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第二十六章 二次函数
26.3 二次函数与一元二次方程(第1课时)
1.理解抛物线与轴交点横坐标就是对应一元二次方程的根．
2.由抛物线与轴交点个数，对应判别式的三种情况．
3.建立二次函数图象与一元二次方程之间的联系．
当二次函数≠的函数值的时候，式子变成什么？
≠，
一元二次方程
以前我们从一次函数的角度看一元一次方程， 认识了一次函数与一元一次方程的联系. 类似地， 可以从二次函数的角度看一元二次方程，认识二次函数与一元二次方程的联系.
思考：如图所示， 下列二次函数的图象与 轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少 当 取公共点的横坐标时，函数值是多少
(1) ；
(2) ；
(3) .
由此， 你能说说方程
的根的情况吗
分析：通过图中的函数图象可以看出：
(1)抛物线与轴有两个公
共点，它们的横坐标分别是-2，1.当取公
共点的横坐标时，函数值是0.由此可知，
方程有两个不相等的实数根-2，1.
(2)抛物线与轴只有一个公共点，这个点的横坐标是4.当时，函数值是0.由此可知，方程有两个相等的实数根4.
(3)抛物线与轴没有公共点.由此可知，方程没有实数根.
反过来，由一元二次方程的根的情况，也可以确定相应二次函数的图象与轴的公共点的情况.
一般地，从二次函数的图象，可得如下结论：
(1)如果抛物线与轴有公共点，公共点的横坐标是，那么当时，函数值是0，因此是一元二次方程的一个根.
(2)二次函数的图象与轴的公共点的情况有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点，分别对应着一元二次方程的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不相等的实数根.
根据二次函数与一元二次方程的联系，可以将二次函数问题转化为相应的一元二次方程问题．
例：如图所示，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线. 小球的飞行高度(单位：)与飞行时间(单位：)的关系近似为.小球的飞行高度能否达到 如果能，需要多长时间
分析：问题“小球的飞行高度能否达到20m”即“二次函数的函数值能否取20”，由二次函数与一元二次方程的关系，可转化为讨论一元二次方程的根的问题.
解：当时，由函数关系，列得方程
即
解方程，得
这说明，当自变量时，二次函数的函数值为20，
即当小球飞行时，它的飞行高度为.
例：如图所示，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线. 小球的飞行高度(单位：)与飞行时间(单位：)的关系近似为.小球的飞行高度能否达到 如果能，需要多长时间
【知识技能类练习】必做题：
1．二次函数与轴的交点坐标是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
A
【知识技能类练习】必做题：
2．若一元二次方程的根分别为，，则二次函数的图象与x轴的交点坐标分别是_______________．
和
【知识技能类练习】必做题：
3．如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y（单位：）与飞行时间x（单位：）之间具有函数关系，请根据要求解答下列问题：
(1)在飞行过程中，当小球的飞行时，飞行高度是多少？
(2)在飞行过程中，当小球的飞行高度为时，飞行时间是多少？
(3)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？
(4)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？
【知识技能类练习】必做题：
解：（1）在中，当时，，
答：当小球的飞行时，飞行高度是；
（2）在中，当时，解得或，
答：当小球的飞行高度为时，飞行时间是或；
（3）在中，当时，解得或，
答：小球从飞出到落地所用时间是；
（4）∵，
∴小球飞行高度在飞行时间是时最大，最大高度为．
【知识技能类练习】选做题：
4．抛物线与x轴的两个交点之间的距离是（ ）
A． B．2 C． D．4
A
【综合拓展类练习】
5．已知二次函数．
(1)将化成的形式，并写出其图象的顶点坐标；
(2)将化成
的形式，并写出
此函数图象与轴交点的坐标；
(3)在平面直角坐标系中，
画出当时此函数的图象．
【综合拓展类练习】
解：（1）由题意可得：，
∴该函数的顶点坐标为；
（2）由题意得：，
当时，则有，
解得：，
∴此函数图象与轴交点的坐标为；
（3）由题意可列表如下：
x … 1 …
y … 5 0 0 …
所作函数图象如图所示．
二次函数与一元二次方程
二次函数与一元二次方程之间的转化
抛物线与 x 轴的位置关系与一元二次方程根的情况
【知识技能类作业】必做题：
1．若关于x的二次函数的图象与x轴的交点坐标是和，则关于x的一元二次方程的解为（ ）
A． B．，
C．， D．，
D
【知识技能类作业】必做题：
2．已知抛物线（）的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则关于的方程的两个根为 ________________．
，
【知识技能类作业】必做题：
3．已知二次函数．
(1)当时，求函数图象与x轴的交点坐标．
(2)若该函数图象与x轴没有交点，求实数a的取值范围．
解：（1）当时，二次函数，
当时，，
解得：，
∴函数图象与x轴的交点坐标；
（2）这样的实数不存在，理由如下：
因为，
所以该函数图象与轴必有交点，
若使该函数图象与轴没有交点，这样的实数不存在．
【知识技能类作业】选做题：
4．二次函数的图象如图所示，一元二次方程的根的判别式为，则下列判断正确的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
C
【综合拓展类作业】
5．一位运动员在距篮下处跳起投篮，篮球行进的高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系是 ．
(1)求篮球运行的水平距离是多少时，篮球达到最高点？篮球运行的最大高度是多少？
(2)该运动员身高m，在这次跳投中，
球在头顶m处出手，球出手时，
他跳离地面的高度是多少？
(3)已知篮圈中心到地面的距离为m，
请问这次投篮是否能准确落入篮圈？
【综合拓展类作业】
解：（1）当 时，有最大值．
答：篮球运行的水平距离是m时，篮球达到最高点，篮球运行的最大高度是m．
（2）当时，．
m．
答：球出手时他跳离地面的高度是m．
（3）当时，．
答：这次投篮能准确落入篮圈．

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