资源简介

(一) 分层巩固训练 A 组
题号 参考答案
A1 (1) 由 xy = 48 得 y = (x > 0); (2) 当 x = 6 时, y = = 8
题号 参考答案
A2 (1) 由 xy = 2400 得 y = (x > 0); (2) 由 y ≤ 20 得 ≤ 20, 因为 x > 0, 所以 x ≥ 120, 即平均每天至少要修 120 m
A3 (1) k = 0.4 × 500 = 200, 所以 p = (S > 0); (2) 当 S = 0.8 时, p = = 250 (Pa)
A4 (1) 由杠杆原理得 Fl = 900, 所以 F = (l > 0); (2) 当 l = 4.5 时, F = = 200 (N)
A5 (1) k = 5 × 8 = 40, 所以 y = ; (2) 当 x = -4 时, y = = -10
A6 (1) 由 t = 得 vt = 200, 所以这辆汽车一共要行驶 200 km; (2) 由 t ≤ 8 得 ≤ 8, 因为 v > 0, 所以 v ≥ 25, 即平均速度至少为 25 km/h
(二) 分层巩固训练 B 组
题号 参考答案
B7 (1) 由 ab = 1080 得 b = (a > 0); (2) 由 b ≤ 12 得 ≤ 12, 所以 a ≥ 90, 即平均每天至少要运 90 t; (3) 由 a ≤ 180 得 ≤ 180, 所以 b ≥ 6, 即至少需要 6 天
B8 (1) k = 4 × 2.5 = 10, 所以 ρ = (V > 0); (2) 当 V = 10 时, ρ = = 1
B9 (1) 由 240 = 得 = 14400, 所以 P = (R > 0); (2) 当 R = 80 时 P = = 180 (W), 当 R = 180 时 P = = 80 (W); 因为 P 随 R 的增大而减小, 所以功率的范围是 80 ≤ P ≤ 180 (W)
B10 (1) v = (t > 0); (2) 由 t ≤ 5 得 ≤ 5, 所以 v ≥ 180, 即排水速度至少为 180 /h; (3) 由 v ≤ 300 得 ≤ 300, 所以 t ≥ 3, 即至少需要 3 h
B11 (1) 由杠杆原理得 Fl = 15 × 12 = 180, 所以 F = (l > 0); (2) 当 l = 20 时, F = = 9 (N); (3) 由 F ≤ 10 得 ≤ 10, 所以 l ≥ 18, 即 l 至少为 18 cm
(三) 分层巩固训练 C 组
题号 参考答案
C12 (1) y = (x > 0); (2) 原计划每天 75 个, 需要 = 24 (天); 实际每天 75 + 25 = 100 个, 需要 = 18 (天), 所以提前了 24 - 18 = 6 (天); (3) 要提前 4 天完成, 即 24 - 4 = 20 天内完成, 由 ≤ 20 得 x ≥ 90, 即每天至少要加工 90 个
C13 (1) 由 vt = 300 得 t = ; 因为全程速度不超过 150 km/h, 即 0 < v ≤ 150, 所以 t ≥ 2; (2) 上午 8 时出发, 当天 11 时到达时 t = 3, 代入得 v = = 100 (km/h); 当天 12 时到达时 t = 4, 代入得 v = = 75 (km/h)。因为平均速度 v 随行驶时间 t 的增大而减小, 所以 75 ≤ v ≤ 100 (km/h)
C14 (1) k = 0.5 × 240 = 120, 所以 p = (V > 0); (2) 由 p ≤ 160 得 ≤ 160, 因为 V > 0, 所以 V ≥ , 即气球的体积应不小于 0.75
(四) 课本练习与当堂检测
题目 参考答案
P75-P76 练习第 1 题 (1) 圆锥的体积为 120 , 即 = 120, 所以 S = (h > 0); (2) 由 S ≤ 50 得 ≤ 50, 解得 h ≥ 7.2, 即漏斗的深至少为 7.2 cm
P75-P76 练习第 2 题 (1) 余款为 18 - 6 = 12 (万元), 所以 y = (0 < x ≤ 36); (2) 当 x = 20 时 y = = 0.6 (万元), 即平均每月应还款 6000 元; (3) 由 y ≤ 0.5 得 ≤ 0.5, 解得 x ≥ 24, 即至少要 24 个月才能结清余款
P77-P78 练习第 1 题 (1) k = 0.25 × 400 = 100, 所以 y = (x > 0); (2) 由 500 = 得 x = 0.2, 即焦距为 0.2 m
P77-P78 练习第 2 题 (1) P = = = (110 ≤ R ≤ 220); (2) 当 R = 110 时 P = = 440 (W), 当 R = 220 时 P = = 220 (W); 因为 P 随 R 的增大而减小, 所以 220 ≤ P ≤ 440 (W)
P79 练习第(1)题 以往的函数模型由已知条件确定唯一解析式, 所有已知点都完全满足该解析式; 这里各组数据的 k 值不完全相同, 有些数对只能近似满足解析式, 点并没有完全落在图象上, 属于带误差的近似模型
P79 练习第(2)题 审清题意, 找出常量与变量 → 选择函数类型并设出解析式 → 求出待定系数的值 → 写出解析式并注意自变量的取值范围 → 用函数的图象和性质解决实际问题并检验实际意义
当堂检测 第 ① 题 由 S h = 800 得 h = (S > 0)
当堂检测 第 ② 题 由 xy = 1200 得 y = (x > 0); 由 y ≤ 8 得 ≤ 8, 所以 x ≥ 150, 即平均每天至少要运 150 t
当堂检测 第 ③ 题 k = 6 × 4 = 24, 所以解析式为 y = ; 当 x = -8 时, y = = -3
(五) 课时配套巩固
题号 参考答案
第 1 题 (1) k = 4 × (-5) = -20; (2) 由 -2 × m = -20 得 m = 10
第 2 题 (1) 水渠总长为 40 × 15 = 600 (m), 所以 y = (x > 0); (2) 由 y ≤ 12 得 ≤ 12, 所以 x ≥ 50, 即每天至少要修 50 m
第 3 题 (1) k = 2 × 150 = 300, 所以 p = (S > 0); (2) 当 S = 0.5 时, p = = 600 (Pa)
第 4 题 (1) k = 3 × (-6) = -18, 所以 y = -; (2) 由 4 = - 得 x = -
