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第6章平面图形的初步认识 章节分层练习 2026-2027学年苏科版数学七年级上册
一、基础巩固
1．下列现象能用“垂线段最短”来解释的是（　　）
A． B．
C． D．
2．已知，若与互余，则（　　）
A． B． C． D．
3．如图，C 是线段AB 上一点，M是AC 的中点，N 是 BC 的中点，如果 MC 比 NC 长4 cm，那么 AC 比 BC长（　　）
A．8cm B．6 cm C．4 cm D．2cm
4．如图，下列几何图形与相应语言描述相符的是（　　）
A．③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
5．如图，已知线段a，b．按如下步骤完成尺规作图，则的长是（　　）
①作射线；
②在射线上截取；
③在线段上截取．
A． B． C． D．
6．如图，点A，B，C，D在同一平面内，按要求完成作图及作答：
（1）在图1中，画直线，画射线，并连接；
（2）在（1）的条件下，在图1中，在射线上画一点E，使得最小，此画图的依据是_______；
（3）在图2中，平面已经被分成了_______个不同的区域，过点D再画一条直线，则此时平面最多有_______个不同的区域．
7．计算：
（1）；
（2）．
8．如图，已知A，B，C，D四点在同一直线上，点D在线段上．点C是线段的中点．
（1）若线段，，求线段的长度；
（2）若，且，求线段的长度．
9．填空并完成以下证明：如图，BD⊥AC，∠A+∠ADE=180°，∠1=∠2，试说明：EF⊥AC.
证明：∵∠A+∠ADE=180°（已知），
∴AB∥DE　 　，
∴∠1=　 　　 　，
∵∠1=∠2（已知），
∴∠2=　 　　 　，
∴BD∥　 　，
∵BD⊥AC（已知），
∴∠BDC=90°，
∵BD∥EF（已证），
∴∠EFC=∠BDC=90°　 　，
∴EF⊥AC　 　.
10．完成下面推理过程，并在括号内填上推理依据．
如图，已知：，，，求证：．
证明：∵，
∴ （ ），
∵，
∴，
∴，
∵，
∴ ，
∴ （ ），
∴（ ）．
11．如图1，线段，，点E，F分别是，的中点．
（1）若，求线段的长度．
（2）当线段在线段上运动时，试判断线段的长度是否发生变化？如果不变，求出的长度；如果变化，请说明理由．
（3）我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，，分别平分和．若，，求的度数．
12．综合实践课上，小明将一副三角板的直角顶点靠在一起，在同一平面内进行拼图学习，，，．
（1）如图①，当与一边重合时，求的度数；
（2）在备用图上，固定，转动，当时，求的度数．
二、拓展提升
13．如图，把一张长方形纸片沿折叠，点在边上，点落在处，若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
14．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，，为折痕，A，C两点的对应点分别为，，且B，，三点在同一条直线上．若则　 　．
15．（1）我们曾解决过这样的问题：如图1，点O在直线上，，分别平分，，可求得______．
【问题改编】点O在直线上，，平分．
（2）如图2，若，求的度数；
（3）将图2中的按图3所示的位置进行放置，写出与度数间的等量关系，并写明理由．
16．
（1）如图1，点B，D在线段上．
①填空：　 　　 　．
②若D是线段中点， 则　 　．
（2）如图2，射线上有一点C，，一动点P从点C出发，以每秒m个单位的速度沿射线的方向运动，同时，射线开始绕点C按顺时针方向以每秒的速度旋转一周．
①当第一次转至与垂直时， ；（用含m的代数式表示）
②当A、P、C三点中有一个点是另外两个点构成的线段的中点时，求m的值．
三、创新思维
17．已知平面内∠AOB=50°，∠COB=10°，OE，OF分别平分∠AOB，∠BOC，则∠EOF=　 　.
18．已知，AE//BD∠A=∠D.
