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陕西西安市高新区2025-2026学年度第二学期期末学业质量测评七年级数学试题
1．下列四个汉字中，可看成是轴对称图形的是（　　）
A．爱 B．我 C．中 D．华
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、爱不可以看作是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、我不可以看作是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、中可以看作是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、华不可以看作是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可。
2．下列运算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，则此项错误，不符合题意；
B、，则此项错误，不符合题意；
C、，则此项正确，符合题意；
D、，则此项错误，不符合题意；
故选：C．
【分析】
根据同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方的运算，逐一验证每个选项即可.
3．小智在爸爸的影响下，自主学习人工智能的神经网络课程．他借助一个神经网络模型，输出了一个神经元的激活概率，其值为．用科学记数法表示这个激活概率为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：
故选：D．
【分析】
科学记数法的标准表示形式为，其中要求，n为整数。要确定n的取值，需要看把原数改写为a的形式时，小数点一共移动了多少位，n的绝对值和小数点移动的位数是相等的。当原数的绝对值时，n为正整数；当原数的绝对值时，n为负整数.
4．下列事件为必然事件的是 (　　)
A．任意买一张电影票，座位号是奇数
B．打开手机，正好刷到学习主播正在直播
C．3个人分成两组，一定有2个人分在一组
D．任意画一个三角形，其内角和是360°
【答案】C
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解： 选项A：任意买一张电影票，座位号可能是奇数，也可能是偶数，该事件的发生具有不确定性，属于随机事件，因此A不符合题意。
选项B：打开手机时，可能刷到学习主播正在直播，也可能刷到其他内容，该事件的发生具有不确定性，属于随机事件，因此B不符合题意。
选项C：将3个人分成两组，由于分组时两组人数之和为3，只能是“1人一组，2人一组”的分配方式，所以无论怎么分，一定有2个人分在一组，该事件在给定条件下必然发生，属于必然事件，因此C符合题意。
选项D：根据三角形内角和定理，任意一个三角形的内角和都是180°，所以“任意画一个三角形，其内角和是360°是不可能发生的事件，属于不可能事件，因此D不符合题意。
故答案为：C.
【分析】 根据必然事件（在一定条件下必然会发生的事件）、随机事件（可能发生也可能不发生的事件）、不可能事件（一定不发生的事件）的定义，对每个选项逐一分析，确定符合必然事件的选项。
5．如图， AD是△ABC的中线， AB=8， AC=7， 若△ACD的周长为18， 则△ABD的周长为(　　)
A．15 B．16 C．20 D．19
【答案】D
【知识点】三角形的中线
【解析】【解答】解：因为AD是△ABC的中线，
所以BD=CD。
已知△ACD的周长为18，
所以AC+CD+AD=18。
又因为AC=7，代入得7+CD+AD=18，
移项计算得CD+AD=18-7=11.
因为△ABD的周长为AB+BD+AD。
因此AB+BD+AD=AB+CD+AD。
所以△ABD的周长为8+11=19.
故答案为：D.
【分析】 本题需结合三角形中线的性质与周长的计算方法求解。关键在于利用中线定义得出BD=CD，再通过△ACD的周长推导出CD+AD的值，进而计算△ABD的周长。
6．如图①，在长方形ABCD中，动点P以2cm/秒的速度从点B出发，沿B→C→D→A的方向运动至点A处停止.设点P运动的时间为x秒，△ABP的面积为ycm2.若y与x之间的关系图象如图②所示，则长方形ABCD的面积是(　　)
A．12m2 B．24cm2 C．30cm2 D．36cm2
【答案】B
【知识点】三角形的面积；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：由题意知△ABP的面积变化分为三个阶段：P在BC上时，面积随时间增大而增大；P在CD上时，面积保持不变；P在DA上时，面积随时间增大而减小。
从函数图象可知点P在BC上运动了3s，故BC=6cm，
因为AD=BC=6cm，
所以在AD上运动时间也是3s，
所以在CD上运动时间为2s，
故CD=4cm，
所以长方形ABCD的面积为4×6=24cm2.
故答案为：B.
【分析】动点P沿B→C→D→A运动时，△ABP的面积变化分为三个阶段：P在BC上时，面积随时间增大而增大；P在CD上时，面积保持不变；P在DA上时，面积随时间增大而减小。结合图②的函数图象，通过各阶段运动时间与速度，求出长方形相邻两边长度，进而计算面积。
7．如图， AB∥CD， M是平面内一点，连接MB， MC， ∠MCD的平分线与∠ABM的平分线交于点N.若∠CNB=120°， 则∠M的度数为 (　　)
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】D
【知识点】平行公理及推论；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：过点N，M作AB的平行线NE，MF，如图，
由 AB ||CD ，所以NE||CD||MF，
所以∠ABN =∠BNE、∠DCN+∠CNE=180°，∠CNB=∠CNE-∠BNE=120°，
可得∠ABN+∠DCN=60°，
因为BN、CN 是角平分线，
所以∠ABM+∠DCM=2 (∠ABN+∠DCN)=120°；
同理∠BMC=∠BMF-∠CMF=60°，
即∠M=60°。
故答案为：D.
【分析】 利用平行线间拐点模型，过 N、M 分别作 AB 的平行线，结合角平分线得到两组相等角，根据∠CNB=120° 算出一组分角之和，再用同样的平行线角度关系推出∠M 的度数。
8．如图，AB∥CD，PG平分∠EPF，∠A+∠AHP=180°，下列结论：①CD∥PH；②∠BEP+∠DFP=2∠EPG；③∠FPH=∠GPH； ④∠A+∠AGP+∠DFP-∠FPG=180°； 其中正确结论是(　　)
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①③
【答案】B
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：结论①：已知AB‖CD，且∠A+∠AHP=180°。根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得AB||PH。
又因为AB||CD，根据“平行于同一条直线的两条直线互相平行”，所以CD||PH，结论①正确；
结论②：由结论①知CD‖PH，结合AB‖PH(已证AB‖PH)，根据“两直线平行，内错角相等”：
AB II PH时，∠BEP=∠EPH；
CD II PH时，∠DFP=∠FPH。
因此∠BEP+∠DFP=∠EPH+∠FPH=∠EPF。
又因为PG平分∠EPF，所以∠EPF=2∠EPG，即∠BEP+∠DFP=2∠EPG，结论②正确；
结论③：题目中未给出PH平分∠FPG或其他能推导∠FPH=∠GPH的条件，无法确定∠FPH与∠GPH相等，结论③错误；
结论④：由AB‖PH(已证)，根据“两直线平行，内错角相等”，得∠AGP=∠GPH。
由结论①知CD‖PH，根据“两直线平行，内错角相等”，得∠DFP=∠FPH。
因为PG平分∠EPF，所以LEPG=∠FPG，且LEPF=∠EPH+∠FPH=∠BEP+∠DFP(同结论②的推导)。
对∠A+∠AGP+∠DFP-∠FPG进行转化：∠A+∠AGP+∠DFP-∠FPG=∠A+∠GPH+∠FPH-∠FPG.
