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7第二十五一元二次方程单元检测卷
一、单选题（共30分）
1．（本题2分）下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（本题2分）方程的解正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．（本题2分）用公式法解方程时，求根公式中的a，b，c的值分别是（ ）
A．1，2，3 B．1，，3 C．1，2， D．0，，
4．（本题2分）用配方法解方程时，原方程应变形为（ ）
A． B． C． D．
5．（本题2分）下列一元二次方程的两个实数根之和为的是（ ）
A． B． C． D．
6．（本题2分）解方程最合适的方法是（ ）
A．因式分解法 B．公式法 C．配方法 D．代入消元法
7．（本题2分）如图，某摄影爱好者拍摄了一副长为，宽为的杭州金沙湖大剧院风景照，现在风景画四周一条等宽的纸边，制成一幅矩形挂图．若要使整幅挂图的面积是，设纸边的宽为（），则应满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
8．（本题2分）在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初二年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则参加小组赛的球队有（ ）
A．6支 B．7支 C．8支 D．9支
9．（本题2分）如图，这是小卫同学解一元二次方程的过程，判断他在解答过程中出现错误的步骤是（ ）
小卫同学解答过程： 解：， 第一步 ， 第二步 ， 第三步 或， 第四步 解得或． 第五步
A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步
10．（本题2分）关于的一元二次方程的一个根为3，则另一个根为（ ）
A．3 B． C．5 D．
11．（本题2分）如图是小丽与DeepSeek的对话截屏，DeepSeek在深度思考后，给出的正确答案是（ ）
A． B．1 C． D．
12．（本题2分）如果等腰的两边长分别是方程的两个根，则的周长为（ ）
A．12 B．9 C．12或9 D．10
13．（本题2分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B．且
C． D．且
14．（本题2分）已知m，n是方程的两个实数根，则的值是（）
A．2025 B．2028 C．2030 D．4048
15．（本题2分）某文具店将进价为12元的口风琴按照每个20元出售时，平均每天能够售出8个．若这种商品每件降低元能多售出4个．若该文具店希望这种口风琴每天的销售利润为144元，那么每个口风琴的售价应该是多少元，设售价定为每件元，下列列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（共8分）
16．（本题2分）一元二次方程的根是___________．
17．（本题2分）若关于x的方程有两个相等的实数根，则a的值是______．
18．（本题2分）用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为_______．
19．（本题2分）实数a，b定义新运算“*”如下：，例如，则方程的根的情况是________．（填序号）
①有两个不相等的实数根 ②有两个相等的实数根 ③没有实数根
三、解答题（共62分）
20．（本题8分）解方程：
(1)；
(2)．
21．（本题6分）已知关于x的一元二次方程（m为实数且）．
(1)求证：此方程总有两个实数根；
(2)如果此方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．
22．（本题6分）已知．
(1)化简T；
(2)若a、b是方程的两个根，求T的值．
23．（本题6分）新型科技广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进1台智能机器人采摘某种水果．如图，为了方便智能机器人和工人采摘水果，计划在一块长、宽的矩形果园上修建三条道路，道路的宽度都相等，道路将果园分成面积均为的个小矩形，求道路的宽度．
24．（本题8分）用整式乘法的逆运算来进行因式分解，我们把这种方法叫作十字相乘法，即．
例如：分解因式时，，即：
这样我们就可以把分解为．试用十字相乘法解下列一元二次方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
25．（本题8分）根据以下素材，探索完成以下任务：
任务背景 2026年春节档，《飞驰人生3》票房一骑绝尘．在此期间，咔搭CaDA联名推出遥控积木赛车，开售即火热．
数据信息 素材1：经销售部统计，该遥控积木赛车在2月份销售20000辆，4月份销售28800辆，且从2月份到4月份销售量的月增长率相同．
素材2：根据市场部反馈，当每辆遥控积木赛车售价为200元时，且销售量为20000辆，在此基础上售价每涨1元，则月销售量将减少100辆．
问题解决
(1)根据素材1中的信息，请求出遥控积木赛车在2月份到4月份销售量的月增长率；
(2)从生产部得知，该遥控积木赛车的生产成本为每件160元，为使月销售利润达到1440000元，则应将遥控积木赛车的实际售价定为多少元/辆．
26．（本题8分）下面是小明同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：二次项系数化为1，得，……第一步
移项，得，……第二步
配方，得，……第三步
，……第四步
由此可得，……第五步
解得……第六步
(1)任务一：
①上述小明同学解此一元二次方程的方法是什么？依据的数学公式是什么？
②哪一步首先出现错误，错误的原因是什么？
(2)任务二：请你写出该方程的正确求解过程．
27．（本题12分）先阅读下列问题，再按要求解答问题：
例题：求代数式的最小值．
解：
∵，∴，
∴的最小值是9．
(1)求代数式的最小值；
(2)求代数式的最大值；
(3)小红的爸爸要在一块一边靠墙（墙长）的空地上建一个长方形鸡舍，鸡舍一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成．如图，设；请问：当x取何值时，鸡舍的面积最大？最大面积是多少？

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