相邻两面上的数相加，正方体每个面都有4个相邻面，所以每个面的数字都是加4遍，故不论数字怎么摆放，12条棱12个数字的和恒等于：4×21＝84，这6个数任取2个相加，只有9个不重复的数字：3，4，5，6，7，8，9，10，11，棱上不同和数的个数最多9个！9个和数3，4，5，6，7，8，9，10，11分解：如果所有重复的情况都出现，这些重复的数字的和为：77，12个和数字的和恒为84，剩余一个和数＝84﹣77＝7，而7已经被重复了2次，不可能再出现，从而排除此种情况不成立，故最多只能重复5次，棱上和数最少7个．
11．【答案】10；7
【解析】【解答】解：∵一个棱柱有15条棱，，
∴该棱柱为五棱柱，
∴底面是五边形，共个顶点，个面．
故答案为：10，7．
【分析】先由棱的条数确定是五棱柱，由此可得到顶点数和面的数量.
12．【答案】圆锥
【解析】【解答】解：将一个直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥.
故答案为：圆锥.
【分析】根据几何体的侧面展开图和旋转体的定义即可判断其为圆锥.
13．【答案】点动成线
【解析】【解答】解：∵流星划过夜空，会留下一条长长的“尾巴”，
∴可以利用点动成线来解释，
故答案为： 点动成线 .
【分析】利用“点动成线”的数学思想来分析求解即可.
14．【答案】六
【解析】【解答】解：棱柱由底面和侧面围成，一个n棱柱有n个侧面，2个底面，共有（n+2）个面，
∴n+2=8，
解得n=6.
故答案为：六.
【分析】根据一个n棱柱有n个侧面，2个底面，共有（n+2）个面，可解此题.
15．【答案】
【解析】【解答】解：由题意得：
旋转后的几何体是一个底面半径为2，高为2的圆柱体，
，
故答案为：．
【分析】根据平面图形旋转后所得的立体图形求解。由旋转的性质可得旋转后的几何体是一个底面半径为2，高为2的圆柱体，再利用侧面积公式即可求解．
16．【答案】点动成线
【解析】【解答】解：“雨是最寻常的，一下就是三两天，可别恼，看，像牛毛，像花针，像细丝，密密地斜织着……”句中，雨“像细丝”说明了：点动成线．
故答案为：点动成线．
【分析】根据点动成线，线动成面，面动成体即可求出答案.
17．【答案】（1）解：这个六棱柱一共有2+6=8个面
共有6×3=18条棱；
这些棱的长度之和是8×6+5×6×2=108厘米
（2）解：侧面全部展开成一个平面图形，其面积为8×5×6=240厘米2
【解析】【分析】（1）六棱柱的面包括6个侧面和2个底面，共8个面；棱长包括侧面公共棱6条和每个底面棱长有6条，共18条棱。
（2）
18．【答案】（1）解：三棱柱
（2）解：（3+5+4）X 6 =72 cm2。
答：这个几何体的侧面积是72 cm2。
【解析】【分析】（1）根据图示得出这个几何体有三个长方形和2个三角形组成，即可得出这个几何体是三棱柱；
（2）这个多面体的侧面积是三个长方形的面积和，列式进行计算，即可得出这个几何体的侧面积 .
19．【答案】（1）3
（2）解：①当绕三角形直角边AB所在的直线旋转一周时，得到几何体的体积为 ×π×82×4=256（cm3）；②当绕三角形直角边BC所在的直线旋转一周时，得到几何体的体积为
×π×42×8=128（cm3）．
【解析】【分析】（1）分为绕AB旋转构成圆锥、绕BC旋转构成圆锥、绕AC旋转构成两个圆锥；（2）用圆锥体积公式计算即可．
20．【答案】（1）⑴⑵⑹；⑶⑷；⑸
（2）⑵⑶⑸；⑴⑷⑹
【解析】【解答】（1）解：∵（1）是四棱柱，（2）是圆柱，（3）是圆锥，（4）是棱锥，（5）是球，（6）是三棱柱，
∴柱体有（1），（2），（6），锥体有（3），（4），球有（5），
故答案为：（1），（2），（6）；（3），（4）；（5）；
（2）∵（2）（3）（5）有曲面，其它几何体无曲面，
∴按“有无曲面”来分，有曲面的有（2），（3），（5），无曲面的有：（1），（4），（6），
故答案为：（2），（3），（5）；（1），（4），（6）.
