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第2课时　排列的综合应用
1.掌握几种有限制条件的排列.
2.能够运用排列数公式解决简单的实际问题,提升数学抽象、数学运算和数学建模素养.
【课程标准要求】　
知识探究·素养启迪
知识点　几种有限制条件的排列问题及解决方法
1.元素相邻问题:捆绑法
将相邻元素视为一个“整体”,与其他元素一起排列,再考虑“整体”内部的排列.
2.元素不相邻问题:插空法
先排无限制元素,再在空隙中插入不相邻元素.
3.特殊元素/位置优先法
先安排有特殊要求的元素或位置,再处理其他元素.
4.定序问题:除法处理
若部分元素顺序固定,用全排列数除以定序元素的排列数.
5.正难则反:排除法
先算无限制的总排列数,再减去不符合条件的排列数.
知识清点
1.甲、乙、丙、丁四人去听同时举行的5个讲座,每人可自由选择听其中的1个讲座,则恰好只有甲、乙两人听同一个讲座的情况种数为(　　)
A.125 B.100 C.80 D.60
D
2.(人教A版选择性必修第三册P26习题6.2 T5改编)将4本不同的数学书和3本不同的语文书排成一排,要求语文书都不相邻,则不同的排法种数为(　　)
A.1 440　 B.720　 C.3 600　 D.5 040
A
3.用1,2,3,4,5,6,7组成没有重复数字的七位数,若1,3,5,7的顺序一定,则有
　　　　个七位数符合条件.
210
课堂探究·素养培育
题型一　特殊元素或特殊位置问题
[例1] 从包括甲、乙2名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列,则
(1)甲不在首位的排法有　 　　种.
2 160
(2)甲既不在首位也不在末位的排法有　 　　种.
1 800
(3)甲与乙既不在首位也不在末位的排法有　　　种.
1 200
(4)甲不在首位,同时乙不在末位的排法有　　　种.
1 860
解题策略
对于“在”与“不在”问题,可采用“特殊元素优先考虑,特殊位置优先安排”的原则解决.
[方法迁移] 甲、乙、丙三人排成一排照相,甲不站在排头的所有排列种数为
(　　)
A.6 B.4 C.8 D.10
B
【解析】 画出树状图如图所示,
,共4种.故选B.
题型二　“相邻”与“不相邻”问题
[例2] (2025·天津月考)5名同学新年期间去某公园采风观景,在该公园门口5名同学排成一排照相留念,若甲与乙相邻,丙与丁不相邻,则不同的排法共有
(　　)
A.12种 B.24种 C.48种 D.96种
B
解题策略
(1)对于相邻问题,可采用“捆绑法”解决,即将相邻的元素视为一个整体进行排列.
(2)对于不相邻问题,可采用“插空法”解决,即先排其余的元素,再将不相邻的元素插入空中.
[方法迁移] (2025·山东淄博期中)某同学在设置手机的数字密码时,打算将圆周率的前六个数字3,1,4,1,5,9进行某种排列作为密码,要求两个1必须相邻,那么可以设置的不同密码有(　　)
A.120种 B.240种
C.60种 D.30种
A
题型三　定序问题
[例3] 包括甲、乙、丙在内的7人站成一排.若甲必须在乙的前面(不一定相邻),则有　　　种不同的排列方法;若甲、乙、丙3人自左向右的顺序不变
(不一定相邻),则有　　　种不同的排列方法.
2 520
840
解题策略
对于定序问题,可采用“除阶乘法”解决,即用无限制的排列数除以顺序一定元素的全排列数.
[方法迁移] 将A,B,C,D,E,F六个字母排成一排,且A,B均在C的同侧,则不同的排法有　　　种.(用数字作答)
480
培优拓展1　圆排列问题
在n个元素中,每次抽取m个元素排成一个圆构成的排列,称为一个圆排列.其特点:无头无尾;按照同一方向转换后仍是同一个排列;两个圆排列只是在元素不同或者元素虽然相同,但元素之间的顺序不同时,才是不同的圆排列.圆排列需先固定一个元素位置,再排其他元素;若有相邻限制,则结合捆绑法.