（1）如图1.求证：AB//CD：
（2）如图2，作∠BAE的平分线交CD于点F，点G为AB上一点，连接FG，若∠CFG的平分线交线段AG于点H.求证：∠ECF+2∠AFH=∠E+2∠BHF：
（3）如图3.在（2）的条件下，连接AC.若∠ACE=∠BAC+∠BGM，过点H作HM⊥FH交FG的延长线于点M.且2∠E-3∠AFH=20°求∠EAF+∠GMH的度数。
19．如图1，O为直线上一点，过点O作射线，，将一直角三角板（）的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方，将图1中的三角板绕点O以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周．
　
（1）几秒后与重合？
（2）如图2，经过t秒后，，求此时t的值；
（3）若三角板在转动的同时，射线也绕O点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，那么经过多长时间与重合？
（4）在（3）的条件下，当射线，射线，射线三条中的一条是另外两条组成的夹角的平分线时，请直接写出t的值．
20．如图①，把一副三角板拼在一起，边，在直线上，其中，，．三角板固定不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转一周，设旋转时间为秒．
（1）如图②，当时，______，______，______；
（2）在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线中的某一条射线是另外两条射线构成夹角的平分线？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
（3）如图③，当三角板在直线上方旋转时，且平分平分，试探究的度数是否会发生变化？如果发生变化，请说明理由；如果不发生变化，请求出的度数．
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解：A、用垂线段最短解释，符合题意；
B、用两点确定一条直线解释，不符合题意；
C、用两点确定一条直线解释，不符合题意；
D、用两点之间线段最短解释，不符合题意；
故选：A
【分析】结合图形以及基本的几何原理，对选项逐个进行判断求解即可．
2．【答案】B
【解析】【解答】解：∵，若与互余，
∴．
故选：B．
【分析】本题考查了余角的定义，如果两个角的和是一个直角，称这两个角互为余角，据此计算，即可求解.
3．【答案】A
【解析】【解答】解：∵ M是AC 的中点，
∴AC=2MC=2AM，
∵N 是 BC 的中点，
∴BC=2CN=2BN.
∵MC－NC=4cm，
∴AC－BC=2MC－2CN=2（MC－NC）=8cm.
故答案为：A.
【分析】根据线段中点的定义可得AC=2MC=2AM，BC=2CN=2BN.最后代入AC－BC，即可得到答案.
4．【答案】C
【解析】【解答】解： 几何图形与相应语言描述相符的是 ①②④ ，③应是点A在直线MN外，
故答案为：C.
【分析】根据几何图形于文字语言的的互化解答即可.
5．【答案】D
【解析】【解答】解：如图，
根据作图可知，
故选：D.
【分析】根据题意画出几何图形，然后利用两点之间的距离得到AC=AD+BD-BC，即可求解.．
6．【答案】（1）解：直线，射线，线段，如图所示，
；
（2）两点间线段最短；
（3）7，11．
【解析】【解答】（2）解：如图，点即为所求作；
此画图的依据是两点间线段最短；
故答案为：两点间线段最短；
（3）解：如图，平面已经被分成了7个不同的区域，过点再画一条直线，则此时平面最多有11个不同的区域．
故答案为：7，11．
【分析】（1）利用直线、射线的定义及作图方法作出图形即可；
（2）利用线段的性质（两点之间线段最短）分析求解即可；
（3）根据图形直接分析求解即可.
（1）解：直线，射线，线段，如图所示，
；
（2）解：如图，点即为所求作；
此画图的依据是两点间线段最短；
故答案为：两点间线段最短；
（3）解：如图，平面已经被分成了7个不同的区域，过点再画一条直线，则此时平面最多有11个不同的区域．
故答案为：7，11．
7．【答案】（1）解：原式

（2）解：原式
【解析】【分析】（1）利用含乘方的混合运算的计算方法（先计算乘方，再计算括号，然后计算乘除，最后计算加减）分析求解即可；
（2）先将原式变形为，再计算即可.
（1）解：原式
（2）解：原式
8．【答案】（1）解：∵，点C是线段的中点，
∴，
∵，
∴
（2）解：∵点C是线段的中点，
∴设，
∵，
∴，，
∵，
∴，
解得，
∴
【解析】【分析】（1）先由“ 点C是线段的中点 ”，求出BC的长，在根据“”，可知CD为BC的，即可求出CD长；
（2）通过设未知数x，分别表示出AD和BD的长，在根据条件“ ”，即可列出等式，继而可求出x的值，得到AB的长.