又因为AB‖PH，所以∠A+∠AHP=180°，即∠A=180°-∠AHP。结合角度和差关系，可验证∠A+∠AGP+∠DFP-∠FPG=180°成立，结论④正确.
故答案为：B.
【分析】 利用平行线的判定与性质、角平分线的定义，对每个结论逐一分析判断。
9．若 则 　 　
【答案】3
【知识点】同底数幂除法的逆用
【解析】【解答】解：am-n=am÷an，
因为am=6，an=2，
所以am-n=am÷an=6÷2=3.
故答案为：3.
【分析】本题主要考查了同底数幂的除法的逆运算，将am-n变形为am÷an，然后代入即可.
10．如图，若让转盘自由转动一次，转盘停止后，指针落在蓝色区域内的概率是　 　．
【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：指针停止后指向图中阴影的概率是：．
故答案为：．
【分析】
根据几何概率的定义，算出阴影部分对应圆心角占整个圆周角的比例，就可以得到所求概率.
11．如图，在△ABC中， AB=AC=12， 点E在边AC上，AE的垂直平分线交BC于点D， 若∠ADE=∠B，CD=3BD， 则CE=　 　.
【答案】4
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：因为AE的垂直平分线交BC于点D，
所以DA=DE，
因为AB=AC，
所以∠B=∠C，
因为∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADE=∠B，
所以∠BAD=∠CDE，
所以△ABD≌△DCE(AAS)，
所以CD=AB=12，CE=BD，
因为CD=3BD，
所以CE=BD=4.
故答案为：4.
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，因为AB=AC=12，所以∠B=∠C，因为∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADE=∠B，所以∠BAD=∠CDE，证明△ABD≌△DCE，进而得到CD=AB，BD=CE，因为CD=3BD，进而得到CE的长.
12．如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，BE是△ABD的中线，过点D分别作DF⊥AB，DH⊥AC，垂足分别为点F，H，若△BED的面积为2，AB的长为4，则DH的长为　 　.
【答案】2
【知识点】角平分线的性质；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：因为AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DH⊥AC，
所以DH=DF，
因为BE是△ABD的中线，
所以S△BED=S△BEA=2，
所以S△BAD==4，
因为AB=4，
所以DH=DF=2.
故答案为：2.
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，中线的性质，首先根据AD是△ABC的角平分线， DF⊥AB，DH⊥AC，得到DF=DH，然后根据中线平分面积，得到△ABD的面积，进而利用三角形面积公式得到DF的长，即是DH的长.
13．将一个长方形纸条折叠两次，第一次将长方形纸条ABCD向上翻折，记点C，D的对应点分别为C'，D'，折痕为EF，且C'E交AD于点G (如图1)；第二次将四边形GFD'C'沿GF向下翻折，记C'， D'的对应点分别为C"， D"(如图2) . 若∠CEF =28°， 则∠GFD"=　 　.
【答案】124°
【知识点】翻折变换（折叠问题）；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：因为四边形ABCD为长方形，
所以AD||BC，
所以∠CEF+∠EFD=180°，∠CEF=∠GFE
因为∠CEF=28°，
所以∠EFD=152°，∠GFE=28°，
根据折叠的性质，∠EFD'=∠EFD=152°
所以∠GFD'=∠EFD'-∠EFG=124°，
根据折叠的性质得∠GFD''=∠GFD'=124°.
故答案为：124°.
【分析】 本题需结合平行线的性质与折叠的性质来求解角度。首先利用长方形对边平行的性质，得出相关角的关系；再根据折叠前后对应角相等的性质，逐步推导所需角度。
14．化简：
【答案】解：
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】本题要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方，分别利用公式进行计算，然后再合并同类项即可.
15．在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球.其中红球4个，白球6个，黑球5个.求任意摸出一个球是黑球的概率.
【答案】解：已知红球有4个，白球有6个，黑球有5个，
∴盒子中球的总数为4+6+5=15 (个)，
∴任意摸出一个球是黑球的概率为
【知识点】概率公式
【解析】【分析】 要计算拿到黄球的可能性，需先确定球的总数量与黄球的数量，再根据“可能性 = 所求情况数÷总情况数”来求解。
16．如图， AC∥DE， AC=BD， BC=ED， 试说明∠EBD=∠A.
【答案】证明： ∵AC∥DE，
∴∠C=∠EDB，
∵AC=BD， BC=ED，
∴△ABC≌△BED(SAS)，
∴∠EBD=∠A
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】 要说明 ∠EBD=∠A ，可通过证明三角形全等实现。由AC||DE可得内错角相等，结合已知的边相等条件，利用全等三角形判定定理SAS证明△ABC≌△BED，再根据全等三角形对应角相等得出结论。
17．如图，在△ACB中， ∠B=30°， 请在AB上找一点P， 使得∠PCB=30°. (不写作法， 保留作图痕迹)
【答案】解：如图所示，点P即为所求.
∵作线段BC的垂直平分线，交AB于点 P，
∴PB=PC，
∴∠PCB=∠B=30°
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】本题主要考查了尺规作图-垂直平分线，要在AB上确定点P使∠PCB=∠B=30°，可通过等腰三角形的性质实现，使PB=PC，故只需做BC的垂直平分线与AB交于点P即可.
18．先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
，
∵，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；多项式除以单项式；利用整式的混合运算化简求值；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】
先运用完全平方公式和平方差公式对原式展开，再合并同类项，之后通过多项式除以单项式化简，最终得到化简结果，再代入给定数值计算，即可得到最终答案.
19．某景区计划改造一块边长为(3x+9y)米的正方形空地，如图，在空地中间修建一个长为(3x+4y)米，宽为(3x-4y)米的长方形花坛，在花坛的四周留出一条宽度为2y米的装饰区域，其余区域铺设为走道.
（1）分别计算花坛和装饰区域的面积；
（2）若x=4，y=1，每平方米的走道铺设费用为30元，计算铺设走道的总费用.
【答案】（1）解：花坛的面积： 平方米，
装饰区域和花坛的面积：
(3x-4y+2y+2y)(3x+4y+2y+2y)=3x(3x+8y)=(9x2+24xy)平方米，
装饰区域的面积：
平方米.
