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同步探究学案
课题 26.3 二次函数与一元二次方程(第1课时) 单元 第二十六章 学科 数学 年级 九年级
学习 目标 1.理解抛物线与轴交点横坐标就是对应一元二次方程的根． 2.由抛物线与轴交点个数，对应判别式的三种情况． 3.建立二次函数图象与一元二次方程之间的联系．
重点 理解抛物线与轴交点和一元二次方程根的对应关系．
难点 实现二次函数图象与一元二次方程判别式之间的数形转化．
探究过程
导入新课 【引入思考】 问题：当二次函数≠的函数值的时候，式子变成什么？
新知探究 本节课来研究： 本节从二次函数的角度看一元二次方程，认识二次函数与一元二次方程的联系。 思考：如图所示， 下列二次函数的图象与 轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少 当 取公共点的横坐标时，函数值是多少 (1) ； (2) ； (3) . 由此， 你能说说方程 的根的情况吗 分析：通过图中的函数图象可以看出： (1)抛物线与轴有__________个公共点，它们的横坐标分别是__________，__________.当取公共点的横坐标时，函数值是__________.由此可知，方程有__________的实数根__________，__________. (2)抛物线与轴只有__________个公共点，这个点的横坐标是__________.当时，函数值是__________.由此可知，方程有__________的实数根__________. (3)抛物线与轴__________公共点.由此可知，方程__________实数根. 反过来，由一元二次方程的根的情况，也可以确定相应二次函数的图象与轴的公共点的情况. 归纳：一般地，从二次函数的图象，可得如下结论： (1)如果抛物线与轴有公共点，公共点的横坐标是，那么当时，函数值是__________，因此是一元二次方程的__________根. (2)二次函数的图象与轴的公共点的情况有三种：没有公共点，有__________公共点，有__________公共点，分别对应着一元二次方程的根的三种情况：__________实数根，有__________的实数根，有__________的实数根. 根据二次函数与一元二次方程的联系，可以将二次函数问题转化为相应的一元二次方程问题． 例：如图所示，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线. 小球的飞行高度(单位：)与飞行时间(单位：)的关系近似为.小球的飞行高度能否达到 如果能，需要多长时间 分析：问题“小球的飞行高度能否达到20m”即“二次函数的函数值能否取20”，由二次函数与一元二次方程的关系，可转化为讨论一元二次方程的根的问题. 解：当时，由函数关系，列得方程 即 解方程，得 这说明，当自变量时，二次函数的函数值为20，即当小球飞行时，它的飞行高度为.
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．二次函数与轴的交点坐标是（ ） A．， B．， C．， D．， 2．若一元二次方程的根分别为，，则二次函数的图象与x轴的交点坐标分别是_______________． 3．如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y（单位：）与飞行时间x（单位：）之间具有函数关系，请根据要求解答下列问题： (1)在飞行过程中，当小球的飞行时，飞行高度是多少？ (2)在飞行过程中，当小球的飞行高度为时，飞行时间是多少？ (3)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？ (4)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？ 选做题： 4．抛物线与x轴的两个交点之间的距离是（ ） A． B．2 C． D．4 【综合拓展类练习】 5．已知二次函数． (1)将化成的形式，并写出其图象的顶点坐标； (2)将化成的形式，并写出此函数图象与轴交点的坐标； (3)在平面直角坐标系中，画出当时此函数的图象．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．若关于x的二次函数的图象与x轴的交点坐标是和，则关于x的一元二次方程的解为（ ） A． B．， C．， D．， 2．已知抛物线（）的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则关于的方程的两个根为 ______． 3．已知二次函数． (1)当时，求函数图象与x轴的交点坐标． (2)若该函数图象与x轴没有交点，求实数a的取值范围． 选做题： 4．二次函数的图象如图所示，一元二次方程的根的判别式为，则下列判断正确的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【综合拓展类作业】 5．一位运动员在距篮下处跳起投篮，篮球行进的高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系是 ． (1)求篮球运行的水平距离是多少时，篮球达到最高点？篮球运行的最大高度是多少？ (2)该运动员身高m，在这次跳投中，球在头顶m处出手，球出手时，他跳离地面的高度是多少？ (3)已知篮圈中心到地面的距离为m，请问这次投篮是否能准确落入篮圈？
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课题 26.3 二次函数与一元二次方程(第1课时) 单元 第二十六章 学科 数学 年级 九年级
学习 目标 1.理解抛物线与轴交点横坐标就是对应一元二次方程的根． 2.由抛物线与轴交点个数，对应判别式的三种情况． 3.建立二次函数图象与一元二次方程之间的联系．
重点 理解抛物线与轴交点和一元二次方程根的对应关系．