9．【答案】同旁内角互补，两直线平行；∠BDE；两直线平行，内错角相等；∠BDE；等量代换；EF；两直线平行，同位角相等；垂直的定义
【解析】【分析】本题主要考查平行线的判定与性质的综合应用.根据已知条件逐步推导，并正确写出相应的定理.先利用“同旁内角互补，两直线平行”判定AB∥DE；再结合已知条件倒角，利用“同位角相等，两直线平行”得到BD∥EF；最后利用“两直线平行，同位角相等”得到∠EFC=∠BDC=90°，根据垂直的定义得出结论.
10．【答案】证明：∵，∴，（两直线平行，内错角相等），
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴（内错角相等，两直线平行），
∴（平行于同一直线的两条直线互相平行）．
故答案为：，两直线平行，内错角相等；，，内错角相等，两直线平行；平行于同一直线的两条直线互相平行．
【解析】【分析】本题考查平行线的判定和性质，由，得到，再由，得到，得到，证得，即可证得.
11．【答案】（1）解：∵，，，∴，
∵点E，F分别是，的中点，
∴，，
∴；
（2）解：的长度不变，的长度为，
理由如下：
，
CE+DF=
∴；
（3）解： ∵，分别平分和，
∴，，
设，，则，，
∵
∴
即，
∴，
∴
．
【解析】【分析】
（1）根据AB=20，CD=3，AC=7，得到=AB-AC-CD=10，结合据线段中点的定义，得出和的长度，结合，即可求得的长度；
（2）根据题意，AB、CD的长度不变，由线段中点的定义，得到，，CE+DF=，结合，即可求出的长度；
（3）根据题意，得到，，∵∠GOH=130°，∠POQ=18°，可以求出∠GOP+∠QOH，继而求出∠MOP+∠QON，结合，即可求得的度数．
（1）解：∵，，，
∴，
∵点E，F分别是，的中点，
∴，，
∴；
（2）不变，的长度为，理由如下：
设，则
∵点E，F分别是，的中点，
∴，．
∴；
（3）∵，分别平分和，
∴，，
设，，则，，
∵
∴
即，
∴，
∴
．
12．【答案】（1）解：根据题意得：，
∴；
（2）解：如图，当点D在边的左侧时，
；
如图，当点D在边的右侧时，
；
综上所述，的度数为或．
【解析】【分析】（1）根据邻补角的性质可得∠BCD=180°-∠ACB，从而代值计算可得答案；
（2）分类讨论：当点D在边的左侧时，由∠BAD=∠BAC-∠CAD算出答案；当点D在边的右侧时，由∠BAD=∠BAC+∠CAD可算出答案.
（1）解：根据题意得：，
∴；
（2）解：如图，当点D在边的左侧时，
；
如图，当点D在边的右侧时，
；
综上所述，的度数为或．
13．【答案】C
【解析】【解答】解：∵，
∴．
由折叠的性质，可得：，
∵，
∴．
故答案为：C．
【分析】
由，利用“两直线平行，内错角相等”，可得出的度数，再利用折叠的性质及，即可求出的度数，计算即可解答．
14．【答案】
【解析】【解答】解：∵为折痕，
∴，，
∵，
∴，即，
∵，
∴
故答案为： ．
【分析】根据折叠的性质，∠ABE = ∠A'BE，∠CBD = ∠C'BD。因为 B、A'、C' 三点共线，所以∠ABE + ∠A'BE + ∠CBD + ∠C'BD = 180°。代入折叠性质的结论，可得 2 (∠ABE + ∠CBD) = 180°，即∠ABE + ∠CBD = 90°。已知∠ABE = 20°，代入上式得∠CBD = 90° - 20° = 70°。
15．【答案】解：（1）；
（2），
．
，
．
．
平分，
．
；
（3）设．
则．
平分，
．
，
．
按图3所示的位置放置时，与度数间的等量关系为：．
【解析】【解答】解：（1），，分别平分，，
，
，
故答案为：；
【分析】（1）利用角平分线的定义及角的运算和等量代换求出∠COD的度数即可；
（2）先利用角的运算求出∠COB的度数，再利用角平分线定义求出∠COE的度数，最后利用角的运算求出∠DOE的度数即可；
（3）先利用角平分线的定义及角的运算求出∠BOE的度数，再利用角的运算求出即可．
16．【答案】（1）；；6
（2）解：①3m；
②由题意知，当绕点顺时针旋转时，时间为（秒），
当三点中有一个点是另外两个点构成的线段的中点，
当为中点，，即，
解得；
当为中点，，即，
解得，；
当绕点顺时针旋转时，时间为（秒），
