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第5章走进几何世界 章节分层练习 2026-2027学年苏科版数学七年级上册
一、基础巩固
1．如图所示的五种立体图形中，棱柱为（　　）
A．①② B．①③ C．③④ D．④⑤
2．如图，将下面的平面图形绕直线旋转一周，得到的立体图形是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列选项中，说法正确的是（　　）
A．五棱柱有7个面和10条棱
B．圆锥的侧面展开图是一个三角形
C．用一个平面去截圆柱，截面不可能是正方形
D．将一个长方形绕它的长旋转一周得到的立体图形是圆柱
4．如图，把一个圆绕虚线旋转一周，得到的几何体是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知一个直角三角形的两直角边长分别为3和6，将直角三角形绕它的直角边所在直线旋转一周可以得到一个几何体.
（1）这个几何体的名称为　 　，这个现象用数学知识可以解释为　 　（填序号）；
①点动成线；②线动成面；③面动成体.
（2）求这个几何体的体积.（结果保留π）
6． 如图， 第二行的某个图形绕虚线旋转一周，便能形成第一行的某个几何体。 用线连一连。
7．如图，已知长方形的长为，宽为，将该长方形绕其中一条长边所在直线旋转一周．
（1）将这个长方形绕虚线旋转一周，可以得到一个圆柱，这能说明的事实是___________（填序号）．
①点动成线：②线动成面；③面动成体．
（2）根据图中数据，求出该几何体的体积．（结果保留）
8．如图，观察下列几何体并回答问题：
（1）棱柱有 个面、 条棱、 个顶点，棱锥有 个面、 条棱、 个顶点．
（2）所有像三棱柱、四棱柱、六棱柱、三棱锥等这样由四个或四个以上多边形所围成的立体图形叫作多面体．经过前人们归纳总结发现，多面体的面数、顶点个数以及棱的条数存在着一定的数量关系，请直接写出这个关系式．
9．下列是我们常见的几何体，按要求将其分类（只填写编号）.
（1）如果按“柱”“锥球”来分，柱体有　 　，椎体有　 　，球有　 　；
（2）如果按“有无曲面”来分，有曲面的有　 　，无曲面的有　 　.
10． 十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式。请你观察图中几种简单多面体的模型，解答下列问题。
（1）根据上面的多面体模型，得到如下表格：
多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E）
四面体 4 4 6
正方体 8 6 12
八面体 6 8 12
十二面体 20 12 30
你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式为　 　。
（2）若一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是　 　。
（3）某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱.设该多面体外表面三角形的个数是x，八边形的个数是 y，求x+y的值。
二、拓展提升
11．在学习《展开与折叠》这一课时，老师让同学们用若干个正方形和长方形拼成一个长方体的展开图．拼完后，小明看来看去觉得所拼图形似乎存在问题．
（1）请你帮小明分析一下拼图是否存在问题，若有多余块，则把图中多余块涂黑；若还缺少，则直接在原图中补全；
（2）长方体共有______条棱，若将一个长方体沿某些棱剪开展成（1）中修正后的平面图形，需要剪开______条棱；
（3）根据图中的数据，求出修正后的展开图所折叠而成的长方体的体积．
12．图中各个花瓶的表面可以看成由哪个平面图形绕虚线旋转一周而得到 用线连一连。
13．如图，已知长方形的长为，宽为，将这个长方形分别绕着它的长和宽旋转一周，可以得到两个圆柱体．则图（1）的体积比图（2）的体积大　 　．
14．如图，大长方形长，宽，小长方形长，宽，以两长方形长边中点连线（图中的虚线l）为轴，将八边形旋转一周得到的几何体的表面积为　 　．（结果保留）
15．小明在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀展开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和②．根据你所学的知识，回答下列问题：
（1）小明总共剪开了　 　条棱．
（2）现在小明想将剪断的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为他应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置？请你帮助小明在①上补全．
（3）小明说：他所剪的所有棱中，最长的一条棱是最短的一条棱的5倍．现在已知这个长方体纸盒的底面是一个正方形，并且这个长方体纸盒所有棱长的和是880cm，求这个长方体纸盒的体积．
16．【教材呈现】下图是华师版七年级上册数学教材第104页的部分内容
例5如图3.4.1所示的窗框，上半部分为半圆，下半部分为6个大小一样的长方形，长方形的长和宽的比为3：2． 设长方形的长为x米，用x表示所需材料的长度(重合部分忽略不计)
（1）请根据教材提示，结合图3.4.1，写出例5中第(1)题完整的解题过程
（2）【结论应用】图①、图②是某设计师设计的两种窗户设计图，图①是由边长4a正方形和直径4a半圆组成，图②是由一个八边形和直径2a的圆组成。
求图②的面积(用含有a的代数式表示，结果保留π)．
（3）用铁丝做成图①、图②，这两个图形用的铁丝的长度是否相同，如果相同，请说明理由，如果不同，请比较出哪个设计图大
三、创新思维
17．将一张长方形的纸对折，如图，对折1次可得到1条折痕（图中虚线），连续对折3次（对折时每次折痕与上次折痕保持平行），可以得到7条折痕；那么连续对折5次后，可以得到的折痕的条数是（　　）
A．31条 B．32条 C．33条 D．34条
18．多边形边上（包括顶点）或内部的一点与多边形各顶点的连线，将多边形分割成若干个小三角形．图甲给出了四边形的三种分割方法，分别将四边形分割成了2个、3个和4个小三角形．
（1）请你将图乙中的六边形按这三种方法分割，并写出得到的小三角形的个数．
（2）若将边形按这三种方法作类似的分割，所得的小三角形个数分别是多少？
19．如图1，现有一个棱长为20cm的立方体水槽放在桌面上，水槽内水的高度为acm，往水槽里放入棱长为10cm的立方体铁块.