[典例] (1)A,B,C,D,E,F六人围坐在一张圆桌周围开会,A是会议的中心发言人,必须坐最北面的椅子,B,C两人必须坐相邻的两把椅子,其余三人坐剩余的三把椅子,则不同的坐法有(　　)
A.60种 B.48种 C.30种 D.24种
B
(2)有10个人围着一张圆桌坐成一圈,共有　 　　种不同的坐法.
362 880
[跟进巩固] (1)小徐和A,B,C,D,E共6个人在圆桌上用餐,则A坐在小徐对面且B和C不相对的坐法的种数是　　　　　.(如果圆桌可以旋转后重合,则记为同一种排列方式)
16
【解析】 (1)A坐在小徐对面,先固定2人位置,在小徐和A的相对位置确定后,
B有4种选择,B的选择确定的情况下C有2种选择,
C的选择确定的情况下剩余2人有2种排列方式,故总坐法有4×2×2=16(种).
(2)现有9名同学围着圆桌坐成一圈,他们的衣服上分别标有号码1,2,3,…,9,若任意相邻两个号码之积不小于4,则不同的坐法有　　 　种.
21 600第2课时　排列的综合应用
【课程标准要求】　
1.掌握几种有限制条件的排列.
2.能够运用排列数公式解决简单的实际问题,提升数学抽象、数学运算和数学建模素养.
知识点　几种有限制条件的排列问题及解决方法
1.元素相邻问题:捆绑法
将相邻元素视为一个“整体”,与其他元素一起排列,再考虑“整体”内部的排列.
2.元素不相邻问题:插空法
先排无限制元素,再在空隙中插入不相邻元素.
3.特殊元素/位置优先法
先安排有特殊要求的元素或位置,再处理其他元素.
4.定序问题:除法处理
若部分元素顺序固定,用全排列数除以定序元素的排列数.
5.正难则反:排除法
先算无限制的总排列数,再减去不符合条件的排列数.
知识清点
1.甲、乙、丙、丁四人去听同时举行的5个讲座,每人可自由选择听其中的1个讲座,则恰好只有甲、乙两人听同一个讲座的情况种数为(　　)
A.125 B.100 C.80 D.60
【答案】 D
【解析】 先将甲、乙两人捆绑,与丙、丁两人形成三个元素,然后从5个讲座中选取3个讲座分配给这三个元素即可,所以恰好只有甲、乙两人听同一个讲座的情况种数为=60.故选D.
2.(人教A版选择性必修第三册P26习题6.2 T5改编)将4本不同的数学书和3本不同的语文书排成一排,要求语文书都不相邻,则不同的排法种数为(　　)
A.1 440　 B.720　 C.3 600　 D.5 040
【答案】 A
【解析】 先把4本不同的数学书排好,有种排法,形成5个空,再将3本不同的语文书插入5个空中,有种排法,故共有=1 440(种)排法.故选A.
3.用1,2,3,4,5,6,7组成没有重复数字的七位数,若1,3,5,7的顺序一定,则有　　　　个七位数符合条件.
【答案】 210
【解析】 若1,3,5,7的顺序不定,则4个数字有=24(种)排法,故1,3,5,7的顺序一定的排法只占全排列种数的.故有×=210(个)七位数符合条件.
题型一　特殊元素或特殊位置问题
[例1] 从包括甲、乙2名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列,则
(1)甲不在首位的排法有　　　种.
(2)甲既不在首位也不在末位的排法有　　　种.
(3)甲与乙既不在首位也不在末位的排法有　　　种.
(4)甲不在首位,同时乙不在末位的排法有　　　种.
【答案】 (1)2 160　(2)1 800　(3)1 200　(4)1 860
【解析】 (1)法一　把元素作为研究对象.
第1类,不含甲,此时只需从甲以外的其他6名同学中选出5名放在5个位置上,有种排法.
第2类,含有甲,甲不在首位,先从4个位置中选出1个放甲,有种排法,再从甲以外的6名同学中选出4名排在没有甲的位置上,有种排法.根据分步乘法计数原理,有·种排法.