答：花坛的面积为 平方米，装饰区域的面积为 平方米
（2）解：走道的面积：
(平方米)，当x=4， y=1时， (平方米)，201×30=6030 (元) ，
答：铺设走道的总费用为6030元
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】(1)利用长方形面积公式计算花坛面积，再通过确定包含花坛和装饰区域的大长方形尺寸，计算其面积后减去花坛面积得到装饰区域面积；
(2)先求出正方形空地面积，再减去花坛与装饰区域的总面积得到走道面积，代入x，y值计算走道面积，最后结合每平方米费用求出总费用。
20．如图，在△ABC中， BD平分∠ABC， CD平分∠ACB， DE⊥AC于点E， DF⊥BC于点F.
（1）若∠ABC=60°， ∠ACB=50°， 求∠BDC的度数；
（2）若DE=3， BC=8， 求△BCD的面积.
【答案】（1）解： ∵BD平分∠ABC， CD平分∠ACB， ∠ABC=60°， ∠ACB=50°，
∴∠BDC=180°-∠DBC-∠DCB=180°-30°-25°=125°
（2）∵CD平分∠ACB， DE⊥AC于点E， DF⊥BC于点F， DE=3，
∴DF=DE=3，
又BC=8，
∴△BCD的面积为
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【分析】 (1) 要求∠BDC的度数，可先依据角平分线的定义求出∠DBC和∠DCB的度数，再结合三角形内角和定理计算∠BDC；
(2) 要求△BCD的面积，需先根据角平分线的性质得出DF = DE，再利用三角形面积公式计算。
21．一口袋中有5张完全相同的卡片，分别写有1cm、2cm、3cm、4cm和5cm，口袋外有2张卡片，分别写有3cm和5cm．现随机从袋内取出一张卡片，与口袋外两张卡片放在一起，以卡片上的数量分别作为三条线段的长度．
（1）求这三条线段能构成三角形的概率；
（2）求这三条线段能构成等腰三角形的概率．
【答案】（1）解：当抽出写有1cm的卡片，则三边分别为：1cm，3cm，5cm，则，则不能构成三角形；
当抽出写有2cm的卡片，则三边分别为：2cm，3cm，5cm，
则，则不能构成三角形；
当抽出写有3cm的卡片，则三边分别为：3cm，3cm，5cm，
则，，则能构成三角形；
当抽出写有4cm的卡片，则三边分别为：4cm，3cm，5cm，
则，，则能构成三角形；
当抽出写有5cm的卡片，则三边分别为：5cm，3cm，5cm，
则，，则能构成三角形；
则总得可能情况数为5，能构成三角形的情况数为3，
∴这三条线段能构成三角形的概率为：．
（2）解：由（1）可得总得可能情况数为5，能构成等腰三角形的是：三边分别为：3cm，3cm，5cm和三边分别为：5cm，3cm，5cm，则能构成等腰三角形有2种情况，
∴这三条线段能构成等腰三角形的概率为：．
【知识点】三角形三边关系；概率公式；等腰三角形的概念
【解析】【分析】
(1) 现有五张分别标记1cm、2cm、3cm、4cm、5cm的卡片，随机抽取一张后，将抽到的边长与另外两张固定为3cm、5cm的卡片边长组合，我们先列出所有可能的组合，再逐一根据三角形三边关系判断每种组合能否构成三角形，最后结合概率公式计算对应概率；
(2) 结合(1)中列举出的所有等可能结果，统计出满足等腰三角形要求的结果数量，再根据概率公式计算得到对应概率.
（1）解：当抽出写有1cm的卡片，则三边分别为：1cm，3cm，5cm，
则，则不能构成三角形；
当抽出写有2cm的卡片，则三边分别为：2cm，3cm，5cm，
则，则不能构成三角形；
当抽出写有3cm的卡片，则三边分别为：3cm，3cm，5cm，
则，，则能构成三角形；
当抽出写有4cm的卡片，则三边分别为：4cm，3cm，5cm，
则，，则能构成三角形；
当抽出写有5cm的卡片，则三边分别为：5cm，3cm，5cm，
则，，则能构成三角形；
则总得可能情况数为5，能构成三角形的情况数为3，
∴这三条线段能构成三角形的概率为：．
（2）由（1）可得总得可能情况数为5，
能构成等腰三角形的是：三边分别为：3cm，3cm，5cm和三边分别为：5cm，3cm，5cm，则能构成等腰三角形有2种情况，
∴这三条线段能构成等腰三角形的概率为：．
22．如图所示，乐乐在公园荡秋千，开始时乐乐坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直，秋千的转轴O到地面的距离OA=3m；乐乐在荡秋千的过程中，当她摆动到最高点C时，过点C作CE⊥OA于点 E，此时点C到OA的距离CE=2m； 当乐乐从C处摆到B处时，则有BO⊥CO，过点B作BD⊥OA于点D.
（1）求证： ∠BOD=∠OCE；
（2）求AD的长.
【答案】（1）证明： ∵BO⊥CO，
∴∠BOD+∠COE=90°，
∵CE⊥OA，
∴∠OCE+∠COE=90°，
∴∠BOD=∠OCE
（2）解：由题意知，秋千的绳长不变，即OB=OC，
由(1)知∠BOD=∠OCE，
∵∠BDO=∠OEC=90°，
∴OD=CE=2m，
∴AD=OA-OD=3-2=1(m)，
答： AD的长为1m
【知识点】三角形全等的判定-AAS；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】(1)根据 BO 垂直 CO 得到两个互余角，结合 CE 垂直 OA 得到另一组互余角，利用同角的余角相等完成角度相等的证明；
(2)秋千绳长 OB 等于 OC，结合第一问证出的等角和直角，用 AAS 证明两个直角三角形全等，得到 OD 与 CE 长度相等，再用 OA 减去 OD 算出 AD 长度。
23．新定义：如果a-b=10，那么我们称a是b关于10的“圆满数”.
（1）12是　 　关于10的“圆满数”； 8+x是　 　关于10的“圆满数”(用含x的代数式表示)；
（2）若( b=(2x+3)(2x-3)-4x， 判断a是否是b关于10的“圆满数”， 并说明理由.
【答案】（1）2；x-2
（2）因为
所以a-b
=10，
即a-b=10，
所以a是b关于10的“圆满数”
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解答】解：由a b=10得b=a 10，
12 10=2，(8+x) 10=x 2，
故答案为：2，x 2.
【分析】(1)根据定义a减b等于10，已知a求b就用a减去10，分别代入12和8+x计算对应的b；
(2)先分别展开化简a和b的代数式，再计算a减b的差值，判断结果是否等于10，符合定义则a是b的圆满数。
24．如图①，OP是∠MON的平分线，点A是OP上任意一点，用圆规分别在OM，ON上截取OB=OC，连接AB，AC， 则△AOB≌△AOC(SAS).
