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陕西省宝鸡市陈仓区2026年初中学业水平考试数学试卷
1．从-4℃上升了9℃后的温度、在温度计上显示正确的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】有理数的加法实际应用
【解析】【解答】解：根据题意可列：-4+9=5，
结合温度计显示为零上5°.
故答案为：C.
【分析】本题主要考查了正，负数的实际应用，有理数加法的实际应用，结合题意列出算式，结合温度计即可确定.
2．下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A不符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故B不符合题意；
C、不是轴对称图形，但是中心对称图形，故C不符合题意；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故D符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据定义：轴对称图形是指在平面内，存在一条直线（称为对称轴），当图形沿这条直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合的图形；中心对称图形是指在平面内，存在一个点（称为对称中心），当图形绕这个点旋转180°后，旋转后的图形能与原图形完全重合的图形；即可选出正确答案.
3．如图，将一副直角三角板ABC和DEF按图中所示的位置摆放，两条斜边AB、DE互相平行，其中，∠ACB=∠DFE=90°，∠B=60°，∠D=45°，则∠1的度数为(　　)
A．75° B．105° C．115° D．120°
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；平行线的应用-三角尺问题
【解析】【解答】解：令AC与DE交于点H，如图，
因为AB||DE，
所以∠DHA=∠BAC=30°，
因为∠D=45°，
所以在△DAH中，由三角形内角和定理得：
∠1=180°-∠D-∠DHA=180°-45°-30°=105°.
故答案为：B.
【分析】本题主要考查了平行线的性质和三角形内角和定理，首先令DE与AC交于点H，因为AB||DE，所以∠DHA=∠CAB，然后在△ADH中，运用三角形内角和定理即可得到∠1的度数.
4．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；多项式除以单项式；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A选项：根据合并同类项法则，只有是同类项才能进行合并，而3a3和2a2不是同类项，不能合并，故A选项错误；
B选项：根据平方差公式结构特征，结果为相同项的平方减去相反项的平方，故正确结果为：4n2-m2，故B选项错误；
C选项：根据完全平方公式的结构特征，，故C选项错误；
D选项：根据多项式除单项式法则，，故D选项正确.
故答案为：D.
【分析】本题主要考查了合并同类项法则，多项式除以单项式，平方差公式和完全平方公式的运用，运用运算法则对每个选项进行逐一判断即可.
5．如图，甲、乙两位登山者同时从点A出发，一段时间后，甲步行m米到达点 C，乙步行 n米到达点B.若坡角为α，则甲、乙两人的垂直高度距离 CD可以表示为（　　）
A．(m-n)cosα米 B．(m-n)sinα米
C． 米 D．米
【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图，由题意可知：BD||水平面，
则∠CBD=∠α，BC=(m-n)m，
在Rt△BCD中，，
所以得到CD=BCsinα=(m-n)sinα米.
故答案为：B.
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，根据题意构造直角三角形，表示出BC的长，然后在直角三角形BCD中，用锐角三角函数表示出CD的长即可.
6． 在平面直角坐标系中，点A (-1，a)，点B (4，b) 均在直线y= kx (k≠0) 上. 若a>b，则该直线经过的点的坐标可以是 (　　)
A．(1， - 3) B．(1， 0)
C．(2， 5) D．(-1， - 3)
【答案】A
【知识点】一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：因为点A，B均在直线y=kx上，且a>b，-1<4，
所以y随着x的增大而减小，
所以k<0，
所以直线y=kx经过二，四象限，
结合选项可知只有A选项中的点位于第二象限.
故答案为：A.
【分析】本题主考查了正比例函数的性质，根据题意因为-1<4，a>b可以确定k的正负，进而结合选项即可确定.
7．南宁市某小区为了改善环境，计划在花坛种植200株花，由于大学生志愿者的加入，每小时比原计划多种20株，结果提前1小时完成任务.设原计划每小时种x株，根据题意可列方程为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：由题意知实际每小时种(x+20)株，
根据提前1小时，即 .
故答案为：D.
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，根据题意原计划每小时种x株，则实际每小时种(x+20)株，然后原计划的时间减实际时间=1，即可列出方程.
8．二次函数 的部分图象如图所示，图象过点 (-1，0)，对称轴为直线x=2，则下列结论中正确的是（　　）
①4a+b=0； ②9a+c>3b；
③若点A( -3，y1)、点 B(( ， y2)、点 (，y3) 在该函数图象上，则y1
④若方程a(x+1)(x-5) =-3的两根为 xt和x2，且x11<-1<5
其中正确的结论有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；利用二次函数图象求一元二次方程的近似根；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：已知二次函数图象对称轴是直线 x=2，图像经过点 (-1，0)，抛物线开口向下。
1、判断结论①：二次函数对称轴公式为，代入 x=2 整理得到 4a+b=0，结论①正确。
2、判断结论②：把 9a+c>3b 移项得到 9a-3b+c>0，式子 9a-3b+c 对应自变量 x=-3 时的函数值，抛物线和 x 轴交于 (-1，0)、(5，0)，x=-3 在点 (-1，0) 左侧，抛物线开口向下，x=-3 对应的函数图象在 x 轴下方，函数值小于 0，也就是 9a-3b+c<0，可得 9a+c<3b，结论②错误。
3、判断结论③：计算三个点到对称轴直线 x=2 的距离，点 A (-3，y1) 到对称轴距离是 5，点 B (，y2) 到对称轴距离是，点 C (，y3) 到对称轴距离是；抛物线开口向下，到对称轴距离相等的点纵坐标相等，距离越近纵坐标数值越大，因此 y2 等于 y3，且 y1 小于 y2、y3，结论③正确。
4、判断结论④：抛物线与 x 轴交点为 (-1，0) 和 (5，0)，原式 a (x+1)(x-5)=-3 代表抛物线图像与直线 y=-3 的交点横坐标，抛物线开口向下，直线 y=-3 在 x 轴下方，两个交点一个小于 - 1，另一个大于 5，和题干给出的范围不符，结论④错误。
综上正确结论是①、③.
故答案为：B.
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，根据二次函数对称轴 x=2 推导 a 与 b 的等量关系，验证结论①；将不等式 9a+c>3b 变形为 x 取 - 3 时的函数式，结合抛物线图像判断函数值正负，验证结论②；分别算出三个点到对称轴 x=2 的距离，抛物线开口向下，点离对称轴越近纵坐标数值越大，对比三个点纵坐标大小验证结论③；把方程转化为抛物线和水平线交点问题，结合抛物线与 x 轴交点坐标判断两根取值范围，验证结论④，最后统计正确结论数量。
9．分解因式： 　 　；
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：2x2y-18x=2x(y2-32)= 。
故答案是： 。
【分析】先利用提公因式法分解因式，再利用平方差公式法分解到每一个因式都不能再分解为止。
10．如图是一组有规律的图案，它由火柴棒搭成的正六边形组成.第1个图案中有6根火柴棒，第2个图案有11根火柴棒，第3个图案中有16根火柴棒，第4个图案中有21根火柴棒，…依此规律，第n个图案中有 　 　根火柴棒(用含n的代数式表示).
【答案】(5n+1)
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：根据题意第1个图案中有6根火柴棒，第2个图案有11根火柴棒，第3个图案中有16根火柴棒，第4个图案中有21根火柴棒，…
可以发现每增加一个正六边形，火柴棒增加5个，
即第1个图中火柴棒为：5×1+1=6；
第2个图中火柴棒为：5×2+1=11；
第3个图中火柴棒为：5×3+1=16；
第4个图中火柴棒为：5×4+1=21；
......