第 5 题 (1) 路程为 72 × 3 = 216 (km), 所以 t = (v > 0); (2) 由 t ≤ 2.5 得 ≤ 2.5, 所以 v ≥ 86.4, 即平均速度至少为 86.4 km/h
第 6 题 (1) Fl = 720, 所以 F = (l > 0); (2) 当 l = 1.2 时 F = = 600 (N), 当 l = 2.4 时 F = = 300 (N), 所以动力减少了 600 - 300 = 300 (N)
第 7 题 (1) 各组 pV 的积都是 800, 所以 p 与 V 成反比例, 解析式为 p = (V > 0); (2) 由 250 = 得 V = 3.2, 即 V 的值为 3.2
第 8 题 (1) k = 25 × 0.4 = 10, 所以 I = (R > 0); (2) 由 I ≤ 0.5 得 ≤ 0.5, 所以 R ≥ 20, 即电阻 R 至少要 20 Ω
(六) 课本作业
题目 参考答案
《习题27.3》复习巩固 第 1 题 答案开放。例如: 路程一定时, 汽车行驶全程所用时间与平均速度成反比例; 工作总量一定时, 工作效率与工作时间成反比例。(只要举出的实例中两个量的积一定即可)
《习题27.3》复习巩固 第 2 题 (1) 由 xy = 2 × 得 y = (x > 0); (2) 相邻两边长的比为 2 : 1, 设两邻边长分别为 2a m 与 a m, 则 2a × a = 2 × , 解得 a = 1000, 所以试验田的两邻边长分别为 2000 m 与 1000 m
《习题27.3》复习巩固 第 3 题 (1) 由 mn = 3000 得 m = (n > 0); (2) 因为 m 随 n 的增大而减小, 当 n = 250 时 m = = 12, 当 n = 200 时 m = = 15, 所以 12 ≤ m ≤ 15, 即至少 12 天后食堂需再购买大米
《习题27.3》复习巩固 第 4 题 p 与 S 成反比例, 且 1200 × 0.5 = 600, 所以 p = 。由此填表: S 依次为 0.5、0.6、1、1.2、1.5、2、3、4、5、6 (单位: ), 与压强 1200、1000、600、500、400、300、200、150、120、100 一一对应, 各组 pS 的值都等于 600
《习题27.3》复习巩固 第 5 题 设两地距离为 s (s > 0), 由 vt = s 得 t = (v > 0), 所以图象是双曲线在第一象限内的一支(随 v 的增大 t 减小), 选与该形状一致的选项
《习题27.3》综合运用 / 拓广探索 【留位】 题面待按课本 P80 原文补入后, 再逐题写出解答27.3 实际问题与反比例函数 2026—2027学年 人教版数学九年级上册(2024版) 姓名: ____________ 班级: ____________ 学号: ____________
第二十七章 反比例函数 · 3课时
一、学习目标
1. 我会从实际问题中找出那个"乘积为定值"的量, 并由此判断两个变量成反比例关系, 能设出 y = (k ≠ 0)这样的解析式。
2. 我会用"审、设、列、写、解"五个动作解决文字型实际问题, 也就是先审题找常量与变量, 再设解析式、求待定系数、写出解析式与取值范围, 最后用反比例函数的图象和性质作答。
3. 我会写自变量的取值范围, 知道它有来自两个方面的限制: 一是解析式本身的限制(分母不能为 0), 二是实际问题的具体要求(时间、天数、面积、件数等往往还要为正或取整数)。
4. 我会把"不超过""至少""不大于"这类话翻译成不等式, 再借"在每一支上 y 随 x 的增大而减小(或增大)"说明答案取的是哪一端。
5. 我会从函数图象上读取已知点的坐标, 用待定系数法求出解析式, 并写出自变量与函数值的取值范围。
6. 我会先画出散点图, 根据点的分布形状判断应当选择哪一种函数类型, 再由各组待定系数的平均值建立近似模型, 并会对模型作检验。
7. 我会在答"加长多少""增加多少""减少多少"这类问题时, 用变化后的量减去原来的量, 不做答非所问的回答。
8. 我会主动自查: 找没找到定值 解析式后面写没写取值范围 单位统一了没有 时间换算是不是按 60 进制算的 范围的两个端点有没有写反
二、预习导航(先通读课本 P74-P80, 再填空)
1. 判断一个实际问题能不能用反比例函数来刻画, 只要问一句话: 题目中有没有两个量, 它们的________是不变的 如果有, 就可以设________。
2. 课本 P74 例 1 中, 起重机每小时装载 700 t 货物, 9 h 装完, 所以货物总量为 700 × 9 = ________ (t); 这个量在装货和卸货的过程中都________。
3. 例 1 中平均卸载速度 v 与卸载总时间 t 的函数解析式是 v = ________ (t > 0); 若要求不超过 6 h 卸载完, 则平均每小时至少要卸载________ t。
4. 课本 P75 讲的是"杠杆原理": 阻力 × ________ = 动力 × ________。例 2 中阻力和阻力臂分别为 1200 N 和 0.5 m, 所以 Fl = ________ (N·m)。
5. 例 2 的动力 F 关于动力臂 l 的解析式为 F = (l > 0); 当 l = 1.5 m 时 F = ________ N; 若 F 不超过 200 N, 则 l 的取值范围是 l ≥ ________ m。
6. 求实际问题中的解析式, 一般按五个动作走: 审(找出常量与变量)、设(设出解析式)、________(由已知条件求出待定系数)、________(写出解析式与取值范围)、解(用图象和性质作答)。
7. 例 3 中 W = Fs, 当 W 为定值时 s 与 F 成反比例; 图象经过点(10, 50), 说明 F = 10 N 时 s = 50 m, 所以 W = ________ J, 解析式为 s = ________ (F > 0)。
8. 例 4 中甲地到乙地的路程为定值, 由图象上 t = 2 时 v = 120 得路程为________ km, 所以 v = ; 因为 60 ≤ v ≤ 120, 所以 t 的取值范围是________。
9. 课本 P78 探究中, 6 组数据的 pV 值大致都等于 2000 左右, 但彼此________(填"相同"或"不完全相同"), 原因是实验测量有________; 由各组 k 值的平均值 1997 建立模型 p = ________。