请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
如图②，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°， ∠B=60°，AD， CE分别是∠BAC， ∠ACB的平分线， AD， CE相交于点F.
（1）∠EFA的度数为　 　；
（2）写出FD与FE之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图③，若∠ACB不是直角，其他条件不变，则(2)中所得结论是否仍然成立 请说明理由.
【答案】（1）60°
（2）解： FD=FE， 理由如下：
如图，在AC上截取AG=AE，连接FG，
∵AD是∠BAC 的平分线，
∴∠EAF=∠GAF，
在△EAF和△GAF中，
∴△EAF≌△GAF(SAS)，
∴FE=FG， ∠EFA=∠GFA=60°，
∴∠GFC=180°-60°-60°=60°，
又∵∠DFC=∠EFA=60°，
∴∠DFC=∠GFC，
∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠FCG=∠FCD，
在△FDC和△FGC中，
∴△FDC≌△FGC(ASA)，
∴FD=FG，
∴FD=FE
（3）解：(2)中的结论仍然成立，理由如下：
如图，在AC上截取AH=AE，连接FH，
同理(2) 可得△EAF≌△HAF，
∴FE=FH， ∠EFA=∠HFA，
∵∠B=60°，
∴∠BAC+∠BCA=180°-∠B=120°，
∵AD， CE分别是∠BAC， ∠ACB的平分线，
∴∠EFA=∠CAF+∠ACF=60°，
同理(2) 可证△FDC≌△FHC，
∴FD=FH，
∴FD=FE
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：(1)因为 ∠ACB=90°， ∠B=60°，
所以∠BAC=30°，
因为AD， CE分别是∠BAC， ∠ACB的平分线，
所以∠FAC=15°，∠FCA=45°，
所以∠EFA=∠FAC+∠FCA=60°.
故答案为：60°.
【分析】 本题参考题目给出的利用角平分线构造全等三角形的方法求解：
(1)利用三角形内角和与角平分线的定义求出∠FAC+∠FCA，再结合外角性质计算∠EFA；
(2)通过在AC上截取AG=AE，构造△EAF≌△GAF，再证明△FDC≌△FGC，即可得到FD与FE的关系；
(3)沿用(2)的构造全等的方法，依然可以通过两次全等证明结论不变。
25．在“珍爱生命，幸‘盔’有你”为主题的交通安全宣传教育下，人们骑乘电动自行车佩戴头盔的安全意识不断提高.某电动自行车店计划分别购进30个安全头盔和若干副电动自行车手套，店经理联系了批发商，他们之间的对话如下：
您好，请问安全头盔和手套的批发价分别是多少元 您好，头盔40元/个，手套20元/副，有以下两种优惠方案：方案一：整体打九折；方案二：原价购买两个头盔赠送一副手套.
（1）电动自行车店计划购买30个安全头盔和a副手套(a>15)，若选择方案一购买，需要花费　 　元(用含a的代数式表示)，若选择方案二购买，需要花费　 　元(用含a的代数式表示)；
（2）当a=60时，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算
【答案】（1）(18a+1080)；(20a+900)
（2）解： 当a=60时，
方案一花费： 1080+18×60=1080+1080=2160；
方案二花费： 900+20×60=900+1200=2100；
因为2100<2160，
答：此时按方案二购买较合算
【知识点】求代数式值的实际应用；整式加、减混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：(1)根据题意，方案一： 整体打九折 ，故总费用为：0.9(30×40+20a)=18a+1080；
方案二：原价购买两个头盔赠送一副手套. 故总费用为：30×40+20(a-15)=20a+900.
故答案为：(18a+1080)，(20a+900).
【分析】 (1)根据方案一的优惠规则，先计算购买30个头盔和100副手套的原价总和，再打九折得到花费；
(2)分别依据方案一、方案二的优惠方式，列出含a的代数式表示花费；
(3)将a=60代入(2)中得到的两个代数式，计算各自花费后比较大小，确定更省钱的方案。
26．如图1，已知AB∥CD，E，F分别是AB， CD上的点，P为AB， CD之间的一点， 且始终在直线EF的左侧， 连接EP， PF.
（1）求证： ∠AEP+∠CFP=∠EPF.
（2）如图2，在AB， CD内部另作一条折线E-Q-F，且点Q在直线EF的右侧.
①若 求 的度数，
②若 ，请直接写出∠EPF与∠EQF 之间的数量关系(用含n的代数式表示)
【答案】（1）解： 如图，过点 P作GH∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥GH，
∴∠AEP=∠EPH， ∠CFP=∠FPH，
∵∠EPF=∠EPH+∠FPH，
∴∠EPF=∠AEP+∠CFP
（2）解： ①由 (1) 得， ∠EQF=∠BEQ+∠DFQ=130°
∵∠BEP=2∠BEQ， ∠DFP=2∠DFQ，
∴∠BEP+∠DFP=2∠BEQ+2∠DFQ=2×130°=260°
∵∠AEP=180°-∠BEP， ∠CFP=180°-∠DFP
∴∠EPF=∠AEP+∠CFP=360°-(∠BEP+∠DFP)=100°；
②由(1) 得，EQF=∠BEQ+∠DFQ
∵∠BEP=n∠BEQ， ∠DFP=n∠DFQ，
∴∠BEP+∠BEQ+n∠DFQ=n∠EQF
∵∠AEP=180°-∠BEP， ∠CFP=180°-∠DFP
∴∠EPF=∠CFP=360°-(∠BEP+∠DFP)=360°-n∠EQF
∴∠EPF+n∠EQF=360°
【知识点】平行公理及推论；猪蹄模型；平行线的应用-求角度
【解析】【分析】(1)过点 P 作平行于 AB 的辅助线，结合 AB 与 CD 平行推出三条直线互相平行，利用平行线内错角相等拆分∠EPF，等量代换证出两角之和等于∠EPF；
(2)①套用第一问模型得到∠EQF 等于两个小角相加，根据倍数关系求出∠BEP 与∠DFP 的总和，再利用邻补角表示出∠AEP 和∠CFP，二者相加算出∠EPF 度数；
②延续前一问模型，用 n 倍的∠EQF 表示∠BEP 与∠DFP 的和，再借助邻补角转化∠AEP、∠CFP，整理化简得到∠EPF 和∠EQF 含 n 的等式关系。
1 / 1陕西西安市高新区2025-2026学年度第二学期期末学业质量测评七年级数学试题
1．下列四个汉字中，可看成是轴对称图形的是（　　）
A．爱 B．我 C．中 D．华
2．下列运算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．小智在爸爸的影响下，自主学习人工智能的神经网络课程．他借助一个神经网络模型，输出了一个神经元的激活概率，其值为．用科学记数法表示这个激活概率为（　　）
A． B．
C． D．
4．下列事件为必然事件的是 (　　)
A．任意买一张电影票，座位号是奇数
B．打开手机，正好刷到学习主播正在直播
C．3个人分成两组，一定有2个人分在一组
D．任意画一个三角形，其内角和是360°
5．如图， AD是△ABC的中线， AB=8， AC=7， 若△ACD的周长为18， 则△ABD的周长为(　　)
A．15 B．16 C．20 D．19
6．如图①，在长方形ABCD中，动点P以2cm/秒的速度从点B出发，沿B→C→D→A的方向运动至点A处停止.设点P运动的时间为x秒，△ABP的面积为ycm2.若y与x之间的关系图象如图②所示，则长方形ABCD的面积是(　　)
A．12m2 B．24cm2 C．30cm2 D．36cm2
7．如图， AB∥CD， M是平面内一点，连接MB， MC， ∠MCD的平分线与∠ABM的平分线交于点N.若∠CNB=120°， 则∠M的度数为 (　　)
A．30° B．40° C．50° D．60°
8．如图，AB∥CD，PG平分∠EPF，∠A+∠AHP=180°，下列结论：①CD∥PH；②∠BEP+∠DFP=2∠EPG；③∠FPH=∠GPH； ④∠A+∠AGP+∠DFP-∠FPG=180°； 其中正确结论是(　　)
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①③
9．若 则 　 　
10．如图，若让转盘自由转动一次，转盘停止后，指针落在蓝色区域内的概率是　 　．
11．如图，在△ABC中， AB=AC=12， 点E在边AC上，AE的垂直平分线交BC于点D， 若∠ADE=∠B，CD=3BD， 则CE=　 　.