第n个图中火柴棒为：5×n+1=5n+1；
故答案为：(5n+1).
【分析】本题主要查了用代数式表示图形变化规律，根据第1个图中火柴棒的数量为6，图2中数量为11，图3中数量为16......即可确定每增加一个正六边形，火柴棒增加5个，即可确定第n个图案中火柴棒的数量.
11．如图，乐器上的一根弦长AB=80cm，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C 是靠近点 B 的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则支撑点C，D之间的距离为　 　cm.(结果保留根号)
【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：已知线段 AB 总长 80 厘米，黄金分割中较长段长度等于总长×，
因为点 C 是靠近 B 的黄金分割点，AC 为较长段，
所以算cm，
因为点 D 是靠近 A 的黄金分割点，DB 为较长段，
所以cm，
则CD=AC+BD-AB=cm.
故答案为：.
【分析】先记住黄金分割较长线段的计算方式，线段总长×，先算出靠近 B 的分割点 C 到 A 的长度，再算出靠近 A 的分割点 D 到 B 的长度，用 AC 减去 DB 就能得到 D、C 两点之间的距离，最后整理化简式子得到结果。
12．如图，在菱形 ABCD中，AB=10，BD=16，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长　 　.
【答案】9.6
【知识点】三角形的面积；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，设AC与BD交点为O，
因为四边形ABCD为菱形，
所以AC⊥BD，OB=OD=BD=8，
在Rt△AOB中，由勾股定理得OA=，
所以，
所以.
故答案为；9.6.
【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形的面积，勾股定理，首先令对角线的交点为O，根据菱形的性质得到AC⊥BD，OB=OD=8，然后求出OA的长，接着用两种方式表示△ABD的面积，即可求出DE的长.
13．如图，正方形ABCD 的顶点B在x轴上，点A，点C在反比例函数 图象上，若直线BC的函数表达式为 则k的值为　 　.
【答案】k=6
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；正方形的性质；同侧一线三等角全等模型（锐角）
【解析】【解答】 解：因为点B在直线上，令y=0，得x=4，
故点 B 坐标是 (4，0)，
如图，过A作AM垂直x轴，过C作CN垂直x轴，
因为四边形ABCD 是正方形，
所以AB=BC，∠ABC=90°，
因为∠ABM+∠BAM=90°，∠ABM+∠CBN=90°，
所以∠BAM=∠CBN，
所以△ABM≌△BCN；
所以AM=BN，BM=CN
因为直线 BC 斜率为二分之一，说明水平变化长度是竖直变化长度的 2 倍，
设 CN 长度为 t，则 BN 长度为 2t，
则点 C 坐标 (4+2t，t)，
所以点 A 坐标 (4-t，2t)；
因为 A、C 都在反比例函数图象上，
所以(4+2t)t=(4-t)2t，
解得t=1，
所以点A(6，1)
所以k=6.
故答案为：k=6.
【分析】 先求出直线 BC 与 x 轴交点 B 的坐标，过点 A、C 分别向 x 轴作垂线，利用正方形相邻边垂直且相等的性质，构造全等直角三角形，结合直线 BC 的斜率确定线段横纵变化的比例关系，设出点 C 的坐标再推出点 A 的坐标，最后把两个点代入反比例函数解析式联立计算，解出未知数后求出 k 的值。
14．如图，四边形 ABCD 的面积为：36 ，∠BCD=120°，AC平分∠BCD，BC+CD=18，则四边形ABCD 周长的最小值为　 　.
【答案】
【知识点】二次函数的最值；三角形的面积；四边形的综合；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解： 如图， 过A分别作BC，CD 的垂线，垂足为G，E，
因为AC 平分∠BCD，∠BCD=120°，
所以AE=AF，∠ACB=∠ACD=60°
四边形总面积等于△ABC面积加△ACD 面积，
把 BC 加 CD 等于 18 整体代入面积等式，可得AE=AF=，
所以AC=8，
因为四边形周长 = BC+CD+AB+AD，BC 与 CD 的和恒为 18，
只需算出 AB+AD 的最小长度；
如图，在GC上截取GF=ED，则AF=AD，过点A作AT||BC，作点B关于直线AT的对称点H，连接AH，FH，
因为AB+AD=AH+AF≥HF，
所以当点A在HF上时，AB+AD=AH+AF=HF，
即AB+AD的最小值为HF，
因为HB=2AE=，BF=10，
所以HF=
所以四边形ABCD的周长的最小值为：.
故答案为：.
【分析】AC 平分∠BCD，可得到△ABC 与△ACD 等高，将四边形面积拆分为两个三角形面积之和，结合 BC 加 CD 等于 18 求出 AC 长度；四边形周长是 BC、CD、AB、AD 四段相加，BC 与 CD 的和固定为 18，因此只需要求出 AB 加 AD 的最小值，利用轴对称转化线段，构造含 60°角的直角三角形，结合勾股定理配方法求两条线段和的最小值，最后相加得到周长最小值。
15．计算：
【答案】解： 原式
【知识点】实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】本题主要考查了实数的混合运算，零指数幂，负整数指数幂和特殊角的三角函数值，首先分别计算零指数幂，立方根，特殊角的三角函数，负整数指数幂，然后再合并即可.
16．解不等式 并写出最小整数解.
【答案】解： 2(2x-1)-(9x+2)<12，
4x-2-9x-2<12，
4x-9x<12+2+2，
，
，
∴不等式最小整数解为-3
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式的特殊解
【解析】【分析】 先找到分母 3 和 6 的最小公分母 6，不等式两边同时乘 6 去掉分母，接着去括号、移项合并同类项得到含负系数的一元一次不等式，两边同时除以负数要改变不等号方向，算出 x 的取值范围后，结合取值找出范围内最小的整数解。
17．先化简，再求值： 再从-2，1，2中选取一个适合的数代入求值.
【答案】解：原式=
∵分式要有意义，
∴
∴a≠1且a≠-2，
∴当a=2时， 原式
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】 先把括号里整式通分，合并成单一分式，再将除法转化为乘法，对分子分母多项式因式分解，约分得到最简分式；再根据分式分母不能为零、除式不能为零，排除取值里使式子无意义的数字，选取剩余合适数字代入最简分式算出结果。
18．如图，已知在等腰△ABC中，AB=AC，点D、E分别在腰AB、AC上，连接DE，请用尺规作图法在线段DE上求作一点 P，连接PA、PB、PC，使得△APB≌△APC.(保留作图痕迹，不写作法)
【答案】1.分别以点B、C为圆心，取大于BC一半的相同长度画弧，上下两组弧分别相交，过两个交点画出BC的垂直
平分线；
2.该垂直平分线与线段DE产生交点，标记这个交点为P；
3.连接PA、PB、PC，点P即为满足条件的点，作图全程保留圆弧与直线痕迹。

【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SSS；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】 要让△APB 与△APC 全等，已知 AB 等于 AC、AP 为公共边，只需要满足∠BAP 等于∠CAP，也就是 AP 平分∠BAC；等腰三角形 AB=AC，顶角平分线同时也是底边 BC 的垂直平分线，因此先作出 BC 的垂直平分线，这条线与线段 DE 的交点就是所求点 P，最后连接 PA、PB、PC 即可。
19． 如图，四边形ABCD是矩形，点E在BC边上，AF⊥DE，垂足为F，AF=DC. 证明： AD=DE.
