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第1章 有理数
1.5.1 有理数的乘法
学习目标与重难点
学习目标：
1.结合温度变化情境与温度计图示，借助几何直观、符号意识，从实际问题抽象有理数乘法算式，形成数感。
2.通过观察归纳推理得到有理数乘法法则，提升推理意识，熟练进行有理数乘法运算，发展运算能力。
3.理解倒数概念，运用乘法模型解决简单实际问题，增强模型意识与应用意识，规范表达运算过程。
学习重点：掌握有理数乘法法则，能够正确进行有理数乘法运算，理解倒数的概念。
学习难点：理解“负负得正”的算理，运算过程中准确处理符号问题。
预习自测
一、知识链接
1.复习有理数减法法则，知道减法可以转化为加法，会利用加法交换律、结合律简化运算，本节课乘法同样会沿用运算律简化计算。
2.掌握正数之间、正数与0的乘法计算，有理数乘法只需在绝对值相乘的基础上，额外判断符号。
3.有理数乘法运算要先求因数的绝对值再相乘，符号判断需要借助相反数的相关知识。
自学自测
1.(-4)×6=____。
2.(-7)×(-3)=____。
3.- 的倒数是____。
教学过程
一、创设情境、导入新课
问题：我们已经学过两个正有理数相乘，以及一个正有理数与0相乘。如：
（+2）×（+3）=6，（+2）×0=0.
思考：如果两个有理数相乘，其中有负数，应该怎么计算？
在实验室中，甲标本的温度每1min下降2℃，乙标本的温度每1min上升3℃。已知甲、乙标本现在的温度都是0℃。我们用负数和正数分别表示温度的下降和上升，例如下降2℃记作-2℃，上升3℃记作3℃，又分别用负数和正数表示变化前后的时间，例如3min后记作3min，2min前记作-2min。
问题一：3min后甲标本的温度比现在高还是低？高（或低）多少？
由图可知，3min后甲标本的温度比现在低6℃，用算式表达，即：（-2）×3=-6
扩充到有理数后，乘法也要满足以前学过的运算律。
请你根据分配律，结合[（-2）+2]×3=0说说为什么（-2）×3=-6.
问题二：2min前乙标本的温度比现在高还是低？高（或低）多少？
由图可知，2min前乙标本的温度比现在低6℃。用算式表达，即：3×（-2）=-6
根据乘法交换律，由（-2）×3=-6也可以得到3×（-2）=-6。
问题三：3min前甲标本的温度比现在高还是低？高（或低）多少？
由图可知，3min前甲标本的温度比现在高6℃。用算式表达，即：（-2）×（-3）=6
此外，两个有理数相乘，当一个因数是0时，积仍是0，如：（-2）×0=0，0×（-2）=0
利用运算律说说为什么（-2）×（-3）=6.
二、合作交流、新知探究
探究一：有理数的大小比较
教材第33页
1.有理数的乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，再把两个数的绝对值相乘；②任何有理数与0相乘，结果都为0。（运算顺序：先定积的符号，再把绝对值相乘）
2.借助乘法运算律推导法则：有理数扩充之后，乘法交换律、分配律依旧成立。可以利用分配律，从已有的计算结果，推导出异号相乘、负负相乘的结果，解释“负负得正”的道理。
3.有理数乘法的计算步骤：第一步：观察两个乘数符号，确定乘积符号；第二步：取两个数的绝对值，做小学的正数乘法；第三步：把符号和绝对值结果结合，得到最终结果。
4. 倒数的定义：如果两个有理数的乘积等于1，那么这两个数互为倒数。
注意：0没有倒数；求分数的倒数，颠倒分子分母的位置。
三、课堂练习、巩固提高
【知识技能类作业】必做题：
1.2026年是农历丙午马年， 2026的倒数是( )
A.–2026 B. C.- D.2026
2.如果2025个有理数相乘，结果为0，那么这2025个数（ )
A．都为0 B．只有一个0
C．有两个数互为相反数 D．至少有一个0
3.在-1，2，3，-4，-5这五个数中，任取三个数相乘，所得的积最大是（ ）
A．-6 B．40 C．60 D．120
4.填空：-0.5的倒数是 ；|- 1/5|的倒数是 ；10的倒数的相反数是 。
【知识技能类作业】选做题：
1.从1层到4层每层参会人数分别为2、1、2、2，每层楼之间爬楼距离相等．如果要使所有参会人员到会议室地点爬楼的距离之和最短，那么会议室地点应设在哪一层？（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2.现定义新运算“※”对任意有理数a、b，规定a ※ b=（a+b）（a-b），例如：1 ※ 2=（1+2）（1-2）=-3，则计算3 ※ [（-1） ※2]=（ ）
A．-6 B．-9 C．0 D．18
3.已知|a|=3， b=-8， ab>0， 则a-b的值为 .
