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同步探究学案
课题 26.2.3 二次函数的图象和性质 单元 第二十六章 学科 数学 年级 九年级
学习 目标 1.会用配方法把化成顶点式． 2.推导一般式下抛物线对称轴、顶点坐标公式． 3.掌握图象性质，会求最值．
重点 配方法将一般式化为顶点式；掌握对称轴、顶点坐标公式，会求函数最值．
难点 二次项系数不为1时的配方变形；理解顶点公式的推导过程．
探究过程
导入新课 【引入思考】 问题：说一说二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象与性质？
新知探究 本节课来研究： 本节我们利用 的图象和性质来研究二次函数 的图象和性质。 思考：对于二次函数，如何画出它的图象并讨论它的性质？ 分析：对二次函数配方，可得．根据前面的学习，可以先画出二次函数的图象，然后把这个图象向__________平移__________个单位长度，再向__________平移__________个单位长度，就得到二次函数的图象． 想一想：还有其他平移方法吗？ 解：先配方，将二次函数的关系式转化为y＝a(x－h)2＋k的形式． ． 由配方的结果可知，抛物线 的顶点是__________ ，对称轴是 . 再利用图象的对称性列表： ...3456789.........
然后描点画图，得到 的图象如图所示 从二次函数的图象可以看出：在对称轴的左侧，抛物线从左到右__________；在对称轴的右侧，抛物线从左到右__________.也就是说，当时，随的增大而__________；当时，随的增大而__________；当时，取最__________值，最小值是__________. 探究：你能用上面的方法研究二次函数 的图象和性质吗 解：先配方，将二次函数y＝－2x2－4x＋1的关系式转化为y＝a(x－h)2＋k的形式． y＝－2x2－4x＋1 ＝__________ ＝__________ ＝__________． 由配方的结果可知，抛物线y＝－2x2－4x＋1的顶点是__________，对称轴是__________． 再利用图象的对称性列表： ...--2--1-0...y＝－2x2－4x＋1......
然后描点画图，得到y＝－2x2－4x＋1的图象如图所示． 从二次函数y＝－2x2－4x＋1的图象可以看出：在对称轴的左侧，抛物线从左到右__________；在对称轴的右侧，抛物线从左到右__________.也就是说，当时，随的增大而__________；当时，随的增大而__________；当时，取最__________值，最大值是__________. 归纳：一般地，我们可以类似地研究二次函数的图象和性质.通过配方，可以将二次函数化成 因此，抛物线的对称轴是，顶点是.如图所示，从二次函数的图象可以看出： 如果，那么当时，随的增大而__________，当时，随的增大而增大； 如果，那么当时，随的增大而增大，当时，随的增大而__________. 因此，当(或)时，抛物线的顶点是最低点(或最高点).也就是说，当时，二次函数有最值(或最值).
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．关于二次函数的图象与性质．下列四个结论中正确的是（ ） A．其图象顶点坐标为 B．随着的增大而减小 C．其图象可以看作是抛物线平移得到 D．当时，的值都大于 2．抛物线的最大值是_____． 3．已知二次函数． (1)在平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (2)当时，结合图象求y的取值范围． 选做题： 4．二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③当时，y随x的增大而减小．其中正确的有（ ） A．0个 B．3个 C．2个 D．1个 【综合拓展类练习】 5．已知为实数，是关于的二次函数，其函数表达式为． (1)当时，求该函数的顶点坐标； (2)无论取何值，该抛物线必过定点，求出该定点坐标； (3)求该函数顶点纵坐标的最大值．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．抛物线向右平移2个单位长度后的顶点坐标是（ ） A． B． C． D． 2．将二次函数化为的形式是________． 3．已知二次函数. (1)用配方法求二次函数图像的对称轴和顶点坐标； (2)画出二次函数的图像，观察图像，求随增大而增大的的取值范围. 选做题： 4．若点在二次函数的图象上，且点P到y轴的距离小于2，则n的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【综合拓展类作业】 5．已知抛物线． (1)将配方成的形式； (2)写出该抛物线的开口方向和对称轴； (3)当时，求的取值范围．
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课题 26.2.3 二次函数的图象和性质 单元 第二十六章 学科 数学 年级 九年级
学习 目标 1.会用配方法把化成顶点式． 2.推导一般式下抛物线对称轴、顶点坐标公式． 3.掌握图象性质，会求最值．
重点 配方法将一般式化为顶点式；掌握对称轴、顶点坐标公式，会求函数最值．
难点 二次项系数不为1时的配方变形；理解顶点公式的推导过程．
探究过程
导入新课 【引入思考】 问题：说一说二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象与性质？ 答案：一般地，抛物线与形状相同，位置不同.把抛物线向上(或向下)、向左(或向右)平移，可以得到抛物线.平移的方向、距离要根据的值来决定. 抛物线有如下特点: (1)当时，开口向上；当时，开口向下. (2)对称轴是. (3)顶点是(). 从二次函数的图象可以看出:如果，那么当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，当时，取最小值，最小值为；如果，那么当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，当时，取最大值，最大值为.