【答案】证明： 四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC， ∠C=90°，
∴∠ADF=∠DEC，
∵AF⊥DE，
∴∠AFD=90°，
∴∠AFD=∠C.
∵∠ADF =∠DEC， ∠AFD=∠C， AF=DC，
∴△ADF≌△DEC(AAS).
∴AD=DE
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】 利用矩形性质得到 AD 平行 BC、∠C 为直角，推导出一组内错角相等；结合 AF 垂直 DE 得到∠AFD 为直角，得出两组角对应相等，再结合已知 AF 等于 DC，通过 AAS 证明△ADF 和△DEC 全等，由全等三角形对应边相等证出 AD 等于 DE。
20．甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，小明在了解了甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片这四张卡片分别用字母，，，表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同，现将四张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）小明从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“文”的概率为　 　．
（2）小明从中随机抽取一张卡片不放回，小亮再从中随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法计算两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的概率．
【答案】（1）
（2）解：画树状图如解图，
由树状图知，共有种等可能的结果，两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的结果有种，
则两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：由题意可得：
小明从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“文”的概率为
故答案为：
【分析】（1）根据简单事件的概率计算即可求出答案.
（2）画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的结果，再根据概率公式即可求出答案.
21．甲、乙两人驾车沿同一条公路从A地出发到 B 地.甲先出发，匀速行驶前往 B 地，乙后出发，先以与甲相同的速度行驶，途中接到通知有紧急事情，于是将车速提高到原来的2倍行驶到B地，乙在行驶途中提速前后所用时间相同，甲、乙距离A地的路程y(km)与时间x(h)的函数关系如图所示.
（1）求乙提速后到达B地的路程y (km)与时间x (h)的函数表达式；
（2）求出m的值，并求乙出发后多长时间追上甲
【答案】（1）由题意可得，
点M的横坐标为1+(5-1)÷2=3， 纵坐标为： 240÷3=80，
设乙提速后到达B地的路程y(km)与时间x(h)的函数表达式为y=kx+b，
∵点M(3， 80)， 点P(5， 240) 在该函数图象上，
解得
即乙提速后到达B地的路程y(km)与时间x(h)的函数表达式为y=80x-160
（2）由图象可得， 乙提速前的速度为： 80÷2=40(km/h)，
∴甲的速度为40km/h，
∴m=240÷40=6，
令40x=80x -160，
解得x=4，4-1=3(h)，
由上可得，m的值为 6，
乙出发后3h追上甲
【知识点】分段函数；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】(1)先根据乙提速前后用时相等，算出变速点 M 的横纵坐标，确定提速段直线经过 M、P 两点；设一次函数解析式，代入两点联立方程求出系数，得到乙提速后路程与时间的函数关系式；
(2)由 M 点路程与提速前行驶时长算出原速度，甲速度和乙原速度相同，用总路程 240 除以速度得到 m；先写出甲的路程表达式，联立甲乙路程方程求出相遇对应的总时间 x，再减去乙晚出发的 1 小时，得到乙出发后追上甲的时长。
22．陕甘边革命根据地照金纪念馆广场上屹立着三位革命家的塑像，高高矗立，身姿伟岸.某数学兴趣小组计划在假期前往照金革命根据地学习，并测量塑像高度，活动方案如下：
测量方案：如图，点B、E、F、D四点在同一条直线上，在点E处放置平面镜，此时小明视线刚好在平面镜内看到塑像顶端C的像，在点F处安装测倾器，测得塑像顶端C的仰角约为51.3°.
数据收集： 测得眼睛离地面高度AB=1.6米，BE=2米，EF=4米，GF=1.4米，AB⊥BD，GF⊥BD，CD⊥BD. 求塑像 CD 的高度. (参考数据： sin51.3°≈0.78，cos51.3°≈0.63， tan51.3°≈1.25)
【答案】解： 过点G作GH⊥CD， 垂足为点 H， 如图所示：
由题意得： ∠AEB=∠CED，FG=DH=1.4米， GH =DF，设GH=DF=x米，
∵EF=4米，
∴DE=EF+DF=(x+4)米，
在Rt△CGH中， ∠CGH =51.3°，
∴CH =GH·tan51.3°≈1.25x米
∴CD=CH +DH =(1.25x+1.4)米，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠B=∠D=90°，
，
，
解得： x=4，
经检验：x=4是原方程的根，
∴CD=1.25x+1.4=6.4 (米)，
∴塑像CD的高度为6.4米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】 先过测倾器顶端作塑像 CD 的垂线，构造矩形转化线段，设水平距离 DF 为未知数 x，利用 51.3°的正切值表示出塑像高出测倾器的竖直高度，再写出塑像总高度 CD；根据光的反射定律得到一组相等角，结合直角证明△ABE 与△CDE 相似，列出对应边成比例的分式方程，解出 x 后代入 CD 的代数式，算出塑像总高度。
23．为提升信息素养，学校组织八、九年级开展“AI小达人·校园智创赛”.老师从八、九两个年级中各抽取20名学生的竞赛成绩进行整理，分A、B、C、D四个等级，90分及以上为优秀，并评为“校园智创之星”.
【信息整理】信息1：
等级 A B C D
成绩 95≤x≤100 90≤x<95 85≤x<90 x<85
信息2：八年级 B、C两组同学的成绩分别为：
85， 88， 89， 89， 92， 92， 93， 94， 94：
九年级C组同学的成绩分别为：
89， 89， 88， 88， 88， 88， 88， 87， 86.
信息3：
【数据分析】
年级 平均数 中位数 众数 优秀率
八年级 88 a 95 40%
八、九年级抽取学生的竞赛成绩统计表如下：
（1） 完成填空： a=　 　，b=　 　；
（2）求扇形统计图中D等级所占的圆心角度数；
（3）若该校八年级学生有560 人，九年级学生有425人，请估计该校八、九年级成绩为A等级的学生共有多少人
【答案】（1）88；89
（2）360°× 20%=72°
（3）(人)
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：(1) (1) 八年级抽取 20 人，条形图 A 等级 5 人、B 等级 5 人、C 等级 4 人、D 等级 8 人；前 A、B 两组共 10 人，中位数是第 10、11 个数的平均值，第 10 个是 B 组末尾 92，第 11 个是 C 组开头 88，中位数 a=(92+88)÷2=88；九年级 C 组数据里 88 出现次数最多，众数 b=89.
故答案为：88，89.
【分析】 (1) a 是八年级 20 个成绩的中位数，结合条形统计图算出各等级人数，把全部成绩从小到大排列，取第 10、11 位数字的平均数得到中位数；b 是九年级 C 组数据的众数，统计九年级 C 组分数里出现次数最多的数字即为众数；
(2) 扇形圆心角度数等于 360 度乘对应等级所占百分比，D 等级占比 20%，直接相乘算出角度；
(3) 先算出八年级样本里 A 等级人数占抽取 20 人的比例，结合八年级总人数估算八年级 A 等级总人数；九年级 A 等级占比 20%，结合九年级总人数估算九年级 A 等级总人数，两部分相加得到总数。
24．如图，AB是⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，E是⊙O上的点，满足∠BAC=2∠ABE，延长CA，BE交于点D，M是BD上一点且AM是⊙O的切线，连接OE.
