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第4章一元一次方程 章节分层练习 2026-2027学年苏科版数学七年级上册
一、基础巩固
1．下列各式中，是方程的是 (　　)
A．3-2=1 B．y-5 C．3m>5 D．x-1=3
2．下列结论中成立的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．如图，根据图形中标出的量及其满足的关系，列出的方程，正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．已知是方程2x 4a=2的解，则a的值是（　　）
A．1 B．2 C．－2 D．－1
5．按下面的程序计算．
若输入，输出结果是101：若输入，输出结果是131，若开始输入的x的值是一个自然数，最后输出的结果是106，则开始输入的x的值是（　　）
A．1 B．4 C．21 D．4或21
6．某商品进价是每件80元，标价是每件125元，现商店打折后出售，仍可获得的毛利率（），设该商店对该商品打x折，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
7．根据“x的3倍与5的和等于x的4倍”可列出方程来　 　．
8．下列关于x的方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，整式方程有　 　．
9．已知方程是关于x的一元一次方程，则m的值为　 　．
10．某校手工社团30名学生制作纸飞机模型，每人每小时可做20个机身或60个机翼，一个飞机模型要一个机身配两个机翼，为了使每小时制作的成品刚好配套，应该分配多少名学生做机身，多少名学生做机翼？设分配x名学生做机身，则可列方程为　 　．
11．如图，已知甲、乙两张长方形纸条等宽，且它们的长分别为，，若将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，会形成一张长为的纸条，则　 　．
12．解方程：．
13．一家商店将某种服装按成本提高后标价，又以八折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的成本是多少元？
分析：设这种服装每件的成本价为元．依题意可得
（1）请你依据分析，在横线上填写代数式；
（2）请你求出这种服装的成本单价．
14．活动大促期间，某商店推出两种优惠方案．方案一：购买的所有商品一律打8折；方案二：购物满150元后，超过部分享受7折优惠．一次性购物满　 　元时，两种方案最终付款金额相等．
二、拓展提升
15．如图所示，将分别填入图中的圆圈内，使图中横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，则图中的值为（　　）
A．或 B．或1 C．或 D．1或
16．春节来临之际，某花店老板购进大量的康乃馨、百合、玫瑰，打算采用三种不同方式搭配成花束，分别取名为“眷恋”、“永恒”、“守候”．三种花束的每一束成本分别为元、元和元．已知销售每束“眷恋”的利润率为，每束“永恒”的利润率为，每束“守候”的利润率为，当售出的三种花束数量之比为时，老板得到的总利润率为；当售出的三种花束数量之比为时，老板得到的总利润率为，则为（　　）
A． B． C． D．
17．幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一，在如图1所示的幻方中，9个格中的数分别是1，2，3，4，5，6，7，8，9，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都为15，在如图2所示的幻方中，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都相等，则m的值为　 　．
18．方程的解与关于x的方程 的解互为倒数，求k的值.
19．我们规定：若关于x的一元一次方程 ax=b的解为x=b+a，则称该方程为“和解方程”.例如：方程2x=-4的解为x=-2，而-2=-4+2，则方程2x=-4为“和解方程”.
请根据上述规定解答下列问题：
（1）下列关于x的一元一次方程属于“和解方程”的是　 　（填序号）.
①②③
（2）已知关于x的一元一次方程2（x+2）=-m是“和解方程”，求 m的值.
（3）若关于x的一元一次方程3x= mn+m和-3x= mn+n都是“和解方程”，求代数式5-4m+4n的值.
三、创新思维
20．对数轴上的点A进行如下操作：先把点A向左移动a个单位，将得到的点表示的数乘以b，此时所得数对应的点为，则称点为点A的“倍联动点”（a、b均为正整数）．例如，点A表示的数为2，当，时，则它的一个“3倍联动点”表示的数为3；当，时，则它的另一个“3倍联动点”表示的数为．请根据以上信息回答下列问题：
（1）已知点B表示的数为3，则它的“2倍联动点”表示的数是________．
（2）若点C的其中一个“4倍联动点”是它本身，求点C表示的数．
（3）已知数轴上两点M、N表示的数分别为m、，且点N为点M的“k倍联动点”（k为正整数）．点P从点M出发，以每秒1个单位长度沿数轴向右移动，同时点Q从点N出发，以每秒3个单位长度沿数轴向右移动．若任何一个时刻，点P的其中一个“6倍联动点”与点Q之间的距离始终为3，求k的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：A、3-2=1是等式，不含未知数，不属于方程；
B、y-5是代数式，不是等式，不属于方程；
C、 3m>5虽含有未知数，但是不等式，不属于方程；
D、 x-1=3是等式且含有未知数x，满足方程的两个条件，因此是方程.
故答案为：D.
【分析】方程的定义：含有未知数的等式. 根据定义判断各选项即可.
