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6.2　排列与组合
6.2.1　排　列
6.2.2　排列数
第1课时　排列与排列数
1.通过实例,理解排列的概念,并能利用定义判断排列问题,提升数学抽象和数学运算素养.
2.理解排列与两个计数原理的关系,提升数学运算素养.
3.能在排列基础上给出排列数的定义和表示,并能区分排列与排列数,提升数学抽象素养.
4.能够运用两个计数原理推导排列数公式.
【课程标准要求】　
知识探究·素养启迪
知识点一　排列的定义
一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,并按照一定的 排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个 .
顺序
排列
知识点二　排列数
全排列
特别地,我们把n个不同的元素全部取出的一个排列,叫做n个元素的一个
.
2.排列数公式
n(n-1)(n-2)…(n-m+1)
阶乘
n!
n!
1
知识清点
1.下列问题属于排列问题的是(　　)
①从10个人中选2人分别去种树和扫地;
②从10个人中选2人去扫地;
③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队;
④从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作幂运算.
A.①④ B.①② C.③④ D.①③④
A
【解析】 ①选出的2人有不同的劳动内容,相当于有顺序,①属于排列问题;
②选出的2人劳动内容相同,无顺序,②不属于排列问题;
③选出5人组成一个篮球队,无顺序,③不属于排列问题;
④选出的两个数作为底数或指数,其结果不同,有顺序,④属于排列问题.
所以属于排列问题的为①④.故选A.
2.用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成无重复数字的四位偶数有(　　)
A.60个 B.106个
C.156个 D.216个
C
8
课堂探究·素养培育
题型一　排列的概念
[例1] 判断下列问题是不是排列问题.
(1)A,B,C 3个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设往返的票价相同);
(2)选2个小组分别去植树和种菜;
(3)选2个小组去种菜;
(4)选10人组成一个学习小组;
(5)选3人分别担任班长、学习委员、生活委员.
【解】 (1)中票价只有3种,虽然往返机票是不同的,但票价是一样的,不存在顺序问题,所以不是排列问题.
(2)植树和种菜是不同的,存在顺序问题,属于排列问题.
(3)(4)不存在顺序问题,不属于排列问题.
(5)中每个人的职务不同,例如甲当班长与甲当学习委员是不同的,存在顺序问题,属于排列问题.
所以在上述各问题中(2)(5)属于排列问题.
解题策略
排列问题的本质特征
(1)取出的元素无重复.
(2)取出的元素必须按顺序排列.
[方法迁移] 给出下列问题:
①有10名同学,每两人互通一次电话,共通了多少次电话
②有10名同学,每两人互写一封信,共写了多少封信
③有10名同学,每两人互握一次手,共握了多少次手
以上问题中,属于排列问题的是　　　　.(填序号)
②
【解析】 对于①,假设10名同学中含甲、乙,甲与乙通一次电话,也就是乙与甲通一次电话,没有顺序区别,故不是排列问题;
对于②,假设10名同学中含甲、乙,甲给乙写一封信,跟乙给甲写一封信,是不一样的,是有顺序区别的,故属于排列问题;
对于③,假设10名同学中含甲、乙,甲与乙握一次手,也就是乙与甲握一次手,没有顺序区别,故不是排列问题.
题型二　排列数公式
[例2] 求解下列问题.
(1)用排列数表示(55-n)(56-n)…(69-n)(n∈N*且n<55);
【解】 (3)原方程可化为2x(2x-1)(2x-2)=100x(x-1),因为x≠0且x≠1,
所以2x-1=25,
解得x=13,经检验x=13是原方程的解.
解题策略
(2)排列数公式有两种形式,可以根据要求灵活选用.
题型三　简单的排列问题(无限制条件的排列问题)
[例3] 12名选手参加校园歌手大奖赛,比赛设一等奖、二等奖、三等奖各一名,每人最多获得一种奖项,共有　　　种不同的获奖情况.
1 320
解题策略
没有限制条件的排列问题,即对所排列的元素或所排列的位置没有特别的限制,这一类问题相对简单,分清元素和位置即可.