（1） 求证： CD∥OE；
（2） 若 ⊙O的半径为4，求EM的长.
【答案】（1）证明： ∵∠AOE=2∠ABE， ∠BAC=2∠ABE，
∴∠AOE=∠BAC，
∴CD∥OE
（2）解：如图，连接AE，
∵AM是⊙O的切线，AB 是⊙O的直径，
∴∠BAM=90°，
⊙O的半径为4，
，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
在 Rt△ABE 中，，
设 AE=x，BE=2x，
由勾股 x2+(2x)2=82，
解得 AE=，BE=.
∴
【知识点】圆周角定理；切线的判定与性质；解直角三角形—边角关系；圆与三角形的综合
【解析】【分析】(1) 利用同弧圆心角是圆周角两倍，得到∠AOE 等于两倍∠ABE，结合题干∠BAC 等于两倍∠ABE，推出同位角∠AOE 与∠BAC 相等，依据同位角相等两直线平行证明 CD 平行 OE；
(2)连接 AE，切线垂直直径得到∠BAM 为直角，由正切值和直径长度算出 AM 长度；AB 是直径所以∠AEB 为直角，再用勾股定理求出 AE、BE 长度，通过相似对应边比例列式算出 EM 的长。
25．图1是一个矿洞，为了使矿洞更牢固，某工程队想要搭建矩形支撑架.
图2是矿洞横截面的示意图，截面是轴对称图形，外轮廓线由上方抛物线L和下方的矩形ABCD 组成，矩形ABCD 的边BC=4m，CD=1m，E是抛物线L的顶点，且点E到BC的距离为3m，矩形 FGMN 的边 FN、MNMG 为支撑架的架骨，点F、G在边BC上，点M、N在抛物线L上.
如图3，工程队以矩形ABCD 的顶点B 为原点，以BC边所在的直线为x轴，以AB边所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系.
（1）求顶点 E的坐标及抛物线L的函数表达式；
（2）当支撑架FGMN为正方形时，求架骨MN的长；
（3）为满足宽为2.4m，高为1.9m的矿车能够在支撑架内通行(矿车距离上方、两侧支撑架分别需预留0.1m的安全距离)，求此时BF的取值范围.
【答案】（1）由题意得，顶点E为(2，3)，
∴可设抛物线为
又图象过A(0，1)，
∴4a+3=1，
∴a=- ，
∴抛物线L的表达式为
（2）∵四边形 FGMN为正方形，
∴MN= FG=2FH.(H为FG的中点)
设BF=m， 则FH=2-m， NF=4-2m，
∴N(m， 4-2m).
又∵N在抛物线 L： 的图象上，
(不合题意，舍去).

（3）设BF=m， 则N ，
，
即
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数的实际应用-拱桥问题；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】 (1) 根据坐标系与图形尺寸确定顶点 E 坐标，设顶点式抛物线解析式，代入已知点 A 坐标求出二次项系数，得到抛物线完整表达式；
(2) 正方形四条边长相等，设 BF 长度为 m，用 m 表示点 N 横纵坐标，将 N 代入抛物线解析式得到一元二次方程，舍去超出取值范围的根，计算出 MN 的长度；
(3) 结合矿车通行宽度、两侧安全距离算出横向最小空余宽度，结合对称轴列出 BF 对应的横向长度不等式；再根据矿车高度加上方安全距离列出纵向高度不等式，联立两个不等式求解，得到 BF 的取值范围。
26．问题探究：
（1） 如图1，已知等腰△ABC的顶角∠A=120°，AB=2，则△ABC外接圆半径的长为　 　.
（2） 如图2，已知△ABC中，BC=6，∠BAC=60°，D为边BC的中点，求AD长的最大值问题解决
（3）如图3，四边形ABCD 是一个规划中的果园，四条边是果园的围墙，其中墙体 BC紧挨公路，BC=6km，点F是大门的位置且CF=2BF，规划墙体AB、CD与BC的夹角均为60°，即∠ABC=∠DCB=60°，且AB+CD=BC，AC和BD 是果园内的两条小路，在AC与BD 的交点E处建一个凉亭，要使凉亭E到大门F的距离最小，试求EF取最小值时墙体AB的长
【答案】（1）2
（2）如图2，作△ABC的外接圆⊙O1， 连接O1B， O1C， O1A，O1D，由圆周角定理得， ∠BO1C=2∠BAC=120°，
∵D为边 BC的中点，
∵O1B=O1C，
∴O1D⊥BC， ∠O1BC=∠O1CB=30°，
∴当且仅当O1，A，D三点共线时，AD取得最大值，
∴AD长的最大值为：
（3）如图3，延长BA， CD交于点 M，
∵∠ABC=∠DCB=60°， ∴∠BMC=60°， ∴△MBC是等边三角形，
∴BM=BC=CM， MD+CD=CM，
∵AB+CD=BC， ∴AB=DM，在△ABC和△DMB中，
∴△ABC≌△DMB(SAS)， ∴∠ACB=∠DBM，
∴∠ACB+∠EBC=∠DBM+∠EBC=∠MBC=60°，
∴∠BEC=180°-60°=120°， 8分
作△BEC的外接圆⊙P，连接BO， CP， PF， PE，过点 P作 PH⊥BC于点 H，
∴∠BPC=2×(180°-∠BEC) =120°，
∵PB=PC， ∴∠PBC=∠PCB=30°，
∵BC=6km， ∴BH=CH=3km， PH= km， ∴PB=PC=PE=2 km，
10分
在Rt△PHF中， ∠PHF=90°， ∴PF==2km，
∵EF≥PE-PF，当EF取最小值时， ∠PFH=∠BFE=60°，
∴∠BCD=∠BFE=60°， ∴EF∥CD， ∴△BFE∽△BCD， ∴EF=BC=
∴CD=3EF= (6 -6) km， ∴DM=AB=CM-CD=6 - (6 -6) = (12-6 ) km，
∴EF取最小值时墙体AB的长为
【知识点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心；三角形全等的判定-SAS；定角定弦辅助圆模型；圆与三角形的综合
【解析】【解答】解：（1）如图1，作△ABC的外接圆⊙O， 连接OA， OB，
∵AB=AC， ∠BAC=120°，
∴∠ACB=∠ABC=30°，
∴∠AOB=2∠ACB=60°，
∵OA=OB，
∴△OAB 是等边三角形，
∵AB=2，
∴OA=AB=2，
∴△ABC外接圆半径的长为 2
故答案为：2.