2．【答案】D
【解析】【解答】解：A、∵当c=0时，ac=bc恒成立，无法推出a=b，A错误；
B、∵m>n，不等式两边同时乘-1，不等号方向改变，∴-m<-n，B错误；
C、∵3a=4b，等式两边同除以12，整理，得，和不相等，C错误；
D、∵c2≥0，∴c2+1>0，m>n两边同时除以正数c2+1，不等号方向不变，∴，D正确．
故答案为：D．
【分析】根据等式基本性质，不等式基本性质，平方非负性，逐项变分析即可．
3．【答案】D
【解析】【解答】解：根据题意直角三角形两直角边的边长分别为，面积为6，
则，
故答案为：D．
【分析】根据三角形面积公式列一元二次方程即可．
4．【答案】B
【解析】【解答】解：∵x=5是方程2x 4a=2的解，
∴2×5 4a=2，
∴a=2．
故选：B．
【分析】本题考查了方程解的定义、解一元一次方程等，将x=5代入方程2x 4a=2中，得到关于a的方程，求得方程的解，即可得到答案.
5．【答案】D
【解析】【解答】解：当时，；
当时，；
当时，x不是自然数；
所以开始输入的x的值是4或21，
故答案为：D．
【分析】利用流程图中的计算方法列出方程求解并倒推即可.
6．【答案】D
【解析】【解答】解：根据售价进价金价毛利率，列式得，
；
故答案为：D.
【分析】根据售价进价金价毛利率，列式即可得出答案.
7．【答案】
【解析】【解答】x的3倍为与5的和等于x的4倍，
，
故答案为：．
【分析】根据题意直接列出方程，进而即可求解。
8．【答案】②③④⑥
【解析】【解答】解：②0，③，④，⑥的分母中不含未知数，是整式方程；①和⑤分母中含未知数，是分式方程．
故答案为：②③④⑥．
【分析】根据整式方程的定义“分母中不含未知数的方程是整式方程”逐一判断即可.
9．【答案】
【解析】【解答】解：是关于x的一元一次方程，
且，
．
故答案为：．
【分析】根据一元一次方程的定义即可求出答案.
10．【答案】
【解析】【解答】解：设分配x名学生做机身，则有名学生做机翼，依题意得：
，
故答案为：．
【分析】设分配x名学生做机身，则有名学生做机翼，依题意列出方程即可．
11．【答案】66
【解析】【解答】解：由题意可知，重叠部分为：，
设重叠部分的长度为，则，，
重叠后的总长度为：，即，
代入，得：，
解得，
．
故答案为：．
【分析】本题考查一元一次方程的应用，关键是利用重叠部分长度相等建立关系。由题意可知，甲纸条的与乙纸条的长度相等，设重叠部分长度为k，则、；重叠后纸条的总长度为，化简得；将、代入该等式，解方程求出k的值，再代入计算即可。
12．【答案】解：
去中括号得：，
去分母得：，
去小括号得：，
移项得2x-x-4x=-8-1，
合并同类项得：，
系数化为1，得：．
【解析】【分析】本题根据解一元一次方程的步骤，先去掉中括号、再去掉分母，此时原方程变为整式方程，然后去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可。
13．【答案】（1）①；②；③
（2）解：根据题意可得，
解得：元，
即这种服装每件的成本是125元．
【解析】【解答】（1）解：按成本提高后标价，则标价为元，
八折优惠卖出，则售价为元，
利润=元，
故答案为：（1）①；②；③；
【分析】（1）根据条件分别求出成本提高后标价为1.4x元、八折优惠卖出对应的售价为1.12元，最后依据“利润=售价-成本”列式计算即可；
（2）结合条件“ 每件仍获利15元 ”以及（1）的计算结果，列式，解方程即可．
（1）解：根据题意可得，标价为元，
售价为元，
利润为元，
故答案为：①；②；③；
（2）解：根据题意可得，
解得：元，
答：这种服装每件的成本是125元．
14．【答案】450
【解析】【解答】解：设一次性购物满元时，两种方案最终付款金额相等
根据题意，得，
解得，
故答案为：450．
【分析】设一次性购物满x元时，根据"两种方案最终付款金额相等"据此列出方程：，解此方程即可.
15．【答案】A
【解析】【解答】解：如图，设内圈上的数为c，外圈上的数为d，
∵横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，，
∴内、外两圈上的4个数字的和是2，横、竖的4个数字的和也是2，
∴，，，
∴，
当时， ，符合题意，此时；
当时， ，符合题意，此时；
综上所述，图中的值为或．
故选：A．
【分析】设内圈上的数为c，外圈上的数为d， 得到内、外两圈上的4个数字的和，横、竖的4个数字的和是2列等式解答即可．
16．【答案】A
【解析】【解答】解：三种花束的每一束成本分别为元、元和元，
则三种花束的每一束利润分别为元，元，元，
当售出的三种花束数量之比为时，设三种花束的数量分别为，，，
根据题意得：，
整理得：，
当售出的三种花束数量之比为时，设三种花束的数量分别为，，，
根据题意：，
整理得：，则：，
将代入得：，则：，
∴.