[方法迁移] (2025·河南周口期中)从标号分别为1,2,3,4的四个不同圆形图标与标号分别为6,7,8的三个不同方形图标中任取5个图标排成一排,则不同的排法共有(　　)
A.504种 B.1 260种
C.2 160种 D.2 520种
D6.2.1　排　列
6.2.2　排列数
第1课时　排列与排列数
【课程标准要求】　
1.通过实例,理解排列的概念,并能利用定义判断排列问题,提升数学抽象和数学运算素养.
2.理解排列与两个计数原理的关系,提升数学运算素养.
3.能在排列基础上给出排列数的定义和表示,并能区分排列与排列数,提升数学抽象素养.
4.能够运用两个计数原理推导排列数公式.
知识点一　排列的定义
一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,并按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
知识点二　排列数
1.定义:我们把从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号表示.
特别地,我们把n个不同的元素全部取出的一个排列,叫做n个元素的一个全排列.
2.排列数公式
(1)=n(n-1)(n-2)…(n-m+1).其中,m,n∈N*,并且 m≤n.
(2)n的阶乘:正整数1到n的连乘积,叫做n的阶乘,用n!表示.n个元素的全排列数公式可以写成=n!.规定:0!=1.排列数公式还可以写成 =.
知识清点
1.下列问题属于排列问题的是(　　)
①从10个人中选2人分别去种树和扫地;
②从10个人中选2人去扫地;
③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队;
④从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作幂运算.
A.①④ B.①② C.③④ D.①③④
【答案】 A
【解析】 ①选出的2人有不同的劳动内容,相当于有顺序,①属于排列问题;
②选出的2人劳动内容相同,无顺序,②不属于排列问题;
③选出5人组成一个篮球队,无顺序,③不属于排列问题;
④选出的两个数作为底数或指数,其结果不同,有顺序,④属于排列问题.
所以属于排列问题的为①④.故选A.
2.用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成无重复数字的四位偶数有(　　)
A.60个 B.106个
C.156个 D.216个
【答案】 C
【解析】 第1类,0在个位,共有=60(个).
第2类,0不在个位,从2,4中选一个数排在个位,有种方法;从余下除0外的数字中选一个排在千位,有种方法;再排十位、百位,有种方法.所以共有=96(个).
所以满足题意的四位偶数的个数为60+96=156.故选C.
3.已知=56,那么n=　　　　.
【答案】 8
【解析】 因为=56,所以n(n-1)=56,解得n=8或n=-7(舍去).因为n∈N*,所以n=8.
题型一　排列的概念
[例1] 判断下列问题是不是排列问题.
(1)A,B,C 3个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设往返的票价相同);
(2)选2个小组分别去植树和种菜;
(3)选2个小组去种菜;
(4)选10人组成一个学习小组;
(5)选3人分别担任班长、学习委员、生活委员.
【解】 (1)中票价只有3种,虽然往返机票是不同的,但票价是一样的,不存在顺序问题,所以不是排列问题.
(2)植树和种菜是不同的,存在顺序问题,属于排列问题.
(3)(4)不存在顺序问题,不属于排列问题.
(5)中每个人的职务不同,例如甲当班长与甲当学习委员是不同的,存在顺序问题,属于排列
问题.
所以在上述各问题中(2)(5)属于排列问题.
排列问题的本质特征
(1)取出的元素无重复.
(2)取出的元素必须按顺序排列.
[方法迁移] 给出下列问题:
①有10名同学,每两人互通一次电话,共通了多少次电话
②有10名同学,每两人互写一封信,共写了多少封信
③有10名同学,每两人互握一次手,共握了多少次手
以上问题中,属于排列问题的是　　　　.(填序号)
【答案】 ②
【解析】 对于①,假设10名同学中含甲、乙,甲与乙通一次电话,也就是乙与甲通一次电话,没有顺序区别,故不是排列问题;
对于②,假设10名同学中含甲、乙,甲给乙写一封信,跟乙给甲写一封信,是不一样的,是有顺序区别的,故属于排列问题;
对于③,假设10名同学中含甲、乙,甲与乙握一次手,也就是乙与甲握一次手,没有顺序区别,故不是排列问题.
题型二　排列数公式
[例2] 求解下列问题.
(1)用排列数表示(55-n)(56-n)…(69-n)(n∈N*且n<55);
(2)计算;
(3)解方程=100.