由分类加法计数原理知,共有+·=2 160(种)排法.
法二　把位置作为研究对象.
第1步,从甲以外的6名同学中选1名排在首位,有种方法;
第2步,从占据首位以外的6名同学中选4名排在除首位以外的其他4个位置上,有种方法.
由分步乘法计数原理知,共有·=2 160(种)排法.
法三(间接法)　先不考虑限制条件,从7人中选出5人进行排列,总的可能情况有种,甲在首位的情况有种,所以符合要求的排法有-=2 160(种).
(2)第1步,从甲以外的6名同学中选2名排在首、末2个位置上,有种方法;
第2步,从剩下的5名同学中选3名排在中间 3个位置上,有种方法.
根据分步乘法计数原理,共有·=1 800(种)方法.
(3)第1步,从甲、乙以外的5名同学中选2名排在首、末2个位置,有种方法;
第2步,从剩下的5名同学中选出3名排在中间3个位置上,有种方法.
根据分步乘法计数原理,共有·=1 200(种)方法.
(4)总的可能情况有种,减去甲在首位的种排法,再减去乙在末位的种排法,注意到甲在首位,同时乙在末位的排法数被减去了两次,所以还需补回一次种排法,所以共有-2+=1 860(种)排法.
对于“在”与“不在”问题,可采用“特殊元素优先考虑,特殊位置优先安排”的原则解决.
[方法迁移] 甲、乙、丙三人排成一排照相,甲不站在排头的所有排列种数为(　　)
A.6 B.4 C.8 D.10
【答案】 B
【解析】 画出树状图如图所示,
,共4种.故选B.
题型二　“相邻”与“不相邻”问题
[例2] (2025·天津月考)5名同学新年期间去某公园采风观景,在该公园门口5名同学排成一排照相留念,若甲与乙相邻,丙与丁不相邻,则不同的排法共有(　　)
A.12种 B.24种 C.48种 D.96种
【答案】 B
【解析】 甲和乙相邻,捆绑在一起有种排法,再与除丙和丁外的1人排列有种排法,再将丙和丁插空有种排法,故共有··=24(种)排法.故选B.
(1)对于相邻问题,可采用“捆绑法”解决,即将相邻的元素视为一个整体进行排列.
(2)对于不相邻问题,可采用“插空法”解决,即先排其余的元素,再将不相邻的元素插入空中.
[方法迁移] (2025·山东淄博期中)某同学在设置手机的数字密码时,打算将圆周率的前六个数字3,1,4,1,5,9进行某种排列作为密码,要求两个1必须相邻,那么可以设置的不同密码有(　　)
A.120种 B.240种
C.60种 D.30种
【答案】 A
【解析】 根据题意,将2个1捆绑在一起,再与其余4个数字全排列,所以共有=120(种)不同的密码.故选A.
题型三　定序问题
[例3] 包括甲、乙、丙在内的7人站成一排.若甲必须在乙的前面(不一定相邻),则有　　　种不同的排列方法;若甲、乙、丙3人自左向右的顺序不变(不一定相邻),则有　　　种不同的排列方法.
【答案】 2 520　840
【解析】 甲在乙前面的排法种数占全体排列种数的,故有=2 520(种)不同的排法.
甲、乙、丙自左向右的顺序保持不变,即甲、乙、丙自左向右顺序的排法种数占全排列种数的.故有=840(种)不同的排法.
对于定序问题,可采用“除阶乘法”解决,即用无限制的排列数除以顺序一定元素的全排列数.
[方法迁移] 将A,B,C,D,E,F六个字母排成一排,且A,B均在C的同侧,则不同的排法有　　　种.(用数字作答)
【答案】 480
【解析】 A,B两个字母与C的位置关系仅有3种:同左、同右或两侧,各占,所以不同的排法有=480(种).
培优拓展1　圆排列问题
在n个元素中,每次抽取m个元素排成一个圆构成的排列,称为一个圆排列.其特点:无头无尾;按照同一方向转换后仍是同一个排列;两个圆排列只是在元素不同或者元素虽然相同,但元素之间的顺序不同时,才是不同的圆排列.圆排列需先固定一个元素位置,再排其他元素;若有相邻限制,则结合捆绑法.