故答案为：A．
【分析】根据利润、成本价及利率三者之间的关系得三种花束的每一束利润分别为10%a元，20%b元，30%c元；然后根据每束花的利润乘以销售数量等于总利润及销售三种花束的利润之和除以三种花束的进价之和等于销售三种花束的总利润率建立等式，进行整理可得，，求解分别用含a的式子表示出b、c，即可求出a、b、c的比值.
17．【答案】
【解析】【解答】解：∵每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都相等，
∴
解得．
故答案为：．
【分析】根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
18．【答案】解：，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
化系数为1，得x=.
∵的倒数是，
∴将x=代入方程，
则，
解得k=1.
【解析】【分析】根据一元一次方程的解题步骤"去括号、移项、合并同类项、系数化为1”先求得方程2-3（x+1）=0的解，再把求得的x的值的倒数代入关于x的方程-3k-2=2x可得关于k的方程，解这个方程可求解.
19．【答案】（1）②
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵即是“和解方程”，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
而是“和解方程”，
∴，
∴，（①式）
∵，
∴，
而是“和解方程”，
∴，
∴，（②式），
由①-②得：，
∴
【解析】【解答】解：（1）①＝的解是，
∵，
∴①不是“和解方程”；
②的解是，
∵，
∴②是“和解方程”；
③的解是，
∵，
∴③不是“和解方程”；
故答案为：②
【分析】（1）根据“和解方程”的定义对①②③逐一判断，进而即可求解；
（2）先根据题意解一元一次方程得到，进而根据“和解方程”的定义得到，从而解一元一次方程即可求解；
（3）先根据“和解方程”的定义得到，，进而相减即可得到，从而根据整式的混合运算即可得到 ，再代入即可求解。
20．【答案】（1）1或4
（2）解：设点表示的数是，由“ab倍联动点”的定义可得，
∴，
∵，且均为正整数，
∴当时，；
当时，；
当时，代入，无解，
答：点表示的数为4或
（3）解：设运动时间为秒，则点表示的数是，点表示的数是，
点为点的6倍联动点，，
∴若点表示的数为，则，
∵等式左边的式子的值与有关，
∴不符合题意；
若点表示的数为，则
或，
或，
∵点为点的“倍联动点”，即且，
当时，可得，
∴
当时，可得，
∴；
若点表示的数为，则，
∵等式左边的式子的值与有关，
∴不符合题意；
若点表示的数为，则，
∵等式左边的式子的值与有关，
∴不符合题意；
综上所述，的值为9或3
【解析】【解答】（1）解：设点表示的数为，则点的倍联动点表示的数为，
根据“倍联动点”的定义，，
∵a、均为正整数，
∴和，
当时，点的“2倍联动点”表示的数为；
当时，点的“2倍联动点”表示的数为，
∴点的“2倍联动点”表示的数是1或4，
故答案为：1或4；
【分析】（1）设点表示的数为，则点的倍联动点表示的数为，根据“倍联动点”的定义得，求出该方程的正整数解得出符合题意的a与b的值，根据新定义的意义计算即可；
（2）设点表示的数是，由“ab倍联动点”的定义可得，求解用含a、b的式子表示出x；根据“倍联动点”的定义得ab=4，求出该方程的正整数解得出符合题意的a与b的值，求得相应的的值即可求得点表示的数；
（3）设运动时间为秒，根据数轴上点所表示数的移动规律“左移减，右移加”结合路程、速度、时间三者的关系得点表示的数是，点表示的数是；根据“倍联动点”的定义得出ab=6，求出该方程的正整数解，分几种情况得出点P'所表示的数，根据数轴上两点间的距离等于这两点所表示数差的绝对值，结合点'与点之间的距离始终为3列出方程，判断出k的取值和无关，即可确定对应的和的值，根据点为点的“倍联动点”进行整理即可得到的值．
（1）解：设点表示的数为，则点的倍联动点表示的数为，
根据“倍联动点”的定义，，∵a、均为正整数，
∴和，
当时，点的“2倍联动点”表示的数为；
当时，点的“2倍联动点”表示的数为，
∴点的“2倍联动点”表示的数是1或4，
故答案为：1或4；
（2）解：设点表示的数是，由“ab倍联动点”的定义可得，
∴，
∵，且均为正整数，
∴当时，；
当时，；
当时，代入，无解，
答：点表示的数为4或；
（3）解：设运动时间为秒，则点表示的数是，点表示的数是，
点为点的6倍联动点，，
∴若点表示的数为，则，
∵等式左边的式子的值与有关，
∴不符合题意；
若点表示的数为，则
或，
或，
∵点为点的“倍联动点”，即且，
当时，可得，
∴
当时，可得，
∴；
若点表示的数为，则，
∵等式左边的式子的值与有关，
∴不符合题意；
若点表示的数为，则，
∵等式左边的式子的值与有关，
∴不符合题意；
综上所述，的值为9或3．

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