10. 用数据建立函数模型时, 要先把各组数据作为点的坐标画在平面直角坐标系里得到________图, 观察点的分布形状来判断函数类型; 这样建立起来的模型是________模型。
我的作答:
三、课内探究
第一课时 建立反比例函数模型(课本 P74-P75)
活动一 把"乘积为定值"这句话找回来(课本 P74 开头)
11. 填一填, 并说出每个空里"乘积不变"的是哪两个量: ①面积一定时, 矩形的长与宽成________关系; ②三角形的面积一定时, 一条边与这条边上的高成________关系; ③柱体的体积一定时, 底面积与高成________关系; ④路程一定时, 平均速度与时间成________关系。
12. 从上面四小题可以归纳出一条判据: 两个变量的乘积是________, 这两个量就成反比例关系, 这时可以设它们的解析式为________。
13. 研究路径填空: 实际问题 — 找________ — 设解析式 — 求________ — 结合实际定范围 — 回到实际问题。
我的作答:
【提示】 判断能不能用反比例函数刻画, 只问一句话: 有没有两个量, 它们的乘积固定不变 有就设 y = (k ≠ 0), 没有就换别的模型。
活动二 例 1: 港口的起重机装卸货物(课本 P74 例 1)
14. 审题: 本题中"起重机每小时装载 700 t 货物""装载完毕恰好用了 9 h"告诉我们哪一个量不变 请把它算出来。
15. 设式: 设 v = (v > 0, t > 0), 把上面算出的定值代入, 得 v 关于 t 的函数解析式为 v = ________; 自变量 t 的取值范围是________。
16. 求解: 要求"不超过 6 h 卸载完毕", 把它翻译成不等式是 t ________ 6; 因为 k = 6300 > 0, 所以 v 随 t 的增大而________, t 取最大值 6 时 v 取最________值, 代入得 v = ________ 。所以起重机平均每小时至少要卸载________ t 货物。
我的作答:
图27.3-1 港口卸载: 平均卸载速度 v 与卸载总时间 t 的关系
活动三 例 2: 用撬棍撬动一块大石头(课本 P75 例 2)
17. 杠杆原理的表达式是: 阻力 × 阻力臂 = ________ × ________。本题中阻力为 1200 N, 阻力臂为 0.5 m, 两者之积为________, 这个积是________(填"变化"或"不变")的。
18. 第(1)问: 由杠杆原理得 Fl = 600, 所以动力 F 关于动力臂 l 的函数解析式为 F = ________ (l > 0); 当 l = 1.5 m 时, F = ________ (N)。所以撬动石头至少需要________ N 的力。
19. 第(2)问: "动力 F 不超过(1)中所用力的一半", 一半指的是 400 N 的一半 ________ N, 所以要求 F ≤ ________; 因为 l > 0 时 F 随 l 的增大而________, 所以求出 F = 200 时对应的 l 即可。由 200 = 解得 l = ________ (m)。
20. 想一想: 题目问的是"动力臂 l 至少要加长多少", 上面求得的 3 m 是加长________(填"前"或"后")的总长度, 原来的动力臂是 1.5 m, 所以至少要加长 3 - 1.5 = ________ (m)。
我的作答:
图27.3-2 杠杆原理示意: 阻力 × 阻力臂 = 动力 × 动力臂
图27.3-3 撬动石头: 动力 F 与动力臂 l 成反比例
【提示】 求出来的值往往是"变化后的量", 题目若问"加长/增加/减少多少", 还要再减去原来的量。这一步最容易漏。
活动四 练习: 圆锥形漏斗与购车分期(课本 P75-P76 练习)
21. 练习第 1 题: 圆锥形漏斗的容积为 120 (不计直玻璃管部分)。由圆锥的体积公式 V = Sh ÷ 3 得不变量 Sh = ________; 所以漏斗口面积 S 关于深 h 的解析式为 S = ________ (h > 0)。
22. 由 S ≤ 50 得 ≤ 50, 解得 h ≥ ________, 即漏斗的深至少为________ cm。本题最容易漏掉的是公式里的"________"。
23. 练习第 2 题: 汽车价格 18 万元, 首付 6 万元, 需要分期付清的余款是 18 - 6 = ________ (万元), 这个量不变, 所以 y 关于 x 的解析式为 y = ________ (0 < x ≤ 36)。
24. 当 x = 20 时, y = = ________ (万元), 即平均每月应还款________ 元; 若每月还款不超过 5000 元, 因为 5000 元 = ________ 万元, 由 y ≤ 0.5 解得 x ≥ ________, 即至少要________个月才能结清余款。
我的作答:
图27.3-4 圆锥形漏斗: 漏斗口面积 S 与深 h 的关系
图27.3-5 分期付款: 每月还款 y 与结清月数 x 的关系
活动五 归纳: 用反比例函数解决实际问题的一般步骤(课本 P74-P76)
25. 用自己的话把这四道题的做法概括成五步: ①审 —— 找出题目中的常量、变量, 弄清它们之间的关系; ②设 —— 根据关系设出函数解析式, 待定的系数用________表示; ③列 —— 由已知条件列出________, 求出待定系数的值; ④写 —— 写出函数解析式, 并注意解析式中变量的________; ⑤解 —— 用反比例函数的图象和性质解决实际问题。
26. 自变量的取值范围一般有两个方面的限制: 一是________本身的限制(分母不能为 0); 二是________的具体要求(时间、天数、面积、件数等往往还要为正或取整数)。
我的作答:
图27.3-6 用反比例函数解决实际问题的一般步骤(审、设、列、写、解)
第二课时 结合函数图象解决实际问题(课本 P76-P77)
活动六 由生活现象说反比例(课本 P76)
27. 解释现象: ①踩气球时越用力踩越容易破, 是因为________一定时, 受力面积越小________越大, 压强与受力面积成________关系; ②台灯的亮度、电风扇的转速可以用旋钮调节, 是因为电压一定时, 电流与________成反比例, 调节电阻就改变了电流。
我的作答:
活动七 例 3: 由图象求功与解析式(课本 P76 例 3)
28. 读图三步: 一看横轴、纵轴各表示哪一个实际量; 二看图象的形状 —— 它是双曲线在第一象限内的________, 所以应选________函数模型; 三看图象上明显经过的点 —— 本题图象经过点________, 它表示 F = 10 N 时 s = 50 m。
29. 第(1)问: W = Fs = 10 × 50 = ________ (J), 这就是那个不变的乘积。第(2)问: s 关于 F 的解析式为 s = ________ (F > 0)。
30. 第(3)问: 把 s = 100 代入得 F = ________ (N)。因为 s 随 F 的增大而________, 所以要使位移小于 100 m, 力 F 要________ 5 N(填"大于"或"小于")。注意题目里是"小于"而不是"不大于", 所以取不到等号。
我的作答:
图27.3-7 做功一定: 位移 s 与力 F 的关系
活动八 例 4: 由图象求行程问题中速度的范围(课本 P77 例 4)
31. 从图上取点: 图象的两个端点是 t = 2 时 v = 120 与 t = 4 时 v = 60。由第一组数据得甲地到乙地的路程为 2 × 120 = ________ (km), 这个量是定值, 所以 v 关于 t 的解析式为 v = ________ (t > 0)。
32. 由 v = , 当 v = 60 时 t = ________; 因为 60 ≤ v ≤ 120, 且 v 随 t 的增大而减小, 所以 t 的取值范围是________ ≤ t ≤ ________。
33. 第(2)问先做时间换算: 上午 8 时出发, 若当天 10 时 40 分到达, 行驶时间是 2 小时 40 分, 也就是________小时(填分数), 不是 2.4 小时; 若当天 11 时到达, 行驶时间是________小时。分别代入得 v = ________ 与 v = ________ (km/h)。
34. 因为 v 随 t 的增大而减小, 所以客车平均速度 v 的范围是________ ≤ v ≤ ________ (km/h)。写范围时先自己读一遍"最小到最大", 避免把两端的数写反。
我的作答:
图27.3-8 路程一定: 平均速度 v 与行驶时间 t 的关系
【提示】 时间、角度这类量是 60 进制, 40 分 = 40 ÷ 60 = 时, 不是 0.4 时。代入解析式之前先把单位化到同一个口径。
活动九 练习: 近视镜片与用电器功率(课本 P77-P78 练习)
35. 练习第 1 题: 度数 y 是关于焦距 x 的反比例函数, 图象经过点(0.25, 400), 所以 k = 0.25 × 400 = ________, 解析式为 y = ________ (x > 0); 当 y = 500 时解得 x = ________ (m), 即焦距为________ m。
36. 想一想: 由 y = 中 y 随 x 的增大而减小, 说明镜片的度数越大, 焦距越________(填"长"或"短")。
37. 练习第 2 题: 已知功率 P = , U = 220 V, 所以 P = = ________ /R; 本题的可变电阻只能取 110 ~ 220 Ω, 所以自变量 R 的取值范围是________ ≤ R ≤ ________。
38. 计算两个端点: 当 R = 110 时 P = ________ (W); 当 R = 220 时 P = ________ (W)。因为 P 随 R 的增大而减小, 所以功率的范围是________ ≤ P ≤ ________ (W)。
我的作答:
图27.3-9 近视镜片: 度数 y 与焦距 x 成反比例
图27.3-10 电压一定: 功率 P 与电阻 R 成反比例
活动十 归纳: 由函数图象求解析式的"四步法"(课本 P76-P77)
39. 把例 3 与例 4 的做法摆在一起, 可以提炼出"四步法": 一看________ —— 看清横轴、纵轴各表示哪一个实际量、单位是什么; 二看________ —— 观察图象的形状, 判断应当选择哪一种函数模型; 三设________ —— 设出函数解析式, 待定系数用字母表示; 四求________ —— 把图象上已知点的坐标代入解析式求出待定系数的值, 再由增减性与实际限制确定自变量的取值范围。
40. 取点时要注意"端点"和"明显经过的整点"; 求出解析式之后, 一定要把自变量的取值范围和函数值的取值范围一并交代清楚, 并说明理由 —— 依据是"在每一支上 y 随 x 的增大而________(或增大)"。
我的作答:
第三课时 根据数据建立函数模型(课本 P78-P79)
活动十一 探究: 气体的压强与体积(课本 P78 探究)
41. 第一步"看形状": 表中没有现成的函数模型, 所以要先把 6 组数据作为点的坐标画在平面直角坐标系里, 得到________图; 观察这些点的分布状况, 画一条曲线让它尽可能靠近所有这些点, 会发现这条曲线形似________的一支, 因此尝试选择反比例函数近似描述 p 与 V 之间的关系。
42. 第二步"建立模型": 设 p = (V > 0), 逐组算出 pV 的值 —— 分别是 2000、2016、1968、2030、1956、2010。这 6 个值________(填"完全相同"或"不完全相同"), 原因是实验测量有________。
43. 求 6 个 k 值的平均值: (2000 + 2016 + 1968 + 2030 + 1956 + 2010) ÷ 6 ≈ ________, 于是得到函数模型 p = ________ (V > 0)。
44. 第三步"检验模型": 把已知数据代回解析式, 或画出这个函数的图象, 会发现这个函数模型与实际数据________(填"基本吻合"或"完全不符"), 说明它能较好地反映气体的压强 p 与体积 V 的关系。
45. 第四步"求解问题": 将 p = 132 代入, 得 132 = , 解得 V = ≈ ________ (mL)(结果保留小数点后两位)。
我的作答:
图27.3-11 气体压强 p 与体积 V 的数据点与拟合曲线
活动十二 回顾探究: 这种建模方式与以往有什么不同(课本 P79 练习)
46. 不同点: 以往的函数模型(如一次函数、二次函数)是由已知条件确定________的解析式, 所有已知点都完全满足这个解析式; 而这里各组数据的 k 值不完全相同, 有些数对只能________满足解析式, 点并没有完全落在图象上, 属于带误差的近似模型。