（1）求下列两种情况下a的值.
①若放入铁块后水面恰好在铁块的上表面，则a=　 　cm；②若放入铁块后水槽恰好盛满（无溢出)，则a=　 　cm；
（2）若0≤a≤7.5，放入铁块后水槽内水面的高度为　 　cm，(用含a的代数式表示）.
（3）如图2，在水槽旁用管子连通一个底面在桌面上的圆柱形容器，内部底面积为
50cm2，管口底部A离水槽内底面的高度为hcm (h>a)，水槽内放入铁块，水溢入圆柱形容器后，容器内水面与水槽内水面的高度差为4cm，若 a=15，求h的值.(水槽和容器的壁及底面厚度相同)
20．先化简，再求值： 其中a=-2，b=1.
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：由图可知：①是四棱锥，②是圆锥，③是正方体，④是三棱柱，⑤是圆柱，
故答案为：C.
【分析】认识立体图形：几何图形分为立体图形和平面图形，立体图形是各部分不在同一平面内的几何图形；常见的立体图形有：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等.
2．【答案】D
【解析】【解答】解：面动成体，直角三角形绕直角边旋转一周可得圆锥，长方形绕一边旋转一周可得圆柱，
那么所求的图形是下面是圆锥，上面是圆柱的组合图形．
故选D．
【分析】本题考查点、线、面、体的问题，根据所求的平面图形是得到几何体的主视图的被纵向分成的一半，结合面动成体，梯形绕下底边旋转是圆锥加圆柱，即可得到答案.
3．【答案】D
【解析】【解答】解：A：∵五棱柱有两个底面（五边形）和五个侧面（矩形），∴面数为7，但棱数应为上底面5条、下底面5条、侧棱5条，共15条，故A错误；
B：∵圆锥的侧面展开图是扇形，不是三角形，故 B错误；
C：∵当圆柱的高等于底面直径时，用垂直于底面的平面截圆柱，截面可为正方形，故C错误；
D：∵长方形绕其长旋转一周，长作为高，宽作为底面半径，形成圆柱，故D正确．
故答案为：D．
【分析】根据五棱柱的特征可得出A错误；根据圆锥的侧面展开图可得出B错误；根据当圆柱的高等于底面直径时，用垂直于底面的平面截圆柱，截面可为正方形，可得出C错误；根据圆柱的特征可得出D正确，即可得出答案。
4．【答案】B
【解析】【解答】解：A、此几何体是长方形绕虚线旋转一周，得到的几何体，故A不符合题意；，
B、此几何体是一个圆绕旋转一周，得到几何体，故B符合题意；
C、此几何体是一个直角梯形图绕长底边旋转一周，得到的几何体，故C不符合题意；
D、此几何体是半圆绕直径旋转一周，得到的几何体，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用面动成体，是将一个圆绕虚线旋转一周，不可能得到圆柱、球体，可对A、C、D作出判断，即可求解.
5．【答案】（1）这个几何体的名称为圆锥，这个现象用数学知识可以解释为③；；③
（2）解：分两种情况：
以直角边3所在直线旋转一周得到的圆锥的体积＝π×62×3＝36π；
以直角边6所在直线旋转一周得到的圆锥的体积＝π×32×6＝18π；
综上所述：这个几何体的体积为36π或18π．
【解析】【分析】（1）利用圆锥的特征分析求解，再利用“点动成线，线动成面，面动成体”分析求解即可；
（2）分类讨论：①以直角边3所在直线旋转一周；②以直角边6所在直线旋转一周，再利用圆锥的体积公式求解即可.