【分析】 (1) 根据等腰三角形顶角算出底角度数，利用圆周角定理得到圆心角度数，判定△OAB 为等边三角形，等边边长等于外接圆半径，直接得到半径长度。
(2) 作△ABC 外接圆，由圆周角定理算出圆心角，结合等腰三角形三线合一求出外接圆半径与 OD 长度，依据两点之间线段最长，三点共线时 AD 取得最大值，相加算出 AD 最大值。
(3) 延长 BA、CD 构造等边△MBC，通过边角边证三角形全等，推导∠BEC 固定为 120°，确定点 E 在定圆上；算出圆心、定点 F 相关线段长度，根据圆上点到定点距离最小值条件得到平行相似关系，结合线段等量代换求出 AB 长度。
1 / 1陕西省宝鸡市陈仓区2026年初中学业水平考试数学试卷
1．从-4℃上升了9℃后的温度、在温度计上显示正确的是(　　)
A． B．
C． D．
2．下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．如图，将一副直角三角板ABC和DEF按图中所示的位置摆放，两条斜边AB、DE互相平行，其中，∠ACB=∠DFE=90°，∠B=60°，∠D=45°，则∠1的度数为(　　)
A．75° B．105° C．115° D．120°
4．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，甲、乙两位登山者同时从点A出发，一段时间后，甲步行m米到达点 C，乙步行 n米到达点B.若坡角为α，则甲、乙两人的垂直高度距离 CD可以表示为（　　）
A．(m-n)cosα米 B．(m-n)sinα米
C． 米 D．米
6． 在平面直角坐标系中，点A (-1，a)，点B (4，b) 均在直线y= kx (k≠0) 上. 若a>b，则该直线经过的点的坐标可以是 (　　)
A．(1， - 3) B．(1， 0)
C．(2， 5) D．(-1， - 3)
7．南宁市某小区为了改善环境，计划在花坛种植200株花，由于大学生志愿者的加入，每小时比原计划多种20株，结果提前1小时完成任务.设原计划每小时种x株，根据题意可列方程为(　　)
A． B．
C． D．
8．二次函数 的部分图象如图所示，图象过点 (-1，0)，对称轴为直线x=2，则下列结论中正确的是（　　）
①4a+b=0； ②9a+c>3b；
③若点A( -3，y1)、点 B(( ， y2)、点 (，y3) 在该函数图象上，则y1
④若方程a(x+1)(x-5) =-3的两根为 xt和x2，且x11<-1<5
其中正确的结论有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．分解因式： 　 　；
10．如图是一组有规律的图案，它由火柴棒搭成的正六边形组成.第1个图案中有6根火柴棒，第2个图案有11根火柴棒，第3个图案中有16根火柴棒，第4个图案中有21根火柴棒，…依此规律，第n个图案中有 　 　根火柴棒(用含n的代数式表示).
11．如图，乐器上的一根弦长AB=80cm，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C 是靠近点 B 的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则支撑点C，D之间的距离为　 　cm.(结果保留根号)
12．如图，在菱形 ABCD中，AB=10，BD=16，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长　 　.
13．如图，正方形ABCD 的顶点B在x轴上，点A，点C在反比例函数 图象上，若直线BC的函数表达式为 则k的值为　 　.
14．如图，四边形 ABCD 的面积为：36 ，∠BCD=120°，AC平分∠BCD，BC+CD=18，则四边形ABCD 周长的最小值为　 　.
15．计算：
16．解不等式 并写出最小整数解.
17．先化简，再求值： 再从-2，1，2中选取一个适合的数代入求值.
18．如图，已知在等腰△ABC中，AB=AC，点D、E分别在腰AB、AC上，连接DE，请用尺规作图法在线段DE上求作一点 P，连接PA、PB、PC，使得△APB≌△APC.(保留作图痕迹，不写作法)
19． 如图，四边形ABCD是矩形，点E在BC边上，AF⊥DE，垂足为F，AF=DC. 证明： AD=DE.
20．甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，小明在了解了甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片这四张卡片分别用字母，，，表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同，现将四张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）小明从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“文”的概率为　 　．
（2）小明从中随机抽取一张卡片不放回，小亮再从中随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法计算两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的概率．
21．甲、乙两人驾车沿同一条公路从A地出发到 B 地.甲先出发，匀速行驶前往 B 地，乙后出发，先以与甲相同的速度行驶，途中接到通知有紧急事情，于是将车速提高到原来的2倍行驶到B地，乙在行驶途中提速前后所用时间相同，甲、乙距离A地的路程y(km)与时间x(h)的函数关系如图所示.
（1）求乙提速后到达B地的路程y (km)与时间x (h)的函数表达式；
（2）求出m的值，并求乙出发后多长时间追上甲
22．陕甘边革命根据地照金纪念馆广场上屹立着三位革命家的塑像，高高矗立，身姿伟岸.某数学兴趣小组计划在假期前往照金革命根据地学习，并测量塑像高度，活动方案如下：
测量方案：如图，点B、E、F、D四点在同一条直线上，在点E处放置平面镜，此时小明视线刚好在平面镜内看到塑像顶端C的像，在点F处安装测倾器，测得塑像顶端C的仰角约为51.3°.
数据收集： 测得眼睛离地面高度AB=1.6米，BE=2米，EF=4米，GF=1.4米，AB⊥BD，GF⊥BD，CD⊥BD. 求塑像 CD 的高度. (参考数据： sin51.3°≈0.78，cos51.3°≈0.63， tan51.3°≈1.25)
23．为提升信息素养，学校组织八、九年级开展“AI小达人·校园智创赛”.老师从八、九两个年级中各抽取20名学生的竞赛成绩进行整理，分A、B、C、D四个等级，90分及以上为优秀，并评为“校园智创之星”.
【信息整理】信息1：
等级 A B C D
成绩 95≤x≤100 90≤x<95 85≤x<90 x<85
信息2：八年级 B、C两组同学的成绩分别为：
85， 88， 89， 89， 92， 92， 93， 94， 94：
九年级C组同学的成绩分别为：
89， 89， 88， 88， 88， 88， 88， 87， 86.
信息3：
【数据分析】
年级 平均数 中位数 众数 优秀率
八年级 88 a 95 40%
八、九年级抽取学生的竞赛成绩统计表如下：
（1） 完成填空： a=　 　，b=　 　；
（2）求扇形统计图中D等级所占的圆心角度数；
（3）若该校八年级学生有560 人，九年级学生有425人，请估计该校八、九年级成绩为A等级的学生共有多少人
24．如图，AB是⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，E是⊙O上的点，满足∠BAC=2∠ABE，延长CA，BE交于点D，M是BD上一点且AM是⊙O的切线，连接OE.
（1） 求证： CD∥OE；
（2） 若 ⊙O的半径为4，求EM的长.
25．图1是一个矿洞，为了使矿洞更牢固，某工程队想要搭建矩形支撑架.
图2是矿洞横截面的示意图，截面是轴对称图形，外轮廓线由上方抛物线L和下方的矩形ABCD 组成，矩形ABCD 的边BC=4m，CD=1m，E是抛物线L的顶点，且点E到BC的距离为3m，矩形 FGMN 的边 FN、MNMG 为支撑架的架骨，点F、G在边BC上，点M、N在抛物线L上.
如图3，工程队以矩形ABCD 的顶点B 为原点，以BC边所在的直线为x轴，以AB边所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系.
（1）求顶点 E的坐标及抛物线L的函数表达式；
（2）当支撑架FGMN为正方形时，求架骨MN的长；
（3）为满足宽为2.4m，高为1.9m的矿车能够在支撑架内通行(矿车距离上方、两侧支撑架分别需预留0.1m的安全距离)，求此时BF的取值范围.
26．问题探究：
（1） 如图1，已知等腰△ABC的顶角∠A=120°，AB=2，则△ABC外接圆半径的长为　 　.