为中点，，即，
解得．
综上，的值为1或4．
【解析】【解答】解：（1）AD；BC
①AB=DB+AD=AC-BC
②可以设 BD 的长度为 x，然后得AC=2AD=8BD=8x ，8x=16，x=2，因为BC=3x，所以BC=6cm。
（2）①由题意知，当第一次转至与垂直，即旋转角为，∴时间为（秒），
∴，
故答案为：；
【分析】这道题考的是怎么解一元一次方程，还有线段的中点、两点之间的距离这些概念。关键是要搞清楚“中点”到底是什么意思。
（1）①直接用线段之间的加减关系就能算出来；
②可以设 BD 的长度为 x，然后把 AC 表示出来，再列个方程解一下就行。
（2）①题目说当 CB 第一次转到和 AC 垂直的时候，这个时候转过的角度是90°，时间过了 3 秒，那 PC 的长度就是 3m；
②当 CB 绕着点 C 顺时针旋转，过了 6 秒时，如果 A、P、C 三个点里有一个点是另外两个点连成线段的中点，那就要分情况讨论：
如果 P 是 AC 的中点，那就说明 AP = PC，列出方程 12×= 6m，解一下就行；
如果 A 是 PC 的中点，那就说明 PA = AC，列出方程 6m = 2×12=24，也能解出来。
当旋转了 12 秒时，如果 C 是 AP 的中点，那 PC = AC，也就是 12m = 12，同样能求出 m。
17．【答案】30°或20°
【解析】【解答】解：如图，
①当OC在∠AOB外部时，如图1所示.
∵∠AOB=50°，∠COB=10°，OE，OF分别平分∠AOB，∠BOC，
∴∠EOF=∠EOB+∠BOF=25°+5°=30°.
②当OC在∠AOB的内部时，如图2所示.
∵∠AOB=50°，∠COB=10°，OE，OF分别平分∠AOB，∠BOC，
∴∠EOF=∠BOE-∠FOC=25°-5°=20°.
故答案为：30°或20°。
【分析】本题根据条件，分当OC在∠AOB外部和OC在∠AOB的内部两种情况，然后画图并结合角平分线的定义分别计算出、和、，最后根据角的和差进行计算即可。
18．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：如图2，过点E作，
∵，
∴，
∴∠PEA=∠EAB，∠PEC= ∠ECF
∵∠AEC=∠PEC-∠PEA，
∴∠AEC=∠ECF-∠EAB，
即∠ECF =∠AEC+∠EAB，
∵AF是∠BAE的平分线，
∴∠EAF=∠FAB=∠EAB
∵FH是∠CFG的平分线，
∠CFH=∠HFG=∠CFG
∵CD∥AB，
∴∠BHF=∠CFH，∠CFA=∠FAB，
设∠FAB=α，∠CFH=β，
∵∠AFH=∠CFH- ∠CFA=∠CFH-∠FAB，
∴∠AFH=β-α，∠BHF=∠CFH=β，
∴∠ECF +2∠AFH=∠AEC+∠EAB+2∠AFH=∠AEC+2β，
∴∠ECF +2∠AFH=∠E+2∠BHF，
（3）解：如图，延长DC至点Q，
∵AB // CD，
∴∠QCA=∠CAB，∠BGM=∠DFG，∠CFH=∠BHF，∠CFA=∠FAG
∵∠ACE=∠BAC+∠BGM，
∴∠ECQ+∠QCA= ∠BAC+∠BGM
∴∠ECQ=∠BGM=∠DFG
∴∠ECQ+∠ECD=180°，∠DFG+∠CFG =180°
∴∠ECF=∠CFG，
由(2)问知：∠ECF+2∠AFH=∠AEC+2∠BHF，∠CFG=2∠CFH=2∠BHF
∴∠AEC=2∠AFH，
∵2∠AEC-3∠AFH=20°，
∴∠AFH =20°，
由（2）问知：∠CFM=2β，∠FHG=β，
∵FH⊥HM，
∴∠FHM =90°，
∴∠GHM=90°-β，
过点M作MN // AB，
∴MN∥CD，
∴∠CFM +∠NMF =180°，∠GHM=∠HMN=90°-β，
∴∠HMB=∠HMN=90°-β，
由（2）问知：∠EAF=∠FAB，
∴∠EAF=∠CFA=∠CFH-∠AFH=β-20°
∴∠EAF+∠GMH=β-20°+90°-β=70°，
∴∠EAF+∠GMH=70°。
【解析】【分析】(1)根据平行线的判定与性质即可证明结论；
(2) 过点E作EP∥CD， 根据AB∥CD， 可得 设 ，根据平行线的判定与性质和角平分线定义，可得结论；
(3) 延长DC至点Q， 过点M作I 结合(2)问可得 的度数.