[典例] (1)A,B,C,D,E,F六人围坐在一张圆桌周围开会,A是会议的中心发言人,必须坐最北面的椅子,B,C两人必须坐相邻的两把椅子,其余三人坐剩余的三把椅子,则不同的坐法有(　　)
A.60种 B.48种 C.30种 D.24种
(2)有10个人围着一张圆桌坐成一圈,共有　　　种不同的坐法.
【答案】 (1)B　(2)362 880
【解析】 (1)首先,A是会议的中心发言人,必须坐最北面的椅子,
其次,考虑B,C两人的情况,只能选择相邻的两个座位,位置可以互换,利用捆绑法可得4种坐法,
接下来,考虑其余三人的情况,其余位置可以互换,可得种坐法,
最后根据分步乘法计数原理,得到4××=48(种)坐法.故选B.
(2)将10个人按1~10进行编号,按照一定的顺序坐成一圈,就形成了一个圆排列,
若分别以1,2,3,4,5,6,7,8,9,10号作为开头,
则这个圆排列对应了10个排列,因此,要求圆排列数,只需要求出全排列数,再除以10就可
以了,
即不同的坐法种数为=362 880.
[跟进巩固] (1)小徐和A,B,C,D,E共6个人在圆桌上用餐,则A坐在小徐对面且B和C不相对的坐法的种数是　　　　　.(如果圆桌可以旋转后重合,则记为同一种排列方式)
(2)现有9名同学围着圆桌坐成一圈,他们的衣服上分别标有号码1,2,3,…,9,若任意相邻两个号码之积不小于4,则不同的坐法有　　　种.
【答案】 (1)16　(2)21 600
【解析】 (1)A坐在小徐对面,先固定2人位置,在小徐和A的相对位置确定后,
B有4种选择,B的选择确定的情况下C有2种选择,
C的选择确定的情况下剩余2人有2种排列方式,故总坐法有4×2×2=16(种).
(2)由1,2,…,9这9个数构成的圆排列有N0==8!(种),
任意相邻两数之积不小于4,则1,2不能相邻且1,3不能相邻.
设满足1,2相邻的圆排列有N1种,满足1,3相邻的圆排列有N2种,满足1,2相邻且1,3相邻的圆排列有N3种,
则N1=N2==·7!,N3==·6!,
则满足要求的圆排列有N=N0-(N1+N2-N3)=8!-(2×7!+2×7!-2×6!)=21 600(种).
课时作业
1.(2025·浙江台州月考)由1,2,3,4四个数字组成无重复数字的四位偶数有(　　)
A.44个 B.24个 C.12个 D.6个
【答案】 C
【解析】 先排个位有种排法,再排其他三位有种排法,则一共有=12(个)符合题意的数.故选C.
2.(2025·江西南昌期末)小花准备将一颗黄色圣女果、一颗红色圣女果、一颗山楂、一颗草莓、一颗葡萄串起来制作一串冰糖葫芦,若要求两颗圣女果不相邻,则不同的串法有(　　)
A.36种 B.48种
C.72种 D.144种
【答案】 C
【解析】 先将一颗山楂、一颗草莓、一颗葡萄进行排序,
然后将两颗圣女果插入一颗山楂、一颗草莓、一颗葡萄所形成的空位中,
从4个空位中抽取2个空位进行排序,
由插空法可知,不同的串法有=72(种).故选C.
3.(2025·江苏南通期中)学校要安排一场文艺晚会的8个节目的演出顺序,学生的节目有6个,教师的节目有2个,如果教师的节目既不排在第一个,也不排在最后一个,那么不同的排法数为(　　)
A. B.
C. D.-
【答案】 C
【解析】 先排2个学生节目在最前、最后位置,然后在中间6个位置排剩下的节目,运用分步乘法计数原理,总排法数为.故选C.