（2） 如图2，已知△ABC中，BC=6，∠BAC=60°，D为边BC的中点，求AD长的最大值问题解决
（3）如图3，四边形ABCD 是一个规划中的果园，四条边是果园的围墙，其中墙体 BC紧挨公路，BC=6km，点F是大门的位置且CF=2BF，规划墙体AB、CD与BC的夹角均为60°，即∠ABC=∠DCB=60°，且AB+CD=BC，AC和BD 是果园内的两条小路，在AC与BD 的交点E处建一个凉亭，要使凉亭E到大门F的距离最小，试求EF取最小值时墙体AB的长
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】有理数的加法实际应用
【解析】【解答】解：根据题意可列：-4+9=5，
结合温度计显示为零上5°.
故答案为：C.
【分析】本题主要考查了正，负数的实际应用，有理数加法的实际应用，结合题意列出算式，结合温度计即可确定.
2．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A不符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故B不符合题意；
C、不是轴对称图形，但是中心对称图形，故C不符合题意；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故D符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据定义：轴对称图形是指在平面内，存在一条直线（称为对称轴），当图形沿这条直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合的图形；中心对称图形是指在平面内，存在一个点（称为对称中心），当图形绕这个点旋转180°后，旋转后的图形能与原图形完全重合的图形；即可选出正确答案.
3．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；平行线的应用-三角尺问题
【解析】【解答】解：令AC与DE交于点H，如图，
因为AB||DE，
所以∠DHA=∠BAC=30°，
因为∠D=45°，
所以在△DAH中，由三角形内角和定理得：
∠1=180°-∠D-∠DHA=180°-45°-30°=105°.
故答案为：B.
【分析】本题主要考查了平行线的性质和三角形内角和定理，首先令DE与AC交于点H，因为AB||DE，所以∠DHA=∠CAB，然后在△ADH中，运用三角形内角和定理即可得到∠1的度数.
4．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；多项式除以单项式；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A选项：根据合并同类项法则，只有是同类项才能进行合并，而3a3和2a2不是同类项，不能合并，故A选项错误；
B选项：根据平方差公式结构特征，结果为相同项的平方减去相反项的平方，故正确结果为：4n2-m2，故B选项错误；
C选项：根据完全平方公式的结构特征，，故C选项错误；
D选项：根据多项式除单项式法则，，故D选项正确.
故答案为：D.
【分析】本题主要考查了合并同类项法则，多项式除以单项式，平方差公式和完全平方公式的运用，运用运算法则对每个选项进行逐一判断即可.
5．【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图，由题意可知：BD||水平面，
则∠CBD=∠α，BC=(m-n)m，
在Rt△BCD中，，
所以得到CD=BCsinα=(m-n)sinα米.
故答案为：B.
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，根据题意构造直角三角形，表示出BC的长，然后在直角三角形BCD中，用锐角三角函数表示出CD的长即可.
6．【答案】A
【知识点】一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：因为点A，B均在直线y=kx上，且a>b，-1<4，
所以y随着x的增大而减小，
所以k<0，
所以直线y=kx经过二，四象限，
结合选项可知只有A选项中的点位于第二象限.
故答案为：A.
【分析】本题主考查了正比例函数的性质，根据题意因为-1<4，a>b可以确定k的正负，进而结合选项即可确定.
7．【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：由题意知实际每小时种(x+20)株，
根据提前1小时，即 .
故答案为：D.
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，根据题意原计划每小时种x株，则实际每小时种(x+20)株，然后原计划的时间减实际时间=1，即可列出方程.
8．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；利用二次函数图象求一元二次方程的近似根；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：已知二次函数图象对称轴是直线 x=2，图像经过点 (-1，0)，抛物线开口向下。
1、判断结论①：二次函数对称轴公式为，代入 x=2 整理得到 4a+b=0，结论①正确。
2、判断结论②：把 9a+c>3b 移项得到 9a-3b+c>0，式子 9a-3b+c 对应自变量 x=-3 时的函数值，抛物线和 x 轴交于 (-1，0)、(5，0)，x=-3 在点 (-1，0) 左侧，抛物线开口向下，x=-3 对应的函数图象在 x 轴下方，函数值小于 0，也就是 9a-3b+c<0，可得 9a+c<3b，结论②错误。
3、判断结论③：计算三个点到对称轴直线 x=2 的距离，点 A (-3，y1) 到对称轴距离是 5，点 B (，y2) 到对称轴距离是，点 C (，y3) 到对称轴距离是；抛物线开口向下，到对称轴距离相等的点纵坐标相等，距离越近纵坐标数值越大，因此 y2 等于 y3，且 y1 小于 y2、y3，结论③正确。
4、判断结论④：抛物线与 x 轴交点为 (-1，0) 和 (5，0)，原式 a (x+1)(x-5)=-3 代表抛物线图像与直线 y=-3 的交点横坐标，抛物线开口向下，直线 y=-3 在 x 轴下方，两个交点一个小于 - 1，另一个大于 5，和题干给出的范围不符，结论④错误。
综上正确结论是①、③.
故答案为：B.
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，根据二次函数对称轴 x=2 推导 a 与 b 的等量关系，验证结论①；将不等式 9a+c>3b 变形为 x 取 - 3 时的函数式，结合抛物线图像判断函数值正负，验证结论②；分别算出三个点到对称轴 x=2 的距离，抛物线开口向下，点离对称轴越近纵坐标数值越大，对比三个点纵坐标大小验证结论③；把方程转化为抛物线和水平线交点问题，结合抛物线与 x 轴交点坐标判断两根取值范围，验证结论④，最后统计正确结论数量。
9．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：2x2y-18x=2x(y2-32)= 。
故答案是： 。
【分析】先利用提公因式法分解因式，再利用平方差公式法分解到每一个因式都不能再分解为止。
10．【答案】(5n+1)
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：根据题意第1个图案中有6根火柴棒，第2个图案有11根火柴棒，第3个图案中有16根火柴棒，第4个图案中有21根火柴棒，…
可以发现每增加一个正六边形，火柴棒增加5个，
即第1个图中火柴棒为：5×1+1=6；
第2个图中火柴棒为：5×2+1=11；
第3个图中火柴棒为：5×3+1=16；
第4个图中火柴棒为：5×4+1=21；
......
第n个图中火柴棒为：5×n+1=5n+1；
故答案为：(5n+1).
【分析】本题主要查了用代数式表示图形变化规律，根据第1个图中火柴棒的数量为6，图2中数量为11，图3中数量为16......即可确定每增加一个正六边形，火柴棒增加5个，即可确定第n个图案中火柴棒的数量.
11．【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：已知线段 AB 总长 80 厘米，黄金分割中较长段长度等于总长×，
因为点 C 是靠近 B 的黄金分割点，AC 为较长段，
所以算cm，
因为点 D 是靠近 A 的黄金分割点，DB 为较长段，
所以cm，
则CD=AC+BD-AB=cm.
故答案为：.
【分析】先记住黄金分割较长线段的计算方式，线段总长×，先算出靠近 B 的分割点 C 到 A 的长度，再算出靠近 A 的分割点 D 到 B 的长度，用 AC 减去 DB 就能得到 D、C 两点之间的距离，最后整理化简式子得到结果。
12．【答案】9.6
【知识点】三角形的面积；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，设AC与BD交点为O，
因为四边形ABCD为菱形，
所以AC⊥BD，OB=OD=BD=8，
在Rt△AOB中，由勾股定理得OA=，
所以，
所以.
故答案为；9.6.
【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形的面积，勾股定理，首先令对角线的交点为O，根据菱形的性质得到AC⊥BD，OB=OD=8，然后求出OA的长，接着用两种方式表示△ABD的面积，即可求出DE的长.