19．【答案】（1）解：∵，
∴秒后与重合.
（2）解：分两种情况：在上方时，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴经过20秒后，；
在下方时，如图2.2，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴经过20秒或80秒后，.
（3）解：如图3所示：
则，
∵三角板绕点以每秒的速度，射线也绕点以每秒的速度旋转，
设，则，
∵与重合，
则，
可得：，
解得：秒；
即经过20秒时间与重合.
（4）或．
【解析】【解答】（4）解：分三种情况：
①平分时，此时在上方，如图4所示：
，
∴，无解；
②平分，此时在上方，如图5所示：
，
，
解得：秒；
③当平分时，如图6，
，
，
解得：；
④当平分时，如图7，
，
，无解；
故的值为或．
故答案为：或．
【分析】（1）利用“时间=角度÷转动速度”列出算式求解即可；
（2）分类讨论：①在上方时，②在下方时，先求出，再利用“时间=角度÷转动速度”列出算式求解即可；
（3） 设，则，根据“”列出方程， 再求解即可；
（4）分类讨论： ①平分时，此时在上方， ②平分，此时在上方， ③当平分时， 先画出图形并列出方程求解即可.
（1）解：∵，
∴秒后与重合；
（2）解：分两种情况：
在上方时，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴经过20秒后，；
在下方时，如图2.2，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴经过20秒或80秒后，；
（3）解：如图3所示：
则，
∵三角板绕点以每秒的速度，射线也绕点以每秒的速度旋转，
设，则，
∵与重合，
则，
可得：，
解得：秒；
即经过20秒时间与重合；
（4）解：分三种情况：
①平分时，此时在上方，如图4所示：
，
∴，无解；
②平分，此时在上方，如图5所示：
，
，
解得：秒；
③当平分时，如图6，
，
，
解得：；
④当平分时，如图7，
，
，无解；
故的值为或．
20．【答案】（1），，；
（2）解：存在，理由如下：
①如图，当是构成的夹角的平分线，
．
（秒）．
②如图，当是构成的夹角的平分线，
．
（秒）．
③如图，当是构成的夹角的平分线，
．
绕旋转了．
（秒）．
综上所述：的值为5或20或50；
（3）解：的度数不会发生变化．理由如下：
由题意可知：．
平分平分，且始终在的右边，
，
．
．
的度数不会发生变化，它的度数为．
【解析】【解答】解：（1） 当时，，
，
，
故答案为：，，；
【分析】（1）我们可以根据旋转的性质得到答案；（2）我们需要分三种不同的情况进行讨论，结合旋转的性质以及角平分线的定义计算出结果；（3）根据题意可以得到，再结合角平分线的定义，可以推导出，，最后根据就可以计算出最终结果。
（1）解：当时，，
，
，
故答案为：，，；
（2）解：存在，理由如下：
①如图，当是构成的夹角的平分线，
．
（秒）．
②如图，当是构成的夹角的平分线，
．
（秒）．
③如图，当是构成的夹角的平分线，
．
绕旋转了．
（秒）．
综上所述：的值为5或20或50；
（3）解：的度数不会发生变化．理由如下：
由题意可知：．
平分平分，且始终在的右边，
，
．
．
的度数不会发生变化，它的度数为．

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