47. 归纳建立函数模型解决实际问题的一般步骤: ①审清题意, 找出常量与变量, 弄清它们之间的关系; ②根据数据或图象特征, 选择合适的函数类型, 设出函数解析式; ③求出待定系数的值(由已知条件列方程, 或由多组数据取________); ④写出函数解析式, 并注意自变量的取值范围; ⑤用函数的图象和性质解决实际问题, 并对结果作实际意义的________。
我的作答:
【提示】 用数据建立模型时, 判断函数类型靠的是"散点的分布形状", 而不是先入为主; 模型建好之后一定要回头检验, 看看已知数据能不能被这个模型大体解释。
活动十三 找错活动(补充)
48. 【错例一】 求例 2 第(2)问时, 由 200 = 解得 l = 3, 直接写"动力臂至少要加长 3 m"。请指出错在哪里, 并把改正后的话写在作答区。
49. 【错例二】 求例 4 第(2)问时, 把"上午 8 时出发、当天 10 时 40 分到达"的行驶时间算成 2.4 h。这个错误出在哪一步 应该怎么算
50. 【错例三】 求探究中 k 的取值时, 有人把六组 k 值中"出现次数最多的那个"拿出来当 k。这样处理为什么不行 应该怎样求
我的作答:
活动十四 当堂检测(约 6 分钟)
① 把 800 mL 的水倒入底面积为 S()的圆柱形容器中, 水面高度 h(cm)与 S 之间的函数解析式是什么
② 某工程队要运走 1200 t 砂石, 平均每天运 x t, 需 y 天运完, 写出 y 关于 x 的解析式; 若要在 8 天内运完, 平均每天至少要运多少吨
③ 已知反比例函数的图象经过点(6, 4), 求这个函数的解析式, 并求出当 x = -8 时 y 的值。
我的作答:
活动十五 归纳整理
51. 用一句话概括本节内容: 一个判据 —— 两个量的乘积是________; 两套入口 —— 由文字找定值、由图象或数据求定值; 三个动作 —— 审题建模、定取值范围、用增减性作答; 一句提醒 —— 实验数据拟合出来的模型是________模型。
52. 常见的反比例模型填空: 工作总量一定时, 工作效率与工作时间; 杠杆平衡时, 动力与动力臂; 做功一定时, 力与在该力方向上发生的位移; 路程一定时, 平均速度与行驶时间; 压力一定时, 压强与受力面积; 电压一定时, 功率与电阻 —— 这六组量的共同点是每组里两个量的________都是定值。
我的作答:
图27.3-12 本节知识结构: 建模步骤与常见的反比例模型
四、联系梳理与易错辨析
(一) 常见的反比例关系一览(先自己填, 再对照讲义)
情境 不变的量 两个变量之间的关系
工作总量一定 工作总量 工作效率与工作时间成反比例
杠杆平衡 阻力与阻力臂的积 动力与动力臂成反比例
做功一定 功 力与在该力方向上发生的位移成反比例
路程一定 路程 平均速度与行驶时间成反比例
压力一定 压力 压强与受力面积成反比例
电压一定 电压的平方 功率与电阻成反比例
面积一定 面积 矩形的一边与邻边成反比例
产品总数一定 产品总数 每天生产的个数与所需天数成反比例
这八种情境看着不一样, 骨子里是同一件事 —— 两个量的乘积是________, 设解析式时只要把那个定值算出来当作________, 剩下的就全是 27.2 学过的图象与性质。
(二) 易错清单(逐条对照自己的作业)
1. 找不到"不变量"就急着设解析式。应当先问自己: 题目里哪两个量的乘积固定不变
2. 写出解析式却不写自变量的取值范围。实际问题中自变量往往还要满足为正、取整数或落在某个区间内。
3. 把"至多""至少"当成等式, 只算出一个数就作答。应由增减性把它翻译成不等式, 再说明取的是哪一端。
4. 答非所问: 题目问"加长/增加/减少多少", 却把变化后的总量当作答案。
5. 单位不统一: 元与万元、分与小时、厘米与米混用。代入之前先把单位化到同一个口径。
6. 时间换算按十进制算, 把 40 分当成 0.4 h。时间、角度这类量是 60 进制, 换算时要除以 60。
7. 由图象求解析式时不去读取已知点, 凭感觉写解析式; 或者读点时看错横、纵轴表示的实际量。
8. 用实验数据建模时, 因为各组待定系数的值不同就断定"数据错了"。测量有误差, 取平均值建立的是近似模型。
9. 求出函数值的范围后把不等号两端的数写反(如把 80 ≤ v ≤ 90 写成 90 ≤ v ≤ 80)。
10. 忽略实际意义检验: 算出时间为负数、人数为小数等明显不合理的结论却照抄作答。
我的作答:
(三) 建模三步与检验要点对照
环节 要做的动作 检验时看什么
找定值 从文字、图象或数据中确定那个乘积不变的量 这个量在题目叙述的全过程中确实不变吗
定范围 写出自变量的取值范围(解析式限制 + 实际要求) 范围与题目里"不超过""至少""为正"等条件一致吗
用性质 由增减性把函数值的范围与自变量的范围互相转换 不等号方向与"在同一支上递增还是递减"一致吗
回实际 把结果放回原情境读出答案, 该取近似就取近似 答的是题目问的那一问吗, 单位是否合理
五、分层巩固训练(原创题, 与课本例题、练习、《习题27.3》零重复)
A 组 基础巩固(直接选用解析式与增减性)
A1. 矩形的面积为 48 , 它的一边长为 x cm, 邻边长为 y cm。(1) 写出 y 关于 x 的函数解析式并写出自变量 x 的取值范围; (2) 当 x = 6 时, 求 y 的值。
A2. 某工程队修一条长 2400 m 的公路, 平均每天修 x m, 需要 y 天完成。(1) 写出 y 关于 x 的函数解析式; (2) 若要在 20 天内完成, 平均每天至少要修多少米
A3. 在压力一定时, 某物体对地面的压强 p(单位: Pa)与受力面积 S(单位: )成反比例。已知 S = 0.4 时 p = 500 Pa。(1) 求 p 关于 S 的函数解析式; (2) 求 S = 0.8 时的压强。
A4. 用撬棍撬石块时, 若阻力和阻力臂的乘积为 900 N·m, 则动力 F(单位: N)与动力臂 l(单位: m)成反比例。(1) 求 F 关于 l 的函数解析式; (2) 当动力臂为 4.5 m 时, 撬动石块至少需要多大的力
A5. 已知 y 是 x 的反比例函数, 且当 x = 5 时 y = 8。(1) 求这个函数的解析式; (2) 当 x = -4 时, 求 y 的值。
A6. 一辆汽车匀速行驶, 行驶时间 t(单位: h)与平均速度 v(单位: km/h)之间的关系为 t = 。(1) 这辆汽车一共要行驶多少千米 (2) 若要在 8 h 内到达, 平均速度至少为多少