13．【答案】k=6
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；正方形的性质；同侧一线三等角全等模型（锐角）
【解析】【解答】 解：因为点B在直线上，令y=0，得x=4，
故点 B 坐标是 (4，0)，
如图，过A作AM垂直x轴，过C作CN垂直x轴，
因为四边形ABCD 是正方形，
所以AB=BC，∠ABC=90°，
因为∠ABM+∠BAM=90°，∠ABM+∠CBN=90°，
所以∠BAM=∠CBN，
所以△ABM≌△BCN；
所以AM=BN，BM=CN
因为直线 BC 斜率为二分之一，说明水平变化长度是竖直变化长度的 2 倍，
设 CN 长度为 t，则 BN 长度为 2t，
则点 C 坐标 (4+2t，t)，
所以点 A 坐标 (4-t，2t)；
因为 A、C 都在反比例函数图象上，
所以(4+2t)t=(4-t)2t，
解得t=1，
所以点A(6，1)
所以k=6.
故答案为：k=6.
【分析】 先求出直线 BC 与 x 轴交点 B 的坐标，过点 A、C 分别向 x 轴作垂线，利用正方形相邻边垂直且相等的性质，构造全等直角三角形，结合直线 BC 的斜率确定线段横纵变化的比例关系，设出点 C 的坐标再推出点 A 的坐标，最后把两个点代入反比例函数解析式联立计算，解出未知数后求出 k 的值。
14．【答案】
【知识点】二次函数的最值；三角形的面积；四边形的综合；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解： 如图， 过A分别作BC，CD 的垂线，垂足为G，E，
因为AC 平分∠BCD，∠BCD=120°，
所以AE=AF，∠ACB=∠ACD=60°
四边形总面积等于△ABC面积加△ACD 面积，
把 BC 加 CD 等于 18 整体代入面积等式，可得AE=AF=，
所以AC=8，
因为四边形周长 = BC+CD+AB+AD，BC 与 CD 的和恒为 18，
只需算出 AB+AD 的最小长度；
如图，在GC上截取GF=ED，则AF=AD，过点A作AT||BC，作点B关于直线AT的对称点H，连接AH，FH，
因为AB+AD=AH+AF≥HF，
所以当点A在HF上时，AB+AD=AH+AF=HF，
即AB+AD的最小值为HF，
因为HB=2AE=，BF=10，
所以HF=
所以四边形ABCD的周长的最小值为：.
故答案为：.
【分析】AC 平分∠BCD，可得到△ABC 与△ACD 等高，将四边形面积拆分为两个三角形面积之和，结合 BC 加 CD 等于 18 求出 AC 长度；四边形周长是 BC、CD、AB、AD 四段相加，BC 与 CD 的和固定为 18，因此只需要求出 AB 加 AD 的最小值，利用轴对称转化线段，构造含 60°角的直角三角形，结合勾股定理配方法求两条线段和的最小值，最后相加得到周长最小值。
15．【答案】解： 原式
【知识点】实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】本题主要考查了实数的混合运算，零指数幂，负整数指数幂和特殊角的三角函数值，首先分别计算零指数幂，立方根，特殊角的三角函数，负整数指数幂，然后再合并即可.
16．【答案】解： 2(2x-1)-(9x+2)<12，
4x-2-9x-2<12，
4x-9x<12+2+2，
，
，
∴不等式最小整数解为-3
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式的特殊解
【解析】【分析】 先找到分母 3 和 6 的最小公分母 6，不等式两边同时乘 6 去掉分母，接着去括号、移项合并同类项得到含负系数的一元一次不等式，两边同时除以负数要改变不等号方向，算出 x 的取值范围后，结合取值找出范围内最小的整数解。
17．【答案】解：原式=
∵分式要有意义，
∴
∴a≠1且a≠-2，
∴当a=2时， 原式
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】 先把括号里整式通分，合并成单一分式，再将除法转化为乘法，对分子分母多项式因式分解，约分得到最简分式；再根据分式分母不能为零、除式不能为零，排除取值里使式子无意义的数字，选取剩余合适数字代入最简分式算出结果。
18．【答案】1.分别以点B、C为圆心，取大于BC一半的相同长度画弧，上下两组弧分别相交，过两个交点画出BC的垂直
平分线；
2.该垂直平分线与线段DE产生交点，标记这个交点为P；
3.连接PA、PB、PC，点P即为满足条件的点，作图全程保留圆弧与直线痕迹。

【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SSS；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】 要让△APB 与△APC 全等，已知 AB 等于 AC、AP 为公共边，只需要满足∠BAP 等于∠CAP，也就是 AP 平分∠BAC；等腰三角形 AB=AC，顶角平分线同时也是底边 BC 的垂直平分线，因此先作出 BC 的垂直平分线，这条线与线段 DE 的交点就是所求点 P，最后连接 PA、PB、PC 即可。
19．【答案】证明： 四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC， ∠C=90°，
∴∠ADF=∠DEC，
∵AF⊥DE，
∴∠AFD=90°，
∴∠AFD=∠C.
∵∠ADF =∠DEC， ∠AFD=∠C， AF=DC，
∴△ADF≌△DEC(AAS).
∴AD=DE
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】 利用矩形性质得到 AD 平行 BC、∠C 为直角，推导出一组内错角相等；结合 AF 垂直 DE 得到∠AFD 为直角，得出两组角对应相等，再结合已知 AF 等于 DC，通过 AAS 证明△ADF 和△DEC 全等，由全等三角形对应边相等证出 AD 等于 DE。
20．【答案】（1）
（2）解：画树状图如解图，
由树状图知，共有种等可能的结果，两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的结果有种，
则两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：由题意可得：
小明从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“文”的概率为
故答案为：
【分析】（1）根据简单事件的概率计算即可求出答案.
（2）画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的结果，再根据概率公式即可求出答案.
21．【答案】（1）由题意可得，
点M的横坐标为1+(5-1)÷2=3， 纵坐标为： 240÷3=80，
设乙提速后到达B地的路程y(km)与时间x(h)的函数表达式为y=kx+b，
∵点M(3， 80)， 点P(5， 240) 在该函数图象上，
解得
即乙提速后到达B地的路程y(km)与时间x(h)的函数表达式为y=80x-160
（2）由图象可得， 乙提速前的速度为： 80÷2=40(km/h)，
∴甲的速度为40km/h，
∴m=240÷40=6，
令40x=80x -160，
解得x=4，4-1=3(h)，
由上可得，m的值为 6，
乙出发后3h追上甲
【知识点】分段函数；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】(1)先根据乙提速前后用时相等，算出变速点 M 的横纵坐标，确定提速段直线经过 M、P 两点；设一次函数解析式，代入两点联立方程求出系数，得到乙提速后路程与时间的函数关系式；
(2)由 M 点路程与提速前行驶时长算出原速度，甲速度和乙原速度相同，用总路程 240 除以速度得到 m；先写出甲的路程表达式，联立甲乙路程方程求出相遇对应的总时间 x，再减去乙晚出发的 1 小时，得到乙出发后追上甲的时长。
22．【答案】解： 过点G作GH⊥CD， 垂足为点 H， 如图所示：
由题意得： ∠AEB=∠CED，FG=DH=1.4米， GH =DF，设GH=DF=x米，
∵EF=4米，
∴DE=EF+DF=(x+4)米，
在Rt△CGH中， ∠CGH =51.3°，
∴CH =GH·tan51.3°≈1.25x米
∴CD=CH +DH =(1.25x+1.4)米，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠B=∠D=90°，
，
，
解得： x=4，
经检验：x=4是原方程的根，
∴CD=1.25x+1.4=6.4 (米)，
∴塑像CD的高度为6.4米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】 先过测倾器顶端作塑像 CD 的垂线，构造矩形转化线段，设水平距离 DF 为未知数 x，利用 51.3°的正切值表示出塑像高出测倾器的竖直高度，再写出塑像总高度 CD；根据光的反射定律得到一组相等角，结合直角证明△ABE 与△CDE 相似，列出对应边成比例的分式方程，解出 x 后代入 CD 的代数式，算出塑像总高度。
23．【答案】（1）88；89
（2）360°× 20%=72°
（3）(人)
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：(1) (1) 八年级抽取 20 人，条形图 A 等级 5 人、B 等级 5 人、C 等级 4 人、D 等级 8 人；前 A、B 两组共 10 人，中位数是第 10、11 个数的平均值，第 10 个是 B 组末尾 92，第 11 个是 C 组开头 88，中位数 a=(92+88)÷2=88；九年级 C 组数据里 88 出现次数最多，众数 b=89.