12．如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，BE是△ABD的中线，过点D分别作DF⊥AB，DH⊥AC，垂足分别为点F，H，若△BED的面积为2，AB的长为4，则DH的长为　 　.
13．将一个长方形纸条折叠两次，第一次将长方形纸条ABCD向上翻折，记点C，D的对应点分别为C'，D'，折痕为EF，且C'E交AD于点G (如图1)；第二次将四边形GFD'C'沿GF向下翻折，记C'， D'的对应点分别为C"， D"(如图2) . 若∠CEF =28°， 则∠GFD"=　 　.
14．化简：
15．在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球.其中红球4个，白球6个，黑球5个.求任意摸出一个球是黑球的概率.
16．如图， AC∥DE， AC=BD， BC=ED， 试说明∠EBD=∠A.
17．如图，在△ACB中， ∠B=30°， 请在AB上找一点P， 使得∠PCB=30°. (不写作法， 保留作图痕迹)
18．先化简，再求值：，其中．
19．某景区计划改造一块边长为(3x+9y)米的正方形空地，如图，在空地中间修建一个长为(3x+4y)米，宽为(3x-4y)米的长方形花坛，在花坛的四周留出一条宽度为2y米的装饰区域，其余区域铺设为走道.
（1）分别计算花坛和装饰区域的面积；
（2）若x=4，y=1，每平方米的走道铺设费用为30元，计算铺设走道的总费用.
20．如图，在△ABC中， BD平分∠ABC， CD平分∠ACB， DE⊥AC于点E， DF⊥BC于点F.
（1）若∠ABC=60°， ∠ACB=50°， 求∠BDC的度数；
（2）若DE=3， BC=8， 求△BCD的面积.
21．一口袋中有5张完全相同的卡片，分别写有1cm、2cm、3cm、4cm和5cm，口袋外有2张卡片，分别写有3cm和5cm．现随机从袋内取出一张卡片，与口袋外两张卡片放在一起，以卡片上的数量分别作为三条线段的长度．
（1）求这三条线段能构成三角形的概率；
（2）求这三条线段能构成等腰三角形的概率．
22．如图所示，乐乐在公园荡秋千，开始时乐乐坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直，秋千的转轴O到地面的距离OA=3m；乐乐在荡秋千的过程中，当她摆动到最高点C时，过点C作CE⊥OA于点 E，此时点C到OA的距离CE=2m； 当乐乐从C处摆到B处时，则有BO⊥CO，过点B作BD⊥OA于点D.
（1）求证： ∠BOD=∠OCE；
（2）求AD的长.
23．新定义：如果a-b=10，那么我们称a是b关于10的“圆满数”.
（1）12是　 　关于10的“圆满数”； 8+x是　 　关于10的“圆满数”(用含x的代数式表示)；
（2）若( b=(2x+3)(2x-3)-4x， 判断a是否是b关于10的“圆满数”， 并说明理由.
24．如图①，OP是∠MON的平分线，点A是OP上任意一点，用圆规分别在OM，ON上截取OB=OC，连接AB，AC， 则△AOB≌△AOC(SAS).
请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
如图②，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°， ∠B=60°，AD， CE分别是∠BAC， ∠ACB的平分线， AD， CE相交于点F.
（1）∠EFA的度数为　 　；
（2）写出FD与FE之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图③，若∠ACB不是直角，其他条件不变，则(2)中所得结论是否仍然成立 请说明理由.
25．在“珍爱生命，幸‘盔’有你”为主题的交通安全宣传教育下，人们骑乘电动自行车佩戴头盔的安全意识不断提高.某电动自行车店计划分别购进30个安全头盔和若干副电动自行车手套，店经理联系了批发商，他们之间的对话如下：
您好，请问安全头盔和手套的批发价分别是多少元 您好，头盔40元/个，手套20元/副，有以下两种优惠方案：方案一：整体打九折；方案二：原价购买两个头盔赠送一副手套.
（1）电动自行车店计划购买30个安全头盔和a副手套(a>15)，若选择方案一购买，需要花费　 　元(用含a的代数式表示)，若选择方案二购买，需要花费　 　元(用含a的代数式表示)；
（2）当a=60时，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算
26．如图1，已知AB∥CD，E，F分别是AB， CD上的点，P为AB， CD之间的一点， 且始终在直线EF的左侧， 连接EP， PF.
（1）求证： ∠AEP+∠CFP=∠EPF.
（2）如图2，在AB， CD内部另作一条折线E-Q-F，且点Q在直线EF的右侧.