【解】 (1)因为55-n,56-n,…,69-n中的最大数为69-n,且共有69-n-(55-n)+1=15(个)数,
所以(55-n)(56-n)…(69-n)=.
(2)==.
(3)原方程可化为2x(2x-1)(2x-2)=100x(x-1),因为x≠0且x≠1,所以2x-1=25,
解得x=13,经检验x=13是原方程的解.
(1)从排列的直观意义理解,弄清楚n和m的含义.
(2)排列数公式有两种形式,可以根据要求灵活选用.
[方法迁移] (1)化简+2+3+…+n;
(2)解方程3=4;
(3)解不等式>6.
【解】 (1)因为k=(k+1)-=-,
所以原式=1+(-)+(-)+…+(-)=+1-=-1.
(2)由3=4,得=,
即=,
化简得x2-19x+78=0,解得x=6或x=13.
因为0所以原方程的解为x=6.
(3)易得0原不等式可化为>,
即x2-21x+104>0,整理得(x-8)(x-13)>0,
所以x<8或x>13,
故x=3,4,5,6,7.
所以原不等式的解集为{3,4,5,6,7}.
题型三　简单的排列问题(无限制条件的排列问题)
[例3] 12名选手参加校园歌手大奖赛,比赛设一等奖、二等奖、三等奖各一名,每人最多获得一种奖项,共有　　　种不同的获奖情况.
【答案】 1 320
【解析】 从12名选手中选出3名获奖并安排奖项,共有=12×11×10=1 320(种)不同的获奖情况.
没有限制条件的排列问题,即对所排列的元素或所排列的位置没有特别的限制,这一类问题相对简单,分清元素和位置即可.
[方法迁移] (2025·河南周口期中)从标号分别为1,2,3,4的四个不同圆形图标与标号分别为6,7,8的三个不同方形图标中任取5个图标排成一排,则不同的排法共有(　　)
A.504种 B.1 260种
C.2 160种 D.2 520种
【答案】 D
【解析】 由题意知,不同的排法共有=7×6×5×4×3=2 520(种).故选D.
课时作业
1.下列问题:
①从甲、乙、丙三名同学中选出两名参加一项活动,其中一名同学参加上午的活动,另一名同学参加下午的活动;
②从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动;
③从a,b,c,d四个字母中取出2个字母;
④从a,b,c,d四个字母中取出2个字母,然后按顺序排列成一列.
其中是排列问题的有(　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】 B
【解析】 ①④是排列问题,②③不是排列问题.故选B.
2.(2025·山西太原月考)某班上午要上语文、数学、体育和英语4门课,则不同排课方案的种数是(　　)
A.24 B.22 C.20 D.12
【答案】 A
【解析】 4个元素全排列,有=24(种)排课方案.故选A.
3.(2025·陕西安康期末)已知-=10,则n的值为(　　)
A.4 B.5 C.6 D.7
【答案】 B
【解析】 由-=10,得(n+1)n-n(n-1)=10,解得n=5.故选B.
4.记a,b,c,d为1,2,3,4的任意一种排列,则使得(a+b)(c+d)为偶数的排列种数为(　　)
A.8 B.12 C.16 D.18
【答案】 A
【解析】 因为只有(1+3)×(2+4)为偶数,所以使得(a+b)(c+d)为偶数的排列种数为=8.故选A.
5.(多选)满足不等式-n<7(n∈N*,n≥3)的n的值可为(　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】 AB
【解析】 因为-n<7,所以(n-1)(n-2)-n<7,即n2-4n-5<0,解得-1又n∈N*,n≥3,所以n的值为3或4.故选AB.
6.(多选)从1,2,3,4四个数字中,任选两个数做以下数学运算,并分别计算它们的结果.在这些问题中,相应运算可以看作排列问题的有(　　)
A.加法　 B.减法　
C.乘法　 D.除法
【答案】 BD
【解析】 因为加法和乘法满足交换律,所以选出两个数做加法和乘法运算时,结果与两数字位置无关,故不是排列问题,而减法和除法运算与两数字的位置有关,故是排列问题.故选BD.