故答案为：88，89.
【分析】 (1) a 是八年级 20 个成绩的中位数，结合条形统计图算出各等级人数，把全部成绩从小到大排列，取第 10、11 位数字的平均数得到中位数；b 是九年级 C 组数据的众数，统计九年级 C 组分数里出现次数最多的数字即为众数；
(2) 扇形圆心角度数等于 360 度乘对应等级所占百分比，D 等级占比 20%，直接相乘算出角度；
(3) 先算出八年级样本里 A 等级人数占抽取 20 人的比例，结合八年级总人数估算八年级 A 等级总人数；九年级 A 等级占比 20%，结合九年级总人数估算九年级 A 等级总人数，两部分相加得到总数。
24．【答案】（1）证明： ∵∠AOE=2∠ABE， ∠BAC=2∠ABE，
∴∠AOE=∠BAC，
∴CD∥OE
（2）解：如图，连接AE，
∵AM是⊙O的切线，AB 是⊙O的直径，
∴∠BAM=90°，
⊙O的半径为4，
，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
在 Rt△ABE 中，，
设 AE=x，BE=2x，
由勾股 x2+(2x)2=82，
解得 AE=，BE=.
∴
【知识点】圆周角定理；切线的判定与性质；解直角三角形—边角关系；圆与三角形的综合
【解析】【分析】(1) 利用同弧圆心角是圆周角两倍，得到∠AOE 等于两倍∠ABE，结合题干∠BAC 等于两倍∠ABE，推出同位角∠AOE 与∠BAC 相等，依据同位角相等两直线平行证明 CD 平行 OE；
(2)连接 AE，切线垂直直径得到∠BAM 为直角，由正切值和直径长度算出 AM 长度；AB 是直径所以∠AEB 为直角，再用勾股定理求出 AE、BE 长度，通过相似对应边比例列式算出 EM 的长。
25．【答案】（1）由题意得，顶点E为(2，3)，
∴可设抛物线为
又图象过A(0，1)，
∴4a+3=1，
∴a=- ，
∴抛物线L的表达式为
（2）∵四边形 FGMN为正方形，
∴MN= FG=2FH.(H为FG的中点)
设BF=m， 则FH=2-m， NF=4-2m，
∴N(m， 4-2m).
又∵N在抛物线 L： 的图象上，
(不合题意，舍去).

（3）设BF=m， 则N ，
，
即
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数的实际应用-拱桥问题；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】 (1) 根据坐标系与图形尺寸确定顶点 E 坐标，设顶点式抛物线解析式，代入已知点 A 坐标求出二次项系数，得到抛物线完整表达式；
(2) 正方形四条边长相等，设 BF 长度为 m，用 m 表示点 N 横纵坐标，将 N 代入抛物线解析式得到一元二次方程，舍去超出取值范围的根，计算出 MN 的长度；
(3) 结合矿车通行宽度、两侧安全距离算出横向最小空余宽度，结合对称轴列出 BF 对应的横向长度不等式；再根据矿车高度加上方安全距离列出纵向高度不等式，联立两个不等式求解，得到 BF 的取值范围。
26．【答案】（1）2
（2）如图2，作△ABC的外接圆⊙O1， 连接O1B， O1C， O1A，O1D，由圆周角定理得， ∠BO1C=2∠BAC=120°，
∵D为边 BC的中点，
∵O1B=O1C，
∴O1D⊥BC， ∠O1BC=∠O1CB=30°，
∴当且仅当O1，A，D三点共线时，AD取得最大值，
∴AD长的最大值为：
（3）如图3，延长BA， CD交于点 M，
∵∠ABC=∠DCB=60°， ∴∠BMC=60°， ∴△MBC是等边三角形，
∴BM=BC=CM， MD+CD=CM，
∵AB+CD=BC， ∴AB=DM，在△ABC和△DMB中，
∴△ABC≌△DMB(SAS)， ∴∠ACB=∠DBM，
∴∠ACB+∠EBC=∠DBM+∠EBC=∠MBC=60°，
∴∠BEC=180°-60°=120°， 8分
作△BEC的外接圆⊙P，连接BO， CP， PF， PE，过点 P作 PH⊥BC于点 H，
∴∠BPC=2×(180°-∠BEC) =120°，
∵PB=PC， ∴∠PBC=∠PCB=30°，
∵BC=6km， ∴BH=CH=3km， PH= km， ∴PB=PC=PE=2 km，
10分
在Rt△PHF中， ∠PHF=90°， ∴PF==2km，
∵EF≥PE-PF，当EF取最小值时， ∠PFH=∠BFE=60°，
∴∠BCD=∠BFE=60°， ∴EF∥CD， ∴△BFE∽△BCD， ∴EF=BC=
∴CD=3EF= (6 -6) km， ∴DM=AB=CM-CD=6 - (6 -6) = (12-6 ) km，
∴EF取最小值时墙体AB的长为
【知识点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心；三角形全等的判定-SAS；定角定弦辅助圆模型；圆与三角形的综合
【解析】【解答】解：（1）如图1，作△ABC的外接圆⊙O， 连接OA， OB，
∵AB=AC， ∠BAC=120°，
∴∠ACB=∠ABC=30°，
∴∠AOB=2∠ACB=60°，
∵OA=OB，
∴△OAB 是等边三角形，
∵AB=2，
∴OA=AB=2，
∴△ABC外接圆半径的长为 2
故答案为：2.
【分析】 (1) 根据等腰三角形顶角算出底角度数，利用圆周角定理得到圆心角度数，判定△OAB 为等边三角形，等边边长等于外接圆半径，直接得到半径长度。
(2) 作△ABC 外接圆，由圆周角定理算出圆心角，结合等腰三角形三线合一求出外接圆半径与 OD 长度，依据两点之间线段最长，三点共线时 AD 取得最大值，相加算出 AD 最大值。
(3) 延长 BA、CD 构造等边△MBC，通过边角边证三角形全等，推导∠BEC 固定为 120°，确定点 E 在定圆上；算出圆心、定点 F 相关线段长度，根据圆上点到定点距离最小值条件得到平行相似关系，结合线段等量代换求出 AB 长度。
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