我的作答:
B 组 理解运用(两个方向的范围限制)
B7. 某运输队要运走 1080 t 货物, 平均每天运 a t, 需要 b 天。(1) 写出 b 关于 a 的函数解析式; (2) 若要求在 12 天内运完, 平均每天至少要运多少吨 (3) 若车队每天最多能运 180 t, 那么至少需要多少天
B8. 密闭容器内气体的质量不变, 当容器的体积为 V(单位: )时, 气体的密度为 ρ(单位: )。已知 V = 4 时 ρ = 2.5 。(1) 求 ρ 关于 V 的函数解析式; (2) 当 V = 10 时, 求气体的密度。
B9. 电压 U 一定时, 某用电器的功率 P(单位: W)与电阻 R(单位: Ω)满足 P = 。已知 R = 60 Ω 时 P = 240 W。(1) 求 的值与 P 关于 R 的函数解析式; (2) 若该用电器的电阻可在 80 Ω 到 180 Ω 之间调节, 求功率 P 的取值范围。
B10. 某蓄水池的容积为 900 , 注满水后打开排水阀排水, 排水速度 v(单位: /h)与排空所需时间 t(单位: h)满足 vt = 900。(1) 写出 v 关于 t 的函数解析式; (2) 若要求在 5 h 内排空, 排水速度至少为多少 (3) 若排水管每小时最多排水 300 , 至少需要多少小时
B11. 科学课上用杠杆做实验: 在匀质木杆的中点 O 的左侧 12 cm 处挂一个重 15 N 的重物, 右侧用弹簧测力计竖直向下拉, 使木杆保持水平。(1) 写出测力计示数 F(单位: N)关于它到点 O 的距离 l(单位: cm)的函数解析式; (2) 当 l = 20 cm 时, 求 F 的值; (3) 若该测力计的量程是 0 ~ 10 N, 则 l 至少为多少厘米
我的作答:
C 组 拓展提升(综合与建模)
C12. 某工厂加工一批零件共 1800 个, 平均每天加工 x 个, 需要 y 天完成。(1) 写出 y 关于 x 的函数解析式; (2) 若原计划每天加工 75 个, 实际每天比原计划多加工 25 个, 求实际提前了多少天完成任务; (3) 若要提前 4 天完成, 每天至少要加工多少个
C13. 一辆汽车从 A 地驶往 B 地, 全程 300 km。(1) 写出行驶时间 t(单位: h)关于平均速度 v(单位: km/h)的函数解析式, 并写出 v 的取值范围(全程速度不超过 150 km/h); (2) 若汽车上午 8 时出发, 需在当天 11 时至 12 时之间到达 B 地, 求平均速度 v 的范围。
C14. 某气球内充满一定质量的气体, 温度不变时, 气球内气体的压强 p(单位: kPa)是气体体积 V(单位: )的反比例函数。已知 V = 0.5 时 p = 240 kPa。(1) 求 p 关于 V 的函数解析式; (2) 当气球内气体的压强不超过 160 kPa 时, 气球的体积应不小于多少立方米
我的作答:
六、课堂小结(先自己填, 再和同伴对一对)
1. 本节最要紧的一句话是: 反比例函数的实际问题, 说到底就是去找一个"________为定值"的量。这个定值可能藏在文字里, 可能藏在图象上, 也可能藏在一张数据表里。
2. 由反比例函数解决实际问题, 解答里一定要同时出现三样东西: ________、自变量的________、结论所依据的增减性。三者缺一, 解答就不完整。
3. 数据建模与前面几节课最大的区别是: 前面是由已知条件确定________的解析式, 这里是由各组待定系数的________建立________模型, 模型建好之后还要回头检验。
我的作答:
七、课后作业(真实还原课本习题)
(一) 课本《习题27.3》(课本 P80, 复习巩固第 1 题至第 5 题)
统一要求: 每题先写出"定值是什么", 再写解析式与自变量的取值范围, 最后作答并检验实际意义。
第 1 题 举出一个生活中应用反比例函数的例子。
第 2 题 某农业大学计划修建一块面积为 2 × 的矩形试验田。(1) 试验田的一边长 y(单位: m)关于它的邻边长 x(单位: m)的函数解析式是什么 (2) 如果试验田的相邻两边长的比为 2 : 1, 那么试验田的两邻边长分别为多少
第 3 题 学校食堂一次性购买了 3000 kg 大米。(1) 这些大米能够使用的天数 m 与食堂平均每天的用米量 n(单位: kg)有怎样的函数关系 (2) 如果食堂平均每天使用大米 200 ~ 250 kg, 那么至少多少天后, 食堂需再购买大米
第 4 题 在对地面的压力一定的情况下, 地面所受的压强 p(单位: Pa)是受力面积 S(单位: )的反比例函数, 请填下表。
压强 p / Pa 1200 1000 600 500 400 300 200 150 120 100
受力面积 S /
第 5 题 已知甲、乙两地相距 s(单位: km), 汽车从甲地匀速行驶到乙地, 则汽车行驶全程所用时间 t(单位: h)关于行驶速度 v(单位: km/h)的函数图象是( )。
【留位】 《习题27.3》的"复习巩固"第 1 题至第 5 题已按课本 P80 原文完整布置; "综合运用""拓广探索"两栏题面暂未能核到课本原文, 按课本 P80 补入原文后再逐题完成。
我的作答:
(二) 课时配套巩固(原创题, 八题)
第 1 题 已知反比例函数 y = 的图象经过点(4, -5)。(1) 求 k 的值; (2) 若点(-2, m)在这个函数的图象上, 求 m 的值。
第 2 题 某工程队修建一条水渠, 每天修 x m, 需要 y 天完成。若每天修 40 m, 需要 15 天完成。(1) 求 y 关于 x 的函数解析式; (2) 若要 12 天完成, 每天至少要修多少米
第 3 题 在压力一定时, 压强 p(单位: Pa)与受力面积 S(单位: )成反比例, 已知 S = 2 时 p = 150 Pa。(1) 求 p 关于 S 的函数解析式; (2) 当 S = 0.5 时, 压强 p 是多少
第 4 题 已知 y 与 x 成反比例, 且当 x = 3 时 y = -6。(1) 求 y 关于 x 的函数解析式; (2) 当 y = 4 时, 求 x 的值。
第 5 题 一辆汽车以 72 km/h 的平均速度行驶 3 h 到达目的地。(1) 求汽车返回时所用时间 t(单位: h)关于平均速度 v(单位: km/h)的函数解析式; (2) 若返回时要求不超过 2.5 h 到达, 平均速度至少为多少