4.计算：
（1）(-2)×3×4×(-5)；
（2）1×（- ）×（-2.5）×（- ）
(- 2020)×(-2021)×2×(- 2024)×0×(-2025).
【综合拓展类作业】
1.某水果店销售一种牛奶草莓，统计了一个月（按四周计算）的实际销售情况，以每千克20元为标准售价，超过或不足的钱数分别用正、负数来表示；每周的销售量200千克为标准，超过或不足的数量分别用正、负数来表示，记录如下：
（1）这个月牛奶草莓售价最低的是第______周，这一周的售价是每千克______元；
（2）这个月牛奶草莓的总销售量是多少千克？
（3）这个月牛奶草莓销售量最多的一周比销售量最少的一周的总销售额多吗？如果多，多多少？
总结反思、拓展升华
【课堂总结】
1.借助温度变化的生活实例，用正负数表示温度变化与时间，由此引出负数参与乘法运算，导入有理数乘法的学习。
2.理解有理数乘法法则，掌握两数相乘、数与0相乘的运算，认识倒数概念，清楚乘积为1的两个数互为倒数。
3.有理数乘法运算要先确定积的符号，再把绝对值相乘；乘法交换律、分配律在有理数中依旧成立，可用来推导“负负得正”。
4.依据法则进行有理数乘法计算，能够把生活情境转化为乘法算式，解决简单的实际数学问题。
五、【作业布置】
【知识技能类作业】必做题：
1.计算（-3）×（-6）的结果是（ ）
A．-18 B．18 C．-9 D．9
2.已知有理数mA．若mn>0，则pq>0；
B．若mp>0，则nq<0；
C．若np<0，则mq<0；
D．若pq<0，则mn<0.
3.已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，则a+b+cd的值 .
4.如图，现有5张写着不同数字的卡片，请你从中抽取3张卡片，使这3张卡片上数字的积最大，则积最大是__________.
【知识技能类作业】选做题：
1.若a+b>0，ab<0，那么a、b两数（ ）
A．都是正数 B．一个正数，一个负数，且负数的绝对值较大
C．都是负数 D．一个正数，一个负数，且正数的绝对值较大
2.某工厂前年的产值为500万元，去年比前年的产值增加了10%，如果今年的产值估计比去年也增加了10%，那么该工厂今年的产值将是 万元．
3.对于有理数a（a≠1），我们把称为的差倒数。例如：4的差倒数是 =- ，-2的差倒数是=。已知a1=3，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数……依此类推，则a4=_____，a2026=_____。
【综合拓展类作业】
1.【阅读】我们学习了有理数的乘法法则，在探究两数的积与和的关系时，常常需要用到分类讨论的数学思想。
【探究】
（1）若ab=12，且a，b均为整数，则a+b的值可能是 （填序号）。
①正数；②负数；③0。
（2）若a+b=-6，且a，b为整数，则ab的最大值为 。
【拓展】
（3）数轴上A，B两点分别对应有理数a，b，若ab<0，试比较a+b与0的大小关系。
答案
自学自测：1.-24；2.21；3.-2
【课堂练习】
【知识技能类作业】必做题
1.B
2.D
3.C
4.-2；5；-
【知识技能类作业】选做题
1.C
2.C
3.5
4.(1)120；(2)- ；(3)0
【综合拓展类作业】
1.（1）四，15；（2）解：四周标准总销售量为200×4=800（千克），每周销量相对标准的差值总和为50+（-20）+70+（-10）=90（千克），总销售量为800+90=890（千克）．答：这个月牛奶草莓的总销售量是890千克.