6．【答案】
【解析】【分析】 根据题意将每个给定的二维图形绕虚线旋转一周，观察形成的三维几何体，进而将这个几何体与给定的选项进行对比，找出对应几何体即可求解。
7．【答案】（1）③
（2）解：该几何体的体积为．
【解析】【解答】（1）解：将这个长方形绕虚线旋转一周，可以得到一个圆柱，这能说明的事实是面动成体；故答案为：③；
【分析】(1)本题考察点、线、面、体的关系，长方形是平面图形，绕长边旋转一周后形成圆柱（立体图形），这一过程直接体现了“面动成体”的几何原理；
(2)本题考察圆柱的体积计算，长方形绕长边旋转时，长边成为圆柱的高（），宽成为圆柱的底面半径（），根据圆柱体积公式 ，代入数据计算得 。
（1）解：将这个长方形绕虚线旋转一周，可以得到一个圆柱，这能说明的事实是面动成体；
故答案为：③；
（2）解：该几何体的体积为．
8．【答案】（1），，，，，；
（2）
【解析】【解答】（1）解：观察所给几何体的面、棱、顶点的数量并归纳出棱柱有个面，条棱，个顶点，棱锥有个面，条棱，个顶点；
故答案为：，，，，，；
（2）用表格分别列出三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱所对应的顶点的个数、棱的条数和面的个数，如图：
　 顶点数 棱数 面数
三棱柱 6 9 5
四棱锥 8 12 6
五棱柱 10 15 7
六棱柱 12 18 8
根据上表总结出这个关系为．
【分析】（1）根据题干中立体图形直接求出几何体的面、棱、顶点的数量，再求出规律即可；
（2）根据（1）的计算结果直接分析求解即可.
（1）解：观察所给几何体的面、棱、顶点的数量并归纳出棱柱有个面，条棱，个顶点，棱锥有个面，条棱，个顶点；
故答案为：，，，，，；
（2）用表格分别列出三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱所对应的顶点的个数、棱的条数和面的个数，如图：
根据上表总结出这个关系为．
9．【答案】（1）⑴⑵⑹；⑶⑷；⑸
（2）⑵⑶⑸；⑴⑷⑹
【解析】【解答】（1）解：∵（1）是四棱柱，（2）是圆柱，（3）是圆锥，（4）是棱锥，（5）是球，（6）是三棱柱，
∴柱体有（1），（2），（6），锥体有（3），（4），球有（5），
故答案为：（1），（2），（6）；（3），（4）；（5）；
（2）∵（2）（3）（5）有曲面，其它几何体无曲面，
∴按“有无曲面”来分，有曲面的有（2），（3），（5），无曲面的有：（1），（4），（6），
故答案为：（2），（3），（5）；（1），（4），（6）.
【分析】（1）根据柱、锥、球体的特征区别即可；
（2）根据组成面的曲或平面区别即可.
10．【答案】（1）V+F-E=2
（2）20
（3）解：这个多面体的面数是x+y，棱数是 ，根据V+F-E=2，可得24+(x+y)-36=2，所以.x+y=14.
【解析】【解答】（1）关系式为：V+F-E=2；
故答案为：V+F-E=2.
（2）∵一个多面体的面数比顶点数大8，
∴F=V+8，
∵V+F-E=2，E=30，
∴V+8+V-30=2，
解得V = 12.
∴F = 20.
【分析】(1)观察可得顶点数+面数-棱数=2；
(2)代入(1)中的式子即可得到面数；
(3)得到多面体的棱数，求得面数即为x+y的值.
11．【答案】（1）解：存在问题，有多余块，多余块涂黑如下图所示；
（2）12，7
（3）解：根据题意，该长方体的宽和高为：，
则该长方体的长为，
所以，长方体的体积为：．
【解析】【解答】（2）长方体共有12条棱，若将一个长方体沿某些棱剪开展成（1）中修正后的平面图形，需要剪开7条棱．
故答案为：12，7；
【分析】（1）根据长方体展开图的特征即可求出答案.
（2）根据长方体展开图的特征即可求出答案.
（3）根据题意求出长方体的长，宽，高，再求出长方体的体积，结合有理数的混合运算即可求出答案.