新知探究 本节课来研究： 本节我们利用 的图象和性质来研究二次函数 的图象和性质。 思考：对于二次函数，如何画出它的图象并讨论它的性质？ 分析：对二次函数配方，可得．根据前面的学习，可以先画出二次函数的图象，然后把这个图象向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度，就得到二次函数的图象． 想一想：还有其他平移方法吗？ 答案：先向上平移3个单位长度，再向右平移6个单位长度 解：先配方，将二次函数的关系式转化为y＝a(x－h)2＋k的形式． ． 由配方的结果可知，抛物线 的顶点是 ，对称轴是 . 再利用图象的对称性列表： ...3456789......7.553.533.557.5...
然后描点画图，得到 的图象如图所示 从二次函数的图象可以看出：在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降；在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升.也就是说，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，取最小值，最小值是3. 探究：你能用上面的方法研究二次函数 的图象和性质吗 解：先配方，将二次函数y＝－2x2－4x＋1的关系式转化为y＝a(x－h)2＋k的形式． y＝－2x2－4x＋1 ＝－2(x2＋2x)＋1 ＝－2(x2＋2x＋12－12)＋1 ＝－2(x＋1)2＋3． 由配方的结果可知，抛物线y＝－2x2－4x＋1的顶点是(－1，3)，对称轴是x＝－1． 再利用图象的对称性列表： ...--2--1-0...y＝－2x2－4x＋1...-131-...
然后描点画图，得到y＝－2x2－4x＋1的图象如图所示． 从二次函数y＝－2x2－4x＋1的图象可以看出：在对称轴的左侧，抛物线从左到右上升；在对称轴的右侧，抛物线从左到右下降.也就是说，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，取最大值，最大值是3. 归纳：一般地，我们可以类似地研究二次函数的图象和性质.通过配方，可以将二次函数化成 因此，抛物线的对称轴是，顶点是.如图所示，从二次函数的图象可以看出： 如果，那么当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大； 如果，那么当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小. 因此，当(或)时，抛物线的顶点是最低点(或最高点).也就是说，当时，二次函数有最值(或最值).
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．关于二次函数的图象与性质．下列四个结论中正确的是（ ） A．其图象顶点坐标为 B．随着的增大而减小 C．其图象可以看作是抛物线平移得到 D．当时，的值都大于 答案：C 2．抛物线的最大值是_____． 答案： 3．已知二次函数． (1)在平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (2)当时，结合图象求y的取值范围． 解：（1）列表， 0123422
函数图象如下图： （2）观察函数图象得：当时，的取值范围为． 选做题： 4．二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③当时，y随x的增大而减小．其中正确的有（ ） A．0个 B．3个 C．2个 D．1个 答案：C 【综合拓展类练习】 5．已知为实数，是关于的二次函数，其函数表达式为． (1)当时，求该函数的顶点坐标； (2)无论取何值，该抛物线必过定点，求出该定点坐标； (3)求该函数顶点纵坐标的最大值． 解：（1）当时，， 此时该函数的顶点坐标为； （2）∵， ∴当，即时，， ∴该定点坐标为； （3）∵，且， ∴该函数顶点纵坐标为， ∵，， ∴当时，取得最大值，最大值为2， 即该函数顶点纵坐标的最大值为2．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．抛物线向右平移2个单位长度后的顶点坐标是（ ） A． B． C． D． 答案：B 2．将二次函数化为的形式是________． 答案： 3．已知二次函数. (1)用配方法求二次函数图像的对称轴和顶点坐标； (2)画出二次函数的图像，观察图像，求随增大而增大的的取值范围. 解：（1）∵二次函数， ∴二次函数的对称轴是直线，顶点坐标是 （2）∵二次函数， ∴该函数的顶点坐标为，过，，，， 函数图像如下图所示： 由图像可知，随增大而增大的的取值范围是． 选做题： 4．若点在二次函数的图象上，且点P到y轴的距离小于2，则n的取值范围是（ ） A． B． C． D． 答案：A 【综合拓展类作业】 5．已知抛物线． (1)将配方成的形式； (2)写出该抛物线的开口方向和对称轴； (3)当时，求的取值范围． 解：（1） （2）由，得， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线 （3）∵抛物线开口向上，顶点坐标为， ∴当时，取最小值 将代入，得 将代入，得 ∵，且函数在时随着的增大而减小，在时随着的增大而增大 ∴的取值范围为．
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