（3）解：每周实际销售量分别为：第一周：200+50=250（千克）；第二周：200+（-20）=180（千克）；第三周：200+70=270（千克）；第四周：200+（-10）=190（千克）．销售量最多的是第三周（270千克），最少的是第二周（180千克）．第三周销售额：270×（20-4）=270×16=4320（元）；第二周销售额：180×（20+4）=180×4=4320（元）．差值为4320-4320=0（元）．
答：销售量最多的一周和销售量最少的一周的销售额一样多．
【作业布置】
【知识技能类作业】必做题
1.【解析】根据有理数乘法法则 “两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘”，与同号，结果为正，绝对值相乘，因此结果为。
【详解】B
2.【解析】选项A：若，说明、同号，但、可能一正一负（如），此时，故A错误；选项B：若，说明、同号，则、也同号，，故B错误；选项C：若，说明、异号，结合，可得，因此负、正，，故C正确；选项D：若，说明、异号，但、可能同负（如），此时，故D错误。
【详解】C
3.【解析】a、b互为相反数，说明a+b=0；c、d互为倒数，说明cd=1。因此a+b+cd=1。
【详解】1
4.【解析】要使抽取3张卡片上数字的乘积最大，乘积结果应为正数。乘积为正数有两种情况：三个数都为正数，或者两个负数、一个正数。
观察卡片数字：-6、-5、-1、+2、+4，正数只有2个，无法选出3个正数，因此只能选择两个负数和一个正数。
要让乘积尽可能大，优先选绝对值最大的两个负数 -6、-5，再选绝对值最大的正数+4。
列式：(-6)×(-5)×4=30×4=120。
所以积最大是120。
【详解】120
【知识技能类作业】选做题
1.【解析】已知ab<0，根据有理数乘法法则，异号两数相乘结果为负，由此可以判断a、b一个是正数，一个是负数，排除A、C选项。
又已知a+b>0，异号两数相加，和的符号与绝对值较大的数保持一致。和为正数，说明正数的绝对值更大。
因此a、b为一个正数，一个负数，且正数的绝对值较大，故选D。
【详解】D
2.【解析】已知前年的产值为500万元，去年比前年的产值增加了10%。
求去年产值：500×(1+10\%)=500×1.1=550（万元）
今年的产值估计比去年也增加了10%，把去年产值当作基础量：
550×(1+10%)=550×1.1=605（万元）
所以该工厂今年的产值将是605万元。
【详解】605
3.【解析】根据差倒数的定义依次计算：
由此可知，数列以为周期循环，周期长度为 3。
因为，余数为 1，所以。
【详解】3；3
4.【解析】|a|=3，a=±3；|b|=5，b=±5。
条件a-b>0，即a>b。a=3，b=-5，a-b=8；a=-3，b=-5，a-b=2。一共2种，选B。
【详解】B
【综合拓展类作业】
1.【解析】（1）由可知、同号：
若、均为正整数，如，则，是正数；
若、均为负整数，如，则，是负数；
同号两数相加不可能为 0。
因此选①②。
（2）两数和固定时，两数越接近，乘积越大。当时，乘积最大，。
（3）由可知、异号，和的符号由绝对值较大的数决定：
正数绝对值更大时，和为正；两数绝对值相等时，和为 0；负数绝对值更大时，和为负。
【详解】（1）①②；（2）9；（3）若正数的绝对值大于负数的绝对值，则a+b>0；若正数的绝对值等于负数的绝对值，则a+b=0 ；若正数的绝对值小于负数的绝对值，则a+b<0 。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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