4.某公共汽车站有6个候车位(成一排),现有3名乘客随便坐在某个座位上候车,则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是(　　)
A.48 B.54 C.72 D.84
【答案】 C
【解析】 根据题意,现将3个乘客全排列,将有4个空隙,再将两个空座位捆绑在一起和另一个空座位放入4个空隙中的2个,共有=72(种)候车方式.故选C.
5.开学典礼上甲、乙、丙、丁、戊这5名同学从左至右排成一排上台领奖,要求甲与乙相邻且甲与丙之间恰好有1名同学的排法有(　　)
A.12种　 B.16种　　 C.20种　 D.24种
【答案】 C
【解析】 ①若甲与丙之间为乙,且三人相邻,共有=2(种)排法,将三人捆绑看成一个整体,与丁、戊两人全排列,共有=6(种)排法,则此时有2×6=12(种)排法;
②若甲与丙之间不是乙,先排甲与丙,再从丁、戊中选取1人,安排在甲与丙之间,有=4(种)排法,此时乙在甲的另一侧,将四人捆绑看成一个整体,将这个整体与剩下的1人全排列,有=2(种)排法,此时有4×2=8(种)排法.
综上,总共有12+8=20(种)排法.故选C.
6.(多选)(2025·辽宁辽阳期末)已知某班星期一上午要安排语文、数学、英语、物理4节课,且当天上午总共4节课,则下列结论正确的是(　　)
A.若数学课不安排在第一节,则有18种不同的安排方法
B.若语文课和数学课必须相邻,且语文课排在数学课前面,则有6种不同的安排方法
C.若语文课和数学课不能相邻,则有12种不同的安排方法
D.若语文课、数学课、英语课按从前到后的顺序安排,则有3种不同的安排方法
【答案】 ABC
【解析】 对于A,有3=18(种)排法,故A正确;对于B,采用捆绑法,有=6(种)排法,故B正确;对于C,采用插空法,有=12(种)排法,故C正确;对于D,有=4(种)排法,故D错误.故选ABC.
7.8人排成一排照相,A,B,C三人互不相邻,D,E也不相邻,不同的排法共有　　　　种.(用数字作答)
【答案】 11 520
【解析】 A,B,C三人互不相邻的排法共有种,其中D,E相邻的排法有种,所以符合条件的排法共有-=14 400-2 880=11 520(种).
8.A,B,C,D,E五人住进编号为1,2,3,4,5的五个房间,每个房间只住一人,则B不住2号房间,且B,C两人不住编号相邻房间的住法种数为　　　.
【答案】 60
【解析】 由题意得,B不住2号房间,且B,C两人不住编号相邻房间,则B可以住1,3,4,5号
房间,
若B住在1号房间,则C可以住在3,4,5三个房间,有3种情况,剩下三人安排在其他三个房间,此时,有3×=18(种)情况;
若B住在3号房间,则C可以住在1,5两个房间,有 2种情况,剩下三人安排在其他三个房间,此时,有2×=12(种)情况;
若B住在4号房间,则C可以住在1,2两个房间,有 2种情况,剩下三人安排在其他三个房间,此时,有2×=12(种)情况;
若B住在5号房间,则C可以住在1,2,3三个房间,有 3种情况,剩下三人安排在其他三个房间,此时,有3×=18(种)情况.
由分类加法计数原理得,共有18+12+12+18=60(种)不同的住法.
9.某班有A,B,C等7名班委,有7种不同的职务,现对7名班委进行职务具体分工.
(1)若正、副班长两个职务只能从A,B,C三人中选两人担任,有多少种分工方案
(2)若正、副班长两个职务至少要选A,B,C三人中的一人担任,有多少种分工方案
【解】 (1)从A,B,C三人中任选两人担任正、副班长,有种方法,再安排其余5种职务,有种方法,根据分步乘法计数原理知,共有=720(种)分工方案.
(2)7人担任7种职务的分工方案有种,A,B,C三人中无一人担任正、副班长的分工方案有种,因此A,B,C三人中至少有一人担任正、副班长的分工方案有-=3 600(种).
10.(2025·江苏高二月考)用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复数字的数
(1)六位奇数;
(2)个位数字不是5的六位数;
(3)不大于4 310的四位偶数.