（1）解：存在问题，有多余块，多余块涂黑如下图所示；
（2）长方体共有12条棱，若将一个长方体沿某些棱剪开展成（1）中修正后的平面图形，需要剪开7条棱．
故答案为：12，7；
（3）根据题意，该长方体的宽和高为：，
则该长方体的长为，
所以，长方体的体积为：．
12．【答案】
【解析】【分析】 先观察题目中的四个花瓶和四个平面图形，进而即可确定每个花瓶的表面形状与哪个平面图形绕虚线旋转一周得到的形状相匹配。
13．【答案】
【解析】【解答】解：∵图（1）圆柱的体积为，图（2）圆柱的体积为，
∴图（1）的体积比图（2）的体积大，
故答案为：．
【分析】先利用圆柱的体积分别求出图（1）和图（2）的圆柱体积，再相减即可得到答案．
14．【答案】
【解析】【解答】解：由题意可得：大圆柱的侧面积；
小圆柱的侧面积；
大圆柱上下圆的面积为：，
∴几何体的表面积．
故答案为：．
【分析】本题考查圆柱的表面积计算，根据长方形旋转后形成圆柱，求出大圆柱的侧面积和小圆柱的侧面积，再加上大圆柱的上下两圆的面积，列出算式，进行计算，即可得出答案．
15．【答案】（1）8
（2）解：如图，四种情况．
（3）解：∵长方体纸盒的底面是一个正方形，
∴设最短的棱长高为acm，则长与宽相等为5acm，
∵长方体纸盒所有棱长的和是880cm，
∴4（a+5a+5a）=880，解得a=20cm，
∴这个长方体纸盒的体积为：20×100×100=200000cm3．
【解析】【解答】解：（1）小明共剪了8条棱，
故答案为8．
【分析】（1）根据长方体总共由12条棱，由4条棱未剪开，即可得出剪开的棱的条数；
（2）根据长方体的展开图的情况可知由4种情况；
（3）设最短的棱长高为acm，则长与宽相等为5acm，根据长方体纸盒所有棱长的和是880cm，列出方程4（a+5a+5a）=880，求解即可。
16．【答案】（1）解：由题意，得11x+9 x+πx=(17+π)x(米)
（2）解：πa2+2a×4a+2a×2a=πa2+12a2=(π+12)a2
（3）解：图①的周长为4a×4+2πa=(16+2π)a
图②的周长为2πa+4a×4=(16+2π)a
∵(16+2π)a=(12+2π)a
∴两个图形用的铁丝回样多
答：两个图形用的铁丝同样多
【解析】【分析】（1）6个长方形的周长、圆周长的一半、3条半径的总和即为所求；
（2）将图形看成一个直径为4a的圆、一个长4a、宽2a的长方形和一个边长为2a的正方形的面积的和求解。
（3）分别计算出这两个图形的周长，即可解答。
17．【答案】A
【解析】【解答】由题可得：对折1次
对折2次
对折3次
以此类推可得
对折n次可得条虚线，
当n=5时，条，
故答案为：A.
【分析】先根据前面对折得到的虚线条数找到规律：虚线条数为，将n=5代入即可求解.
18．【答案】（1）解：如图所示，
，
由图可得，得到的三角形个数分别为4个，5个，6个；
（2）解：由图可得，将n（n≥4）边形按这三种方法作类似的分割，
第一种分割法把n边形分割成了（n-2）个三角形；
第二种分割法把n边形分割成了（n-1）个三角形；
第三种分割法把n边形分割成了n个三角形．
【解析】【分析】（1）第一种是从一个顶点出发，连接其余不相邻的顶点进行分割；第二种是从其中一边上选取一点，连接其余不相邻的顶点进行分割；第三种是从多边形内部任选一点，与多边形的各个顶点连接进行分割；
（2）根据多边形的边数和得到的三角形个数进行解答即可.
19．【答案】（1）7.5；17.5
（2）
（3）解：根据题意，列方程得： 20×20×15+10×10×10=20×20×h+50×(h-4)
解得 h=16
【解析】【解答】解：（1） ① （20×20）a=20×20×10-10×10×10，
∴400a=3000，
解得a=7.5；
②20×20×20=10×10×10+20×20×a，
∴8000=1000+40a，
解得a=17.5；
故答案为：7.5和17.5.
（2） 设放入铁块后水槽内水面高为xcm，
当0≤a≤7.5时，400x=100x+400a，
解得x=a；
故答案为：a.
【分析】（1）根据“总体积=水的体积+铁块的体积”列等式求解即可，根据"水槽的体积=水的体积+铁块的体积"列等式求解即可；
（2）设放入铁块后水槽内水面高为xcm， 当0≤a≤7.5时，根据“水槽放入铁块后的体积=水的体积+铁块在水下部分的体积”列式即可求解；
（3）根据“加入铁块前水槽内水的体积+铁块的体积=加入铁块后水槽内水的体积+圆柱形容器内水的体积”列式，即可求出h.
20．【答案】解： (2a+b)2-(b-2a)(b+2a)
当a=-2， b=1时，原式=8×(-2)2+4×(-2)×1=8×4+(-8)=32-8=24.
【解析】【分析】首先根据完全平方公式和平方差公式进行整式的乘法运算，然后再合并同类项，得出化简结果，进而再把a=-2， b=1代入化简后的式子中，进行有理数的混合运算即可。

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