第 6 题 用撬棍撬动石块时, 阻力和阻力臂的乘积为 720 N·m。(1) 求动力 F(单位: N)关于动力臂 l(单位: m)的函数解析式; (2) 若动力臂由 1.2 m 增加到 2.4 m, 求动力减少的数值。
第 7 题 某实验小组测得气体的压强 p(单位: kPa)与体积 V(单位: )的五组数据: V = 1、2、4、5、8 时 p 依次为 800、400、200、160、100。(1) 判断 p 与 V 之间的函数关系并求出解析式; (2) 当 p = 250 kPa 时, 求 V 的值。
第 8 题 某电路中电压一定时, 电流 I(单位: A)与电阻 R(单位: Ω)成反比例, 已知 R = 25 Ω 时 I = 0.4 A。(1) 求 I 关于 R 的函数解析式; (2) 若电流不超过 0.5 A, 电阻 R 至少要多大
我的作答:
八、参考答案
【说明】 课本例题的完整解答见随堂笔记与《教师讲义》; 下面给出预习导航与课内探究的填空答案、分层巩固训练(A、B、C 三组)、课本练习与当堂检测、课后作业三部分答案。《习题27.3》的"综合运用""拓广探索"两栏题面暂不可得, 相应留位。
【填空类】预习导航
题号 答案
1 乘积; y = (k ≠ 0)
2 6300; 不变
3 v = ; 1050
4 阻力臂; 动力臂; 600
5 400; 3
6 列; 写
7 500; s =
8 240; 2 ≤ t ≤ 4
9 不完全相同; 误差; p =
10 散点; 近似
【填空类】课内探究
题号 答案
11 反比例; 反比例; 反比例; 反比例
12 定值(固定不变); y = (k ≠ 0)
13 不变量(定值); 待定系数
14 货物总量; 700 × 9 = 6300 (t)
15 v = (t > 0); t > 0
16 ≤; 减小; 小; = 1050; 1050
17 动力; 动力臂; 1200 × 0.5 = 600; 不变
18 F = ; = 400; 400
19 200; 200; 减小; 3
20 后; 1.5
21 360; S =
22 7.2; 7.2; 三分之一
23 12; y =
24 0.6; 6000; 0.5; 24; 24
25 字母; 方程; 取值范围
26 解析式; 实际问题
27 压力; 压强; 反比例; 电阻
28 一支; 反比例; (10, 50)
29 500; s =
30 5; 减小; 大于
31 240; v =
32 4; 2; 4
33 2 又 ; 3; 90; 80
34 80; 90
35 100; y = ; 0.2; 0.2
36 短
37 48400; 110; 220
38 440; 220; 220; 440
39 轴; 图; 式; 解
40 减小
41 散点; 双曲线
42 不完全相同; 误差
43 1997; p =
44 基本吻合
45 15.13
46 唯一; 近似
47 平均值; 检验
48 错因: 题目问的是"至少要加长多少", 3 m 是加长以后的总长度, 而原来的动力臂是 1.5 m。改正: 加长的量 = 3 - 1.5 = 1.5 (m)
49 错因: 时间是 60 进制, 40 分是 40 ÷ 60 = (h), 所以行驶时间是 2 又 h, 不是 2.4 h。改正: 先把分钟化成小时再代入解析式
50 错因: 这里要用的是各组 k 值的平均值, 取众数无法体现整体水平, 也违背了"用一条曲线尽可能靠近所有点"的初衷。改正: 把六组 k 值求和后除以 6, 得 k ≈ 1997
51 定值(固定不变); 近似
52 乘积
【填空类】课堂小结
题号 答案
1 乘积
2 解析式; 取值范围
3 唯一; 平均值; 近似
【练习类】分层巩固训练(A 组)
题号 参考答案
A1 (1) 由 xy = 48 得 y = (x > 0); (2) 当 x = 6 时, y = = 8
A2 (1) 由 xy = 2400 得 y = (x > 0); (2) 由 y ≤ 20 得 ≤ 20, 因为 x > 0, 所以 x ≥ 120, 即平均每天至少要修 120 m
A3 (1) k = 0.4 × 500 = 200, 所以 p = (S > 0); (2) 当 S = 0.8 时, p = = 250 (Pa)
A4 (1) 由杠杆原理得 Fl = 900, 所以 F = (l > 0); (2) 当 l = 4.5 时, F = = 200 (N)
A5 (1) k = 5 × 8 = 40, 所以 y = ; (2) 当 x = -4 时, y = = -10
A6 (1) 由 t = 得 vt = 200, 所以这辆汽车一共要行驶 200 km; (2) 由 t ≤ 8 得 ≤ 8, 因为 v > 0, 所以 v ≥ 25, 即平均速度至少为 25 km/h
【练习类】分层巩固训练(B 组)
题号 参考答案
B7 (1) 由 ab = 1080 得 b = (a > 0); (2) 由 b ≤ 12 得 ≤ 12, 所以 a ≥ 90, 即平均每天至少要运 90 t; (3) 由 a ≤ 180 得 ≤ 180, 所以 b ≥ 6, 即至少需要 6 天
B8 (1) k = 4 × 2.5 = 10, 所以 ρ = (V > 0); (2) 当 V = 10 时, ρ = = 1
B9 (1) 由 240 = 得 = 14400, 所以 P = (R > 0); (2) 当 R = 80 时 P = = 180 (W), 当 R = 180 时 P = = 80 (W); 因为 P 随 R 的增大而减小, 所以功率的范围是 80 ≤ P ≤ 180 (W)
B10 (1) v = (t > 0); (2) 由 t ≤ 5 得 ≤ 5, 所以 v ≥ 180, 即排水速度至少为 180 /h; (3) 由 v ≤ 300 得 ≤ 300, 所以 t ≥ 3, 即至少需要 3 h
B11 (1) 由杠杆原理得 Fl = 15 × 12 = 180, 所以 F = (l > 0); (2) 当 l = 20 时, F = = 9 (N); (3) 由 F ≤ 10 得 ≤ 10, 所以 l ≥ 18, 即 l 至少为 18 cm
【练习类】分层巩固训练(C 组)
题号 参考答案
C12 (1) y = (x > 0); (2) 原计划每天 75 个, 需要 = 24 (天); 实际每天 75 + 25 = 100 个, 需要 = 18 (天), 所以提前了 24 - 18 = 6 (天); (3) 要提前 4 天完成, 即 24 - 4 = 20 天内完成, 由 ≤ 20 得 x ≥ 90, 即每天至少要加工 90 个