难点 实现二次函数图象与一元二次方程判别式之间的数形转化．
探究过程
导入新课 【引入思考】 问题：当二次函数≠的函数值的时候，式子变成什么？ 答案：≠，一元二次方程
新知探究 本节课来研究： 本节从二次函数的角度看一元二次方程，认识二次函数与一元二次方程的联系。 思考：如图所示， 下列二次函数的图象与 轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少 当 取公共点的横坐标时，函数值是多少 (1) ； (2) ； (3) . 由此， 你能说说方程 的根的情况吗 分析：通过图中的函数图象可以看出： (1)抛物线与轴有两个公共点，它们的横坐标分别是-2，1.当取公共点的横坐标时，函数值是0.由此可知，方程有两个不相等的实数根-2，1. (2)抛物线与轴只有一个公共点，这个点的横坐标是4.当时，函数值是0.由此可知，方程有两个相等的实数根4. (3)抛物线与轴没有公共点.由此可知，方程没有实数根. 反过来，由一元二次方程的根的情况，也可以确定相应二次函数的图象与轴的公共点的情况. 归纳：一般地，从二次函数的图象，可得如下结论： (1)如果抛物线与轴有公共点，公共点的横坐标是，那么当时，函数值是0，因此是一元二次方程的一个根. (2)二次函数的图象与轴的公共点的情况有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点，分别对应着一元二次方程的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不相等的实数根. 根据二次函数与一元二次方程的联系，可以将二次函数问题转化为相应的一元二次方程问题． 例：如图所示，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线. 小球的飞行高度(单位：)与飞行时间(单位：)的关系近似为.小球的飞行高度能否达到 如果能，需要多长时间 分析：问题“小球的飞行高度能否达到20m”即“二次函数的函数值能否取20”，由二次函数与一元二次方程的关系，可转化为讨论一元二次方程的根的问题. 解：当时，由函数关系，列得方程 即 解方程，得 这说明，当自变量时，二次函数的函数值为20，即当小球飞行时，它的飞行高度为.
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．二次函数与轴的交点坐标是（ ） A．， B．， C．， D．， 答案：A 2．若一元二次方程的根分别为，，则二次函数的图象与x轴的交点坐标分别是_______________． 答案：和 3．如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y（单位：）与飞行时间x（单位：）之间具有函数关系，请根据要求解答下列问题： (1)在飞行过程中，当小球的飞行时，飞行高度是多少？ (2)在飞行过程中，当小球的飞行高度为时，飞行时间是多少？ (3)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？ (4)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？ 解：（1）在中，当时，， 答：当小球的飞行时，飞行高度是； （2）在中，当时，解得或， 答：当小球的飞行高度为时，飞行时间是或； （3）在中，当时，解得或， 答：小球从飞出到落地所用时间是； （4）∵， ∴小球飞行高度在飞行时间是时最大，最大高度为． 选做题： 4．抛物线与x轴的两个交点之间的距离是（ ） A． B．2 C． D．4 答案：A 【综合拓展类练习】 5．已知二次函数． (1)将化成的形式，并写出其图象的顶点坐标； (2)将化成的形式，并写出此函数图象与轴交点的坐标； (3)在平面直角坐标系中，画出当时此函数的图象． 解：（1）由题意可得：， ∴该函数的顶点坐标为； （2）由题意得：， 当时，则有，解得：， ∴此函数图象与轴交点的坐标为； （3）由题意可列表如下： x…..1…...y…..500……
所作函数图象如图所示．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．若关于x的二次函数的图象与x轴的交点坐标是和，则关于x的一元二次方程的解为（ ） A． B．， C．， D．， 答案：D 2．已知抛物线（）的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则关于的方程的两个根为 ______． 答案：， 3．已知二次函数． (1)当时，求函数图象与x轴的交点坐标． (2)若该函数图象与x轴没有交点，求实数a的取值范围． 解：（1）当时，二次函数， 当时，， 解得：， ∴函数图象与x轴的交点坐标； （2）这样的实数不存在，理由如下： 因为， 所以该函数图象与轴必有交点， 若使该函数图象与轴没有交点，这样的实数不存在． 选做题： 4．二次函数的图象如图所示，一元二次方程的根的判别式为，则下列判断正确的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 答案：C 【综合拓展类作业】 5．一位运动员在距篮下处跳起投篮，篮球行进的高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系是 ． (1)求篮球运行的水平距离是多少时，篮球达到最高点？篮球运行的最大高度是多少？ (2)该运动员身高m，在这次跳投中，球在头顶m处出手，球出手时，他跳离地面的高度是多少？ (3)已知篮圈中心到地面的距离为m，请问这次投篮是否能准确落入篮圈？ 解：（1）当 时，有最大值． 答：篮球运行的水平距离是m时，篮球达到最高点，篮球运行的最大高度是m． （2）当时，． m． 答：球出手时他跳离地面的高度是m． （3）当时，． 答：这次投篮能准确落入篮圈．
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