【解】 (1)第1步,排个位数,有种排法;
第2步,排十万位,有种排法;
第3步,排其他位,有种排法.
故共有=288(个)六位奇数.
(2)法一(直接法)
十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同,因此需分两类.
第1类,当个位排0时,有个;
第2类,当个位不排0时,有个.
故符合题意的六位数共有+=504(个).
法二(排除法)
0在十万位和5在个位的排列都不对应符合题意的六位数,这两类排列中都含有0在十万位且5在个位的情况.
故符合题意的六位数共有-2+=504(个).
(3)分三种情况,具体如下:
①当千位上排1或3时,有个.
②当千位上排2时,有个.
③当千位上排4时,
形如40××,42××的偶数各有个;
形如41××的偶数有个;
形如43××的偶数只有4 310和4 302这两个数.
故共有++2++2=110(个)符合题意的数.
11.甲、乙、丙等八个人围成一圈,要求甲、乙、丙三人两两不相邻,则不同的排列方法有(　　)
A.720种 B.1 440种
C.2 880种 D.4 320种
【答案】 B
【解析】 可增加一个位子,九个位子排成一排,甲放一号和九号,再将除甲、乙、丙外的五人整体放入中间位子有=120(种)排列方法.
因为甲、乙、丙两两不相邻,所以乙、丙只能放在除甲、乙、丙外的五人中间形成的四空中,共有=12(种)排列方法,
由分步乘法计数原理得,共有=1 440(种)排列方法.故选B.
12.某次灯谜大会共设置6个不同的谜题,分别藏在如图所示的6个灯笼里,每个灯笼里仅放一个谜题.并规定一名参与者每次只能取其中一串最下面的一个灯笼并解答里面的谜题,直到答完全部6个谜题,则一名参与者有　　　　种不同的答题顺序.
【答案】 60
【解析】 将6个灯笼全排列,有种排法,
因为每次只能取其中一串最下面的一个灯笼并解答里面的谜题,所以每串取灯的顺序确定,
所以不同的答题顺序有=60(种).
13.3名女生和5名男生排成一排.
(1)如果女生必须全排在一起,有多少种不同的排法
(2)如果女生必须全分开,有多少种不同的排法
(3)如果两端都不能排女生,有多少种不同的排法
(4)如果甲必须排在乙的右面(可以不相邻),有多少种不同的排法
【解】 (1)3名女生全部排在一起,可以把她们看作一个整体,再和5名男生排列,共有6个元素,排成一排有种不同的排法,故共有=4 320(种)不同的排法.
(2)先把5名男生排列,共有种不同的排法;5名男生排列共有6个空位置,将3名女生插到6个空位置,共有种不同的排法,故共有=14 400(种)不同的排法.
(3)因为两端不能排女生,所以两端只能选2名男生,有种不同的排法,而对于其他6个位置排列共有种不同的排法,故共有=14 400(种)不同的排法.
(4)因为8人排列,其中2人顺序固定,所以共有 ·=20 160(种)不同的排法.
14.(2025·浙江嘉兴期末)箱子中有大小相同的6个小球,分别标有数字1,1,2,2,3,3.甲、乙两人进行三轮比赛,在每轮比赛中,两人依次从箱子中随机摸出1球,甲先摸,乙后摸,摸出的球不放回,并比较摸出的球的标号大小,数字大的人得1分,数字小的人不得分,如果数字一样,则都不得分.经过三轮比赛后,箱子中的球被摸完,此时甲的累计得分比乙的累计得分大的概率是　　　　　.
【答案】
【解析】 由题意得,比赛对甲、乙是公平的,所以先计算甲、乙得分相同的概率,
情形一:甲、乙都得0分,即每一轮甲、乙摸到的球的标号相同,发生的概率为p1==;
情形二:甲、乙都得1分,即三轮中有一轮甲得1分,有一轮乙得1分,有一轮两人摸到的球的标号相同,都不得分,
若相同的标号为1,则p2==,
同理,相同的标号为2的概率p3=,相同的标号为3的概率p4=,
所以甲的累计得分比乙的累计得分大的概率p==.

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