C13 (1) 由 vt = 300 得 t = ; 因为全程速度不超过 150 km/h, 即 0 < v ≤ 150, 所以 t ≥ 2; (2) 上午 8 时出发, 当天 11 时到达时 t = 3, 代入得 v = = 100 (km/h); 当天 12 时到达时 t = 4, 代入得 v = = 75 (km/h)。因为平均速度 v 随行驶时间 t 的增大而减小, 所以 75 ≤ v ≤ 100 (km/h)
C14 (1) k = 0.5 × 240 = 120, 所以 p = (V > 0); (2) 由 p ≤ 160 得 ≤ 160, 因为 V > 0, 所以 V ≥ , 即气球的体积应不小于 0.75
【练习类】课本练习与当堂检测
题目 参考答案
P75-P76 练习第 1 题 (1) 圆锥的体积为 120 , 即 = 120, 所以 S = (h > 0); (2) 由 S ≤ 50 得 ≤ 50, 解得 h ≥ 7.2, 即漏斗的深至少为 7.2 cm
P75-P76 练习第 2 题 (1) 余款为 18 - 6 = 12 (万元), 所以 y = (0 < x ≤ 36); (2) 当 x = 20 时 y = = 0.6 (万元), 即平均每月应还款 6000 元; (3) 由 y ≤ 0.5 得 ≤ 0.5, 解得 x ≥ 24, 即至少要 24 个月才能结清余款
P77-P78 练习第 1 题 (1) k = 0.25 × 400 = 100, 所以 y = (x > 0); (2) 由 500 = 得 x = 0.2, 即焦距为 0.2 m
P77-P78 练习第 2 题 (1) P = = = (110 ≤ R ≤ 220); (2) 当 R = 110 时 P = = 440 (W), 当 R = 220 时 P = = 220 (W); 因为 P 随 R 的增大而减小, 所以 220 ≤ P ≤ 440 (W)
P79 练习第(1)题 以往的函数模型由已知条件确定唯一解析式, 所有已知点都完全满足该解析式; 这里各组数据的 k 值不完全相同, 有些数对只能近似满足解析式, 点并没有完全落在图象上, 属于带误差的近似模型
P79 练习第(2)题 审清题意, 找出常量与变量 → 选择函数类型并设出解析式 → 求出待定系数的值 → 写出解析式并注意自变量的取值范围 → 用函数的图象和性质解决实际问题并检验实际意义
当堂检测 第 ① 题 由 S h = 800 得 h = (S > 0)
当堂检测 第 ② 题 由 xy = 1200 得 y = (x > 0); 由 y ≤ 8 得 ≤ 8, 所以 x ≥ 150, 即平均每天至少要运 150 t
当堂检测 第 ③ 题 k = 6 × 4 = 24, 所以解析式为 y = ; 当 x = -8 时, y = = -3
【练习类】课后作业
题目 参考答案
《习题27.3》复习巩固 第 1 题 答案开放。例如: 路程一定时, 汽车行驶全程所用时间与平均速度成反比例; 工作总量一定时, 工作效率与工作时间成反比例。(只要举出的实例中两个量的积一定即可)
《习题27.3》复习巩固 第 2 题 (1) 由 xy = 2 × 得 y = (x > 0); (2) 相邻两边长的比为 2 : 1, 设两邻边长分别为 2a m 与 a m, 则 2a × a = 2 × , 解得 a = 1000, 所以试验田的两邻边长分别为 2000 m 与 1000 m
《习题27.3》复习巩固 第 3 题 (1) 由 mn = 3000 得 m = (n > 0); (2) 因为 m 随 n 的增大而减小, 当 n = 250 时 m = = 12, 当 n = 200 时 m = = 15, 所以 12 ≤ m ≤ 15, 即至少 12 天后食堂需再购买大米
《习题27.3》复习巩固 第 4 题 p 与 S 成反比例, 且 1200 × 0.5 = 600, 所以 p = 。由此填表: S 依次为 0.5、0.6、1、1.2、1.5、2、3、4、5、6 (单位: ), 与压强 1200、1000、600、500、400、300、200、150、120、100 一一对应
《习题27.3》复习巩固 第 5 题 设两地距离为 s (s > 0), 由 vt = s 得 t = (v > 0), 所以图象是双曲线在第一象限内的一支(随 v 的增大 t 减小), 选与该形状一致的选项
《习题27.3》综合运用 / 拓广探索 【留位】 题面待按课本 P80 原文补入后, 再逐题写出解答
题号 参考答案
第 1 题 (1) k = 4 × (-5) = -20; (2) 由 -2 × m = -20 得 m = 10
第 2 题 (1) 水渠总长为 40 × 15 = 600 (m), 所以 y = (x > 0); (2) 由 y ≤ 12 得 ≤ 12, 所以 x ≥ 50, 即每天至少要修 50 m
第 3 题 (1) k = 2 × 150 = 300, 所以 p = (S > 0); (2) 当 S = 0.5 时, p = = 600 (Pa)
第 4 题 (1) k = 3 × (-6) = -18, 所以 y = -; (2) 由 4 = - 得 x = -
第 5 题 (1) 路程为 72 × 3 = 216 (km), 所以 t = (v > 0); (2) 由 t ≤ 2.5 得 ≤ 2.5, 所以 v ≥ 86.4, 即平均速度至少为 86.4 km/h
第 6 题 (1) Fl = 720, 所以 F = (l > 0); (2) 当 l = 1.2 时 F = = 600 (N), 当 l = 2.4 时 F = = 300 (N), 所以动力减少了 600 - 300 = 300 (N)
第 7 题 (1) 各组 pV 的积都是 800, 所以 p 与 V 成反比例, 解析式为 p = (V > 0); (2) 由 250 = 得 V = 3.2, 即 V 的值为 3.2
第 8 题 (1) k = 25 × 0.4 = 10, 所以 I = (R > 0); (2) 由 I ≤ 0.5 得 ≤ 0.5, 所以 R ≥ 20, 即电阻 R 至少要 20 Ω

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