①若 求 的度数，
②若 ，请直接写出∠EPF与∠EQF 之间的数量关系(用含n的代数式表示)
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、爱不可以看作是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、我不可以看作是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、中可以看作是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、华不可以看作是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可。
2．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，则此项错误，不符合题意；
B、，则此项错误，不符合题意；
C、，则此项正确，符合题意；
D、，则此项错误，不符合题意；
故选：C．
【分析】
根据同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方的运算，逐一验证每个选项即可.
3．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：
故选：D．
【分析】
科学记数法的标准表示形式为，其中要求，n为整数。要确定n的取值，需要看把原数改写为a的形式时，小数点一共移动了多少位，n的绝对值和小数点移动的位数是相等的。当原数的绝对值时，n为正整数；当原数的绝对值时，n为负整数.
4．【答案】C
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解： 选项A：任意买一张电影票，座位号可能是奇数，也可能是偶数，该事件的发生具有不确定性，属于随机事件，因此A不符合题意。
选项B：打开手机时，可能刷到学习主播正在直播，也可能刷到其他内容，该事件的发生具有不确定性，属于随机事件，因此B不符合题意。
选项C：将3个人分成两组，由于分组时两组人数之和为3，只能是“1人一组，2人一组”的分配方式，所以无论怎么分，一定有2个人分在一组，该事件在给定条件下必然发生，属于必然事件，因此C符合题意。
选项D：根据三角形内角和定理，任意一个三角形的内角和都是180°，所以“任意画一个三角形，其内角和是360°是不可能发生的事件，属于不可能事件，因此D不符合题意。
故答案为：C.
【分析】 根据必然事件（在一定条件下必然会发生的事件）、随机事件（可能发生也可能不发生的事件）、不可能事件（一定不发生的事件）的定义，对每个选项逐一分析，确定符合必然事件的选项。
5．【答案】D
【知识点】三角形的中线
【解析】【解答】解：因为AD是△ABC的中线，
所以BD=CD。
已知△ACD的周长为18，
所以AC+CD+AD=18。
又因为AC=7，代入得7+CD+AD=18，
移项计算得CD+AD=18-7=11.
因为△ABD的周长为AB+BD+AD。
因此AB+BD+AD=AB+CD+AD。
所以△ABD的周长为8+11=19.
故答案为：D.
【分析】 本题需结合三角形中线的性质与周长的计算方法求解。关键在于利用中线定义得出BD=CD，再通过△ACD的周长推导出CD+AD的值，进而计算△ABD的周长。
6．【答案】B
【知识点】三角形的面积；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：由题意知△ABP的面积变化分为三个阶段：P在BC上时，面积随时间增大而增大；P在CD上时，面积保持不变；P在DA上时，面积随时间增大而减小。
从函数图象可知点P在BC上运动了3s，故BC=6cm，
因为AD=BC=6cm，
所以在AD上运动时间也是3s，
所以在CD上运动时间为2s，
故CD=4cm，
所以长方形ABCD的面积为4×6=24cm2.
故答案为：B.
【分析】动点P沿B→C→D→A运动时，△ABP的面积变化分为三个阶段：P在BC上时，面积随时间增大而增大；P在CD上时，面积保持不变；P在DA上时，面积随时间增大而减小。结合图②的函数图象，通过各阶段运动时间与速度，求出长方形相邻两边长度，进而计算面积。
7．【答案】D
【知识点】平行公理及推论；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：过点N，M作AB的平行线NE，MF，如图，
由 AB ||CD ，所以NE||CD||MF，
所以∠ABN =∠BNE、∠DCN+∠CNE=180°，∠CNB=∠CNE-∠BNE=120°，
可得∠ABN+∠DCN=60°，
因为BN、CN 是角平分线，
所以∠ABM+∠DCM=2 (∠ABN+∠DCN)=120°；
同理∠BMC=∠BMF-∠CMF=60°，
即∠M=60°。
故答案为：D.
【分析】 利用平行线间拐点模型，过 N、M 分别作 AB 的平行线，结合角平分线得到两组相等角，根据∠CNB=120° 算出一组分角之和，再用同样的平行线角度关系推出∠M 的度数。
8．【答案】B
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：结论①：已知AB‖CD，且∠A+∠AHP=180°。根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得AB||PH。
又因为AB||CD，根据“平行于同一条直线的两条直线互相平行”，所以CD||PH，结论①正确；
结论②：由结论①知CD‖PH，结合AB‖PH(已证AB‖PH)，根据“两直线平行，内错角相等”：
AB II PH时，∠BEP=∠EPH；
CD II PH时，∠DFP=∠FPH。
因此∠BEP+∠DFP=∠EPH+∠FPH=∠EPF。
又因为PG平分∠EPF，所以∠EPF=2∠EPG，即∠BEP+∠DFP=2∠EPG，结论②正确；
结论③：题目中未给出PH平分∠FPG或其他能推导∠FPH=∠GPH的条件，无法确定∠FPH与∠GPH相等，结论③错误；
结论④：由AB‖PH(已证)，根据“两直线平行，内错角相等”，得∠AGP=∠GPH。
由结论①知CD‖PH，根据“两直线平行，内错角相等”，得∠DFP=∠FPH。
因为PG平分∠EPF，所以LEPG=∠FPG，且LEPF=∠EPH+∠FPH=∠BEP+∠DFP(同结论②的推导)。
对∠A+∠AGP+∠DFP-∠FPG进行转化：∠A+∠AGP+∠DFP-∠FPG=∠A+∠GPH+∠FPH-∠FPG.
又因为AB‖PH，所以∠A+∠AHP=180°，即∠A=180°-∠AHP。结合角度和差关系，可验证∠A+∠AGP+∠DFP-∠FPG=180°成立，结论④正确.
故答案为：B.
【分析】 利用平行线的判定与性质、角平分线的定义，对每个结论逐一分析判断。
9．【答案】3
【知识点】同底数幂除法的逆用
【解析】【解答】解：am-n=am÷an，
因为am=6，an=2，
所以am-n=am÷an=6÷2=3.
故答案为：3.
【分析】本题主要考查了同底数幂的除法的逆运算，将am-n变形为am÷an，然后代入即可.
10．【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：指针停止后指向图中阴影的概率是：．
故答案为：．
【分析】
根据几何概率的定义，算出阴影部分对应圆心角占整个圆周角的比例，就可以得到所求概率.
11．【答案】4
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：因为AE的垂直平分线交BC于点D，
所以DA=DE，
因为AB=AC，
所以∠B=∠C，
因为∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADE=∠B，
所以∠BAD=∠CDE，
所以△ABD≌△DCE(AAS)，
所以CD=AB=12，CE=BD，
因为CD=3BD，
所以CE=BD=4.
故答案为：4.