【分析】（1）根据柱、锥、球体的特征区别即可；
（2）根据组成面的曲或平面区别即可.
21．【答案】（1）C；D；F
（2）解：∵字母E与它对面的字母表示的数互为相反数
∴2x+5-9=0
解得x =2
∴A=2x-1=4-1=3，B=-3x+9=-3x2+9=3，
【解析】【解答】解：（1）由图可知，与A相邻的字母有D、E、B、F
则A对面的字母是C
与B相邻的字母有C、E、A、F
则B对面的字母是D
E对面的字母是F
故答案为：C，D，F；
【分析】(1)观察三个正方体，与A相邻的字母有D、E、B、F，从而确定出A对面的字母是C，与B相邻的字母有C、E、A、F，从而确定与B对面的字母是D，最后确定出E的对面是F；
(2)根据互为相反数的定义列出求出x，然后代入代数式求出B、E的值即可.
22．【答案】（1）解：由题意，得11x+9 x+πx=(17+π)x(米)
（2）解：πa2+2a×4a+2a×2a=πa2+12a2=(π+12)a2
（3）解：图①的周长为4a×4+2πa=(16+2π)a
图②的周长为2πa+4a×4=(16+2π)a
∵(16+2π)a=(12+2π)a
∴两个图形用的铁丝回样多
答：两个图形用的铁丝同样多
【解析】【分析】（1）6个长方形的周长、圆周长的一半、3条半径的总和即为所求；
（2）将图形看成一个直径为4a的圆、一个长4a、宽2a的长方形和一个边长为2a的正方形的面积的和求解。
（3）分别计算出这两个图形的周长，即可解答。
23．【答案】（1）长方形
（2）解： ， ，
（cm）
【解析】【解答】解：（1）由题意可知，截面是长方形，
故答案为：长方形；
【分析】（1）依据大正三棱柱的底面周长为12，截取一个底面周长为3的小正三棱柱，即可得到截面的形状；
（2）依据△ADE是周长为3的等边三角形，△ABC是周长为12的等边三角形，即可得到四边形DECB的周长，再计算棱长总和.
24．【答案】（1）解：2（30×2＋20×2）＋18＝218（cm），
答：扎这个盒子至少用去彩带218cm；
（2）解：由圆柱的体积公式，得
，
答：这个蛋糕盒子的体积是 ；
（3）解：蛋糕的直径是30﹣3＝27cm，蛋糕的高是20﹣5＝15cm，
截面的面积是
答：蛋糕的表面积增加810平方厘米.
【解析】【分析】（1）根据图形中的相关数据，列式可求出扎这个盒子至少用去彩带的长度；
（2）利用圆柱体的体积公式进行计算，可求出结果；
（3）分别找出蛋糕的直径和蛋糕的高，然后求出截面的面积.
25．【答案】（1）7.5；17.5
（2）
（3）解：根据题意，列方程得： 20×20×15+10×10×10=20×20×h+50×(h-4)
解得 h=16
【解析】【解答】解：（1） ① （20×20）a=20×20×10-10×10×10，
∴400a=3000，
解得a=7.5；
②20×20×20=10×10×10+20×20×a，
∴8000=1000+40a，
解得a=17.5；
故答案为：7.5和17.5.
（2） 设放入铁块后水槽内水面高为xcm，
当0≤a≤7.5时，400x=100x+400a，
解得x=a；
故答案为：a.
【分析】（1）根据“总体积=水的体积+铁块的体积”列等式求解即可，根据"水槽的体积=水的体积+铁块的体积"列等式求解即可；
（2）设放入铁块后水槽内水面高为xcm， 当0≤a≤7.5时，根据“水槽放入铁块后的体积=水的体积+铁块在水下部分的体积”列式即可求解；
（3）根据“加入铁块前水槽内水的体积+铁块的体积=加入铁块后水槽内水的体积+圆柱形容器内水的体积”列式，即可求出h.

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