7.(2025·四川广元月考)从1,2,3,4,5中任取两个不同数字组成平面直角坐标系中一个点的坐标,则组成不同点的个数为　　　.(用数字作答)
【答案】 20
【解析】 从1,2,3,4,5中任取两个不同数字组成平面直角坐标系中一个点的坐标,相当于从 5个元素中取2个元素的排列,即=20.
8.某展览会期间,要安排5名志愿者去4个场馆参加活动,每名志愿者只能去1个场馆,且每个场馆只能安排一名志愿者,则不同的分配方法有　　　　　种.(用数字作答)
【答案】 120
【解析】 从5名志愿者中选4人排列,得不同的分配方法种数为=120.
9.(1)求证:=(n+1).
(2)解不等式:3≤2+6.
(1)【证明】 因为=(n+1)n(n-1)·…·3×2×1,(n+1)=(n+1)·n!=(n+1)n·(n-1)·…·3×2×1,所以=(n+1).
(2)【解】 由题意可知,x∈N*且x≥3,因为=x(x-1)(x-2),=(x+1)x,=x(x-1),
所以原不等式可化为3x(x-1)(x-2)≤2x(x+1)+6x(x-1),整理得(3x-2)(x-5)≤0,
所以≤x≤5,又x∈N*且x≥3,
所以原不等式的解集为{3,4,5}.
10.求和:+++…+.
【解】 因为==-=-,
所以原式=(-)+(-)+(-)+…+[-]=1-.
11.(多选)(2025·河南高二月考)下列等式正确的是(　　)
A.= B.=
C.=n　　　 D.=20
【答案】 AC
【解析】 =为排列数公式,故A正确;因为=,=,所以≠,故B错误;==n·=n,故C正确;由C选项可知=20,故D错误.故选AC.
12.用0,1,2,3,…,9十个数字可组成不同的:
(1)三位数　　　　　个;
(2)小于500且无重复数字的三位奇数　　　　个.
【答案】 (1)900　(2)144
【解析】 (1)由于0不能在百位,所以百位上的数字有9种选法,十位与个位上的数字均有10种选法,所以不同的三位数共有9×10×10=900(个).
(2)小于500的无重复数字的三位奇数,应满足的条件是:百位只能从1,2,3,4中选,个位必须为奇数.
按百位分两类:
第1类,百位为1或3时,个位有4种选法,十位有8种选法,所以共有=64(个);
第2类,百位为2或4时,个位有5种选法,十位有8种选法,所以共有=80(个).
因此有64+80=144(个)小于500且无重复数字的三位奇数.
13.(2025·广东清远期中)一条铁路线上原有n个车站,为适应客运需要,新增加了m个车站(m>1),客运车票增加了62种,则原有多少个车站 现在有多少个车站
【解】 因为原有n个车站,所以原有客运车票种.
又现有(n+m)个车站,所以现有客运车票种.
由题设知,-=62,所以(n+m)(n+m-1)-n(n-1)=62,即2mn+m2-m=62,
所以n=-(m-1)>0,所以>(m-1),
所以62>m(m-1),即m2-m-62<0.
又m>1,所以1当m=2时,n=15;
当m=3,4,5,6,7,8时,n均不为整数.
故n=15,m=2,即原有车站15个,现有车站17个.
14.由四个不同的数字1,2,4,x组成无重复数字的三位数.(结果用数字作答)
(1)若x=9,则能被3整除的三位数共有　　　个;
(2)若所有这些三位数的各位数字之和是252,则x=　　　　.
【答案】 (1)12　(2)7
【解析】 (1)若x=9,则四个数字为1,2,4,9,
由得到的三位数能被3整除,可得这三个数字为1,2,9或2,4,9,
取出的三个数字为1,2,9时,有=6(种)情况;
取出的三个数字为2,4,9时,有=6(种)情况,
则此时一共有6+6=12(个)能被3整除的三位数.
(2)若x=0,则可以组成3×=18(个)三位数,即1,2,4,0四个数字每个最多出现18次,
则所有这些三位数的各位数字之和最大不超过(1+2+4)×18=126,不符合题意,故x=0不成立;
当x≠0时,可以组成无重复数字的三位数共有=24(种),共用了24×3=72(个)数字,
则每个数字用了=18(次),
则有252=18×(1+2+4+x),解得x=7.

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