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，因为AB=AC=12，所以∠B=∠C，因为∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADE=∠B，所以∠BAD=∠CDE，证明△ABD≌△DCE，进而得到CD=AB，BD=CE，因为CD=3BD，进而得到CE的长.
12．【答案】2
【知识点】角平分线的性质；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：因为AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DH⊥AC，
所以DH=DF，
因为BE是△ABD的中线，
所以S△BED=S△BEA=2，
所以S△BAD==4，
因为AB=4，
所以DH=DF=2.
故答案为：2.
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，中线的性质，首先根据AD是△ABC的角平分线， DF⊥AB，DH⊥AC，得到DF=DH，然后根据中线平分面积，得到△ABD的面积，进而利用三角形面积公式得到DF的长，即是DH的长.
13．【答案】124°
【知识点】翻折变换（折叠问题）；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：因为四边形ABCD为长方形，
所以AD||BC，
所以∠CEF+∠EFD=180°，∠CEF=∠GFE
因为∠CEF=28°，
所以∠EFD=152°，∠GFE=28°，
根据折叠的性质，∠EFD'=∠EFD=152°
所以∠GFD'=∠EFD'-∠EFG=124°，
根据折叠的性质得∠GFD''=∠GFD'=124°.
故答案为：124°.
【分析】 本题需结合平行线的性质与折叠的性质来求解角度。首先利用长方形对边平行的性质，得出相关角的关系；再根据折叠前后对应角相等的性质，逐步推导所需角度。
14．【答案】解：
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】本题要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方，分别利用公式进行计算，然后再合并同类项即可.
15．【答案】解：已知红球有4个，白球有6个，黑球有5个，
∴盒子中球的总数为4+6+5=15 (个)，
∴任意摸出一个球是黑球的概率为
【知识点】概率公式
【解析】【分析】 要计算拿到黄球的可能性，需先确定球的总数量与黄球的数量，再根据“可能性 = 所求情况数÷总情况数”来求解。
16．【答案】证明： ∵AC∥DE，
∴∠C=∠EDB，
∵AC=BD， BC=ED，
∴△ABC≌△BED(SAS)，
∴∠EBD=∠A
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】 要说明 ∠EBD=∠A ，可通过证明三角形全等实现。由AC||DE可得内错角相等，结合已知的边相等条件，利用全等三角形判定定理SAS证明△ABC≌△BED，再根据全等三角形对应角相等得出结论。
17．【答案】解：如图所示，点P即为所求.
∵作线段BC的垂直平分线，交AB于点 P，
∴PB=PC，
∴∠PCB=∠B=30°
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】本题主要考查了尺规作图-垂直平分线，要在AB上确定点P使∠PCB=∠B=30°，可通过等腰三角形的性质实现，使PB=PC，故只需做BC的垂直平分线与AB交于点P即可.
18．【答案】解：
，
∵，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；多项式除以单项式；利用整式的混合运算化简求值；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】
先运用完全平方公式和平方差公式对原式展开，再合并同类项，之后通过多项式除以单项式化简，最终得到化简结果，再代入给定数值计算，即可得到最终答案.
19．【答案】（1）解：花坛的面积： 平方米，
装饰区域和花坛的面积：
(3x-4y+2y+2y)(3x+4y+2y+2y)=3x(3x+8y)=(9x2+24xy)平方米，
装饰区域的面积：
平方米.
答：花坛的面积为 平方米，装饰区域的面积为 平方米
（2）解：走道的面积：
(平方米)，当x=4， y=1时， (平方米)，201×30=6030 (元) ，
答：铺设走道的总费用为6030元
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】(1)利用长方形面积公式计算花坛面积，再通过确定包含花坛和装饰区域的大长方形尺寸，计算其面积后减去花坛面积得到装饰区域面积；
(2)先求出正方形空地面积，再减去花坛与装饰区域的总面积得到走道面积，代入x，y值计算走道面积，最后结合每平方米费用求出总费用。
20．【答案】（1）解： ∵BD平分∠ABC， CD平分∠ACB， ∠ABC=60°， ∠ACB=50°，
∴∠BDC=180°-∠DBC-∠DCB=180°-30°-25°=125°
（2）∵CD平分∠ACB， DE⊥AC于点E， DF⊥BC于点F， DE=3，
∴DF=DE=3，
又BC=8，
∴△BCD的面积为
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【分析】 (1) 要求∠BDC的度数，可先依据角平分线的定义求出∠DBC和∠DCB的度数，再结合三角形内角和定理计算∠BDC；
(2) 要求△BCD的面积，需先根据角平分线的性质得出DF = DE，再利用三角形面积公式计算。
21．【答案】（1）解：当抽出写有1cm的卡片，则三边分别为：1cm，3cm，5cm，则，则不能构成三角形；
当抽出写有2cm的卡片，则三边分别为：2cm，3cm，5cm，
则，则不能构成三角形；
当抽出写有3cm的卡片，则三边分别为：3cm，3cm，5cm，
则，，则能构成三角形；
当抽出写有4cm的卡片，则三边分别为：4cm，3cm，5cm，
则，，则能构成三角形；
当抽出写有5cm的卡片，则三边分别为：5cm，3cm，5cm，
则，，则能构成三角形；
则总得可能情况数为5，能构成三角形的情况数为3，
∴这三条线段能构成三角形的概率为：．
（2）解：由（1）可得总得可能情况数为5，能构成等腰三角形的是：三边分别为：3cm，3cm，5cm和三边分别为：5cm，3cm，5cm，则能构成等腰三角形有2种情况，
∴这三条线段能构成等腰三角形的概率为：．
【知识点】三角形三边关系；概率公式；等腰三角形的概念
【解析】【分析】
(1) 现有五张分别标记1cm、2cm、3cm、4cm、5cm的卡片，随机抽取一张后，将抽到的边长与另外两张固定为3cm、5cm的卡片边长组合，我们先列出所有可能的组合，再逐一根据三角形三边关系判断每种组合能否构成三角形，最后结合概率公式计算对应概率；
(2) 结合(1)中列举出的所有等可能结果，统计出满足等腰三角形要求的结果数量，再根据概率公式计算得到对应概率.
（1）解：当抽出写有1cm的卡片，则三边分别为：1cm，3cm，5cm，
则，则不能构成三角形；
当抽出写有2cm的卡片，则三边分别为：2cm，3cm，5cm，
则，则不能构成三角形；
当抽出写有3cm的卡片，则三边分别为：3cm，3cm，5cm，
则，，则能构成三角形；
当抽出写有4cm的卡片，则三边分别为：4cm，3cm，5cm，
则，，则能构成三角形；
当抽出写有5cm的卡片，则三边分别为：5cm，3cm，5cm，
则，，则能构成三角形；
则总得可能情况数为5，能构成三角形的情况数为3，
∴这三条线段能构成三角形的概率为：．
（2）由（1）可得总得可能情况数为5，
能构成等腰三角形的是：三边分别为：3cm，3cm，5cm和三边分别为：5cm，3cm，5cm，则能构成等腰三角形有2种情况，
∴这三条线段能构成等腰三角形的概率为：．
22．【答案】（1）证明： ∵BO⊥CO，
∴∠BOD+∠COE=90°，
∵CE⊥OA，
∴∠OCE+∠COE=90°，
∴∠BOD=∠OCE
（2）解：由题意知，秋千的绳长不变，即OB=OC，
由(1)知∠BOD=∠OCE，
∵∠BDO=∠OEC=90°，
∴OD=CE=2m，
∴AD=OA-OD=3-2=1(m)，
答： AD的长为1m
【知识点】三角形全等的判定-AAS；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】(1)根据 BO 垂直 CO 得到两个互余角，结合 CE 垂直 OA 得到另一组互余角，利用同角的余角相等完成角度相等的证明；
(2)秋千绳长 OB 等于 OC，结合第一问证出的等角和直角，用 AAS 证明两个直角三角形全等，得到 OD 与 CE 长度相等，再用 OA 减去 OD 算出 AD 长度。
23．【答案】（1）2；x-2
（2）因为
所以a-b
=10，
即a-b=10，
所以a是b关于10的“圆满数”
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解答】解：由a b=10得b=a 10，
12 10=2，(8+x) 10=x 2，
故答案为：2，x 2.
【分析】(1)根据定义a减b等于10，已知a求b就用a减去10，分别代入12和8+x计算对应的b；
(2)先分别展开化简a和b的代数式，再计算a减b的差值，判断结果是否等于10，符合定义则a是b的圆满数。
24．【答案】（1）60°
（2）解： FD=FE， 理由如下：
如图，在AC上截取AG=AE，连接FG，
∵AD是∠BAC 的平分线，
∴∠EAF=∠GAF，
在△EAF和△GAF中，
∴△EAF≌△GAF(SAS)，
∴FE=FG， ∠EFA=∠GFA=60°，
∴∠GFC=180°-60°-60°=60°，
又∵∠DFC=∠EFA=60°，
∴∠DFC=∠GFC，
∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠FCG=∠FCD，
在△FDC和△FGC中，
∴△FDC≌△FGC(ASA)，
∴FD=FG，
∴FD=FE
（3）解：(2)中的结论仍然成立，理由如下：
如图，在AC上截取AH=AE，连接FH，
同理(2) 可得△EAF≌△HAF，
∴FE=FH， ∠EFA=∠HFA，
∵∠B=60°，
∴∠BAC+∠BCA=180°-∠B=120°，
∵AD， CE分别是∠BAC， ∠ACB的平分线，
∴∠EFA=∠CAF+∠ACF=60°，
同理(2) 可证△FDC≌△FHC，
∴FD=FH，
∴FD=FE
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：(1)因为 ∠ACB=90°， ∠B=60°，
所以∠BAC=30°，
因为AD， CE分别是∠BAC， ∠ACB的平分线，
所以∠FAC=15°，∠FCA=45°，
所以∠EFA=∠FAC+∠FCA=60°.
故答案为：60°.
【分析】 本题参考题目给出的利用角平分线构造全等三角形的方法求解：
(1)利用三角形内角和与角平分线的定义求出∠FAC+∠FCA，再结合外角性质计算∠EFA；
(2)通过在AC上截取AG=AE，构造△EAF≌△GAF，再证明△FDC≌△FGC，即可得到FD与FE的关系；
(3)沿用(2)的构造全等的方法，依然可以通过两次全等证明结论不变。
25．【答案】（1）(18a+1080)；(20a+900)
（2）解： 当a=60时，
方案一花费： 1080+18×60=1080+1080=2160；
方案二花费： 900+20×60=900+1200=2100；
因为2100<2160，
答：此时按方案二购买较合算
【知识点】求代数式值的实际应用；整式加、减混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：(1)根据题意，方案一： 整体打九折 ，故总费用为：0.9(30×40+20a)=18a+1080；
方案二：原价购买两个头盔赠送一副手套. 故总费用为：30×40+20(a-15)=20a+900.
故答案为：(18a+1080)，(20a+900).
【分析】 (1)根据方案一的优惠规则，先计算购买30个头盔和100副手套的原价总和，再打九折得到花费；
(2)分别依据方案一、方案二的优惠方式，列出含a的代数式表示花费；
(3)将a=60代入(2)中得到的两个代数式，计算各自花费后比较大小，确定更省钱的方案。
26．【答案】（1）解： 如图，过点 P作GH∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥GH，
∴∠AEP=∠EPH， ∠CFP=∠FPH，
∵∠EPF=∠EPH+∠FPH，
∴∠EPF=∠AEP+∠CFP
（2）解： ①由 (1) 得， ∠EQF=∠BEQ+∠DFQ=130°
∵∠BEP=2∠BEQ， ∠DFP=2∠DFQ，
∴∠BEP+∠DFP=2∠BEQ+2∠DFQ=2×130°=260°
∵∠AEP=180°-∠BEP， ∠CFP=180°-∠DFP
∴∠EPF=∠AEP+∠CFP=360°-(∠BEP+∠DFP)=100°；
②由(1) 得，EQF=∠BEQ+∠DFQ
∵∠BEP=n∠BEQ， ∠DFP=n∠DFQ，
∴∠BEP+∠BEQ+n∠DFQ=n∠EQF
∵∠AEP=180°-∠BEP， ∠CFP=180°-∠DFP
∴∠EPF=∠CFP=360°-(∠BEP+∠DFP)=360°-n∠EQF
∴∠EPF+n∠EQF=360°
【知识点】平行公理及推论；猪蹄模型；平行线的应用-求角度
【解析】【分析】(1)过点 P 作平行于 AB 的辅助线，结合 AB 与 CD 平行推出三条直线互相平行，利用平行线内错角相等拆分∠EPF，等量代换证出两角之和等于∠EPF；
(2)①套用第一问模型得到∠EQF 等于两个小角相加，根据倍数关系求出∠BEP 与∠DFP 的总和，再利用邻补角表示出∠AEP 和∠CFP，二者相加算出∠EPF 度数；
②延续前一问模型，用 n 倍的∠EQF 表示∠BEP 与∠DFP 的和，再借助邻补角转化∠AEP、∠CFP，整理化简得到∠EPF 和∠EQF 含 n 的等式关系。
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